Phép biến đổi tương đương áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị

Phép biến đổi tương đương
áp dụng bất đẳng thức để tìm cực trị
I - Phép biến đổi tương đương
1) Phương pháp chung
- Từ 1 BĐT ban đầu biến đổi tương đương về một BĐT luôn đúng ( hoặc ngược lại)
- Một số ví dụ;
VD1; Cho a;b; c > 0 CMR ; a3 + b3 + abc ab (a + b + c)
Lời giải:
Ta có a3 + b3 + abc ab (a + b + c)
 a3 + b3 + abc a2b + ab2 + abc
 (a+b)(a2_ab+b2) ab (a+b)
 (a+b) (a-b)2 0
Ta có: a; b; > 0 a + b > 0 
(a - b)2 0 a, b
 (a + b).(a - b)2 0 (Luôn đúng) a, b > 0
 a3 + b3 + abc ab (a+b+c) (ĐpCM)
VD2: Cho a, b, c > 0 CM:
Lời giải:
Ta có 
 a2b2 + b2c2 + c2a2 abc (a + b + c)
 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) 2 abc(a + b + c)
 (a2b2 + b2c2 - 2ab2c)+ (a2b2 + a2c2- 2a2bc) + (b2c2 + c2a2 - 2abc2) 0
b2(a - c) + a2(b - c)2 + c2(a - b)2 0 ( Luôn đúng do a ; b ; c > 0 )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
VD3: Cho a , b , c là độ dài 3 cạnh của Cm:
 Bài làm
Đặt M = 
có M =
 (Vì a; b; c > 0)
có 
Vậy 
VD4 :Cho ab 1 CM:
Bài giải
Ta có (1) 
 (Vì ab )
 ( Luôn đúng )
Dấu “=” xảy ra 
VD5:Cho 
CM: 
Bài làm
áp dụng kết quả ở ví dụ 4 ta có:
Tương tự: 
mà : 
Dấu “=” xảy ra a = b = c = d
VD6: Cho abc Với: A B C
(ha ; hb ; hc lần lượt là các đường cao hạ từ A; B; C xuống 3 cạnh của )
A
C
ha
B
a
b
c
Bài làm:
Gọi S là diện tích ABC
tương tự: 
(1) 
Lại có A B C a b c (Quan hệ cạnh – góc trong )
 Đpcm
Dấu”=” xảy ra (=) 
VD7 : CM: a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Từ đó chứng minh: Với a , b , c , > 0
Bài giải:
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca (*)
 2(a2 + b2 + c2 ) - 2.(ab + bc + ca) 0
(=) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 0 ( luôn đúng )
Dấu “=” xảy ra (=) a = b = c
Ta có : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
a4 + b4 + c4 a2b2 + b2c2 + c2a2
a8 + b8 + c8 a4b4 + b4c4 + c4a4
áp dụng (*) a8 + b8 + c8 a4b4 + b4c4 + c4a4 a2b3c3 + a3b2c3 + a3b3c2
Dấu đẳng thức xảy ra (=) a = b = c
VD 8: Cho a ; b ; c là độ dài 3 cạnh của 1 ; p là nửa chu vi
Cm: 
Bài giải
Từ bất đẳng thức (x ; y không âm ; xy 0 ) 
(Dễ dàng CM được BĐT Côsi)
Ta có: 
Cộng từng vế của BĐT trên ta được:
*Chú ý : Biến đổi ngược lại ta sẽ được một bài C/m BĐT bằng cách biến đổi tương đương thực sự.
VD 9: Cho a> b > 0 ; m > n 
 (*)
Bài làm:
Có a > b 
 (1) luôn đúng
 (*) luôn đúng
 Đpcm
*Một số bài tập áp dụng:
1) Cho C/m:
2) Cho a , b , c là các số thực dương thoả mãn abc = 1
CMR:
( Chú ý BĐT Nesôlsit )
3) Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 
CM: a(b - c)2 + b(c - a)2 + c(a + b)2 > a3 + b3 + c3 (*)
4) CM:
5) CM:
(a, b, c, d 0)
6) CM:
7) CM:
a) 
b) 
8) Cho a, b, c 0 CMR:
II - áp dụng BĐT để tìm cực trị
- Một số BĐT thường gặp để tìm cực trị
* BĐT Côsi: Cho n số không âm: a1, a2,......an ta có:
(a1+ a2+ ... + an ) 
* BĐT Bunhiacôpxki: Cho 2 bộ số (a1, a2,...an) và (b1, b2,,...bn)
Ta có:
Dấu “ = ” xảy ra 
* BĐT trị tuyệt đối
* BĐT trong tam giác
Ta phải áp dụng linh hoạt các bất đẳng thức trên để có thể tìm được cực trị 
Khi tìm cực trị của các biểu thức ta nên xem xét các biểu thức phụ như -A; ; A2 ... để bài toán thêm ngắn gọn 
* Sau đây ta xét một vài ví dụ cơ bản
VD1: Tìm max có biểu thức:
 A = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z không âm và x+y+z=1
+ Có một bạn giải như sau:
áp dụng BĐT: 
Ta có:
*Chú ý: Lời giải trên là hoàn toàn sai lầm do chưa tìm ra dấu bằng khi áp dụng BĐT.
