Phương pháp về tọa độ trong không gian

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. 
Bài 1: Cho ΔABC có trong tâm G và M là điểm tùy ý trong ko gian. 
 a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. 
 b/ Tìm quỹ tích các điểm M sao cho MA2 + MB2 + MC2 = k2. 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm ΔBCD và O là trung điểm của AG; M là điểm tùy ý. 
 a/ CMR: 3 0 OA OB OC OD+ + + =uuur uuur uuur uuur r
 b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2
 c/ Tìm quỹ tích các điểm M thỏa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2. 
Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hai điểm M, N nằm trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho MB’ 
= CN. CMR: AM ⊥ BN. 
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng : 
 a/ ' ' 2AC A C AC+ =uuuur uuuur uuur b/ ' ' 2 'AC A C CC− =uuuur uuuur uuuur 
II/ VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN. 
Bài 1: Trong không gian Oxyz. Hãy viết tọa độ của các vectơ: 
 a/ b/ c/ 1 2a e e
→ →= − + 3
→ →
31 22b e e
→ →= − 1 22 7 3c e e e
→ → → →= − +
 d/ 2
1 2
2
d e e
→ →= − 3
→
 e/ 1
3
2
e
→ →= − e f/ 14,5f e
→ →= 
Bài 2: Hãy viết dưới dạng: các vectơ sau đây : x e y e z e1 2
→ →+ + 3
→
 a/ ( 2;1; 3)u
→ = − b/ 1 6( ;0;
53
v
→ = − ) c/ 1( ;0; )
2
m π→ = 
 d/ e/ (0; 2;5p→ = − ) (0;0; 2)q→ = −
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho 3õ vectơ: . (2; 5;3); (0;2; 1); (1;7;2)a b c
→ → →= − = − =
 a/ Tính tọa độ của vectơ : x a b
→ → →= − +4 1
3
3 c
→
. 
 b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C sao cho: 
 ; ;MA a MB b MC c
→ →= =uuur uuur uuuur →=
2;khi b
→ → → →+ = = − 2 (5;4; 1); (2; 5;3)x a b khi a b→ → → → →+ = = − = −
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ x biết: 
 a/ x b b/ 0 (1; 1)
 c/ 2 (5;6;0); ( 3;4; 1)x a x b khi a b
→ → → → → →− = + = = − −
Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên 
các trục Ox, Oy, Oz. Gọi '1M , 
'
1M , M3’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng 
Oxy, Oyz, Ozx. Tìm tọa độ của các điểm M1’, M2’, M3’. Áp dụng cho M(–1,2,3). 
Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z). Tìm tọa độ của điểm: 
 a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy. b/ P đối xứng với M qua trục Ox. 
 c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O. Áp dụng với M(–2; 5; 1). 
Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) và C(–1; 2; –2). 
 a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ΔABC. 
 b/ Tính diện tích ΔABC. 
Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5). 
 a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp. 
 b/ Tìm tọa độ tâm của các mặt ABCD và ABB’A’ của hình hộp đó. 
Bài 9: Cho hai bộ 3 điểm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) và A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1). 
 Hỏi bộ nào có 3 điểm thẳng hàng ? 
Bài 10: Tính tọa độ của vectơ tích có hướng của hai vectơ trong mỗi trường hợp sau: a b
→ →
,
1
 a/ b/ (3;0; 6); (2; 4;5)a b
→ →= − = − (1; 5;2); (4;3; 5)a b→ →= − = −
 c/ (0; 2; 3); (1; 3; 2)a b
→ →= = − d/ (1; 1;1); (0;1;2)a b→ →= − =
 e/ (4;3;4); (2; 1;2)a b
→ →= = −
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai điểm A, B trong mỗi trường hợp: 
 a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( 2 ; 1; 0); B(1; 2 ; 1) 
Bài 12: Tính góc giữa hai vectơ trong mỗi trường hợp sau : a b
→ →
,
 a/ b/ (4;3;1); ( 1;2;3)a b
→ →= = − (2;4;5), (6;0; 3)a b→ →= = −
Bài 13: Cho ΔABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1). 
 a/ Tính các góc của ΔABC. 
 b/ Tìm tọa độ trong tâm G của ΔABC. 
 c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó. 
Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1). 
Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều 3 điểm A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) và C(3; 1; –1). 
Bài 16: Tính diện tích của hình bình hành ABCD có (6;3; 2)AB = −uuur và (3; 2;6)AD = −uuur . 
Bài 17: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ trong mỗi tr.hợp sau: , ,a b c
ur ur ur
 a/ b/ (4;2;5); (3;1;3); (2;0;1)a b c
→ → →= = = (1; 1;1); (0;1;2); (4;2;3)a b c→ → →= − = =
 c/ d/ (4;3;4); (2; 1;2); (1;2;1)a b c
→ → →= = − = ( 3;1; 2); (1;1;1); ( 2;2;1)a b c→ → →= − − = = −
Bài 18: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết A(1; 0; 1) và B(2; 1; 2); OD i j k= − +uuur r ur ur , . 
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. 
' 4 5 5OC i j k= − −uuuur r ur ur
Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2). Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz tại điểm M. Điểm M chia đoạn thẳng 
AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M. 
Bài 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) và C(7; 9; 1). 
 a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. 
 b/ Phân giác trong góc A của ΔABC cắt BC tại D. Tìm tọa độ của D. 
 c/ Tính cosin của góc BAC và diện tích ΔABC. 
Bài 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) và C(8; 3; –2). 
 a/ CMR: ABC là tam giác vuông. 
 b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác trong của tam giác kẻ từ B. 
 c/ Tính diện tích của ΔABC. 
Bài 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) và D(2; –1; –2). 
 a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của hình chữ nhật. 
 b/ Tính đường cao của ABCD kẻ từ đỉnh D. 
Bài 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) và . 2OC i j k= + +uuur r ur ur
 a/ CMR: A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
 b/ Tính chu vi và diện tích của ΔABC. 
 c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
 d/ Tính độ dài đường cao của ΔABC hạ từ đỉnh A. 
 e/ Tính các góc của ΔABC. 
Bài 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(–2; 1; –1). 
 a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
 b/ Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
 c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A. 
Bài 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) và D(–5; –5; 3). 
 a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc. 
 b/ Tính diện tích tứ giác ABCD. 
Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2). Tìm tọa độ hình chiếu 
vuông góc của P trên (ABC). 
2
Bài 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) và ( )2OD k i= −uuur ur r . 
 a/ CMR: ABCD là hình thoi. b/ Tính diện tích của hình thoi. 
Bài 28: Cho 52; ;1
2
A⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
5 3; ;0
2 2
B ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
35; ;3
2
C ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , 
9 5; ;4
2 2
D ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
 a/ CMR: bốn điểm trên là bốn đỉnh của hình bình hành. 
 b/ Tính diện tích hình bình hành đó. 
Bài 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) và C(1; 4; 0). 
 a/ Tìm hệ thức giữa x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC). 
 b/ Tìm trực tâm H của ΔABC. 
 c/ Tìm tâm I và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
III/ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. 
A/ Phương trình của mặt phẳng.
Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát của mp(α) đi qua 3 đ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1). 
Bài 2: Cho điểm M(2; –1; 3) và mp(α) có p.trình 2x –y + 3z –1 = 0. 
 a/ Lập pt tổng quát của mp(β) đi qua M và song song với mp(α). 
 b/ Hãy lập phương trình tham số của mp(β) nói trên. 
Bài 3: Hãy lập pt mp(α) đi qua 2 điểm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) và song song vơi trục Oz. 
Bài 4: Lập pt mp(α) đi qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + 1 = 0 và y = 0. 
Bài 5: Lập pt mp(α) đi qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – 1 = 0 và x + 2y + z = 0. 
