Phương pháp giải các dạng toán lớp 12

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN LỚP 12
-----------&-----------
 ?GIẢI TÍCH
 Ỉ Vấn đề 1: Dùng đạo hàm chứng minh đẳng thức
 F Phương pháp:
 + Tính y’, y’’ ( nếu co ù)
 + Thay vào đẳng thức thỏa mãn Þ đpcm
 VD1: Cho hàm số y= x.sinx CMR: 
 HD
 Ta có: y’=(x)’sinx + x(sinx)’
 = sinx + xcosx
 mà: 
 = (đpcm) 
 Ä Bài tập áp dụng:
 1/ Cho hàm số y= e2xsin5x CMR: y’’ – 4y’ + 29y = 0
 2/ Cho hàm số CMR: y3.y’’ + 1 = 0
 3/ Cho hàm số y= e2xcosx CMR: y’’ – 4y’ + 5y = 0
 5/ Cho hàm số y= xsin3x +2cos3x CMR: y’’ + 9y -6cos3x = 0
----------?----------
 Ỉ Vấn đề 2: Tính đơn điệu của hàm số
 F Phương pháp:
 + Tìm MXĐ
 + Tính y’ Þ giải phương trình y’= 0 tìm nghiệm
 + Lập biến thiên 
y’³ 0 "xỴ(a;b) Þ hàm số tăng /(a;b)
y’£ 0 "xỴ(a;b) Þ hàm số giảm /(a;b)
(Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)
 Ä Xét hàm số y= ax2 + bx + c (a¹0) và y’= 2ax + b 
 * Hs y tăng /(a ;+¥) * Hs y giảm /(-¥;a) 
 * Hs y tăng /(-¥;a) * Hs y giảm /(a;-¥) 
 VD: Cho hàm số y= 2x2 – 3mx + m – 1
 a/ Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số khi m= 2
 b/ Xác định m để hàm số tăng trên khoảng (1; +¥)
 HD
 a/ Khi m= 2 , y= 2x2 – 6x
 + MXĐ D=R
 + y’=4x – 6 , y’=0 Þ 
 + BBT x -¥ + ¥
 y’ - 0 +
 + ¥ + ¥
 y
 + KL: Hàm số tăng trên (;¥)
 Hàm số giảm trên (-¥;) 
 b/ + MXĐ D=R
 + y’=4x – 3m, y’= 0 Þ 
 + BBT x -¥ + ¥
 y’ - 0 +
 + ¥ + ¥
 y
 Để hàm số tăng trên khoảng (1; +¥) 
 Ä Xét hàm số y= ax3 + bx2 + cx + d (a¹0) và (aa1¹0)
 y’ cùng dấu với tâm thức bậc 2: g(x)= Ax2 + Bx + C ( A¹0)
 * Hàm số luôn tăng * Hàm số luôn giảm 
 * Hàm số tăng /(a ;+¥) * Hàm số giảm /(a ;+¥) 
 VD1: Tìm các khoảng tăng giảm của các hàm số
 a/ y = x3 – 3x2 + 1
 + MXĐ: D = R
 + y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2)
 y’ = 0 Û 3x(x – 2) = 0 Û 
 + BBT:
 x - ¥ 0 2 +¥
 y’ + 0 - 0 +
 y
 + Kết luận : Hs giảm/(0 ; 2) và hàm số tăng (- ¥ ; 0)È(2 ; +¥)
 b/ 
 + MXĐ: 
 + ,
 + BBT :
 x -¥ - 1 1 3 +¥
 y’ + 0 - - 0 +
 y
 + Kết luận: 
 Hàm số đồng biến trên (- ¥ ; -1)È(3 ;+ ¥)
 Hàm số nghich biến trên (-1 ;1) È(1 ; 3) .
