Phương pháp toạ độ trong không gian - THPT Yên Mô

Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 1 
1. Định nghĩa và các phép toán 
 • Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn 
tương tự như trong mặt phẳng. 
 • Lưu ý: 
 + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC+ =
  
 + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC+ =
  
 + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, ta có: AB AD AA AC' '+ + =
   
 + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. 
 Ta có: 0IA IB+ =
  
; 2OA OB OI+ =
  
 + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. 
 Ta có: 0 3GA GB GC OA OB OC OG;+ + = + + =
      
 + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. 
 Ta có: 0 4GA GB GC GD OA OB OC OD OG;+ + + = + + + =
        
 + Điều kiện hai vectơ cùng phương: 0a và b cùng phương a k R b ka( ) ! :≠ ⇔ ∃ ∈ =
    
 + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý. 
 Ta có: 
1
OA kOBMA kMB OM
k
; −= =
−
   
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ 
 • Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt 
phẳng. 
 • Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a b c, ,
  , trong đó a và b
 không cùng 
phương. Khi đó: a b c, ,
  đồng phẳng ⇔ ∃! m, n ∈ R: c ma nb= +
  
 • Cho ba vectơ a b c, ,
  không đồng phẳng, x tuỳ ý. 
 Khi đó: ∃! m, n, p ∈ R: x ma nb pc= + +
   
3. Tích vô hướng của hai vectơ 
 • Góc giữa hai vectơ trong không gian: 
  0 00 180AB u AC v u v BAC BAC, ( , ) ( )= = ⇒ = ≤ ≤
     
 • Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: 
 + Cho 0u v, ≠
  . Khi đó: u v u v u v. . .cos( , )=      
 + Với 0 0u hoặc v= =
   . Qui ước: 0u v. =  
 + 0u v u v.⊥ ⇔ =    
 + 2u u=  
CHƯƠNG III 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 2 
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian: 
 Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi 
i j k, ,
  
 là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là hệ 
tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz. 
 Chú ý
2 2 2
1i j k= = =
  
: và 0i j i k k j. . .= = =
     
. 
2. Tọa độ của vectơ: 
 a) Định nghĩa: ( )u x y z u xi y j zk; ;= ⇔ = + +
    
 b) Tính chất: Cho 1 2 3 1 2 3a a a a b b b b k R( ; ; ), ( ; ; ),= = ∈
 
 • 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b( ; ; )± = ± ± ±
 
 • 1 2 3ka ka ka ka( ; ; )=
 
 • 
1 1
2 2
3 3
a b
a b a b
a b
 =
= ⇔ =
 =
 
 • 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1i j k( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )= = = =
  
 • a

 cùng phương 0b b( )≠
 
 ⇔ a kb k R( )= ∈
 
1 1
31 2
2 2 1 2 3
1 2 3
3 3
0
a kb aa a
a kb b b b
b b ba kb
, ( , , )
 =
⇔ = ⇔ = = ≠
 =
 • 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b. . . .= + +
 • 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b⊥ ⇔ + + =
 
 • 2 2 2 21 2 3a a a a= + +
 • 2 2 21 2 2a a a a= + +
 
 • 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
a b a b a ba ba b
a b a a a b b b
.cos( , )
. .
+ +
= =
+ + + +

 (với 0a b, ≠
 ) 
3. Tọa độ của điểm: 
 a) Định nghĩa: M x y z OM x y z( ; ; ) ( ; ; )⇔ =

 (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) 
 Chú ý: • M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0; M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0; M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0 
 • M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 
 b) Tính chất: Cho A A A B B BA x y z B x y z( ; ; ), ( ; ; ) 
 • B A B A B AAB x x y y z z( ; ; )= − − −

 • 2 2 2B A B A B AAB x x y y z z( ) ( ) ( )= − + − + − 
 • Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): 
1 1 1
A B A B A Bx kx y ky z kzM
k k k
; ;
 − − −
 
− − − 
 • Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: 
2 2 2
A B A B A Bx x y y z zM ; ;
 + + +
 
 
 • Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: 
3 3 3
A B C A B C A B Cx x x y y y z z zG ; ;
 + + + + + +
 
 
II. HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 3 
 • Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: 
4 4 4
A B C D A B C D A B C Cx x x x y y y y z z z zG ; ;
 + + + + + + + + +
 
 
4. Tích có hướng của hai vectơ: (Chương trình nâng cao) 
 a) Định nghĩa: Cho 1 2 3a a a a( , , )=

, 1 2 3b b b b( , , )=

. 
[ ] ( )2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b a b a b a b a b a b a b a b
b b b b b b
, ; ; ; ;
 
= ∧ =   = − − −
 
 
   
