Phương pháp giải toán áp dụng hàm số có tâm đối xứng vào giải phương trình _ hệ phương trình

 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
ÁP DỤNG HÀM SỐ CÓ TÂM ĐỐI XỨNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH _ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
 *Cho hàm só y=f(x) , tập xác định D, đồ thi có tâm đối xứng I(a;b).
 N ếu v ới m ọi x,y , sao cho x+y = 2a th ì f(x)+f(y)=2b
 * Đi ều ng ư ợc l ại : 
 Cho h àm s ố y=f(x) , t ập xác định v à li ên t ục tr ên D , đ ồ th ị c ó t âm đ ối x ứng I(a;b),
 h àm s ố lu ôn đ ồng bi ến (ho ặc ngh ịch bi ến) tr ên D.
 N ếu t ồn t ai x,y , sao cho f(x)+f(y)=2b th ì x+y =2a
 *Ch ứng minh:
 Ta có f(x)+f(y)=2b (1)với x,y ;giả sử với m õi x sao cho x+x’=2a, thì:
 f(x)+f(x’)=2b (2) . T ừ (1) v à (2) ta c ó f(y)=f(x’) ,do f(x) đơn diệu trên D ,n ên y=x’
 V ậy x+y=x+x’ =2a.
Bài toán áp dụng
1) Gi ải ph ương trình:
B ài 1: Cho hàm số f(x)= . 
 Giải phương trình: f(sin+f(=f(sin+f(cos,với n(*)
Giải: Ta có tập xác định hàm số là R,tâm đối xứng của đồ thị là I(1/2;1/2), hàm số đồng biến trên R
 Theo tính chất trên ta có sin
Vậy (*), với n.(**)
 -với n=1 ta có : sin x +cos x =1 
 -với n=2 ta có : sin Tập nghiệm R
 -với n Ta có sin
 Cos để có PT (**) thì 
 *với n lẻ : nghiệm PT là :
 *với n chẵn : nghiệm PT là :
Bài 2: Giải phương trình :
 (7-2x) + x (1)
Giải: Điều kiện 3-2x
 Ta có (1)
Xét hàm số y = f(t)= , tập xác định R,tâm đối xứng I(1;2), hàm số đồng biến trên R
Từ phương trình trên ta có : f(
2)Giải hệ phương trình
Bài 3:( Đề thi Đại học khối A năm 2010)
 Giải hệ phương trình:
Giải: ĐK: x
Từ PT (1)
Xét hàm số f(t)=4t,tập xác định R,Tâm đối xứng I(0;0),hàm số đồng biến trên R.
Từ phương trình trên ta có: 
 f(x) + f( 
Thay vào PT (2) có: 4x(3)
Xét hàm số g(x)= 4x; ta có g( và g(x) liên tục ,nghịch biến trên (0;3/4) 
Vậy PT (3) có nghiệm duy nhất x=.Do đó y=2 ; Nghiệm hệ (x;y)=(
Bài 4: Giải hệ : + (1)
Giải: Đk x ;Xét hàm số f(t) = ; xác định và liên tục trên R,tâm đối xứng I(0;,hàm số 
nghịch biến trên R. Từ PT(1) ta có : f(
 thay vào (2) Có: 
 - x+ 
Lúc đó y= . Vậy nghiệm hệ là: (x;y)= (
3)Các bài tập:
 1)Giải phương trình: 3
 2)Giải hệ phương trình: 
 3) Cho hàm số : f(x) = với a>0; a 
 Giải hệ phương trình: 
 4)Cho x,y,z số thực dương.Và hàm số : f(x)= ; Thoả mạn f(x) + f(y+z) =1
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 A=