Phương pháp toạ độ trong không gian

Phần 2 :PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Tọa độ điểm và véctơ :
† Tọađộ điểm : 	
† Tọa độ véctơ : 
† CÔNG THỨC :
 ta có :
Toạ độ véc tơ : 
Tổng – Hiệu hai véc tơ : 
Nhân một số với một véc tơ : 
Điều kiện hai véc tơ bằng nhau : 
Điều kiện hai véc tơ cùng phương : 
Điều kiện ba điểm thẳng hàng : A , B , C thẳng hàng 
Chia đoạn thẳng theo tỉ số k cho trước . ( k 1 ) 
 ĐN : Điểm M gọi là chia đoạn AB theo tỉ số k 
 Khi đó 
Toạ độ trung điểm I của đoạn AB : 
Toạ độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua điểm I : 
 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC : 
Toạ độ trọng tâm K của tứ diện ABCD : 
 Tích vô hướng của hai véc tơ : 
 Độ dài véc tơ :
Độ dài đoạn thẳng ( Khoảng cách giữa hai điểm AB ) : 
 Góc giữa hai véc tơ : 
 Gọi 
Lưu ý : Góc giữa hai véc tơ thường dùng để tính số đo góc tam giác .
 Điều kiện hai véc tơ vuông góc : 
Công thức về tích có hướng và tích hỗn tạp
1/ đồng phẳng 
2/ không đồng phẳng 
3/ A,B,C,D đồng phẳng
4/ ABCD là tứ diện
5/ Diện tích tam giác ABC : 
6/ Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’: 
7/ Thể tích tứ diện ABCD : 
Chú ý:
† Một số điểm đặc biệt :
i. M Ox M( x;0;0 ) , M Oy M( 0;y;0 ) , M Oz M( 0;0;z )
ii.M OxyM( x;y;0 ), M Oxz M( x;0;z ), M Oyz M( 0;y;z)
 II. Mặt phẳng :
Định lý : Mpqua điểm và nhận làm VTPT 
có phương trình tổng quát là : 
 Chú y : MpOxy có phương trình : z = 0 có VTPT 
 MpOxz có phương trình : y = 0 có VTPT 
 MpOyz có phương trình : x = 0 có VTPT 
Định lý :mặt phẳng chắn các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại với có pttq là : 
 III. Đường thẳng : 
Định lý:Đường thẳng d đi qua điểm Mvà nhận làm VTCP có phương trình tham số là : t R
 và phương trình chính tắc là : ()
Chú ý :
Trục Ox có phương trình có VTCP , Trục Oy có phương trình có VTCP , Trục Oz có phương trình có VTCP 
 IV. Vị trí tương đối của đường thẳng - mặt phẳng :
1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng 
TH1 : cắt 
TH2 : song song 
TH3 : 
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho hai đường thẳng có VTCP và qua điểm A 
 đường thẳng có VTCP và qua điểm B
TH1 : cắt 
TH2 : song song không cùng phương 
TH3 : 
TH4 : , 	chéo nhau 
Chú y : , đồng phẳng 
3. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cách 1 :
Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A 
 Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT 
TH1 : d cắt () Û ¹ 0 () 
TH2 : d // () Û 
TH3 : d Ì () Û 
Cách 2 : Tìm giao điểm và đưa ra kết luận
Chú y : d ^ () Û a1 : a2 : a3 = A : B : C
 V. Khoảng cách :
1. Khoảng cách từ một điểm M đến mp()
Cho điểm M mp() : Ax + By + Cz + D = 0
 Ta có : 
Chú ý : , , 
Các dạng khoảng cách khác :
i. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và 
Phương pháp : Lấy 1 điểm M mp 
ii. Khoảng cách giữa đường thẳng song song mặt phẳng 
Phương pháp : Lấy 1 điểm M đường thẳng 
2. Khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng 
Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt 
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đt 
B2: H = 	
B3: 
Công thức : có véctơ và đi qua điểm A 
Chú y : Để tính khoảng cách từ điểm M đến trục Ox , Oy , Oz ta tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên trục tương ứng và tính MH
Hệ quả : Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song và 
 có véctơ và đi qua điểm A
 có véctơ và đi qua điểm B 
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và 
 có véctơ và đi qua điểm A
 có véctơ và đi qua điểm B 
Phương pháp : 
 Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và song song d2 .