 VD2: Cho hàm số y= x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1
 Xác định m để hàm số tăng trên miền xác định
 HD
 + MXĐ: D=R
 + Tính y’=3x2 – 6mx + 3(2m -1) ( g(x)= 3x2 – 6mx + 3(2m – 1) )
 Để hàm số tăng trên miền xác định 
 Vậy m = 1 thì hàm số tăng trên miền xác định
 VD3: Cho hàm số 
 a/ Xác định m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
 b/ Xác định m để hàm số tăng trên khoảng (0; +¥)
 HD
 a/ + MXĐ: D=R\{-1}
 + Tính: ( g(x)= 2x2 + 4x – m +2 ) 
 Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định 
 Vậy: m £ 0 thì hàm số tăng trên từng khoảng xác định
 b/ Để hàm số tăng trong khoảng (0;+¥) 
 Vậy thì hàm số tăng trong khoảng (0;+¥)	
 Ä Bài tập áp dụng:
 1/ Cho hàm số y=mx2 – (m-1)x + 3. Xác định m sao cho 
 a/ Hàm số tăng trên khoảng (2;+¥)
 b/ Hàm số giảm trên khoảng (-¥;1)
 2/ Cho hàm số y= x3 – (m+ 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x +2m(2m – 1)
 Xác định m để hàm số tăng trên khoảng (2;+¥)
 3/ Cho hàm số 
 a/ Xác định m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định
 b/ Xác định m để hàm số tăng trên khoảng (1; +¥)
 4/ Cho hàm số . Xác định m để hàm số tăng trong 
 khoảng (0;3)
 5/ Cho hàm số . Xác định m để hàm số giảm trong	 khoảng
 (2;+¥)
----------?----------
 Ä Xét hàm số: 
Hàm số tăng Û ad – bc > 0 
Hàm số giảm Û ad – bc < 0 
 VD: Cho hàm số 
 a/ Tìm các khoảng tăng giảm của hàm số khi m=2, b= -1
 b/ Khi b= -1 . Chứng minh rằng "m thì hàm số luôn tăng trên từng khoảng xác 
 định của nó
 c/ Khi b=1. Hãy biện luận theo m tính đơn điệu của hàm số 
----------?----------
 Ỉ Vấn đề 3: Cực trị của hàm số
 F Phương pháp1: ( Dùng y’ )	
 + Tìm MXĐ
 + Tính y’Þ giải pt y’= 0
 + BBT
 + KL: * x0 là điểm CĐ khi y’ đổi dấu từ (+) sang (-)
 * x0 là điểm CT khi y’ đổi dấu từ (-) sang (+)
 Ä Xét hàm số y= ax3 + bx2 + cx + d (a¹0) và (aa1¹0)
 + Để hàm số có cực trị Û y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt (D>0)
 + Để hàm số không có cực trị Û y’= 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép (D£ 0)
 VD1: Xác định m để các hàm số sau có cực trị
 a/ b/ 
 HD
 a/ + MXĐ: D=R
 + Tính: y’= 3x2 – 4x + m
 Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt
 Û D’= 4 – 3m > 0
 Û m<
 b/ + MXĐ: D=R\{-1}
 + Tính: 
 Để hàm số có cực trị khi và chỉ khi y’= 0 có 2 nghiệm phân biệt
