Phương pháp về đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ

Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn
Đại học Khoa học Huế
**************
Phương pháp đặt ẩn phụ
trong giải phương trình vô tỷ
A. Lời nói đầu
 Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải 
phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta 
biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương 
pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình 
đơn giản và dễ giải quyết hơn .
Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này :
- Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ
- Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ
Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích 
hợp.
- Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm
* Nhận xét :
- Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn 
bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán .
- Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là :
+ PP Lượng giác hoá
+ PP dùng ẩn phụ không triệt để
+ PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
+ PP dùng ẩn phụ đưa về hệ
2B. Nội dung phương pháp
I. Phương pháp lượng giác hoá :
1. Nếu |x| a thì ta có thể đặt tax sin ,t 




2
;
2

hoặc  ;0,cos  ttax
Ví dụ 1 : Giải phương trình: )121(11 22 xxx 
Lời giải : ĐK :| 1|x Đặt 




2
;
2
,sin

ttx Phương trình đã cho trở thành :













2
cos
2
3
sin22sinsin
2
cos2)cos21(sincos1
tt
tt
t
ttt
































3
4
6
)12(
2
1
2
3
sin
0
2
cos
0)1
2
3
sin2(
2
cos 

kt
kt
t
t
tt
Kết hợ p với điều kiện của t suy ra :
6
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
2
1
6
sin 



 x
Ví dụ 2 : Giải phương trình:  
3
1
3
2
)1()1(11
2
332 xxxx

Lời giải : ĐK : 1|| x
Khi đó VP > 0 .
Nếu   0)1()1(:0;1 33  xxx
Nếu   0)1()1(:1;0 33  xxx .
Đặt tx cos , với 



2
;0

t ta có :
ttt
tttt
sin2sin
2
1
1cos62sin2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin62 33 



 


 











 








  
6
1
cos0sin21cos6  ttt
Vậy nghiệm của phương trình là
6
1x
Ví dụ 3 : Giải phương trình: 
x
x
x
x
xx
21
21
21
21
2121




Lời giải : ĐK :
2
1
|| x
Đặt  ;0,cos2  ttx
phương trình đã cho trở thành :
  0cos02sinsin
sin
4
sin12
2
cot
2
tan2
2
cos
2
sin 23
2











 








ttt
t
t
t
an
ttt
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 0x
3Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình: 233  xxx (1)
Hướng dẫn :
Nếu 2x : phương trình không xác định .
Chú ý với 2x ta có :   243 23  xxxxxxx
Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với  2;2x
Đặt  ;0,cos2  ttx
khi đó phương trình đã cho trở thành : 




2
cos3cos
t
t
2. Nếu ax || thì ta có thể đặt :
0,
2
;
2
,
sin




 tt
t
a
x

 hoặc  
2
;;0,
cos
  tt
t
a
x 
Ví dụ 5 : Giải phương trình: 1
1
1
1
2
2 





x
x
Lời giải : ĐK : 1|| x
Đặt 




2
;
2
,
sin
1 
t
t
x
Phương trình đã cho trở thành :
  0
sin
1
coscoscotcos1cot1
sin
1 2
2




 
t
ttanttant
t






  ktt
t
122
1
2sin
0cos
kết hợp với điều kiện của t suy ra
12
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :  132
12
sin
1 





 x
Tổng quát: Giải phương trình a
x
ax 





1
1
2
2
Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2
9
3
2



x
x
x
Lời giải : ĐK : 3|| x
Đặt  
2
,;0,
cos
3   tt
t
x , phương trình đã cho trở thành :
23
4
cos
3
4
12sin2sin22sin122
sin
1
cos
1 2 





 

xtttt
tt
(thoả mãn)
Tổng quát: Giải phương trình: b
ax
ax
x 


22
 với ba, là các hằng số cho trước
3. Đặt 




2
;
2
,tan

ttx để đưa về phương trình lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : Giải phương trình: 03333 23  xxx (1)
4Lời giải :
Do 
3
1x không là nghiệm của phương trình nên (1) 3
31
3
2
3



x
xx
(2)
Đặt 




2
;
2
,tan

ttx , Khi đó (2) trở thành :
39
33tan

ktt 
Suy ra (1) có 3 nghiệm : 












