Phương pháp giải các dạng bài toán phương trình mặt phẳng

Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
1
PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm
A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt
các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n

=(A;B;C)
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
 Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q) VTPT n Q = (A;B;C)
- Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n Q = (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng
d
- Từ (d) VTCP u d = (A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d) Chọn VTPT n P=u d =(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n P.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R)
- Từ pt mp (Q) và (R) VTPT n Q ; VTPT n R
- Vì (P)  (Q) và  (R) VTPT n P  Qn và n P  n R
Chọn n P = [ n Q; n R]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n

P = [ n

Q; n

R]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính AB

, AC

 và a

= [ AB

, AC

]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT n

P= a

= [ AB

, AC

]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q)
- Tính AB

 , vtpt n

Q và tính [ AB

, n

Q]
- Vì A, B (P) ; (Q)  (P) nên chọn n P=[ AB , n Q]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT n

Q của mp (Q); VTCP u

d của đường thẳng (d).
- Tính [u

d, n

Q]
- Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n P = [u

d, n

Q]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà AB

- Mp (P) đi qua I và nhận AB

 làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP u

d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)
- Tính AM

 và [u

d, AM

]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n

P =[u

d, AM

].
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // ( )
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)
- Từ ( ) VTCP u và tính [u d, u  ]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

= [u

d, u
  ].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q)
- Từ (d) VTCP u d và điểm M (d)
- Từ (Q) VTPT n Q và tính [u d, n Q]
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
2
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT n

=[u

d, n

Q].
Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D DQ)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)
- Vì (d) nằm trong (P)  u d. n P=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc   900
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt( )một góc   900
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)
- Tính sin ((P),(  )) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P))
là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu  của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK AH
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max  AK = AH  KH
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R tìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.
- d(I,(P)) = 2 2R r (1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
 (theo pt của mp (Q) , trong đó D' DQ)
- Suy ra d (I,(P)) (2) Giải hệ (1), (2) tìm được D'  viết được
pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
3
- Từ (d)  VTCP u d và điểm M (d)
- d  (P)  u d. n P=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S = 2r tính r.
- Vì d  (P)  u d. n P=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0,
 chọn M trên đường thẳng d.
 =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S)
tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r = 2 2( ,( ))R d I p để r min  d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max AK = AH  KH
- PT mp(P) đi qua H và nhận IH

 làm VTPT
PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u

=(a,b,c)
PP: phương trình tham số của d là (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
     
 với t R
* Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc
0 0 0x x y y z z
a b c
   
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d)
thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ
VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính AB

- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB

 làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng ( )
- Từ pt( ) VTCP u 
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u
  làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P)
- Tìm VTPT của mp(P) là n

P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u

d = n

P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)
- Từ (d1),(d2) 1 2 1 2, à u à uVTCPd d l v
 
=> tính [ 1u

, 2u

].
- Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u

d= [ 1u

, 2u

]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
4
(Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0
- Từ (P) và (Q)  n P , n Q
- Tính [ n

P , n

Q]
- Xét hệ
'
' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D
    
.
Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó Md
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u

d =[ n

P , n

Q].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d' = (P) (Q)
Cách 2: + Tìm A = ( )d P ( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
 + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P)
 + Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2:
Cách 1 *Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
* Tìm B = 2( ) d 
 * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
 Viết pt mặt phẳng ( ) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2
 Đường thẳng cần tìm d =  
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3
- Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2
- Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2
Cách 1 : - Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = 2( ) d 
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1
 * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1
 * Đường thẳng cần tìm d =  
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( ) , cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d = ( ) ( )P Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( )
 * Tìm B = ( ) 'P d
 * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho
trước.
- Tìm giao điểm A=d1 ( )P và B=d2 ( )P
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng
d' tại giao điểm I của (P) và d'.
 * Tìm giao điểm I' = d' ( )P
 * Tìm VTCP u

của d' và VTPT n

 của (P) và tính [u,n]v   
 * Viết ptđt d qua I và có VTCP v

Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau
d1, d2 :
- Gọi 0 0 0 1( , , )M x at y bt z ct d    ,
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
5
 và ' ' '0 0 0 2( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d   
 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2
- Ta có hệ
11
2 2
. 0
, '
. 0
MN d MN u
t t
MN d MN u
      
 
  .
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài
đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường
thẳng d1,d2 .
 * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P)
 * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P)
 * Đường thẳng d = ( ) ( )Q R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường
thẳng d1 .
- Viết pt mp ( ) qua A và vuông góc d1
- Tìm giao điểm B = 1( ) d 
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc
0 0(0 ;90 ) (= 300, 450, 600)
 * Gọi VTCP của d là 2 2 2( ; ; ), : 0u a b c dk a b c   
 * Vì 11 . 0d d u u  
 
=>phương trình (1)
 Vì
2
2
.
.
u u
cos
u u
 
 
  => phương trình (2)
 Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay g ... 
MẶT CẦU CẮT MẶT PHẲNG
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu có tâm tạo giao điểm I của mặt phẳng
(P) và đường thẳng (d) sao cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt
diện là hình tròn có diện tích 12ẽ ,biết :
1)   R
tz
ty
tx
d 






 t
2
3
1
: ,(P):x-y-z+3=0
2)  
01
03
:




y
zyx
d , (P):x+y-2=0.
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
34
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) và cắt
mặt phăng (P) theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng
18.biết:
  R
tz
ty
tx
d 






 t
1
39
412
: và (P):y+4z+17=0.
Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,và
mặt phẳng
(P):3x-8y+7z-1=0 .
1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên mặt phẳng (P) sao cho
tam giác đều .
2) Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A,B,C và có tâm
thuộc mặt phẳng
(P):x-y-z-2=0.
MẶT CẦU TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) biết :
1) Tâm I(1,2,-1) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình :
  R
z
ty
tx
d 






 t
1
1
:
2) Tâm I(3,-1,2) và tiếp xúc với đường thẳng (d) có phương trình :
 
017322
0322
:




zyx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
  R
tz
ty
tx
d 






 t
32
1
21
:1 ,   012
043
:2 



zyx
yx
d
Lập phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1) tại điểm H(3,1,3) và có
tâm thuộc đường thẳng (d2).
Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 
01
012
:1 



zyx
yx
d ,  
012
033
:2 



yx
zyx
d
1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I
của chúng .
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường
thẳng (d1) và (d2).
3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
đường thẳng (d) có phương trình :   R
tz
ty
tx
d 






 t
33
2
21
:
Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
  R)(t
46
32
23
:1 





tz
ty
tx
d ,  
015
0194
:2 



zx
yx
d
1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau .Xác định tọa độ giao điểm I
của chúng .
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường
thẳng (d1) và (d2).
3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
đường thẳng (d) có phương trình :  
4
9
1
5
3
7
:

 zyxd
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 
4
1
32
2
:1 

 zyxd ,  
129
2
6
7
:2
zyxd 

1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường
thẳng (d1) và (d2).
3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
đường thẳng (d) có phương trình :
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
35
  R
z
ty
tx
d 






 t
1
1
:
Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 
4
9
1
5
3
7
:1

 zyxd ,  
4
18
1
4
3
:2

 zyxd
1) CMR hai đường thẳng đó song song với nhau.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua hai đường
thẳng (d1) và (d2).
3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
đường thẳng (d) có phương trình :
  R
tz
ty
tx
d 






 t
1
3
23
:
Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
  R)(t
33
2
21
:1 





tz
ty
tx
d ,  
31
23
2
:2 





uz
uy
ux
d
1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2).
3) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
4) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
mặt phẳng
(P) : xy+z-2=0
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đường thẳng (d1),(d2) ,biết :
 
01
03
:1 



zx
zyx
d ,  
01
0922
:2 



zy
zyx
d
1) CMR hai đường thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phương trình đường vuông góc chung của(d1) và (d2).
3) Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với (d1),(d2) và có tâm thuộc
mặt phẳng
 (P):2x-y+3z-6=0.
MẶT CẦU CẮT ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) và đường thẳng (d) có phương
trình :  
0843
020345
:




zyx
zyx
d
1) Xác định VTCP a của (d) suy ra phương trình mặt phẳng (P) qua I
và vuông góc với (d):
2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra phương trình mặt cầu
(S) có tâm sao cho (S) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn
AB=40.
Bài 2: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
  R
tz
ty
tx
d 






 t
3
2
21
: ,
(P):2x-y-2z+1=0.
1) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho
khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
2) (ĐHBK-98):Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2,-1,3) qua đường
thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
3) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm
phân biệt A,B sao cho AB=12.
4) Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
5) Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến
là một đường tròn có diện tích bằng 16ẽ
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz
,cho bốn điểm A(1,0,1), B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5).
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua D và vuông
góc với mặt phẳng (ABC).
2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm
 0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8)
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
36
1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB)
vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao điểm của hình chiếu đó với
0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lượt là điểm giữa của các cạnh S0,AB .
Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho PQ và KM cắt nhau.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm
A(4,4,4), B(3,3,1),
C(1,5,5), D(1,1,1).
1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và
tính thể tích tứ diện ABCD.
2) (HVKTQS-98): Viết phương trình tham số đường thẳng vuông góc
chung của AC và BD.
3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3),
C(5,-1,4), D(0,6,1).
1) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tham số của đường thẳng
BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ của điểm H.
2) (HVNHTPHCM-99):Viết phương trình tổng quát của (BCD) .Tìm
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh
S(5,5,6), A(1,3,0),
B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0).
1) Lập phương trình các mặt của hình chóp.
2) Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp .
3) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2),
B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).
1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau .
2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.
3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.
MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN
Bài 1: Lập phương trình mặt cầu nội tiếp hình chóp SABCD ,biết:
1) )0,0,
3
4( 

S ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0).
2) S≡0,A(a,0,0),B(0,b,0), C(0,0,c), với a,b,c>0.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh )4,
2
9
,
2
1(S đáy ABCD là hình
vuông có A(-4,5,0) ,đươngf chéo BD có phương trình :
 
0
087
:




z
yx
d
1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp .
2) Lập phương trình nặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
3) Lập phương trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
1) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (0AB), (0BC), (0CA),
(ABC).
2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện 0ABC .
3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2), B(-1,2,-1), C(1,6,-1),
D(-1,6,2).
1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .
3) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
4) Viết phương trình mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VÀ MẶT CẦU
Bài 1: Cho mặt cầu   034: 222  zyxzyxS .xét vị trí
tưpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
1) điểm A(1,3,2).
2) điểm A(3,1,-4).
3) điểm A(-3,5,1).
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu
  03242: 222  zyxzyxS .Sao cho khoảng cách MA đạt
giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất,biết:
1) điểm A(1,-2,0).
2) điểm A(1,1,-2).
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
37
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT
CẦU
Bài 1: Cho mặt cầu   06222: 222  zyxzyxS .Tìm toạ
độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (d) đạt giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất,biết:
1)   R
tz
ty
tx
d 






 t
1
1
2
: 2.  
012
032
:




zy
zyx
d
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU
Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ đô trực chuẩn 0xyz,
cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình :
  022: 222  xzyxS ,(P):x+z-1=0.
1) Tính bán kính và toạ độ tâm của mặt cầu (S).
2) Tính bán kính và toạ độ tâm của đường tròn giao của (S) và (P).
Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) và mặt phẳng 2x+2y+z+5=0 .
1) Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho giao của (S) và (P) là
đường tròn có chu vi bằng 8ẽ .
2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x-2=y+3=z.
3) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và tiếp xúc với
(S).
Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD với S(3,2,-1), A(5,3,-
1), B(2,3,-4), C(1,2,0).
1) CMR SABC có đáy ABC là tam giác đều và ba mặt bên là các tam
giác vuông cân.
2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua đường thẳng AB. M
là điểm bất kì thuộc mặt cầu tâm D, bán kính 18R .(điểm M
không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét tam giác có độ dài các
cạnh bằng độ dài các đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó
có đặc điểm gì ?
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đường tròn (C) có phương trình :
 




0
14
:
222
z
zyxC .Lập phương trình mặt cầu chứa (C) và tiệp
xúc với mặt phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình
:
  9)1()2()3(: 222  zyxS ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm
M sao cho M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt phẳng (P)
nhỏ nhất .
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT CẦU
Bài 1: Cho hai mặt cầu:   0722: 2221  yxzyxS ,  02: 2222  xzyxS
1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua
điểm M(2,0,1).
Bài 2: Cho hai mặt cầu:   9: 2221  zyxS ,  06222: 2222  zyxzyxS
1) CMR hai mặt cầu (S1) và (S2) cắt nhau.
2) Viết phương trình mặt cầu qua giao điểm của (S1) và (S2) qua
điểm M(-2,1,-1).