Phương pháp tích phân từng phần - Giáo viên: Nguyễn Thành Long

Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
1 
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
I. Công thức tích phân từng phần: 
Cho hai hàm số ( ), ( )u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có 
   ' '' ' ' 'uv u v uv uv dx u vdx uv dx     
  ( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d uv vdu udv        
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vdu         . 
Ta có công thức: 
b b
b
a
a a
udv uv vdu   (1). 
Công thức (1) còn được viết dưới dạng: 
' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
b
a
a a
f x g x dx f x g x f x g x dx   (2). 
II. Phương pháp giải toán: 
Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = 
b
a
dxxf .)( 
Phương pháp chung: 
Cách 1: 
Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I = 
b
a
dxxf .)( = 
b
a
dxxfxf .)().( 21 
Bước 2: Đặt: 









v
du
dxxfdv
xfu
)(
)(
2
1 (Chọn 0C  ) 
Bước 3: Khi đó: I =  
b
a
b
a
b
a vduuvudv . (công thức (1)) 
Chú ý: 
Việc đặt ( ), ( )u f x dv g x dx  (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm ( )v x và vi phân ' ( )du u x dx 
không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu phải tính được. 
Cách 2: 
Hoặc: phân tích '1 2 1( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f x f x dx f x f x dx  và sử dụng trực tiếp công thức (2) 
Các dạng toán thường gặp: 
Dạng 1: Tính tích phân:  
 2cos
nP xI dx
ax b



 
 Đặt: 
 
 2
1
cos
nu P x
dv dx
ax b


  
Dạng 2: Tính tích phân:  
 2sin
nP xI dx
ax b



 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
2 
Đặt: 
 
 2
1
sin
nu P x
dv dx
ax b


  
Dạng 3: Tính tích phân:    . lnnI P x ax b dx


  hoặc    . logn mI P x ax b dx


  
Đặt:
 
 
 
ln
logm
ax b
u
ax b
dv P x dx
 
   


TQ 1:    . lnmnI P x ax b dx


  
TQ 2:    .lnnI P x f x dx


    hoặc 
 
 
ln
n
f x
I dx
P x


    
Đặt:
 lnu f x     

Trong đó  nP x là một đa thức hoặc một hàm lượng giác 
Dạng 4: Tính tích phân:  
 
 
sin
cos
n ax b
bx c
ax b
ax b
I P x dx
e
a




 
 
   
 
  
 
Đặt: 
 
 
 
sin
cos
n
ax b
bx c
u P x
ax b
ax b
dv dx
e
a




 
 
    
  
   
TQ:    xnI P x f e dx


  
Dạng 5: Tính tích phân: 
 
 
 
sin
cos
ln
ax b
ax b
e
ax b
I c dx
ax b
ax b




 
  
   
    
 
Dạng 6: Tính tích phân: 
 
 
 
2
2
1ln
cos
1
sin
ax b
ax b
ax b
ax b
I e dx
c ax b




                 
 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
3 
Đặt: 
 
 
 
2
2
n
1
cos
1
sin
ax b
ax b
l ax b
u e
c
ax b
dv dx
ax b


 
 
 
 
 
  
      
    
Dạng 7: Tính tích phân:  
 
nP xI dx
f x


  với      ; ;
m max b rf x ax b e ax b    
Đặt: 
 
 
u P x
dxdv
f x
 

 

Dạng 8: Tính tích phân 
 
 
 
 
sin ln
cos ln
sin log
cos log
k
a
a
x
x
x dx
x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
Đặt: 
 
 
 
 
sin ln
cos ln
sin log
cos log
a
a
k
x
x
u
x
x
dv x dx
  
  
  
  
  
  
 
 
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÍNH: 
Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng 
trên và tính tích phân một lần 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Tính tích phân sau: 
1
0
xI xe dx  . 
Giải: 
Cách 1: 
Đặt: 
x x
u x du dx
dv e dx v e
  
 
  
 (chọn 0C  ) 
1 1
1 1
0 0
0 0
( 1) 1x x x xxe dx xe e dx x e       . 
Cách 2: 
 
1 1 1
/ 1 1/
0 0
0 0 0
( 1) 1x x x x xxe dx x e dx xe x e dx x e        . 
Vậy 1I  . 
Bài 2: Tính tích phân sau:
1
ln
e
I x xdx  . 
Giải: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
4 
Cách 1: 
Đặt 
2
ln
2
dxduu x x
dv xdx xv
  