9
7
tan;
9
4
tan;
9
tan

xxx
Ví dụ 8 : Giải phương trình:   2
222
2
12
1
2
1
1
xx
x
x
x
x


Lời giải : ĐK : 1;0  xx
Đặt
4
;0,
2
;
2
,tan
 



 tttx , phương trình đã cho trở thành :
012cos2cos.sin20
2cos.sin2
1
sin2
1
1
cos
1
4sin
2
2sin
1
cos
1 



  ttt
ttttttt
   




















2
6
2
2
2
1
sin
1sin
0sin
0sin2sin1sin0sin2sin21sin2 222
kt
kt
t
t
t
tttttt
Kết hợp với điều kiện suy ra : 
6
t
Vậy phương trình có 1 nghiệm :
3
1
6
tan 



 x
4. Mặc định điều kiện : ax || . Sau khi tìm được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương 
trình và kết luận :
Ví dụ 9 : Giải phương trình: xx 2163 
Lời giải :
Phương trình đã cho tương đương với : 168 3  xx (1)
Đặt  ;0,cos  ttx , Lúc đó (1) trở thành :  Zkktt 
3
2
92
1
3cos

Suy ra (1) có tập nghiệm : 


 












9
7
cos;
9
5
cos;
9
cos

S
Vậy nghiệm của phương trình đã cho có tập nghiệm chính là S
II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương trình đã cho :
Đưa phương trình về dạng sau :         xxPxfxQxf .. 
khi đó : 
Đặt   0,  ttxf . Phương trình viết thành :     0.2  xPxQtt
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương trình   txf  sau khi đã đơn giản hóa 
và kết luận 
Ví dụ 10 : Giải phương trình 16924422 2  xxx (1)
Lời giải : ĐK : 2|| x
5Đặt  242 xt 
Lúc đó :(1)           xxxxxxxx 84216481692164216424 22222  Phương 
trình trở thành : 08164 22  xxtt
Giải phương trình trên với ẩn t , ta tìm được : 4
2
;
2 21
 xtxt
Do 2|| x nên 02 t không thỏa điều kiện 0t
Với 
2
x
t  thì :    
 

3
24
48
0
2
42 22
2 x
xx
xx
x ( thỏa mãn điều kiên 2|| x )
Ví dụ 11 :Giải phương trình 361122  xxx
Lời giải : ĐK : 1x
Đặt 01  xt ,phương trình đã cho trở thành :
x
t
ttxt
66
036122

* Với
x
t
t
66  , ta có :   66  tx (vô nghiệm vì : 0;0  VPVT )
* Với
x
t
t
66  , ta có : tx)6(6 
Do 6x không là nghiệm của phương trình nên : 
x
x
x
t




6
6
1
6
6
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : 3x (thỏa mãn)
Tổng quát: Giải phương trình: 22 2 baxbaxx 
Ví dụ 12 : Giải phương trình:    128311123 22  xxxx
Lời giải :
Đặt 112 2  tx 
Phương trình đã cho viết thành :
      03383831313 2222  xxtxtxtxtxt
Từ đó ta tìm được 
3
x
t  hoặc xt 31
Giải ra được : 0x
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể
là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ thì không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . 
Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải 
quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
Ví dụ 13 : Giải phương trình: 342007342008 2  xxxx
Lời giải : ĐK : 
4
3x
Đặt 034  tx phương trình đã cho trở thành : 020072008 22  txtx
Giải ra : tx  hoặc 
2008
t
x  (loại)
* tx  ta có : 



3
1
0342
x
x
xx
Vậy 3,1  xx là các nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 14 : Giải phương trình:   122114 33  xxxx
6Lời giải : ĐK : 1x
Đặt 13  xt ,Phương trình đã cho trở thành       012142141212 22  xtxttxxt
Phương trình trên đã khá đơn giản !!!!!!! 
III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : Giải phương trình: 
4
9
2
32  xx (1)
Lời giải : ĐK :
2
3x
Đặt 0
2
3  tx phương trình (1) trở thành :
   






 
2013
0
013
4
9
2
3
3
3
2
2
tt
t
ttttt
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt  ;0,cos2  ttx để đưa về dạng :
2
1
3cos t
Tổng quát: Giải phương trình: 22 aaxx  với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 :Giải phương trình:    16223 323 xxxx 
Lời giải : ĐK : 2x
Viết lại (1) dưới dạng :      202223 33  xxxx
Đặt 02  xt , Khi đó (2) trở thành :
   