 Û D’= 3 + m > 0
 Û m > - 3
 F Phương pháp2: ( Dùng y’’ )
 1) Þ x0 là điểm CĐ
 2) Þ x0 là điểm CT
 VD2: Xác định m để các hàm số 
 a/ y= mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x=2
 b/ y= -m2x2 + 2mx – 3m + 2 có yCĐ= -3 với m¹0
 HD
 a/ Ta có y’= 3mx2 + 6x + 5
 Hàm số đạt cực đại tại x=2 
 Vậy thì hàm số đạt cực đại tại x=2
 b/ Giả sử hàm số đạt CĐ tại x=x0 , yCĐ= -3
 Û 
 Từ (1) Þ x0= (vì m¹0 ) thay vào (3) ta được m=2 Þ y’’= -8<0
 Vậy m=2 thì hàm số đạt CĐ tại x=, yCĐ= -3
 Ỉ Vấn đề 4: Tính lồi lõm và điểm uốn
 F Phương pháp:
 + Tìm MXĐ 
 + Tính y’’
 + BXD 
 + KL: */ f’’(x) < 0 "xỴ(a;b) Þ đồ thị lồi / (a;b)
 */ f’’(x) > 0 "xỴ(a;b) Þ đồ thị lõm / (a;b) 
 */ f’’(x) = 0 đổi dấu khi qua x0 thì I(x0;f(x0)) là điểm uốn
 VD1: Tìm các khỏang lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số 
 a/ y= x3 – 3x2 +1
 b/ y= x4 – 2x2
 HD
 a/ + MXĐ D=R
 + Tính y’=3x2 – 6x 
 + Tính y’’=6x – 6 Û y’’=0 Þ x= 1 , y= -1 
 + BXD
 x -¥ 1 +¥ 
 y’ - 0 +
 y lồi -1 lõm
 VD2: a/ Xác định m để đồ thị hàm số: y=x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 nhận điểm I(1;2) làm 
 điểm uốn 
 b/ Xác định a,b để đồ thị của hàm số :y=ax3 + bx2 + x +1 nhận điểm I(1;-2) làm điểm 
 uốn
 VD3: CMR: các hàm số số sau, đồ thị có phần lồi và phần lõm nhưng không có điểm uốn 
 a/ 
 b/ 
 Chú ý: Đồ thị hàm số nhận điểm I(x0;y0) làm điểm uốn 
 Ỉ Vấn đề 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 Phương pháp1: 
 Hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b] 
 + Tính f’(x) Þ giải phương trình f’(x)=0 trên [a;b] giả sử có nghiệm x1, x2,..xn
 + Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),f(xn)
 Þ Max y=max{ f(a), f(b), f(x1), f(x2),f(xn)}
 Þ Min y=min {(a), f(b), f(x1), f(x2),f(xn)}
 VD: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 
 a/ y=x3 – 6x2 + 9x trên [0;4] 
 b/ 
 HD
 a/ Tính y’= 3x2 – 12x + 9
 y’ = 0 Û 3x2 –12x + 9 = 0 Û 
 Ta có y(0)=0 , y(4)=4 , y(1)=4 , y(3)=0 
 Vậy Max y = 4 , Min y = 0
 Phương pháp2: (Dùng miền giá trị của hàm số Þ GTLN và GTNN của hàm số)
 VD: Tìm GTNN của hàm số y= x2 – 6x + 1 (1)
 HD
 Tìm y để phương trình (1) có nghiệm (ẩn x)
 (1) Û x2 – 6x + 1 – y = 0 có nghiệm
 Û D’=9 –(1-y) ³ 0
 Û y ³ -8
 Vậy Min y= -8
 Phương pháp3: (Dùng bất đẳng thức)
 Hàm số y=f(x) có miền xác định D
 · · 