 
  

2 2
1 11
1 1ln ln
2 2 4
ee ex ex xdx x xdx      . 
Cách 2: 
/2 2 2
1 1 11
1 1ln ln . ln
2 2 2 4
ee e ex x ex xdx x dx x xdx
  
    
 
   . 
Vậy
2 1
4
eI  . 
Bài 3: Tính tích phân
2
0
sinxI e xdx

  . 
Giải: 
Cách 1: 
Đặt 
sin cos
x x
u x du xdx
dv e dx v e
  
 
  
2 2
22
0
0 0
sin sin cosx x xI e xdx e x e xdx e J
 

       . 
Đặt 
cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
   
 
  
2 2
2
0
0 0
cos cos sin 1x x xJ e xdx e x e xdx I
 

        
2
2 1( 1 )
2
eI e I I

 
       . 
Cách 2: 
   
2 2 2/ /
22
0
0 0 0
sin . sin cos cos .x x x xI x e dx e x e xdx e x e dx
  

       
 
2
2 22
0
0
cos sin 1x xe e x e xdx I e I

 
 
         
  
 . 
Vậy
2 1
2
eI


 . 
Bài 4: Tính tích phân sau:  
2
6
ln sinI cosx x dx


  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
5 
Đặt: 
 ln sin
sin
os sin
cosxu x du dx
x
dv c dx v x
   
  
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 
       
2 2
6 6
12 2 2ln sin sin ln sin in ln sin sin ln 2 1
2
6 6 6
I cosx x dx x x cosxdx x x x
 
 
  
  
        
Bài 6: Tính tích phân sau: 
3
2
4
sin
xdxI
x


  
Giải: 
Đặt 
2 cotsin
u x du dx
dx v xdv
x
   
  
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần 
 3 3
2
4 4
9 4 31 1 33 3cot cot . ln sin ln
3 36 2 2sin 3
4 4
xdxI x x xdx x
x
 
 
 

 

          
Bài 1: Tính tích phân sau: 
1
0
(2 1) xI x e dx  
Giải: 
Đặt 
2 1 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
   
 
  
11 1
0 00
(2 1) 2 3 1 2 3 1 (2 2) 1x x xI x e e dx e e e e e            
Cách 2: 
    1 ' '
0
(2 1) 2 1 (2 1) 2 1x x x xI x e dx x e dx x e x e dx           
Bài 2: Tính tích phân sau: 
1 2
0
( 2) xI x e dx  
Giải: 
Đặt 
22
22
1
2
xx
du dxu x
v edv e dx
   
 
2 2 2 212 1 2 2 1
0 00
1 1 1 1 5 3( 2) ( ) 1 1 ( )
2 2 2 4 2 4 4 4
x x xe e e eI x e e dx e              . 
Bài 3: Tính tích phân sau: 
2
21
ln xI dx
x
  . 
Giải: 
Đặt 2 1
2
ln
1
1
dxduu x
x
dxdv x dx xvx x
 
    
       
 . 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
6 
2 2 2 2
21 1 1
21 1 1 1ln ( ). ln 2 ln 2
1 2 2
dx dxI x x dx
x x x x
            
1 2 21 1 1 1 1ln 2 ln 2 ln 2
1 12 1 2 2 2
x
x

        

 . 
Bài 4: Tính tích phân sau:
2
1
(2 1) lnI x xdx  . 
Giải: 
Đặt 
2
ln
(2 1)
dxduu x
x
dv x dx v x x
   
    
 . 
2 22 22 2 2
1 11 1
1( ) ln 2ln 2 ( 1) 2ln 2 2 ln 2
2 2
x x xI x x x dx x dx x
x
 
           
 
  . 
Bài tập hướng dẫn: 
Bài 1: Tính tích phân sau: 
4 4
2
0 0
1 1. ln 2
1 cos 2 2 os 8 4
x xI dx dx
x c x
 

   
  
HD: 
Ta có 44
4 4 4
2 0 0
0 0 0
1 1 1 1( ) ( ) ( ln cos ) ln 2
2 2 2 4 8 42cos
xI dx xd tgx xtgx tgxdx x
x

  
 
          
Bài 2: (ĐH TK1 – B 2003) Tính tích phân sau: 
24 4
0 0
. 20
31 1
x x x
x x
e e eI dx dx
e e
 
  
 