Bài 6: Lập pt mp(α) đi qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – 5 = 0. 
Bài 7: Cho mpα có phương trình tham số : 
x t
y t
z t
= +
= − +
= − − +
⎧
⎨⎪
⎩⎪
1
2
5 2
1
2
1 2t
 a/ Hãy lập phương trình tổng quát của mp(α’) đi qua gốc tọa độ và song song với mpα. 
 b/ Tính góc ϕ tạo bởi mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = 0. 
Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = 0. 
Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – 3 = 0. Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) một 
khoảng d = 5. 
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: 
 a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy. 
 b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1). 
 c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. 
Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0). Viết pt mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
Bài 12: Cho ΔABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6). Viết phương trình mp(ABC). 
Bài 13: Viết ptmp đi qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 1 = 0. 
Bài 14: Cho A(2; 3; 4). Hãy viết p.trình mp(P) đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình 
mp(Q) đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ. 
Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + 4 = 0. 
Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: 
 a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = 0 và (Q): 2x – 3y + z + 1 = 0. 
 b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại P, Q, R sao cho : 
OR = 2OP = 2OQ. 
 c/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y –12z – 3 = 0, (Q): 3x + y – 7z – 2 = 0 và vuông góc 
với mp(R): x + 2y + 5z – 1 = 0. 
 d/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + 3y + 5z – 4 = 0, mp(Q): x – y – 2z + 7 = 0 và song song 
với trục Oy. 
 e/ Là mp trung trực của đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3). 
 f/ mp(X) nhận M(1; 2; 3) làm hình chiếu vuông góc của N(2; 0; 4) lên trên mp(X). 
B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. 
3
Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau? 
 a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = 0 
 b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + 1 = 0; 
 (Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = 0 
Bài 2: Cho 3 mặt phẳng (P): 2x – y + z + 1 = 0; (Q): x + 3y –z + 2 = 0 và (R): –2x + 2y+ 3z + 3 = 0. 
 a/ Chứng minh (P) cắt (Q). 
 b/ Viết p.trình mp(S) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và qua điểm M(1; 2; 1). 
 c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và song song với mp(R). 
 d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến của hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R). 
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau: 
 a/ Đi qua M(2; 1; –1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình: x – y + z – 4 = 0 ; 3x – y 
+ z – 1 = 0. 
 b/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: y + 2z – 4 = 0; x + y – z – 3 = 0 đồng thời song song với mp: x + 
y + z = 0. 
 c/ Qua giao tuyến của hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = 0 đồng thời vuông góc với mp: 2x 
– z + 7 = 0. 
Bài 4: Tìm điểm chung của ba mặt phẳng: 
 a/ x + 2y – z – 6 = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = 0 
 b/ 4x + y + 3z – 1 = 0; 8x – y + z – 5 = 0; 2x – y – 2z – 5 = 0 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), ... ừ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d: 2 1
1 2
1
2
x y z+ −= = +− . 
Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d: 
2 1 0
3 2 2
x y z
x y z
+ − − =⎧⎨ 0+ + + =⎩ . 
Bài 10: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 
 a/ 1 3
2 1
x y z− + −= = −
4
2
; 2 2
4 2 4
1x y z+ += =− −
+ 
8
9
0 0
0
 b/ ; 
2 1
4 0
x z
x y
− − =⎧⎨− − + =⎩
3 2
3 3 6
x y
y z
+ − =⎧⎨ − − =⎩
 c/ 
1
1
1
x t
y t
z
= +⎧⎪ = − −⎨⎪ =⎩
; 
2 3
2 3
3
x t
y t
z t
= −⎧⎪ = − +⎨⎪ =⎩
. 
Bài 11: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: 
 (P): x + y – z + 5 = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + 3 = 0 
Bài 12: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: 
 d1: 2 – x = y – 3 = z; d2: 
1 2
2 2
1 2
x t
y t
z t
= −⎧⎪ = +⎨⎪ = − +⎩
. 