 VD: Tìm GTNN của hàm số 
 Ỉ Vấn đề 6: Tiệm cận 
Nếu ta có
Thì đồ thị có
Phương trình tiệm cận
 Tiệm cận đứng
 x=x0
 Tiệm cận ùngang
 y=y0 
 Tiệm cận xiên
 y = ax + b
 VD1: Tìm phương của các đường tiệm cận của các hàm số:
 a/ b/ c/ d/ 
 VD2: a/ Tìm m để hàm số có đường tiệm cận xiên đi qua A(-1;0)
 b/ Tìm m để hàm số có đường tiệm cận xiên trùng với đường tiệm 
 cận xiên của hàm số 
----------?----------
 Ỉ Vấn đề 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số
 F Học sinh cần thực hiện các bước sau:
 1/ Tìm miền xác định D của hàm số
 2/ Tính y’ Þ giải phương trình y’=0
 3/ Lập BBT ®{Chiều biến thiên, cực trị}
 4/ Tính y’’(nếu có) Lập BXD®{Tính lồi, lõm và điểm uốn}
 5/ Tìm phương trình các đường tiệm cận (nếu có)
 6/ Xác định các điểm đặc biệt
 7/ vẽ đồ thị của hàm số
 * Chú ý: 
 - Đồ thị phải thể hiện theo chiều biến thiên
 - Đồ thị phải đi qua các điểm CĐ, CT, Đ/U và các điểm đặc biệt 
 {CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ: y= ax3 + bx2 + cx + d (a¹0) 
 VD: Khảo sát các hàm số sau:
 a) 
 b) 
 c) 
 Giải:
 a) 
 + MXĐ: D = R
 + Tính: y’ = – 3x2 – 6x 
 y’= 0 Û – 3x(x + 2) = 0 Þ
 + BBT:
 x - ¥ - 2 0 +¥
 y’ - 0 + 0 -
 +¥ CĐ
 y 0 4 
 CT - ¥
 + Tính: y’’ = – 6x – 6
 y’’=0 Û – 6x – 6 = 0 Û x = – 1 Þ y = 2
 + Bảng xét dấu y’’:
 x - ¥ – 1 + ¥
 y’’ + 0 – 
 2
 ĐT lõm Đ/uốn lồi 
 + ĐĐB:
 x = 1 Þ y = 0
 x = - 3 Þ y = 4
 + Vẽ đồ thị:
 b) 
 + MXĐ: D = R
 + Tính: y’ = – 3x2 + 6x -3 
 y’= 0 Û – 3x2 + 6x - 3= 0 Þ y=0
 + BBT x - ¥ 1 + ¥
 y’ - 0 -
 + ¥ 
 y 0 + ¥
 + Tính: y’’ = – 6x + 6
 y’’=0 Û – 6x + 6 = 0 Û x = 1 Þ y = 0
 + Bảng xét dấu y’’:
 x - ¥ – 1 + ¥
 y’’ + 0 – 
 0
 ĐT lõm Đ/uốn lồi 
 + ĐĐB:
 x = 0 Þ y = 1
 x = 2 Þ y = -1
 + Vẽ đồ thị: 
 c) 
 + Tập xác định : D = R
 + Tính: y’ = - 3x2 + 6x – 5
 Ta có: D’ = 9 – 15 = - 6 < 0
 Þ y’ < 0 "x Ỵ R Þ hàm số nghịch biến trên D = R .
 + BBT:
 x - ¥ + ¥ 
 y’ – 
 +¥
 y	 
 - ¥ y
 + Tính: y’’ = - 6x + 6 
 y’’ = 0 Û - 6x + 6 Û x = 1 Þ y = - 1 2
 + BXD:
 x – ¥ 1 + ¥ 	
 y’’ + 0 – 0 1 2 x
 ĐT -1 -1
 lõm Đ/uốn lồi 
 + ĐĐB: x = 0 Þ y = 2 
 x = 2 Þ y = - 4 -4
 +Vẽ đồ thị: 
 {CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ: y= ax4 + bx2 + c (a¹0) 
 VD: Khảo sát các hàm số sau :
 a) y =– x4 + 2x2 .
 b) y = -x4 - x2 + 2
 c) y = x4 – 6x2 + 1
 d) y = x4 + x2 + 2
 Giải:
 a) y =– x4 + 2x2 .