Công thức : 
 VI. Góc :
1. Góc giữa hai mặt phẳng va 
Gọi 
Hệ quả : 
2. Góc giữa hai đường thẳng và :
Gọi 
Hệ quả : 
Chú ý : Trong tam giác ABC ta có : 
3. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng 
Gọi 
Hệ quả : 
 VII. Mặt cầu :
ĐL1 : Mặt cầu ( S ) có tâm I( a ; b ;c ) và bán kính R có phương trình :
ĐL2 :Mọi phương trình có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0 đk: a2 + b2 + c2 – d > 0 đều là phương trình mặt cầu tâm I( a ; b ; c ) và bán kính 
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu ( S ) :
TH1 : cắt ( S ) 
TH2 : không cắt ( S ) 
TH3 : tiếp xúc ( S ) 
Thường hợp này gọi là tiếp diện 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
VẤN ĐỀ 1 : Lập phương trình mặt phẳng 
Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ pháp tuyến ( hoặc một cặp VTCP ) .
VẤN ĐỀ 2 : Lập phương trình mặt đường thẳng 
Phương pháp : Tìm một điểm và một véctơ chỉ phương ( hoặc một cặp VTPT ) .
VẤN ĐỀ 3 : Hình chiếu – Đối xứng .
Dạng 1 : Hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng 
Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mp
B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp
B2: H = d 
Chú y : Điểm M’ đối xứng với điểm M qua mp
M’ cũng đối xứng với điểm M qua điểm H
Dạng 2 : Hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng d
Phương pháp : Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đt d
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đt d
B2: H = d 
Đặc biệt : Cho điểm M( x;y; z ) ta có :
+ Hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox có tọa độ là ( x;0;0 ) 
 ---------------------------------------M trên trục Oy có tọa độ là ( 0;y;0 )
 ---------------------------------------M trên trục Oz có tọa độ là ( 0;0;z )
+Hình chiếu vuông góc của điểm M trên Mp(Oxy) có tọa độ là (x;y;0 )
 ---------------------------------------M trên Mp(Oxz) có tọa độ là (x;0;z )
 --------------------------------------M trên Mp(Oyz) có tọa độ là (0;y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua trục Ox có tọa độ là M’( x;-y;-z ) 
 -----------------------------------M qua trục Oy có tọa độ là M’( -x;y;-z )
 -----------------------------------M qua trục Oz có tọa độ là M’( -x;-y;z )
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua Mp(Oxy) có tọa độ là M’(x;y;-z)
--------------------------------------M qua Mp(Oxz) có tọa độ là M’(x;-y;z) 
 ------------------------------------- M qua Mp(Oyz) có tọa độ là M’(-x;y;z) 
+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua gốc O có tọa độ là M’( -x;-y;-z ) 
Dạng 3 : Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d xuống mặt phẳng 
Phương pháp : Gọi d’ là hình chiếu vuông góc của đtd xuống mp
B1: Tìm giao điểm I của đt d và mp
B2 : Lấy 1 điểm A đường thẳng d và tìm hình chiếu H của A trên mp
KL : Đt d’ qua hai điểm I và A .
Đặt biệt : Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d : 
trên mặt phẳng tọa độ Oxy có pt là : 
trên mặt phẳng tọa độ Oxz có pt là : 
trên mặt phẳng tọa độ Oyz có pt là : 
VẤN ĐỀ 4 : Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và 
 có véctơ và qua điểm A
 có véctơ và qua điểm B
Phương pháp : Gọi là đường vuông góc chung của và 
B1: Gọi là VTCP của đường vuông góc chung 
Vì 
B2: Lập mặt phẳng chứa và d1
 qua điểm A và có cặp VTCP 
B3: Tìm giao điểm I của với 
KL: Đường vuông góc chung qua điểm I và có VTCP 
VẤN ĐỀ 5 : Lập đường thẳng cắt đường thẳng cho trước và thỏa điều kiện khác .