22
2
2
02023 2323
xx
xx
tx
tx
txtxtxtx





















322
2
084
0
02
0
2
2
x
x
xx
x
xx
x
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm : 322,2  xx
Ví dụ 17 : Giải phương trình : 015  xx
Lời giải : ĐK :  6;1x (1)
Đặt 01  xt (2) , phương trình đã cho trở thành :
552  tt (3)    05402010 2224  ttttttt
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
2
1711x
Ví dụ 18 : Giải phương trình:   2112006   xxx
Lời giải : ĐK :  1;0x (1)
Đặt 101  txt , Khi đó :  222 1,1 txtx  ,phương trình đã cho trở thành :
                010031212007111120061 222222222  tttttttttt
Vì 10  t nên 010032  tt
Do đó phương trình tương đương với : 101  tt
Do vậy 0x (thỏa (1))
72. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 19 : Giải phương trình: 3912154 22  xxxxx
Lời giải :
Đặt 12;154 22  xxbxxa
   0139 2222  babababaxba

































65
56
0
3
1
292
39
3
1
01
0
x
x
x
xa
xba
x
ba
ba
Vậy tập nghiệm của pt là 




65
56
;0;
3
1
S
Ví dụ 20 : Giải phương trình:   83232 32  xxx (1)
Lời giải : ĐK : 



2
12
x
x
(*) 
Đặt 2,422  xvxxu ta có : 2322  xxvu
Lúc đó (1) trở thành :      vuvuvuuvvu 202232 22  (Do 02  vu )
Tìm x ta giải : 1330462242 22  xxxxxx (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm : 1332,1 x
Ví dụ 21 : Giải phương trình: 15209145 22  xxxxx
Lời giải : ĐK : 5x
Chuyển vế rồi bình phương hai vế phương trình mới ,ta có:
              045454354215410524951 222  xxxxxxxxxxxxx (2)
Đặt 0,,4,542  vuxvxxu ,thì :
(2)   










056254
095
32
0320532
2
2
22
xx
xx
vu
vu
vuvuuvvu
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn : 8;
2
615
21 
 xx
Ví dụ 22 : Giải phương trình:      4 24 34 34 2 1111 xxxxxxxx 
Lời giải : ĐK : 10  x
Đặt :












1
0
0
1 44
4
4
vu
v
u
xv
xu
Từ phương trình ta được :
    



1
0
01232322
vu
vu
vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0 vu )
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
2
1
;1;0  xxx
3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 : Giải phương trình: 218817 3 23 23  xxxxx
8Lời giải :
Đặt 3 23 23 18,8,17  xxcxxbxa ta có :
   
       



2818817
182
22333
3
xxxxxcba
cbacba
Từ (1) và (2) ta có :         033333  accbbacbacba
Nên :    









ac
cb
ba
accbba 0
từ đó dễ dàng tìm ra 4 nghiệm của phương trình :  9;1;0;1S
Ví dụ 24 : Giải phương trình: 03492513 3333  xxxx (1)
Lời giải :
Đặt 333 92,5,13  xcxbxa ,ta có: 34333  xcba
khi đó từ (1) ta có :       03333  accbbacbacba
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương trình :
5
8
;4;3  xxx
IV. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 : Giải phương trình: 552  xx
Lời giải : ĐK : 5x
Đặt 0,5  txt Ta có : 52  tx
  






















































2
211
2
211
1
5
0
5
01
5
0
5
5
5
2
2
2
22
2
2
2
x
x
tx
tx
tx
tx
txtx
tx
xttx
tx
xt
tx
Tổng quát: Giải phương trình: aaxx 2
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* Nội Dung :     cxfbxfa nm 
* Cách giải :
Đặt :    nm xfbvxfau  ,
Như vậy ta có hệ :





bavu
cvu
nm
Ví dụ 26 : Giải phương trình: 54057 44  xx (1)
Lời giải : ĐK : 5740  x
Đặt 44 40,,57  xvxu
Khi đó :(1)     












0528102
5
9722
5
97
5
2222244 uvuv
vu
vuuvvu
vu
vu
vu
9





























2
3
3
2
6
5
44
6
5
v
u
v
u
uv
vu
uv
uv
vu
 (Do hệ





44
5
uv
vu
vô nghiệm)
Đến đây chỉ việc thay vào để tìm nghiệm của phương trình ban đầu .
Ví dụ 27 : Giải phương trình: 
4
4
2
1
12  xx
Lời giải : ĐK : 120  x
Đặt :





vx
ux
4
12 với 





4 120
120
v
u (*)
Như vậy ta được hệ :














 




)1(12
2
1
2
1
12
2
1
4
2
4
4
42
4
vv
vu
vu
vu
Giải (1) :(1)    0
2
3
2
4
1
0
2
1
10
2
1
1 2,1
4
2,14
2
2
4
22 





  vvvvvv
Vậy 2,1v thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương trình đã cho .
Ví dụ 28 : Giải phương trình:  22 11
4
7
xxx 
Lời giải :
Đặt :  
















(*)1
4
7
1
1
1
4
7
1
4
7
1
1
0
4444 yyy
zy
yxzy
zy
xz
xy
Giải phương trình (*),ta có:
















 
16
9
0
4
3
0
0
4
3
4
2
x
x
y
y
yy
2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 : Giải phương trình: nn baxabx 
Cách giải: Đặt n baxt  ta có hệ :





axbt
atbx
n
n
 Việc giải hệ này đã trở nên dễ dàng
Ví dụ 29 : Giải phương trình: 33 1221  xx
Lời giải :
Đặt : 3 12  xt ta có hệ :     














02
21
2
21
21
21
22
3
33
3
3
3
txtxtx
tx
xttx
tx
xt
tx
 
 
  
  











 













2
51
1
04
011
2
02
21
1
012
2
222
2
22
3
3
x
x
txxt
xxx
txtx
tx
xx
tx
10
Vậy tập nghiệm của phương trình là : 


 
2
51
;1S
Dạng 2 : Giải phương trình: xaax 
Cách giải : Đặt xat  ,phương trình đã cho tương đương với 





xat
tax
Ví dụ 30 : Giải phương trình: xx  20072007
Lời giải : ĐK : 0x
Đặt : xt  2007 (1), PT 
Lấy (3) trừ (2) ta được :    txxtxtxttx  01
(1)
4
802928030
02007
 xxx (Do 0x ) 
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 : Giải phương trình: 12222  xxx
Lời giải : ĐK : 
2
1x
Đặt bayx 12
Chọn a, b để hệ :   



12
22
2
2
xbay
bayxx 



  1,
2
1
yx (*) là hệ đối xứng .
Lấy 1,1  ba ta được hệ :   
 










0
122
122
122
22
2
2
2
yx
yxx
xyy
yxx
Giải hệ trên ta được : 22  yx
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương trình là : 22 x
Dạng 4 :
Nội dung phương pháp : 
Cho phương trình :     xedxcbax nn
với các hệ số thỏa mãn :







bce
acd
Cách giải : 
Đặt n baxedy 
Ví dụ 32 : Giải phương trình: 77
28
94 2  xx
Lời giải : ĐK : 
4
9x
PT 
4
7
2
1
7
28
94
2




  xx
- Kiểm tra :
4
7
,0,
2
1
,1,7,
28
9
,
7
1  edcba (thoả mãn) 
Đặt : yyxxyyxyyxy 77
2
1
4
9
4
7
77
28
94
4
1
28
94
2
1 222  (1)
11
Mặt khác : xxy 77
2
1 2  (2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ :







xxy
yyx
77
2
1
77
2
1
2
2
Đây là hệ đối xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : Giải phương trình: 3,3362  xxxx
Lời giải : 
PT   363 2  xx
- Kiểm tra : 6,0,3,1,1,3,1  edcba
Đặt : 36339633 22  yyxxyyxy (1)
Mặt khác : 363 2  xxy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :





363
363
2
2
xxy
yyx Đến đây đã khá dễ dàng
Ví dụ 34 : Giải phương trình: 255336853 233  xxxx
Lời giải :
PT     232532272.9.33.4.3253 33233  xxxxxxxx
- Kiểm tra : 2,1,3,2,1,5,3  edcba (thoả mãn) 
Đặt : 3325533685327543685332 23233  yxyyyxyyyxy (1)
Mặt khác : 322553368 23  yxxx (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :





322553368
332553368
23
23
yxxx
yxyyy
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! 
 Huế , ngày 15 tháng 4 năm 2007