  
HD: 
Ta có: 
ln 5 ln 5ln 5
ln 2ln 2 ln 2
2 ( 1) 2 1 2 1x x x x x xI e d e e e e e dx       
ln 5ln 5
ln 2ln 2
4 20=16 2 1 ( 1) 16 ( 1) 1
3 3
x x x xe d e e e        
Bài 3: Tính tích phân sau: 
ln 8
ln 3
.
1
x
x
x eI dx
e


 
Bài 4: Tính tích phân sau:  
 
1
2
0
ln 1 1 4ln 2 ln
3 32
x
I dx
x

   

 
Bài 5: Tính tích phân sau:
 
2 2
2
0 01 sin 2 sin cos
x xI dx dx
x x x
 
 
  
Bài 6: Tính tích phân sau:  
2 2
0 0
1 5.sin cos 2 sin 3 sin
2 9
I x x xdx x x x dx
 
      
Bài 7: Tính tích phân sau:
2
0 1 sin 2
xdxI
x


 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
7 
Cách 1: Đặt 
2
t x  
Cách 2: Biến đổi 21 sin 2 1 cos(2 ) 2cos ( )
2 4
x x x       , tích phân từng phần 
Bài 8: Tính tích phân sau: 
3
2
0
xI dx
cos x

  
Giải: 
Đặt: 
2 tanco
u x du dx
dx v xdv
s x
   
 
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: 
 3 3 34
2
0 0 0 0
3 sin 3 3 3tan tan ln ln 23 3
3 3 3 30 0
d cosxx xI dx x x xdx dx cosx
cosx cosxcos x
   
   
             
Phương Pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi đại số, các công thức đại số, lượng giác đưa về các dạng 
trên và tích phân từng phần nhiều lần 
Bài tập giải mẫu: 
Bài 1: Tính tích phân sau: 
1
2 2
2
0
1 1
sin . 
6 4
I x x dx

   
Giải: 
1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 cos2 1 1sin . . cos2 .
2 2 2
xI x xdx x dx x dx x x dx       
2
1 13 12 2
0
0 00
1 1 1(sin2 ) sin2 2 in2 .
6 4 6 4
x x d x x x xs x dx

  
 
      
2 11
2 2 2 3 2
00 0
11 1 1 1 1 1 1 1 1(cos2 ) cos2 cos2 sin(2 )
06 6 6 64 4 4 8 4
xd x x x xdx x

   
    
 
          
 
  
Bài 3: Tính tích phân sau: 
1
0
xI xe dx  . 
Đặt 1 2
2
t x dt dx dx tdt
x
     
Suy ra  
1 1 1
1 12 2
0 0
0 0 0
2 2 2 2 4 2 2t t t t tI t e dt t e te dt e te e dt e
   
          
   
   
Bài 4: Tính tích phân sau: 
2
2
1
cos (ln )
e
I x dx

  . 
Giải: 
Ta có:  
2 2
2
1 1
1 1 11 cos(2ln ) ( 1) cos(2ln )
2 2 2
e e
I x dx e x dx
 

      
Đặt 
22 2
11 1
1 1cos(2ln ) cos(2 ln ) sin(2ln )
2 2
ee e
J x dx x x x dx
 
    
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
8 
2
2
2 2
1
1
1 1( 1) sin(2 ln ) cos(2ln ) ( 1) 4
2 2
e
ee x x x dx e J


 
         
Suy ra: 2 2 2 21 1 1 1( 1) ( 1) ( 1) (2 3)
10 2 10 5
J e I e e e
   
          
Bài tập tự giải: 
Bài 1: Tính tích phân sau: 
   
2 2
2 2
1 1
1 1os ln 1 os 2 ln 2 3
2 5
e e
I c x dx c x dx e
 
 
        
 
  
Bài 2: Tính 
1
2
0
xI x e dx  
HD: 
Đặt: 
2 2
xx
du xdxu x ...  
Vậy: IxdxexexdxeJ xxx  



0
0
0
sin.sin.cos. 
Thế vào (1) ta được: 1 1
12 1
2
eI e I

     
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
16 
b. Đặt: 
2
1 tan
cos
u x du dx
v xdv dx
x
   
