Phương pháp dồn biến (mixing variable) trong các kỳ thi đại học những năm gần đây

PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN
(Mixing variable)
TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY
ĐẶT VẤN ĐỀ
Kể từ năm học 2001-2002, kỳ thi đại học được tổ chức “3 chung”, vì vậy các bài toán bất đẳng thức ít xuất hiện và nếu có thì độ hóc búa cũng giảm đi. Mặc dù vậy, cho dù ít xuất hiện nhưng các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học cũng không nằm ngoài các bất đẳng thức đối xứng, hoán vị 
Do đó nếu vận dụng linh hoạt phương pháp dồn biến các bài toán bất đẳng thức trở nên dễ dàng hơn 
Trong nghiên cứu của tôi, không thể nói là cách sử dụng phương pháp dồn biến sẽ ngắn gọn hơn hay là dễ hiểu hơn. Song mục đích của tôi là sử dụng một phương pháp chung, phương pháp dồn biến cho tất cả các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học mà chúng tôi đề cập đến.
 Đề tài nghiên cứu sẽ giúp giáo viên và học sinh có một tài liệu tiếp cận với phương pháp dồn biến, một phương pháp mới để giải tốt các bài toán bất đẳng thức . Do thời gian và khả năng có hạn nên đề tài không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong có những ý kiến đóng góp quý báu của các đồng nghiệp và các bạn. Xin chân thành cảm ơn!
NỘI DUNG
BẤT ĐẲNG THỨC – PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN
Bất đẳng thức cơ bản
BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI
Trong toàn bộ nghiên cứu, chúng tôi mong muốn đưa bài toán nhiều biến về nhiều nhất là hai biến, do đó chúng tôi chỉ phát biểu bất đẳng thức Cô-si chỉ ở dạng cơ bản nhất.
Giả sử là 2 số thực không âm. Khi đó
Đẳng thức xảy ra khi x=y
Và sau đây là các định lý cơ bản nhất trong sách giáo khoa giải tích 12, đó là công cụ bổ trợ thiết thực cho giải toán bất đẳng thức.
Các định lý cần thiết
ĐỊNH LÝ 1
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn đó.
ĐỊNH LÝ 2
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và đạo hàm . Khi đó 
ĐỊNH LÝ 3
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a;b] và đạo hàm . Khi đó 
PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN
Trong các kỳ thi đại học, nếu có bài toán bất đẳng thức thì cũng không nằm ngoài các bất đẳng thức đối xứng hay hoán vị. Mà nếu thế thì sử dụng phương pháp dồn biến sau đây sẽ cực kỳ hiệu quả.
Phương pháp dồn biến (mixing variable) được khái quát theo 2 bước chính.
Giả sử ta cần chứng minh (nếu không thì ngược lại), với x, y, z là 3 biến số thực thỏa mãn các tính chất nào đấy.
Bước 1(Kỹ thuật dồn về 2 biến bằng nhau) 
Đánh giá với t là một biến mới sao cho bộ số (x,t,t) thỏa mãn tính chất của bộ số (x,y,z).
Thông thường ta hay đặt t là các đại lượng trung bình để không làm mất đi các tính chất cho trước, chẳng hạn 
Bước 2. Đánh giá .
Phương pháp chúng tôi đề cập đến chỉ ngắn ngọn như thế, việc khó nhất của chúng ta là đánh giá . Điều đó sử dụng nhiều kỹ thuật, chứ ở bước thứ 2 hầu hết là đơn giản vì chúng ta đã hạn chế còn lại chỉ 2 biến số.
Thí dụ ( Bất đẳng thức Côsi cho 3 số)
Giả sử là 3 số thực không âm. Khi đó.
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z
Chứng minh
Bước 1
Đặt 
Đặt , ta có suy ra
Bước 2 là chứng minh
Việc này thật đơn giản vì
Vậy 
Đẳng thức xảy ra khi 
Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương vừa được chứng minh, chúng tôi sẽ sử dụng nó như là một bổ đề cho các chứng minh tiếp theo.
CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CÁCH GIẢI CHUNG
Phần này chúng tôi chỉ sử dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số, sử dụng tính đơn điệu của hàm số, và các biến đổi thông thường để chứng minh các bất đẳng thức. Nghĩa là chúng tôi muốn chỉ cần các kiến thức trong sách giáo khoa kèm theo phương pháp dồn biến là có thể chứng minh được các bất đẳng thức trong các kỳ thi tuyển sinh đại học hoặc các kỳ thi học sinh giỏi các cấp.
Phương pháp dồn biến chúng tôi chia làm hai mảng thường gặp là các bất đẳng thức đại số và các bất đẳng thức lượng giác. 
Các bất đẳng thức đại số
[KHỐI A- 2011]
 Cho x, y, z là 3 số thực thuộc và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Giải:
Ta có 
Đặt , bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của với điều kiện .
Ký hiệu 
Đặt , theo giả thiết 
Kết hợp với điều kiện ta có 
Ta có 
Ta có 
Ta có (1) luôn đúng vì và . Dấu bằng sảy ra khi hoặc tức là hoặc (2)
Do đó hay 
Bước còn lại của phương pháp dồn biến đánh giá .
Theo giả thiết nên
Đặt 
Suy ra . Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi hay (3)
Do đó . Từ ( 2 ) và ( 3 ) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng khi .
Nhận xét: Ở đây ta đã sử dụng phương pháp dồn biến với kỹ thuật chuẩn hóa. Mục đích là để việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn. 
 [KHỐI A- 2009]
Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Chứng minh: 
Đây là một đề toán rất gần đây, không ít người cho rằng đây là bài toán dễ, nó được đông đảo người mê toán bất đẳng thức sôi nổi đưa ra các đáp án khác nhau và có nhiều lời giải hay.
Sau đây là đáp án được đưa ra của bộ giáo dục – đào tạo và các đáp án được đưa ra các bạn có thể tìm được trên mạng, cuối là đáp án của chúng tôi.
Đáp án của bộ GD-ĐT
Đặt a=x+y, b=x+z, c=y+z , điều kiện của bài toán trở thành c2=a2+b2-ab.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
Thỏa mãn điều kiện:
Từ (1) ta có và 
Từ đó suy ra đpcm, dấu bằng xảy ra khi hay 
Còn sau đây là phương pháp của chúng tôi.
Phương pháp dồn biến
Đặt 
Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy rằng có hai biến có vai trò như nhau là y và z, và thấy được dấu bằng xảy ra khi x=y=z nên đặt 
Khi đó theo giả thiết 
Vì vậy hay. 
Suy ra 
Ta có
Xét hàm số
Ta có
Vậy 
Do đó theo định lý 2 ta có
Nên 
Do đó 
Phương pháp dồn biến chỉ còn lại việc đánh giá biểu thức hai biến số
 trong điều kiện.
Việc này thật đơn giản vì 
Vậy kết luận cuối cùng 
Hay 
Đẳng thức xảy ra khi x=t và (đpcm)
 Trên đây chúng tôi vừa đưa ra một bất đẳng thức khó mà theo chúng tôi nó rất đặc trưng cho phương pháp chúng tôi đề cập đến:
Nhận xét: Việc khó nhất của chúng ta là đánh giá .
[Đề dự bị khối A-2005[2]]
Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn x+y+z=0. Chứng minh rằng 
Chứng minh:
Đặt , bài toán trở thành chứng minh rằng với điều kiện .
Ký hiệu 
Đặt , với điều kiện 
Ta có 
Ta có
Theo bất đẳng thức Côsi thì . Mặt khác:
Từ (2) và (3) suy ra hay 
Bước còn lại của phương pháp dồn biến là chứng minh .
Thật không khó vì giả thiết nên
Theo bất đẳng thức Côsi thì 
Suy ra
Tới đây, chúng ta có thể sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của
, hoặc có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số 
Và kết luận đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 
[Khối A-2003]
Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Chứng minh:
Ta nhận thấy rằng các biến x, y, z độc lập nên phương pháp dồn biến là cực kỳ hiệu quả
Ký hiệu 
Vì vai trò của x, y, z là như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
Đặt , vì theo bất đẳng thức Côsi với giả thiết suy ra 
Ta có 
Suy ra
Vì hàm số giảm khi nên
Suy ra 
Bước còn lại của phương pháp dồn biến là chứng minh .
Ta có
Theo điều giả sử nên 
Bằng cách khảo sát hàm số ta có 
Dấu bằng xảy ra khi 
Và kết luận đpcm. Dấu bằng xảy ra khi 
[Khối B -2007]
Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải: Đây là bài toán chưa chuẩn hóa ( bất đẳng thức không điều kiện) thì chúng ta sẽ có nhiều cách để dồn biến hơn. Khi đó ta sẽ chọn cách dồn biến sao cho bảo toàn được “ nhiều “ biểu thức nhất trong bất đẳng thức 
Đặt 
Vì vai trò của x, y, z như nhau nên ta có thể giả sử 
Và ký hiệu , khi đó .
Ta có 
Suy ra 
Vậy 
Vấn đề còn lại của chúng ta là tìm giá trị nhỏ nhất của
Vì nên xét hàm số trên khoảng 
Ta có
Vậy 
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi 
Các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác cũng là bất đẳng thức ba biến. Trong các đề thi đại học rất ít ra nhưng ở đây chúng tôi cũng đưa ra một bài để minh họa cho sức mạnh của phương pháp dồn biến trong dạng bất đẳng thức này:
Cho tam giác ABC. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 Giải: 
Kí hiệu: 
Vì vai trò của A, B, C như nhau nên ta có thể giả sử 
Và ký hiệu , khi đó 
Ta có 
Suy ra 
Ta có 
Từ ( * ) ta có suy ra (1) đúng. Vậy 
Vấn đề còn lại của chúng ta là tìm giá trị nhỏ nhất của
Dễ thấy . Suy ra . Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy giá trị nhỏ nhất của là khi tam giác ABC là tam giác đều
Các bài tập đề nghị
[Khối A -2007]
Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[Khối D -2005]
Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng:
KẾT LUẬN
Qua nghiên cứu trên tôi thấy phương pháp dồn biến là phương pháp mạnh và hiệu quả cho việc chứng minh bất đẳng thức. Phương pháp này là phương pháp hiện đại, mặc dù có vẻ hơi xa lạ cho các em học sinh, xong giáo viên chỉ cần dạy cho các em nắm được ý tưởng của phương pháp này là khi giải các bài toán bất đẳng thức nếu ta đưa được về trường hợp có hai biến bằng nhau hoặc là một biến có giá trị tại biên, thì số biến sẽ giảm đi. Do đó bất dẳng thức mới đơn giản hơn bất đẳng thức ban đầu, đặc biệt nếu bất đẳng thức mới chỉ còn một biến thì bằng cách khảo sát hàm số một biến số ta sẽ chứng minh bất đẳng thức khá đơn giản. Chính vì tư tưởng là giảm dần số biến nên phương pháp này được gọi là phương pháp dồn biến. Nếu các em học sinh nắm được bản chất của phương pháp và vận dụng kiến thức đã học trong chương trình phổ thông thì các em sẽ làm tốt các bài toán bất đẳng thức trong các kì thi đại học.
Bài toán mở: Trong đề tài này tôi chỉ làm việc treeb đối tượng là bất đẳng thức với ba biến số, qua đó tôi nhận thấy rằng chúng ta có thể mở rộng cho bài toán bất đẳng thức với bốn biến số và một cách tự nhiên thì ta cũng sẽ tổng quát cho n biến số. Hy vọng rằng sẽ trao đổi nhiều thêm về vấn đề này với các đồng nghiệp và các bạn. 
	Một lần nữa xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích 12-
Trần Phương-Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học-NXB TRI THỨC
Toán ĐH-CĐ 1992-2010-diendanbaclieu.net