 + MXĐ: D = R
 + Tính: y’ = – 4x3 + 4x 
 y’ = 0 Û – 4x3 + 4x = 0 
 Û – 4x(x2 – 1) = 0 
 + BBT:
 x – ¥ – 1 0 1 + ¥
 y’ + 0 – 0 + 0 –
 CĐ CĐ
 y 1 0 1
 –¥ CT – ¥
 + Tính: y’’= – 12x2 + 4
 y’’ = 0 Û – 12x2 + 4 
 + BXD:
 x – ¥ + ¥
 y’’ – 0 + 0 –
 ĐT lồi lõm lồi
 + ĐĐB: Þ
 + Vẽ đồ thị
 b) y = -x4 - x2 + 2
 + MXĐ: D = R
 + Tính: y’= -4x3 - 2x 
 y’= 0 Û -4x3 - 2x = 0 
 Û -2x(2x2 + 1) = 0 Û x = 0 Þ y= -2
 (Vì 2x2 + 1 > 0 "x Ỵ R)
 + BBT:
 x – ¥ 0 + ¥
 y’ + 0 - 
 2 
 y CĐ 
 -¥ -¥
 + Tính: y’’= -12x2 - 2 < 0 với mọi x Ỵ R nên đồ thị lồi trên R.
 + BXD x - ∞ + ∞
 y’’ -
 ĐT lồi
 + ĐĐB: x = ± 1 Þ y = 0 
 + Vẽ đồ thị: 	
{CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ: 
 VD: Khảo sát hàm số :
 a) 
 b) 
 Giải:
 a) 
 + MXĐ: 
 + Tính: 
 Vậy h/số giảm trên 
 + Tiệm cận:
 * TCĐ x = 1 (Vì +) 
 * TCN y = 1 (Vì)
 + BBT: x – ¥ 1 + ¥
 y’ – – 
 1 + ¥
 y
 – ¥ 1
 + ĐĐB: x = 0 Þ y = -1 ; x = -1Þ y = 0
 + Vẽ đồ thị: 
 b) 
 + MXĐ: 
 + Tính: 
 Vậy h/số tăng trên 
 + Tiệm cận:
 * TCĐ x = -1 (Vì +) 
 * TCN y = 1 (Vì)
 + BBT: x – ¥ -1 + ¥
 y’ + + 
 + ¥ 1 
 y
 1 – ¥ 
 + ĐĐB: x = 0 Þ y = -1 ; x = 1Þ y = 0
 + Vẽ đồ thị: 
{CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ: (aa1¹0)
 VD: Khảo sát hàm số:
 a) 
 b) 
 c) 
Chú ý: Đối với các hàm số hữ tỷ mà x0 hoành độ điểm cực trị, thì tung độ cực trị đựoc tính là:
 d) 
 Giải:
 a) Þ 
 + MXĐ: 
 + Tính: 
y
 Þ 
 + BBT: 
 x - ¥ -2 -1 0 +¥
 y’ + 0 - - 0 +
 - 4 +¥ +¥
 y CĐ
 - ¥ - ¥ CT - 2 -1 0 1 x 
 + Tiệm cận:
 * TCĐ: x = -1 (Vì)
 * TCX: y= x -1 (Vì ... úng hàng, ba vectơ đồng phẳng, trọng tâm của tứ diện, các phép toán về vectơ
Các công thức về toạ độ của điểm , vectơ trong không gian Oxyz
Các công thức về tich vô hướng , tích có hướng của 2 vectơ , 3 vectơ không đồng phẳng , công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện , thể tích hình hộp.
 II/ Câu hỏi :(Học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau)
Nêu phương pháp chứng minh 3 vectơ không đồng phẳng ?
VD: Cho 4 điểm A, B, C, D 
CMR: ABCD là tứ diện ta cần chứng minh điều gì ?
Để chứng minh 2 vectơ vuông góc, 2 đường thẳng vuông góc ta cần chứng minh điều gì?
Nêu công thức tính tích vô hướng , tích có hướng của 2 vectơ 
Công thức tính diện tích tam giác, thể tích tứ diện, thể tích hình hộp?
Nêu các công về toạ độ điểm và vectơ trong không gian Oxyz 
Ä Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 0; -2) , B(2; 1; -1) , C(1; -2; 2)
CMR:A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.
Tìm toạ độ trọng tâm G của DABC.