Dạng 1 :Lập đường thẳng qua điểm M và cắt hai đường thẳng , 
Phương pháp :
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và chứa đường thẳng d1 .
B2: Tìm giao điểm I của với 
 Đường thẳng qua hai điểm M và I
B3: So sánh VTCP của và VTCP của đường thẳng Kết luận .
Dạng 2 : Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc đường thẳng và cắt đường thẳng 
Phương pháp :
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đường thẳng d1 .
B2: Tìm giao điểm I của với 
 Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 3 : Lập đường thẳng qua điểm M , vuông góc và cắt đường thẳng d
Phương pháp :
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và vuông góc đường thẳng d .
B2: Tìm giao điểm I của với 
 Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 4 : Lập đường thẳng qua điểm M , song song mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d
Phương pháp :
B1: Lập mặt phẳng qua điểm M và song song mặt phẳng ( P )
B2: Tìm giao điểm I của với .
 Đường thẳng qua hai điểm M và I
Dạng 5 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và cắt hai đường thẳng d1 , d2 cho trước .
Phương pháp : 
B1: Tìm giao điểm A và B của d1 , d2 và mp( P )
B2: D là đường thẳng qua hai điểm A và B .
VẤN ĐỀ 6 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và cách đường thẳng cho trước một khoảng L .
Phương pháp : Cho đường thẳng d có VTCP và qua điểm A 
 Mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT 
B1: Lập mặt phẳng vuông góc mặt phẳng ( P ) , song song đường thẳng d và cách điểm A một khoảng L .
 B2: Lấy một điểm 
 Đường thẳng qua điểm M và có VTCP 
VẤN ĐỀ 7 : Lập đường thẳng D nằm trong mp( P ) và vuông góc đường thẳng d cho trước tại giao điểm I của d và mp( P ) .
Phương pháp : 
B1: Tìm giao điểm I của d và mp( P )
B2: Vì d có VTCP 
 Đường thẳng qua điểm I và có VTCP 
VẤN ĐỀ 8 : Lập phương trình mặt cầu ( S ) .
Phương pháp1: Tìm tâm và bán kính .
Phương pháp2 : ( Có dữ kiện mặt cầu qua điểm )
B1 : Chỉ dạng 
@ Nếu có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc 
Phương trình mặt cầu có dạng : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 
@ Nếu không có dữ kiện liên quan đến bán kính hoặc tiếp xúc 
Phương trình mặt cầu có dạng : x2 + y2 + z2 –2ax–2by–2cz+ d= 0
B2 : Khai thác các dữ kiện để lập hệ phương trình .
VẤN ĐỀ 9 : Đường tròn giao tuyến 
Phương trình đường tròn giao tuyến :
Khi mặt phẳng cắt mặt cầu ( S ) ta có đường tròn giao tuyến có pt :
Tâm của đường tròn giao tuyến :
Gọi K là tâm của đường tròn giao tuyến 
 K là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng 
B1: Lập đường thẳng d qua điểm M và vuông góc mp
B2: H = d 
Chú ý : Toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thoả hệ : 
Bán kính của đường tròn giao tuyến
 hoặc 
VẤN ĐỀ 10 : Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu ( S ) .
 (Lập phương trình mặt phẳng tiép xúc )
Dạng 1 : Tiếp diện tại điểm M thuộc ( S )
Phương pháp : 
Tiếp diện tại điểm M vuông góc IM có véctơ pháp tuyến là 
 Dạng 2 : Tiếp diện song song mặt phẳng hoặc song song hai đường thẳng không cùng phương hoặc vuông góc đường thẳng cho trước .
Phương pháp : 
B1 : Tìm véctơ pháp tuyến của tiếp diện 
 Phương trình của tiếp diện có dạng : Ax + By + Cz + m = 0
B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc