Phiếu học tập Toán 12 - Chủ đề 1: Ứng dụng đạo hàm và khảo sát sự biến thiên – vẽ đồ thị hàm số

Chủ đề 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN –VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 	
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÁM SỐ.
 1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
 a) Điều kiện đủ:
 * f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
 * f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
 b) Điều kiện cần.
 - f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) trên khoảng (a ; b).
 - f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) trên khoảng (a ; b).
 2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Lập bảng xét dấu y’.
Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng 
Cần nhớ: Định lí về dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c
 . Nếu thì f(x) = ax2 + bx + c luôn cùng dấu với a.
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a 
 . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:
 x - x1 x2 +
 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
Đặc biệt: + 
 + 
 + có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x2 .
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
 * Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0
 a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) và x thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
 b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) và x thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
 * Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
 K \{x0}, với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 * Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 * Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
 Quy tắc 1: 
Tìm TXĐ
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Quy tắc 2.
 1.Tìm TXĐ
 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3n) là các nghiệm của nó.
 3. Tính f”(x) và f”(xi).
 4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi .
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 - Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : M = .
 - Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : m = 
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại .
* Cách tìm : 
 1. Tìm các điểm x1, x2, .., xn trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
 2. Tính f(a), f(x1), ., f(xn), f(b).
 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M = .
4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
 a) Tiệm cận đứng.
 Nếu hoặc 
 thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
 b) Tiệm cận ngang.
 Nếu hoặc thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C).
5. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 
 1)Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
 1) Tập xác định: 
 2) Sự biến thiên
Chiều biến thiên
(Lập bảng biến thiên sơ lượt ngoài giấy nháp để hs thuận tiện khi kết luận)
 + Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. 
Cực trị
 + Kết luận về cực trị của hàm số.
Các giới hạn –tiệm cận
Bảng biến thiên (đầy đủ mọi chi tiết)
	3) Đồ thị
Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ
 + Giao điểm với Oy: 
 + Giao điểm với Ox: 
 Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng. 
 2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Pt y’ = 0 có nghiệm kép
Pt y’ = 0 vô nghiệm
3/. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt
Pt y’ = 0 có một nghiệm
4/. Hàm số y = 
D = ad – bc > 0
D = ad – bc < 0
6 .MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯƠNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
 1/ Giao điểm của hai đồ thị.
Cho hai đồ thị (C1) y=f(x) và (C2) y=g(x).
Khi đó phương trình f(x)=g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm.
Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) (1) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)
	Nếu (1) vô nghiệm : Không có điểm chung.
	 1 nghiệm đơn : Cắt nhau
	 n nghiệm : n giao điểm
	 1 nghiệm kép : tiếp xúc
 * Đặc biệt: điều kiện tiếp xúc của (C1) và (C2) là hệ phương trình 
 có nghiệm.
 2)Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị:
Giả sử cần biện luận số nghiệm của phương trình F(x,m)=0 (1) trong đó đồ thị (C) của hàm số y=f(x) đã vẽ.
Biến đổi phương trình (1) về dạng f(x)=g(x,m). Thông thường y=g(x,m) là phương trình của một đường thẳng d. Đặc biệt, y=g(m) là đường thẳng song song với trục Ox và cắt Oy tại g(m).
Số nghiệm phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) với d nên dựa vào đồ thị kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
 3/ Tiếp tuyến.
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C).
 Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
 Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :
y = y’(x0)(x – x0) + y0
 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0 .
Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA).
 Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA
 (d) tiếp xúc (C) có nghiệm.
 Nghiêm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
4)Biến đổi đồ thị:
	Một số dạng hàm chứa dấu trị tuyệt đối thường gặp được suy ra từ đồ thị (C) của hàm số .
Đồ thị (C1) của hàm số được suy từ (C) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thi (C) ứng với (Phần phía trên trục Ox)
Lấy đối xưng qua trục Ox phần đồ thị (C) ứng với y<0(phần phía dưới trục Ox)
Đồ thị (C2) của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với (phân bên phải trục Oy)
Lấy đối xứng qua trục Oy phần đồ thị vừa giữ lại đó.
Đồ thị (C3) của hàm số được suy ra từ (C) bằng cách:
Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với (phần nằm phía trên trục Ox)
Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị vừa giữ lại đó.
Hàm số bậc 3 :
 4. Tìm m đề pt : có 3 nghiệm phân biệt .
 4. Viết pttt của đồ thị (C) biết tt song song với đt d : y = -9x+2011
 5. Tìm m đề pt : có 4 nghiệm phân biệt .
 3) Viết pptt của (C) biết tt vuông góc với đt d :y = (1/12)x-2100 
 4 ) Tìm m đề pt : có 4 nghiệm phân biệt .
Bài 1: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0.
 Bài 2 ( 3,0 điểm ) Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m – 2 . m là tham số
	1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
	2.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
 Bài 3: (3,0 điểm). Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C) định k để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt .
 Bài 4: (3 điểm)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x2 + 4.
Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị (Cm): y = x3 – 3x2 – m cắt trục hoành Ox tại ba điểm phân biệt.
 Bài 5: (3 điểm ): Cho hàm số y = ( C ).
 	 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
 	 b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại tâm đối xứng của đồ thị.
	Bài 6: ( 3,0 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Dựa vào đồ thị (C), định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
 Bài 7: (3.0 điểm) Cho hàm số, gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình .
 	 Bài 8: ( 3,0 điểm ) Cho hàn số y = x3 + 3x2 + 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
	2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m:
 	 x3 + 3x2 + 1 = 
 Bài 9 ( 3 điểm): Cho hàm số : 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
Dựa vào đồ thị hàm số trên, biện luận theo m số nghiệm phương trình: 
 Bài 10: (3.0 điểm ) Cho hàm số có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Dùng đồ thị (C), xác định k để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt.
2.Hàm trùng phương:
Bài 1: (3,0 điểm) Cho hàm số 
	1.Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2.Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: 
 3.Viết pttt của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Bài 2: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
Dùng đồ thị (C ), biện luận theo số nghiệm thực của phương trình 
. 
 Bài 3: ( 3,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2x2 +3, có đồ thị là ( C ).
Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao của ( C ) với trục Oy.
 Bài 4: (3.0 điểm) Cho hàm số
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thịhàm số trên.
Từ tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. 
 Bài 5: (3,0 điểm):
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3.
 Bài 6: ( 3 điểm ) 
Cho hàm số y = 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 
2. T×m m để Ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
 Bài 7: ( 3 điểm ) 
 Cho hàm số y = (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiếp tuyến tại ®iÓm cã hoµnh ®é x = 1 
 Bài 8: ( 3 điểm ) Cho hàm số y = (1)
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. T×m m ®Ó hµm sè cã 3 cùc trÞ.
 Bài 9: (3,0 ®iÓm) Cho hµm sè cã ®å thÞ (C)
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
Dïng ®å thÞ (C), h·y biÖn luËn theo m sè nghiÖm thùc cña ph­¬ng tr×nh 
 Bài 10: (3,5 ®iÓm) Cho haøm soá y = x4 – 2x2 + 1 coù ñoà thò (C).
	 	1) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò (C) cuûa haøm soá.
	2) Duøng ñoà thò (C), bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa pt : x4 – 2x2 + 1 - m = 0.
	3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(0 ; 1).
3.Hàm hữu tỷ:
Bài 1
Bài 1 : (3,0 điểm) . Cho hàm số , có đồ thị là (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng -2.
 Bài 2: (3 điểm) Cho hàm số , có đồ thị (C).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d: y = mx + 2 cắt đồ thị (C) của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
 Bài 3: (3,0 điểm)Cho hàm số (C) .
	1.Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số.
	2.Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M thuộc (C) và có hoành độ xo= 1
	 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho hàm số ( C )
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
 2. Gọi A là giao điểm của đồ thị với trục tung. Tìm phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại A.
 Bài 5 .(3 điểm). Cho hàm số có đồ thị là (C)	
1/ Khảo sát hàm số và vẽ (C)
2/ Viết phương trình đường thẳng qua M(1 ; 0) cắt (C) tại hai điểm A, B nhận M làm trung điểm. 
Bài 6: ( 3 điểm) Cho hàm số có đồ thị là (C)
1. Khảo sát hàm số (1)
 2.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1).
Bài 7: ( 3,0 điểm ) Cho hàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(2;5) . 
C©u 8.( 3,0 ®iÓm)
	1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 
	2.T×m trªn ®å thÞ ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn ®­êng tiÖm cËn ®øng b»ng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn tiÖm cËn ngang.
 Bài 9: (3,5 điểm)
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C).Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2)
 Bài 10: ( 3 ®iÓm) Cho hµm sè 
	1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (c) cña hµm sè.
	2. ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (c) t¹I ®iÓm cã tung ®é b»ng 1.