 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. 
 b) Tính chất: 
 • [ ]i j k j k i k i j, ; , ; ,   = = =   
       
 • a b a a b b[ , ] ; [ , ]⊥ ⊥
     
 • ( )a b a b a b[ , ] . .sin ,=
     • a b,
 
 cùng phương 0a b[ , ]⇔ =
  
 c) Ứng dụng của tích có hướng: 
 • Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a b,
 
 và c

 đồng phẳng ⇔ 0a b c[ , ]. =
  
 • Diện tích hình bình hành ABCD: ABCDS AB AD, =  
 
 • Diện tích tam giác ABC: 1
2ABC
S AB AC,∆  =  
 
 • Thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′: ABCD A B C DV AB AD AA. ' ' ' ' [ , ]. '=
  
 • Thể tích tứ diện ABCD: 1
6ABCD
V AB AC AD[ , ].=
  
 Chú ý: 
 – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, 
tính góc giữa hai đường thẳng. 
 – Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích 
khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng 
minh các vectơ cùng phương. 
 [ ]
[ ]
0
0
0
a b a b
a và b cùng phương a b
a b c đồng phẳng a b c
.
,
, , , .
⊥ ⇔ =
⇔ =
⇔ =
  
  
    
5. Phương trình mặt cầu: 
 • Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: 
 2 2 2 2x a y b z c R( ) ( ) ( )− + − + − = 
 • Phương trình 2 2 2 2 2 2 0x y z ax by cz d+ + + + + + = với 2 2 2 0a b c d+ + − > là phương trình 
mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = 2 2 2a b c d+ + − . 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 4 
VẤN ĐỀ 1: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. 
Diện tích – Thể tích. 
 – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. 
 – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. 
 – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. 
 – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: 
 • A, B, C thẳng hàng ⇔ AB AC,
 
 cùng phương ⇔ AB k AC=
 
 ⇔ 0AB AC,  = 
  
 • ABCD là hình bình hành ⇔ AB DC=
 
 • Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ∆ABC 
trên BC. Ta có: ABEB EC
AC
.= −
 
, ABFB FC
AC
.=
 
 • A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB AC AD, ,
  
 không đồng phẳng ⇔ 0AB AC AD, .  ≠ 
  
Bài 1. Cho điểm M. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M: 
 • Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz • Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz 
 a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; )− c) 1 1 3M( ; ; )− − d) 1 2 1M( ; ; )− 
 e) 2 5 7M( ; ; )− f) 22 15 7M( ; ; )− g) 11 9 10M( ; ; )− h) 3 6 7M( ; ; ) 
Bài 2. Cho điểm M. Tìm tọa độ của điểm M′ đối xứng với điểm M: 
 • Qua gốc toạ độ • Qua mp(Oxy) • Qua trục Oy 
 a) 1 2 3M( ; ; ) b) 3 1 2M( ; ; )− c) 1 1 3M( ; ; )− − d) 1 2 1M( ; ; )− 
 e) 2 5 7M( ; ; )− f) 22 15 7M( ; ; )− g) 11 9 10M( ; ; )− h) 3 6 7M( ; ; ) 
Bài 3. Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau: 
 a) 1 3 1 0 1 2 0 0 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ) b) 1 1 1 4 3 1 9 5 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
 c) 10 9 12 20 3 4 50 3 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 1 5 1 0 5 7 8 2 2 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − 
Bài 4. Cho ba điểm A, B, C. 
 • Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. 
 • Tìm toạ độ trọng tâm G của ∆ABC. 
 • Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. 
 • Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của 
 ∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó. 
 • Tính số đo các góc trong ∆ABC. 
 • Tính diện tích ∆ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC. 
 a) 1 2 3 0 3 7 1 25 0A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− b) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− 
 c) 3 4 7 5 3 2 1 2 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 4 2 3 2 1 1 3 8 7A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
 e) 3 1 2 1 2 1 1 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − f) 4 1 4 0 7 4 3 1 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
 g) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 0 1 2 1 1A B C; ; , ; ; , ; ; h) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
Bài 5. Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách đều hai điểm: 
a) 3 1 0A( ; ; ) , 2 4 1B( ; ; )− b) 1 2 1 11 0 7A B( ; ; ), ( ; ; )− c) 4 1 4 0 7 4A B( ; ; ), ( ; ; )− 
d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − 
Bài 6. Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách đều ba điểm: 
a) 1 1 1 1 1 0 3 1 1A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − b) 3 2 4 0 0 7 5 3 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
c) 3 1 2 1 2 1 1 1 3A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − d) 0 13 21 11 23 17 1 0 19A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 5 
e) 1 0 2 2 1 1 1 3 2A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 1 2 6 2 5 1 1 8 4A B C( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − 
Bài 7. Cho hai điểm A, B. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) tại điểm M. 
 • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? • Tìm tọa độ điểm M. 
a) ( ) ( )2 1 7 4 5 2A B; ; , ; ;− − b) 4 3 2 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − c) 10 9 12 20 3 4A B( ; ; ), ( ; ; )− 
d) 3 1 2 1 2 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − e) 3 4 7 5 3 2A B( ; ; ), ( ; ; )− − − f) 4 2 3 2 1 1A B( ; ; ), ( ; ; )− − 
Bài 8. Cho bốn điểm A, B, C, D. 
 • Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện. 
 • Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD. 
 • Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD. 
 • Tính thể tích của khối tứ diện ABCD. 
 • Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. 
a) 2 5 3 1 0 0 3 0 2 3 1 2A B C D( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )− − − − b) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ; , ; ;− − 
c) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0 0 2 1 1 0 2 1 1 1A B C D; ; , ; ; , ; ... 4; 0; 4). 
 a) Tìm toạ độ các đỉnh A′, C′. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt 
phẳng (BCC′B′). 
 b) Gọi M là trung điểm của A′B′. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và 
song song với BC′. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A′C′ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. 
 ĐS: 2 2 2 5763
25
x y z( )+ + + = a) A′ (0; –3; 4), C′ (0; 3; 4); (S): 
 b) (P): 4 2 12 0x y z+ − + = ; MN = 17
2
Bài 19
1 2
1 2 1 2 0
3 12 03 1 2
x y z x y zd và d
x y
: :− + +  + − − == =  + − =− 
: (D–2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng 
 a) Chứng minh rằng d1 và d2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả 
hai đường thẳng d1 và d2. 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 36 
 b) Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện 
tích tam giác OAB (O là gốc toạ độ). 
 ĐS 15 11 17 10 0x y z+ − − =: a) (P): b) S∆OAB = 5 
Bài 20
1
6
cosα =
: (A–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ 
với A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A′(0; 0; 1). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, 
CD. 
 a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A′C và MN. 
 b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A′C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α, biết 
. 
 ĐS 1
2 2
: a) d(A′C, MN) = b) (Q1): 2 1 0x y z− + − = , (Q2): 2 1 0x y z− − + = 
Bài 21: (A–2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O′, bán kính đáy bằng 
chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O′ 
lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO′AB. 
 ĐS
33
12
a: V = . 
Bài 22
1 2
11 1 1 2
2 1 1 2
x tx y zd và d y t
z t
: :
 = +− +
= = = − −
−  = +
: (B–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường 
thẳng: 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2. 
 b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng. 
 ĐS 3 5 3 0x y z+ + − =: a) (P): b) M(0; 1; –1), N(0; 1; 1). 
Bài 23
2a
: (B–2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 
, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc 
với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. 
 ĐS
3 2
36
a: VAINB = . 
Bài 24
1 2
2 2 1 1 1 1
2 1 1 1 2 1
x y z x y zd và d: :− + − − − += = = =
− −
: (D–2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường 
thẳng: 
 a) Tìm toạ độ điểm A′ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1. 
 b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. 
 ĐS 1 2 3
1 3 5
x y z− − −
= =
− −
: a) A′ (–1; –4; 1) b) ∆: 
Bài 25: (D–2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a 
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A 
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 37 
 ĐS
33 3
50
a: V = . 
Bài 26
1 2
1 21 2 1
2 1 1 3
x tx y zd và d y t
z
: :
 = − +− +
= = = +
−  =
: (A–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: 
 a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau. 
 b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7 4 0x y z+ − = và cắt hai 
đường thẳng d1, d2. 
 ĐS 2 1
7 1 4
x y z− +
= =
−
: b) d: . 
Bài 27: (A–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm 
của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ 
diện CMNP. 
 ĐS
33
96
a: VCMNP = . 
Bài 28
2 2 2 2 4 2 3 0x y z x y z+ + − + + − =
: (B–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có 
phương trình: (S): , (P): 2 2 14 0x y z− + − = . 
 a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán 
kính bằng 3. 
 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn 
nhất. 
 ĐS 2 0y z− =: a) (Q): b) 1 1 3M( ; ; )− − − . 
Bài 29: (B–2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là 
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của 
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng 
MN và AC. 
 ĐS 2
4
a: d(MN, AC) = . 
Bài 30
1 2
1 1 2
x y z− +
= =
−
: (D–2007) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(–1; 2; 4) và 
đường thẳng ∆: . 
 a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với 
mặt phẳng (OAB). 
 b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho 2 2MA MB+ nhỏ nhất. 
 ĐS 2 2
2 1 1
x y z− −
= =
−
: a) d: b) M(–1; 0; 4). 
Bài 31   090ABC BAD= =: (D–2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, , BA = BC = 
a, AD = 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc 
của A trên SB. Chứng minh ∆SCD vuông và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mặt phẳng 
(SCD). 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 38 
 ĐS
3
a: d(H, (SCD)) = . 
Bài 32
1 2
2 1 2
x y zd : − −= =
: (A–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng 
 a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 
 b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. 
 ĐS 4 3 0x y z− + − =: a) H(3; 1; 4) b) (P): 
Bài 33
3a
: (A–2008) Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác 
vuông tại A, AB = a, AC = và hình chiếu vuông góc của đỉnh A′ trên mặt phẳng 
(ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A′.ABC và tính cosin của 
góc giữa hai đường thẳng AA′, B′C′. 
 ĐS
3
2
a: V = 1
4
cosϕ = 
Bài 34
2 2 3 0x y z+ + − =
: (B–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), 
C(–2; 0; 1). 
 a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C. 
 b) Tìm toạ độ của điểm M thuộc mặt phẳng sao cho MA = MB = MC. 
 ĐS 2 4 6 0x y z+ − + =: a) b) M(2; 3; –7). 
Bài 35
3a
: (B–2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 
 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc 
giữa hai đường thẳng SM, DN. 
 ĐS
3 3
3
a: V = ; 5
5
cosϕ = . 
Bài 36: (D–2008) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), 
C(0; 3; 3), D(3; 3; 3). 
 a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. 
 b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 ĐS 2 2 2 3 3 3 0x y z x y z+ + − − − =: a) b) H(2; 2; 2). 
Bài 37
2a
: (D–2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, 
cạnh bên AA′ = . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng 
trụ ABC.A′B′C′ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B′C. 
 ĐS 32
2
a: V = ; d = 7
7
a . 
Bài 38
060
: (A–2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = 
AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng . Gọi I là trung điểm 
của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), 
tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
 ĐS
33 15
5
a: V = . 
Đinh Xuân Thạch - THPT Yên Mô B PP Toạ độ trong không gian 
Trang 39 
Bài 39 2 2 4 0x y z− − − =: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 
và mặt cầu (S): 2 2 2 2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − = . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt 
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó. 
 ĐS: H(3; 0; 2), r = 4. 
Bài 40 2 2 1 0x y z− + − =: (A–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 
va hai đường thẳng 1 2
1 9 1 3 1
1 1 6 2 1 2
x y z x y z: , :∆ ∆+ + − − += = = =
−
. Xác định toạ độ điểm M 
thuộc đường thẳng ∆1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ∆2 và khoảng cách từ M 
đến mặt phẳng (P) bằng nhau. 
 ĐS 18 53 3
35 35 35
M ; ;
 
 
 
: . 
Bài 41
060
: (B–2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có BB′ = a, góc giữa đường thẳng BB′ 
và mặt phẳng (ABC) bằng ; tam giác ABC vuông tại C và  060BAC = . Hình chiếu 
vuông góc của điểm B′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính 
thể tích khối tứ diện A′.ABC theo a. 
 ĐS
39
208
a: V = . 
Bài 42: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1; 2; 
1), B(–2; 1; 3), C(2; –1; 1) và D(0; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao 
cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P). 
 ĐS 4 2 7 15 0x y z+ + − =: (P): hoặc (P): 2 3 5 0x z+ − = . 
Bài 43 2 2 5 0x y z− + − =: (B–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 
và hai điểm A(–3; 0; 1), B(1; –1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), 
hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất. 
 ĐS 3 1
26 11 2
x y z+ −
= =
−
: ∆: . 
Bài 44: (D–2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB 
= a, AA′ = 2a, A′C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A′C′, I là giao điểm của AM 
và A′C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 
(IBC). ĐS
34
9
a: V = , d = 2 5
5
a . 
Bài 45
20 0x y z+ + − =
: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; 0), B(1; 2; 2), 
C(1; 1; 0) và mặt phẳng (P): . Xác định toạ độ điểm D thuộc đường thẳng 
AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P). ĐS 5 1 1
2 2
D ; ;
 
− 
 
: . 
Bài 46 2 2
1 1 1
x y z:∆ + −= =
−
: (D–2009) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng 
và mặt phẳng (P): 2 3 4 0x y z+ − + = . Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao 
cho d cắt và vuông góc với đường thẳng ∆. 
 ĐS
3
1 2
1
x t
y t
z t
 = − +
= −
 = −
: d: .