 
Vậy:  
2
2ln
4
cosln
4
tantan.
cos
4
0
4
0
4
0
4
0
22  
 



xxdxxxdx
x
xI 
c. Đặt: 
   1cos ln sin lnu x du x dx
x
dv dx v x
    
  
Vậy:         JedxxxxdxxI
e
e
e
  1lnsinlncos.lncos
1
1
1
3




Đặt: 
   1sin ln cos lnu x du x dx
x
dv dx v x
   
  
Vậy:       3
1
1
1
3 0lncoslnsin.lnsin IdxxxxdxxI
e
e
e
 



Thế vào (1) ta được :  3 3 12 1 2
eI e I

       
Bài 9: Tính tích phân: 
1
2
0
ln( 1)
( 2)
xI dx
x


 
Giải: 
Đặt: 
 2
1ln( 1)
1
1
2
2
u x du dx
xdxdv
vx
x
          
. 
Khi đó:  
  
1
1
0
11 1ln 1 ln 2
02 1 2 3
dxI x I
x x x
            
1 1 1
1
0 0 0
11 4ln ln
0( 1)( 2) 1 2 2 3
dx dx dx xI
x x x x x

    
       . 
Vậy I = – 1
3
ln2 + ln 4
3
Bài 10: Tính tích phân: 
2
0
. 2I x sinxcos xdx

  
Giải: 
 
2 2
0 0
1. 2 . sin 3
2
I x sinxcos xdx x x sinx dx
 
    
Đặt: 
 
1
22
1sin 3 3
3
x du dxu
dv x sinx dx v cos x cosx
   
      
. 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
17 
Khi đó: 
2
0
1 1 13 32
2 3 2 30
xI cos x cosx cos x cosx dx

          
   
1 1 1 1 53 sin 3 sin2 2
2 3 2 18 2 90 0
x cos x cosx x x
 
           
   
. 
Bài 11: Tính tích phân:  
1
0
2 1 . xI x e dx  . 
Giải : 
Đặt 
2 1 2
x x
u x du dx
dv e dx v e
   
 
  
 . 
Khi đó:    
1
0
1 1 1
 2 1 2 2 1 2 3
0 0 0
x x x xI x e e dx x e e e         
Bài 12: Tính tích phân: 
2
0
( 1)sin 2I x xdx

  
HD: 
Đặt 
1
os2sin 2 dx
2
du dxu x
c xdv x v
  
 
   
Khi đó  
2
0
os2 11 os2 x 12
2 2 40
c xI x c xd


      
Bài tập tổng hợp tự giải: 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
a. (HVKTQS – 1999)  
2
0
cos .ln 1 cos 1
2
I x x dx


    
b. (ĐHHH TPHCM – 2000)  
2
2
1
ln 1 3 ln 3 3ln 2
2
x
I dx
x

    
Bài 2: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau:  
4
2
0
22cos 1 
8
I x x dx

 
   
Bài 3: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau:  
1
2
0
1ln 1 ln 2
2
I x x dx    
Bài 4: (PVBCTT – 1998) Tính tích phân sau:  
3
2
1
7 1.ln 
27 27
e eI x x dx   
Bài 5: (TCKT – 1998) Tính tích phân sau:  
4
2
0
2cos 1I x x dx

  
Bài 6: (ĐHTL – 2001) Tính tích phân sau:  
4
0
ln 1 tan ln 2
8
I x dx


   
HD: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
18 
Hoặc: I = ln( )1
0
4
 tgx dx

= ln(cos sin ) lncosx x dx xdx  
00
44

 = 1 2I I 
Tính I1 = ln lncos( )2 40 0
4 4
dx x dx
 

   = 

4
 ln 2 + lncos( )


40
4
 x dx 
Tính J = lncos( )


40
4
 x dx . Đặt 

4
– x = t  J = lncostdt
0
4

 = I2 
Vậy: I = 

4
ln 2 
Bài 7: (ĐHL – 2001) Tính tích phân sau: 
10
2
2
1
50 99lg 50
ln10 4 ln 10
I x xdx    
Bài 8: (ĐHLN – 2001) Tính tích phân sau: 
 
 
21
2
0
1 .
1
xx e
I dx
x



 
Bài 9: Tính tích phân sau: 
 21
ln 0
1
e
e
xI dx
x
 

Bài 10: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau:  
1
2
0
ln 1 .I x x x dx   
Bài 11: (HVKTQY – 1997) Tính tích phân sau: 
2
2
0
x
I xe dx

  
Bài 12: (ĐHCĐ – 1998) Tính tích phân sau:  
1 2
2 2
0
5 11
4
x eI x e dx    
Bài 13: (ĐHNN І – B 1998) Tính tích phân sau: 
2
2
0
3 2sin 3 .
13
x eI e x dx


  
Bài 14: (ĐHDHN – 2000) Tính tích phân sau: 
2
2
0
1 sin
1 cos
xxI e dx e
x


 
 
Bài 15: (ĐHTN – D 2000) Tính tích phân sau:  2
1
2
1
sinx xI e x e x dx

  
Bài 16: Tính các tích phân sau: 
a. (HVKTMM – 2000)  
1
2
0
1tan tan1 ln cos1
2
I x xdx    
b. (ĐHBKHN – 1994) 
22
2
0
1cos
16 4 2
I x xdx

 
    
Bài 17: (HVNH TPHCM – A 2000) Tính tích phân sau: 
3
2
0
sin 3 1ln 1
3 2cos
x xI dx
x


    
Bài 18: ( ĐH – D 2007) Tính tích phân sau: 
4
3 2
1
5 1ln
32
e eI x xdx   
Bài 19: (ĐH – D 2008) Tính tích phân sau: 
2
3
1
ln 3 2 ln 2
16
xI
x

  
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
19 
Bài 20: (ĐH – D 2004) Tính tích phân sau:  
3
2
2
ln 3ln 3 2I x x dx    
Bài 21: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: 
3
2
1
2 1ln
9
e eI x xdx   
Bài 22: (ĐH – D 2006) Tính tích phân sau:  
1 2
2
0
5 32
32
x eI x e dx    
Bài 23: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau:  
22
2
0
12 1 cos
8 4 2
I x xdx

 
     
Bài 24: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: 
4
0
1 ln 2
1 cos 2 8 4
xI dx
x


  
 
Bài 25: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau:  
0
2 3
2
1
3 41
74
xI x e x dx
e
     
Bài 26: (ĐH – B 200) Tính tích phân sau: 
 
 
3
2
1
3 ln 3 1 ln 3 ln 2
41
xI dx
x

   

 
Bài 27: Tính tích phân sau:  
2
2
1
ln 1 8ln
3 3
x
I dx
x

  
Bài 28: (ĐHAN – D 1999) Tính tích phân sau: 2 2 2
0
sin 4I x xdx

   
Bài 29: (ĐHSPV – A 2001) Tính tích phân sau: 
3
2
3
sin 4 2 3ln
cos 3 2 3
x xI dx
x





  

Bài 30: (ĐHBKHN – 1994) Tính tích phân sau: 
2
2
0
.cosI x xdx

  
HD: 
Tách 
2 2
0 0
1 . 2
2
I xdx x cos xdx
  
  
 
 
  . 
Tính 
2
1
0
. 2I x cos xdx

  Đặt: 2
u x
dv cos xdx



Bài 31: (ĐH Ngoại ngữ - 1997) Tính tích phân sau: 
1
2
ln 0
( 1)
e
e xdxI
x
 
 
Bài 32: (BCVT – 1998) Tính tích phân sau: 
4
2
0
(sin cos 1)
(1 cos )
xe x xI dx
x

 

 
HD: 
4 4 4
1 22 2
0 0 0
(sin cos 1) sin
1 cos(1 cos ) (1 cos )
x x xe x x e e xdxI dx dx I I
xx x
  
 
    
    
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
20 
Với 
4
2 2
0
sin
(1 cos )
xe xdxI
x


 đặt 
 2
sin 1
1 cos 1 cos
x xu e du e dx
xdxdv v
x x
   
     
Bài 33: (ĐH HP – 1997) Tính tích phân sau:  2
1
1 ln
e
I x dx  
Bài 34: Tính tích phân sau:  
23
4
4
sin ln tan
os
xI x dx
c x


  
HD: 
   
2 23 3
4 2
4 4
sin tanln tan ln tan
os os
x xI x dx x dx
c x c x
 
 
   
Đặt tan x t 
Bài 35: Tính tích phân sau:
tan tan4 4
3 2
0 0
sin . tan
os os
x xe x e xI dx dx
c x c x
 
   
Bài 36: Tính tích phân sau:
3 33 2
2 2
0 01 1
x x xI dx dx
x x
 
 
  
HD: Đặt 
2
21
u x
xdv dx
x
 

 

Bài 37: Tính tích phân sau:  
4
6
cos ln tanI x x dx


  
Bài 38: Tính tích phân sau:  
2
0
cos ln 1 sinI x x dx

  
Bài 39: Tính tích phân sau:  
3
2
0
ln cos
os
x
I dx
c x

  
Bài 40: Tính tích phân sau:  
4
2
6
ln cos
sin
x
I dx
x


  
Bài 41: Tính tích phân sau:
1 4
2
0 1
x
x
eI dx
e


 
Bài 42: Tính tích phân sau:  
4
6
cos ln cotI x x dx


  
Bài 43: Tính tích phân sau:
2
2
os 5
0
cos sinc xI e x xdx

  
Bài 44: Tính tích phân sau:  
1
2
0
ln 1
1
x
I dx
x


 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
21 
Đặt tanx t 
Bài 45: Tính tích phân sau:
22
2
0
1ln
1
xI x dx
x



 
Bài 46: Tính tích phân sau:  2 2
0
1 cosI x xdx

  
Bài 47: Tính tích phân sau: 2 2
0
sinxI e xdx

  
Bài 48: (NN I – 1998) Tính tích phân sau:
2
2
0
sin 3xI e xdx

  
Bài 49: (ĐH Mở - 1997) Tính tích phân sau:  
2
2
0
1 sinI x xdx

  
Bài 50: (ĐHSPII – 1997) Tính tích phân sau:
4
0
5 sin 2xI e xdx

  
Bài 51: (ĐHCĐ – 1996) Tính tích phân sau:
2
0
cosxI e xdx

  
Bài 52: (ĐHKT HN – 1999) Tính tích phân sau: 
2
2
3
0
. .sin xI e sinx cos xdx

  
HD: 
Đặt 2sin 2cos sint xdt x xdx  
 
1 1 1
0 0 0
1 1 11 .
2 2 2
t t tI e t dt e dt t e dt       . 
Tính 
1
1
0
. tI t e dt  . Đặt t
u t
dv e dt



Bài 52: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:
1
2
0
tanI x xdx  
HD: 
Phân tích 
1 1
2
0 0
xI dx xdx
cos x
   
Đặt: 
2
u x du dx
dx v tgxdv
cos x
   
 
 tan1 ln cos1 0,5I    
Bài 53: Tính tích phân: 
1
(sin1 cos1) 1sin(ln )
2
e eI x dx    . 
Bài 54: Tính các tích phân sau: 
a. 
4
3
0
sin 4xI e xdx

  b. 
2
4
0
cosI xdx
 
 
 
  c. 
Bài 55: Tính các tích phân sau: 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
22 
a. 
 
1 2
2
0
1
32
xx e eI dx
x
  

 b. 
6
2
0
11 3sin cos
72 48
I x x xdx

 
   
Sử dụng sơ đồ (dùng cho trắc nghiệm hoặc kiểm tra nhanh kết quả)tham khảo 
Bài 1: Tính tích phân sau: 
1
2
0
xI x e dx  . 
Giải: 
 
112
0
0
2 2 0 2xI x x e dx e      . 
Chú thích: 
+ Mũi tên đi xuống chỉ tích của 2 nhân tử ra khỏi tích 
phân (cùng với dấu trên mũi tên). 
+ Mũi tên ngang là tích 2 nhân tử còn trong tích phân 
(cùng với dấu trên mũi tên). 
Bài 2: Tính tích phân sau: 
1
ln
e
I xdx  . 
Giải: 
1
1 1
ln ln 1
e e
eI xdx x x dx     . 
Bài 3: Tính tích phân sau:
2
0
sinxI e xdx

  . 
Giải: 
2
22
0
0
(sin cos ) sin 1x xI x x e e xdx e I


      . 
Vậy
2 1
2
eI


 . 
Chú ý: 
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần. 
Bài 4: Tính tích phân
2
4
0
cosI xdx

  . 
Giải: 
Đặt 2 2t x x t dx tdt     
Đổi cận: 
2
0 0, 
4 2
x t x t       
 
2
2
0
0
2 cos 2 sin cos 2I t tdt t t t


      . 
Vậy 2I   . 
Bài 5: Tính tích phân
1
sin(ln )
e
I x dx  . 
Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 
-------------------“ Vì đời phụ kiếp tài hoa, vì người gian dối hay ta đa tình “------------------ 
23 
Giải: 
Đặt ln t tt x x e dx e dt     
Đổi cận: 1 0, 1x t x e t      
 
11
0 0
sin cos (sin1 cos1) 1sin
2 2
t
t t t e eI e tdt
  
    . 
Vậy (sin1 cos1) 1
2
eI   .