+ Ta có lời giải hoàn chỉnh như sau:
áp dụng BĐT Côsi cho 3 số không âm ta có:
Nhân từng vế của (1) và (2) ta được
Dấu “=” xảy ra x = y = z = 
** Tương tự ta dễ mắc phải sai lầm trong ví dụ sau
- Tìm min của A = 2x +3y biết 2x2 + 3y2 5
Lời giải sai: Gọi B = 2x2 + 3y2 ta có B 5
Xét A + B = 
Mà 
Cộng từng vế của (1); (2) 
*Chú ý : Sai lầm ở đây chính là ở chỗ ta chưa xét dấu bằng ở cả hai BĐT
* Một số bài tập cơ bản áp dụng BĐT Côsi:
1) Tìm min của 
L ời giải:
Tương tự giải bài B,C
 	+) 
2) Tìm max của 
A = (2x-1) (3-5x)
Bài giải
 Tương tự chúng ta dễ dàng giả được phần B; C
3) Cho a, b, c > 1 Tìm min của
Xét: 
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 4 (a -1); ta có:
Tương tự với ta tìm được min A = 48
4) Cho a, b, c không âm CMR a + b + c = 
Tìm min của A = 
Dễ dàng CM được
áp dụng BĐT trên ta có:
Tương tự: 
Dấu “=” xảy ra (=) 
* áp dụng BĐT Bunhiacopxki
1) Tìm min; max của
Bài làm
áp dụng BĐT Bunhia copxti có 2 bộ số (3; 4) và ta có
Có:
Tương tự giải cho B
* Chú ý thêm BĐT suy ra từ BĐT Côsi 
Dựa vào BĐT trên ta giải bài tập sau:
Cho x; y > 0 TM: 
Tìm max; CM: 
Theo BĐT ta có
Dấu “=”xảy ra x = y = z
Tương tự: 
Cộng từng vế 3 BĐT trên
Dấu “=” xảy ra (=) x= y = z = 
* Một bài toán tìm cực trị ta có thể áp dụng nhiều BĐT để giải
Vídụ : Cho 3 số dương a, b, c ; a +b +c = m là 1 hằng số 
Tìm min của A 
Cách 1: áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dương ta có:
Cách 2: áp dụng BĐT Côsi ta có:
Tương tự:
Cộng từng vế 
Cách 3: áp dụng BĐT Bunhia copxti ta có:
Cách 4: Giả sử 
áp dụng BĐT Trêbưsép cho 6 số trên
* Một số bài toán áp dụng BĐT trị tuyệt đối.
Ví dụ: Tìm min ; max của
Hướng dẫn:
Đổi:
*áp dụng BĐT về 3 điểm
* Một số bài tập
Bài 1: Tìm min của
Bài 2: Tìm min; max của p = x2+y2 với x, y là 2 số thoả mãn x2+ xy + y2 = 1
Bài 3: Tìm max p
 a) A = 4x3 - x4
 b) B = với 
 c) với và 
Bài 4: Tìm max a.a’
 với 
Bài 5: Tìm min của
a) với x, y, z TM: xy + yz + zx = 1
b) với x, y, z TM: 
Bài 6: Cho a, b >0 ; a + b =1
Tìm Max 
Bài 7: Cho a, b, c, d >0 
Tìm min của (ĐS = 4)
Bài 8: Cho x, y, z, t > 0 TM x + y + z + t = 1 
Tìm Min của (ĐS = 16)
Bài 9: Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có a + b + c = m là một hằng số
Tìm Max của 
Bài 10: Cho x, y, z TM 
Tìm Min của xyz ĐS = 
Bài11: Cho 3 số dương x, y, z > 0 TM
Tìm Min của xyz ĐS: 8 x=y=z=2
 Bài12: a) Cho a, b, c >0 ; a + b + c = 1 
Tìm Max của ĐS: 
 b) Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác 
Tìm Max của biểu thức