Bài 13: Tính khoảng cách giữa đường thẳng d song song với mp(P): 
 d: ; (P): y + 4z + 17 = 0 
2 3 6 10
5 0
x y z
x y z
+ + − =⎧⎨ + + + =⎩
0
0
0
Bài 14: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 d: ; d’: 
5 0
3 6 0
x y z
x y
− − − =⎧⎨ − + =⎩
2 5 0
4 2 5 4
y z
x y z
+ − =⎧⎨ − + − =⎩
Bài 15: Cho hai đ.thẳng d: và d’: 
2 3 2 0
3 2 0
x y
x z
− − =⎧⎨ + + =⎩
2 3 9
2 1 0
x y
y z
− + =⎧⎨ + + =⎩ . 
 a/ CMR: d // d’. Tính khoảng cách giữa d và d’. 
 b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’. 
 c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P). 
Bài 16: Cho ba điểm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) và C(2; 1; –2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0. 
 a/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. 
 b/ Tìm điểm N thuộc (P) sao cho NA + NC nhỏ nhất. 
Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình: 1 2
3 2 2
x y z+ − −= =−
2
0
. 
 a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 b/ Tìm điểm I trên d sao cho IA + IB nhỏ nhất. 
Bài 18: Cho hai đường thẳng d: ; d’: 
0
4 0
x y
x y z
+ =⎧⎨ − + + =⎩
3 1
2 0
x y
y z
+ − =⎧⎨ + − =⎩ . 
 a/ CMR: d và d’ chéo nhau. 
 b/ Tính khoảng cách giữa d và d’. 
 c/ Tìm p.trình của đ.thẳng qua I(2;3;1) và cắt cả hai đ.thẳng d và d’. 
Bài 19: Tìm góc tạo bởi đường thẳng: 3 1
2 1 1
x y z+ − −= = 2 với các trục tọa độ. 
Bài 20: Tìm góc tạo bởi các cặp đường thẳng sau: 
 a/ 
1 2
1
3 4
x t
y t
z t
= +⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩
; 
2
1 3
4 2
x t
y t
z t
= −⎧⎪ = − +⎨⎪ = +⎩
 b/ 1 2
3 1 4
x y z− + += = 2 0
0 0
0
; 
2 1
2 3 2 0
x y z
x z
+ − − =⎧⎨ + − =⎩
 c/ ; 
2 3 1
0
x y z
x y z
− + − =⎧⎨ + + =⎩
3 4
2 1
x y z
x y z
− + − =⎧⎨ − + + =⎩
Bài 21: Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện có các đỉnh: 
 A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) và D(3; 2; 6). 
Bài 22: Tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết: 
 a/ d: 2 1
4 1
3
2
x y z+ − −= = − ; (P): x + y – z + 2 = 0 
 b/ 
1 2
1 3
2
x t
y t
z t
= +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩
; (P): 2x – y + 2z – 1 = 0 
 c/ ; (P): 3x – y + z – 1 = 0 
2 3 1
2 0
x y z
x y z
− + − =⎧⎨ − − + =⎩
0
Bài 23: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M(1; –1; 2) trên mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 12 = 0. 
Bài 24: Tìm điểm đối xứng của điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0. 
Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt: 4
3
x t
y t
z t
=⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩
 và 
1 2
3
4 5
x t
y t
z t
= −⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩
. 
Bài 26: Tìm điểm đ.xứng của điểm M(2; –1; 1) qua đt: 
1 2
1
2
x t
y t
z t
= +⎧⎪ = − −⎨⎪ =⎩
. 
Bài 27: Viết ptđt đi qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: 1 2
3 1 1
x y z− += = và cắt đt: . 2 0
1 0
x y z
x
+ − + =⎧⎨ + =⎩
E/ HÌNH CHIẾU. 
Bài 1: Cho hai điểm M(1;1;1), N(3;–2; 5) và mp(P): x + y –2z –6 = 0. 
 a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P). 
 b/ Tìm hình chiếu vuông góc của M trên mp(P). 
 c/ Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng MN trên mp(P). 
Bài 2: Tìm p.trình hình chiếu vuông góc của đ.thẳng trên m.phẳng: 
 a/ d: 2 2
3 4 1
1x y z− + −= = ; (P): x + 2y + 3z + 4 = 0 
 b/ ; (P): x + 2y + z – 5 = 0 
2 3
3 3
x y
x z
− − =⎧⎨ − − =⎩
0
0
0
Bài 3: Cho điểm M(–1; –1; –1) và đ.thẳng d: 
2 1
1 0
x y z
x y z
+ − + =⎧⎨ − + − =⎩ . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của M trên d và trên mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Tính HK. 
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4). 
 a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của D trên mp(ABC). 
 b/ Tính thể tích của tứ diện. 
Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0). Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ của C trên đt: AB. 
Bài 6: Cho hai đường thẳng d: và d’: 4
6 2
x t
y
z t
=⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩
t 6 3
1
x h
y h
z h
=⎧⎪ = − +⎨⎪ = − +⎩
. 
 a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung của d và d’. 
 b/ Gọi K là hình chiếu của điểm I(1; –1; 1) trên d’. Tìm ptts của đt qua K, vgóc với d và cắt d’. 
Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – 6 = 0 cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C. 
 a/ Tìm tọa độ trực tâm, trong tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC. 
 b/ Tìm p.trình chính tắc của trục đường tròn (ABC). 
Bài 8: Cho hai đ.thẳng d1: 
8 23 0
4 10 0
x z
y z
− + =⎧⎨ − + =⎩ và d2: 
2 3 0
2 2
x z
y z 0
− − =⎧⎨ + + =⎩ . 
 a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với nhau và lần lượt qua d1, d2. 
 b/ Tính khoảng cách giữa d1 và d2. 
10
 c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt cả d1, d2. 
IV/ MẶT CẦU. 
A/ Phương trình của mặt cầu. 
Bài 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có phương trình: 
 a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + 1 = 0 
 b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – 4 = 0 
 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 
 d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + 8 = 0 
 e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – 2 = 0 
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S) biết: 
 a/ Có tâm I(2; 1; –2) và qua A(3; 2; –1). 
 b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7). 
 c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + 5 = 0. 
 d/ Qua ba điểm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên mpOxy. 
 e/ Qua hai điểm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) và tiếp xúc với các mặt phẳng (P): x = 3; (Q): y = 5. 
 f/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy. 
 g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1). 
 h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d: 1 2
2 1 3
x y z− −= =− . 
 i/ Có tâm nằm trên đt d: và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – 8 = 0; (Q): 2x – z + 5 = 0. 
2
0
x
y
= −⎧⎨ =⎩
 j/ Qua ba điểm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và có tâm nằm trên mpOyz. 
Bài 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0). 
 a/ CMR: ABCD là hình vuông và SA là đ/cao của h/chóp S.ABCD. 
 b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 
Bài 4: Cho hai đ.thẳng d: 
4
3
4
x t
y
z
t
= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
 và d’: 
2
1 2
x
y
z h
=⎧⎪ h= +⎨⎪ =⎩
. Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung 
của d và d’ làm đường kính. 
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua các đường tròn sau: 
 (C1): và (C
2 2 9
0
x y
z
⎧ + =⎨ =⎩ 2
): 
2 2 25
2
x y
z
⎧ + =⎨ =⎩
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ và đường tròn (C): 
2 2 2( 1) ( 2) ( 2) 49
2 2 4 0
x y z
x y z
⎧ − + − + + =⎨ + − − =⎩
Bài 7: Lập p.trình mc (S) đi qua M(1; 1; 1) và qua đtròn là giao tuyến của hai mc: (S1): x2 + y2 + z2 – 2x + 
2y – 4z – 3 = 0 và (S2): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 11 = 0 
B/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu. 
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa hai mặt cầu (S) và mp(P): 
 a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + 5 = 0; (P): x + 2y + z – 1 = 0 
 b/ (S): x2 + y2 + z2 –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + 1 = 0 
 c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – 4 = 0; (P): x + y + z – 10 = 0 
 d/ (S): x2 + y2 + z2 – x – 2z + 5 = 0; (P): 4x + 3y + m = 0 
 e/ (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 4; (P): 2x + y – z + m = 0 
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): 2x – 2y – z + 9 = 0 và mặt cầu (S): 
 (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 
 a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P). 
 b/ CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S). 
 c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến của (S) và (P). Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. 
Bài 3: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau: 
11
 0
0
 a/ 
2 2 2 6 2 2 10
2 2 1 0
x y z x y z
x y z
⎧ + + − + − + =⎨ + − + =⎩
 b/ 
2 2 2 12 4 6 24 0
2 2 1 0
x y z x y z
x y z
⎧ + + − + − + =⎨ + + + =⎩
Bài 4: Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu: 
 a/ x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + 5 = 0 tại điểm M(4; 3; 0) 
 b/ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c2)2 = R2 mà tiếp diện song song với mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0. 
Bài 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + 5 = 0 và mặt cầu (S): 
 x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = 0 
 Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). 
Bài 6: Cho hai điểm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5). 
 a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB. 
 b/ Viết phương trình các tiếp diện của mặt cầu mà chứa trục Ox. 
Bài 7: Lập p.trình tiếp diện của (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0: 
 a/ Tiếp diện đi qua điểm M(1; 1; 1). 
 b/ Tiếp diện đi qua đường thẳng d: 
2 1
1 0
x y
z
− − =⎧⎨ − =⎩ . 
 c/ Tiếp diện song song với đường thẳng d’: 1
1 4 3
x y z−= =− . 
 d/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d”: 
2 3
2 4 1 0
x y z
x y z
0− − − =⎧⎨ − + − =⎩ . 
C/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu. 
Bài 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu: 
 a/ (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4z + 1 = 0; d: 1 2
2 1 1
x y z− −= = − 
 b/ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 16; d: 
2 1
2 3 0
x y z
x z
0+ − − =⎧⎨ − − =⎩ 
 c/ (S): x2 + y2 + z2 –2x –4y + 2z – 2 = 0; d: 
2
3 3
x t
y t
z t
= − −⎧⎪ =⎨⎪ = −⎩
Bài 2: Cho mc(S): (x+2)2 + (y–1)2 + (z +5)2 = 49 và d: 
5 3
11 5
9 4
x t
y t
z t
= − +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩
. 
 a/ Tìm giao điểm của d và mặt cầu (S). 
 b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm trên. 
Bài 3: Cho mc(S): (x+2)2 + (y–1)2 + z2 = 26 và đ.thẳng d: 
1
1 3
4 5
x
y t
z t
=⎧⎪ = − −⎨⎪ = − +⎩
 a/ Tìm giao điểm A, B của d và mc(S). Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d. 
 b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A và B. 
Bài 4: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) và bán kính R = 3. 
 a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S). 
 b/ Lập p.trình tiếp tuến của (S) tại T biết tiếp tuyến đó: 
 i/ Có VTCP = (1; 2; 2). u
ur
 ii/ Vuông góc với mp(P): 3x – 2y + 3z – 2 = 0 
12
2 3 2 0
0
x y z
x y z
− + − =⎧⎨ + − =⎩ iii/ Song song với đường thẳng d: 
Bài 5: Viết pttt của m/cầu (S): x2 + y2 + z2 –2x –4y + 2z – 3 = 0 thỏa: ur
 a/ Qua A(–4; 3; 0) và có VTCP u = (4; 1; 1). 
 b/ Qua A(–2; 1; 3) và vuông góc với đ.thẳng d: 1
1 2 2
x y z−= = − 
13