Tính độ dài các cạnh của DABC.
Tìm toạ độ trung điểm của các cạnh của DABC.
Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
 Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 0; 0) , B(0; 0; 1) , C(2; 1; 1) 
CMR: A,B,C là 3 đỉnh của tam giác.
Tính chu vi và diện tích DABC.
Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
Tinhd độ dài đường cao AH của DABC.
Tính các góc của DABC.
 Bài 3: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 0; 0) , B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1) , D(-2; 1; -1) 
CMR: A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD.
Tính thể tích của tứ diện và độ dài đường cao của tứ diện ABCD.
Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
 Bài 4: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; -1; 1) , B(0; 1; 2) , C(1; 0; 1) , D(4; 0; 0)
CMR: A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
Tìm toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
Tính thể tích của tứ diện ABCD.
Tính diện tích DABC và khoảng cách từ D đến mp(ABC).
 Bài 5: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 3; 1) , B(-2; 1; 3) , C(3; 2; -1) 
Tính thể tích tứ diện OABC.
Tính diện tích DABC.
Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
 Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2; -1; 3) , B(4; 0; 1) , C(-10; 5; 3) 
CMR: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Tìm m,n để điểm M( 2m-1; 2; n+2) thẳng hàng với A và C.
Tìm độ dài đường cao của DABC hạ từ đỉnh A.
Tìm độ dài đường phân giác ngoài của góc B của DABC.
 Bài 7: a. Tìm trên trục Oy điểm M cách đều 2 điểm A(3; 1; 0) , B(-2; 4; 1)
 b. Tìm trêm mp(Oxy) điểm N cách đều A(1; 1; 1) , B(-1; 1; 0) , C(3; 1; -1) 
 Bài 8: Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ 
 ; ; 
 ; ; 
 ; ; 
 ; ; 
 Vấn đề 2: Mặt phẳng – Đường thẳng
 I/ Kiến thức cơ bản: (Học sinh cần nắm)
Phương trình tổng quát của mp.
Mặt phẳng theo đoạn chắn.
Vị trí tương đối của 2 mp, chùm mp.
Phương trình đường thẳng.
 II/ Câu hỏi :(Học sinh phải trả lời được các câu hỏi sau)
Viết phương trình của mp ta thực hiện như thế nào? nếu biết:
Nếu biết 1 điểm Mo(xo;yo;zo) thuộc mp(a) và 1 VTPT của nó
Nếu biết 1 điểm Mo(xo;yo;zo) thuộc mp(a) và cặp VTCP ; của nó
mp(a) đi qua 3 điểm A, B, C
Nêu cách xét vị trí tương đối của 2 mp.
Viết phương trình của chùm mp, khi nào sử dụng chùm mp.
 Ä Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Cho tứ diện ABCD với A(5; 1; 3) , B(1; 6; 2) , C(5; 0; 4) , D(4; 0; 6) 
Viết phương trình mp (ACD); (BCD)
Viết phương trình mp(a) đi qua AB và mp(a) song song CD
 Bài 2: Viết phương trình mp(a) trong các trường hợp sau:
Qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc trục Oy.
Qua điểm M(1; 3; -2) và vuông góc với đường thẳng AB với A(0; 2; -3) , B(1; -4; 1)
Qua điểm M(1; 3; -2) và song song với mp(b) : 2x – y + 3z + 4 = 0
mp(a) là trung trực của đoạn AB với A(2; 3; -4) , B(4; -1; 0)
Qua điểm A(-1; 2; 3) , B(-2; 4; 3) , C(4; 5; 6) 
Qua điểm M(2; -1; 2) song song trục Oy và vuông góc với mp(b) :2x – y + 3z - 4 = 0
 Bài 3: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(0; 1; 2) , B(2; 3; 1) , C(2; 2; -1) 
Viết phương trình mp(a) đi qua A,B,C . CNR: OỴ mp(a)
CMR: OABC là hình chữ nhật. Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Tính thể tích hình chóp S.OABC với S(9; 0; 0)
 Bài 4: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 0; 0) , B(0; -2; 0) , C(0; 0; 3) 
Tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
Viết phương trình mp(a) đi qua A,B,C .
Tính thể tích tứ diện OABC và k/c từ O đến mp(ABC).
 Bài 5: Trong không gian Oxyz viết phương trình mp(P) đi qua O và vuông góc với 2 mp
 (a) : 2x – y + 3z - 1 = 0
 (b) : x + 2y + z = 0 
 Bài 6: Viết phương trình mp(a) đi qua điểm M(3;-2;1) và vuông góc đường thẳng
 (d): 
 Bài 7: Viết phương trình TS, CT, TQ của đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;-1;1) và 
 vuông góc với mp(a): 2x – z + 1 = 0
 Bài 8: Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d): trên mặt phẳng
 (a): x + y+ z – 7 = 0
 Bài 9: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng có phương trình:
 (d) : (d’): 
 Bài 10: Viết phương trình của đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:
 a/ (d) đi qua điểm M(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (a): x + 2y - 2z +1 = 0
 b/ (d) đi qua điểm M(2;-1;1) và vuông góc với hai đường thẳng:
 (d) : (d’): 
 Vấn đề 3: + Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt phẳng
 + Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và đường thẳng
 + Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường thẳng
 Ä Bài tập áp dụng: 
 Bài 1: Xét vị trí tương của các mặt phẳng sau:
 a/ (a): x + 2y – Z + 5 = 0 (b): 2x + 3y – 7z – 4 = 0
 b/ (a): x - 2y + Z + 3 = 0 (b): 2x - y + 4z – 2 = 0
 c/ (a): x + y + Z - 1 = 0 (b): 2x + 2y – 2z + 3 = 0
 d/ (a): 3x - 2y – 3Z + 5 = 0 (b): 9x - 6y – 9z – 5 = 0
 e/ (a): x - y + 2Z - 4 = 0 (b): 10x - 10y + 20z – 40 = 0
 Bài 2: Xác định các giá l, m để các cặp mặt phẳng sau sông song
 a/ (a): 2x + ly + 2Z + 3 = 0 (b): mx + 2y – 4z + 7 = 0
 b/ (a): 2x + y + mZ -2 = 0 (b): x + ly + 2z + 8 = 0
 Bài 3: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
 a/ (d): (a): 3x+5y-z-2 = 0 
 b/ (d): (a): 3x-5y+2z-5 = 0 
 c/ (d): (a): x+2y-4z+1 = 0 
 d/ (d): (a): 3x-y+2z-5 = 0 
 e/ (d): (a): y+4z+17 = 0
 Bài 4: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng
 a/ (d): (d’): 
 b/ (d): (d’): 
 c/ (d): (d’): 
 d/ (d): (d’): 
 Bài 4:Viết phương trình của mặt phẳng (a) trong các trường hợp sau:
 a/ Đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
 (P): x - y + z – 4 = 0 (Q): 3x - y + z - 1 = 0
 b/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P): y + 2z – 4 = 0 (Q): x + y – z 3 = 0 và đồng 
 song song với mặt phẳng (b): x + y +z – 2 = 0
 c/ Qua tuyến của hai mặt phẳng (P): 3x - y + z – 2 = 0 (Q): x + 4y – 5 = 0 và đồng 
 vuông góc với mặt phẳng (b): 2x - z + 7 = 0
 Vấn đề 4: + Khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳng
 + Khoảng cách từ điểm đến một đường thẳng
 + Khoảng cách giữa đường thẳng chéo nhau
 Ä Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Tính khoảng cách từ các điểm M0(1;-;1;2), M1(3;4;1), M2(-1;4;3) đến mặt phẳng
 (a): x + 2y + 2z – 10 = 0
 Bài 2: Tìm trên trục Oz một điểm cách đều điểm M(2;3;4) và mp(a): 2x + 3y + z – 17 = 0
 Bài 3: Tìm trên trục Oy một điểm cách đều hai mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0 và
 (Q): x – y + z – 5 = 0
 Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M(2;3;1) đến các đường thẳng:
 a/ (d): 
 b/ (d): 
 c/ (d): 
 Bài 5: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng
 a/ (d): và (d’): 
 b/ (d): và (d’): 
 c/ (d): và (d’): 
 Vấn đề 5: Mặt cầu
 Phương pháp:
 * Nếu mặt cầu (S) đã cho có phương trình:
 Dạng 1: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Þ Tâm I(a;b;c) bán kính R
 Dạng 2: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By+Cz + D = 0 (ĐK: A2+B2+C2-D > 0)
 Þ Tâm I(-A;-B;-C) bán kính 
 * Viết phương trình mặt cầu (S) nếu biết:
 1. Đường kính AB
 2. Có tâm I và đi qua điểm M
 3. Ngoại tiếp tứ diện ABCD
 4. Có tâm I và tiếp xúc với một mặt phẳng.
 Ä Bài tập áp dụng:
 Bài 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
 a/ x2 + y2 + z2 - 8x + 2y + 1 = 0
 b/ x2 + y2 + z2 + 4x + 8y - 2z - 4 = 0
 c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x - 3y + 15z – 2 = 0
 Bài 2: Trong không gian Oxyz cho cho 4 điểm A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
 a/ CMR: A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
 b/ Tính thể tích của tứ diện ABCD
 c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tâm và bán kính của 
 mặt cầu 
 d/ Viết phương trình đường tròn đi qua A,B,C và xác định tâm và bán kính của nó
 Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) :x2 + y2 + z2 -2x -4y -6z = 0
 a/ Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)
 b/ Xét vị trí của mặt cầu (S) và mặt phẳng (a):x + y – z + k = 0 tùy theo giá trị của k
 c/ Tìm giao điểm của mặt cầu (S) với đường thẳng đi qua 2 điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5)
 và viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó 
 Bài 4: Trong không gian oxyz cho mp(a) và mặt cầu (S):
 (a): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 
 (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 =0   
 1/ Xác tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) 
 2/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mp(a) . Từ đó suy ra rằng mp(a) cắt mặt cầu (S) theo
 một đường tròn mà ta ký hiệu là (C) . Xác định bán r và tọa độ tâm H của đường tròn (C)
 Bài 5: Trong không gian oxyz cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=9
 1/ Viết phương trình mặt cầu (S). Chứng tỏ mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (a) có 
 phương trình : 2x-2y+z-28=0 
 2/ Chứng tỏ đường thẳng (d): nằm trong mặt phẳng (a)
 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 4 điểm A(1;0;-2), B(2;1;2), C(3;-1;1) và 
 D(2;3;0)
	1/ Chứng tỏ ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
	2/ Lập phương trình mặt phẳng 3 điểm B, C, D. Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp 
 hình tứ diện ABCD.
	3/ Lập phương trình các tiếp diện của mặt cầu (S) tại các điểm A, D. Tìm cosin của góc 
 nhọn tạo bởi hai tiếp diện ấy.
 Bài 6:Trong không gian oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1;0;0), 
 D(0;2;0), A’(0;0;3)
 1/ Viết phương trình mặt phẳng (a) đi qua A’, B, D và tính khoảng cách từ C’ đến mặt 
 phẳng (a)
 2/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A’, C’, D’, D. Xác định tâm của đường tròn (C) là 
 giao của mặt cầu (S) và mặt phẳng (a) 
 3/ Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC’ và BD
 Ü Học sinh cần xem công thức trước khi giải bài tập ! 
 TÀI LIỆU ÔN TẬP LỚP 12A NĂM HỌC 2004-2005
 LƯU HÀNH NỘI BỘ
 Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng