Phân loại đề thi tuyển sinh đại học từ 2002 đến 2012

Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 1/28 
PHÂN LOẠI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2012 
Phần 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 
1. Khối A 
(KA-2002). Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 3 23 3 1– 1 y x mx m x m m= − + + + − (m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2. Tìm k để phương trình 3 2 3 2 3 – 3 0x x k k− + + = có ba nghiệm phân biệt. 
 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 
(KA-2003). Cho hàm số 
1
2
−
++=
x
mxmxy (1) ( m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1m = − . 
 2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 
(KA-2004). Cho hàm số 
)1(2
332
−
−+−=
x
xxy (1). 
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1). 
 2. Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại hai điểm A, B sao cho AB = 1. 
(KA-2005). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 
1y mx
x
= + (*) ( m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi 1 .
4
m = 
2. Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực4 tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của 
(Cm) bằng 
2
1 . 
(KA-2006) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 22 – 9 12 4.y x x x= + − 
 2. Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: mxxx =+− 1292 23 . 
(KA-2007). Cho hàm số y = 
2 22( 1) 4
2
x m x m m
x
+ + + +
+ (1) m là tham số. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi 1m = − . 
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc 
tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O. 
(KA-2008). Cho hàm số y = 
2 2(3 2) 2
3
mx m x
x m
+ − −
+ (1) với m là tham số thực. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
 2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450. 
(KA-2009). Cho hàm số y = 2
2 3
x
x
+
+ (1). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần 
lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ. 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 2/28 
(KA-2010). Cho hàm số ( )3 22 1y x x m x m= − + − + ( m là tham số thực) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m=1. 
2. Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3, ,x x x thoả mãn 
điều kiện 2 2 21 2 3 4.x x x+ + < 
(KA-2011). Cho hàm số 1.
2 1
xy
x
− += − (m là tham số thực) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng y x m= + luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Gọi 
1 2,k k là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng 1 2k k+ đạt giá trị lớn nhất. 
(KA-2012). Cho hàm số ( ) ( )4 2 22 1 1 ,y x m x m= − + + với m là tham số thực. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 0.m = 
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông. 
2. Khối B 
(KB-2002). Cho hàm số ( ) ( )4 2 2– 9 10 1y mx m x= + + (m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1.m = 
 2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị. 
(KB-2003). Cho hàm số ( )3 2– 3 1 y x x m= + (m là tham số). 
 1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ. 
 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 2m = . 
(KB-2004). Cho hàm số xxxy 32
3
1 23 +−= (1) có đồ thị (C). 
 1. Khảo sát hàm số (1). 
2. Viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng Δ là tiếp tuyến của (C) 
có hệ số góc nhỏ nhất. 
(KB-2005). Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 
1
1)1(2
+
++++
x
mxmx (*) ( m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1. 
2. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách 
giữa hai điểm đó bằng 20 . 
(KB-2006). Cho hàm số y = 
2
12
+
−+
x
xx . 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiên của (C). 
(KB-2007). Cho hàm số y = 3 2 2 23 3( 1) 3 1x x m x m− + + − − − (1). m là tham số. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. 
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều 
gốc tọa độ. 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 3/28 
(KB-2008). Cho hàm số y = 3 24 6 1x x− + (1). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( )1; 9M − − . 
(KB-2009). Cho hàm số 4 22 4y x x= − (1). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
 2. Với giá trị nào của m, phương trình 2 2 2x x m− = có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?. 
(KB-2009 NC). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2 1xy
x
−= 
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4. 
(KB-2010). Cho hàm số 2x 1
1
y
x
+= + 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm m để đường thẳng 2xy m= − + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác 
OAB có diện tích bằng 3 (O là gốc toạ độ). 
(KB-2011). Cho hàm số ( ) ( )4 22 1 1y x m x m= − + + 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1.m = 
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cự trị A, B, C sao cho ;OA BC= trong đó O là gốc toạ độ, 
A là điểm cực trị thuocj trung tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại. 
(KB-2012). Cho hàm số ( )3 2 33 3 1 ,y x mx m= − + với m là tham số thực. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m = . 
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho OABΔ có diện tích bằng 48. 
3. Khối D 
(KD-2002). Cho hàm số 
1
12 2
−
−−=
x
mxmy )( (1) ( m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với 1m = − . 
 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 
 3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. 
(KD-2003). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2
422
−
+−=
x
xxy (1). 
 2. Tìm m để đường thẳng : 2 2md y mx m= + − cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt. 
(KD-2004). Cho hàm số ( )3 2– 3 9 1 1y x mx x= + + với m là tham số. 
 1. Khảo sát hàm số (1) khi m = 2. 
 2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số(1) thuộc đường thẳng y = x + 1. 
(KD-2005). Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 3
1
23
1 23 +− xmx (*) ( m là tham số). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2. 
2. Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song 
song với đường thẳng 5x – y = 0. 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 4/28 
(KD-2006). Cho hàm số y = x3 – 3x + 2. 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ 
thị (C) tại 3 điểm phân biệt. 
(KD-2007).. Cho hàm số y = 2
1
x
x + .
. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam 
giác OAB có diện tích bằng 1
4
. 
(KD-2008). Cho hàm số y = 3 23 4x x− + (1). 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 
2. Chứng minh rằng với mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k >- 3) đều cắt đồ thị 
của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn AB. 
(KD-2009). Cho hàm số y = 4 2(3 2) 3x m x m− + + có đồ thị là (Cm), m là tham số. 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0. 
 2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2. 
(KD-2009 NC). Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng 2y x m= − + cắt đồ thị hàm số 
2 1x xy
x
+ −= tại hai điểm phân biệt A, B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung. 
(KD-2010). Cho hàm số 4 2 6y x x= − − + . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đt 1 1.
6
y x= − 
(KD-2011). Cho hàm số 2 1
1
xy
x
+= + . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 
2. Tìm k để đường thẳng 2 1y kx k= + + cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng 
cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau. 
(KD-2012). Cho hàm số ( ) ( )3 2 22 22 3 1 1 ,3 3y x mx m x= − − − + . 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 1.m = 
2. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị 1x và 2x sao cho: ( )1 2 1 22 1x x x x+ + = . 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 5/28 
Phần 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PT, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
1. Khối A 
(KA-2003). Giải hệ phương trình 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
−=−
12
11
3xy
y
y
x
x
. 
(KA-2004). Giải bất phương trình 
3
73
3
)16(2 2
−
−>−+−
−
x
xx
x
x
. 
(KA-2005). Giải bất phương trình 42115 −>−−− xxx . 
(KA-2006). Giải hệ phương trình ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+++
=−+
411
3
yx
xyyx
 (x, y ∈R). 
(KA-2007). Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 243 1 1 2 1x m x x− + + = − . 
(KA-2008). Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 
 4 42 2 2 6 2 6 ( ).x x x x m m R+ + − + − = ∈ 
KA-2008). Giải hệ phương trình 
2 3 2
4 2
5
4 ( , ).
5(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y R
x y xy x
⎧ + + + + = −⎪⎪ ∈⎨⎪ + + + = −⎪⎩
(KA-2009). Giải phương trình 32 3 2 3 6 5 8 0 ( ).x x x R− + − − = ∈ 
(KA-2010). Giải bất phương trình ( )2 1.1 2 1
x x
x x
− ≥
− − +
(KA-2011). Giải hệ phương trình 
( )
( ) ( ) ( )
2 2 3
22 2
5x 4x 3 2 0
, .
2
y y y x y
x y
xy x y x y
⎧ − + − + =⎪ ∈⎨ + + = +⎪⎩
\ 
(KA-2012). Giải hệ phương trình ( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
, .1
2
x x x y y y
x y
x y x y
⎧ − − + = + −⎪ ∈⎨ + − + =⎪⎩
\ 
2. Khối B 
(KB-2002). Giải hệ phương trình ⎪⎩
⎪⎨⎧ ++=+
−=−
2
3
yxyx
yxyx
. 
(KB-2003). Giải hệ phương trình 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+=
2
2
2
2
23
23
y
xx
x
yy
. 
(KB-2004). Xác định m để phương trình sau có nghiệm: ( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − . 
(KB-2006). Tìm m để phương trình 1222 +=++ xmxx có hai nghiệm thực phân biệt. 
(KB-2007). Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 
2 2 8 ( 2)x x m x+ − = − . 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 6/28 
(KB-2008). Giải hệ phương trình 
4 3 2 2
2
2 2 9
( , ).
2 6 6
x x y x y x
x y R
x xy x
⎧ + + = + ∈⎨ + = +⎩
(KB-2009). Giải hệ phương trình 2 2 2
1 7
( , ).
1 13
xy x y
x y R
x y xy y
+ + =⎧ ∈⎨ + + =⎩ 
(KB-2010). Giải phương trình ( )23x 1 6 3x 14x 8 0 .x x+ − − + − − = ∈\ 
(KB-2011). Giải phương trình ( )23 2 6 2 4 4 10 3 .x x x x x+ − − + − = − ∈\ 
(KB-2012). Giải bất phương trình 21 4 1 3 .x x x x+ + − + ≥ 
3. Khối D 
(KD-2002). Giải ... toạ độ điểm M thuộc 1Δ sao cho khoảng cách từ M đến 2Δ bằng 1. 
(KD-2011). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng 
1 3:
2 1 2
x y zd + −= = − . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d 
và cắt trục Ox. 
(KD-2011NC). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 3:
2 4 1
x y z− −Δ = = và mặt 
phẳng ( ) :2 2 0P x y z− + = . Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Δ, bán kính bằng 1 
và tiếp xúc với mặt phẳng (P). 
(KD-2012). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2 2 10 0P x y z+ − + = và điểm 
( )2;1;3I . Viết phương trình mặt cầu tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4. 
(KD-2012 NC). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 1:
2 1 1
x y zd − += =− và hai 
điểm ( ) ( )1; 1;2 , 2; 1;0A B− − . Xác định tọa độ điểm M thuộc d sao cho AMBΔ vuông tại M. 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 24/28 
Phần 9. CÁC BÀI TOÁN VỀ TỔ HỢP, XÁC SUẤT 
1. Khối A 
(KA-2002). Cho khai triển nhị thức (n là số nguyên dương) 
nx
n
n
nxx
n
n
xnx
n
nx
n
nxx
CCCC ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−−−−
−
−−−−−−
3
1
32
1
13
1
2
1
12
1
032
1
222...22222 
Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. 
(KA-2003). Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của 
n
x
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 531 , biết rằng 
)3(73
1
4 +=− +++ nCC nnnn 
(n là số nguyên dương, x > 0, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
(KA-2004). Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1 + x2(1 – x)]8 
(KA-2005). Tìm số nguyên dương n sao cho 
20052).12(...2.42.32.2 12 12
24
12
33
12
22
12
1
12 =+++−+− ++++++ nnnnnnn CnCCCC 
(KA-2006). Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của 
n
x
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 741 , biết rằng 
122012
2
12
1
12 −=+++ +++ nnnn CCC ... 
(KA-2007). Chứng minh rằng: 
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1...
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n nC C C Cn n
− −+ + + + = + 
(n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp k của n phần tử). 
(KA-2008). Cho khai triển ( ) 0 11 2 ...n nnx a a x a x+ = + + + , trong đó *n N∈ và các hệ số a0, a1,,an thỏa 
mãn hệ thức 10 ... 40962 2
n
n
aaa + + + = . Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,,an. 
(KA-2012). Cho n là số nguyên dương thoả mãn 1 35 nn nC C
− = . Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển nhị 
thức Niu-tơn của 
2 1 , 0
14
n
nx x
x
⎛ ⎞− ≠⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
2. Khối B 
(KB-2002). Cho đa giác đều A1A2A2n ( n ≥ 2, n nguyên ) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam 
giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 
trong 2n điểm A1, A2, .A2n, tìm n. 
(KB-2003). Cho n là số nguyên dương. Tính tổng nn
n
nnn Cn
CCC
1
12...
3
12
2
12 123120
+
−++−+−+
+
(KB-2004). Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung 
bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi 
khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu 
hỏi dễ không ít hơn 2? 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 25/28 
(KB-2005). Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân 
công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? 
(KB-2006). Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 
lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm { }nk ,...,,21∈ sao cho số tập con gồm k phần tử của A là 
lớn nhất. 
(KB-2007). Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của (2 + x)n, biết 
n 0 1 1 2 2 3 33 3 3 3 ... ( 1) 2048n n n n nn n n n nC C C C C
− − −− + − + + − = 
(n là số nguyên dương, knC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
(KB-2008). Chứng minh rằng 1
1 1
1 1 1
2 k kn n
n
n C C ++ +
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
 ( n, k là các số nguyên dương, ; knk n C≤ là số tổ hợp 
chập k của n phần tử ). 
(KB-2012). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫn nhiên 4 
học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ. 
3. Khối D 
(KD-2002). Tìm số nguyên dương n sao cho: 243242 210 =++++ nnnnnn CCCC ... . 
(KD-2003). Với n là số nguyên dương, gọi a3n- 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của 
( ) ( )2 1 2n nx x+ + . Tìm n để a3n – 3 = 26n. 
(KD-2004). Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của 
7
4
3 1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
x
x với x>0. 
(KD-2005). Tính giá trị của biểu thức M=
)!1(
3 34 1
+
++
n
AA nn ; biết rằng 14922 2 4
2
3
2
2
2
1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n 
nguyên dương, knA là số chỉnh hợp chập k của n phần tử, 
k
nC là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
(KD-2006). Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 
học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này 
không thuộc quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?. 
(KD-2007). Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của: 5 2 10(1 2 ) (1 3 )x x x x− + + 
(KD-2008). Tìm số nguyên dương thỏa mãn hệ thức 1 3 2 12 2 2... 2048
n
n n nC C C
−+ + + = ( knC là số tổ hợp chập 
k của n phần tử). 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 26/28 
Phần 10. CÁC BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 
1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
(KB-2003). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 24 xxy −+= 
(KD-2003). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 
1
1
2 +
+=
x
xy trên đoạn [-1; 2] 
(KB-2004). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
x
xy
2ln= trên đoạn ];1[ 3e . 
(KB-2006). Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
211 2222 −+++++−= yyxyxA )()( . 
(KA-2006). Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay đổi và thỏa mãn điều kiện: (x + y)xy = x2 + y2 – xy. Tìm 
giá trị lớn nhất của biểu thức A = 33
11
yx
+ . 
(KA-2007). Cho x, y, z là các số thực thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức 
2 2 2( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x yP
y y z z z z x x x x y y
+ + += + ++ + + . 
(KA-2011). Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [ ]1;4 và ,x y x z≥ ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
2 3
x y zP
x y y z z x
= + ++ + + 
(KA-2012). Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện 0x y z+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 23 3 3 6 6 6 .x y y z z xP x y z− − −= + + − + + 
(KB-2007). Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 1 1 1
2 2 2
x y zP x y z
yz zx xy
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
(KB-2008). Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 
2
2
2( 6 )
1 2 2
x xyP
xy y
+= + + . 
(KB-2009). Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 3( ) 4 2x y xy+ + ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 4 2 2 2 23( ) 2( ) 1A x y x y x y= + + − + + 
(KB-2011). Cho a và b là các số thực dương thoả mãn ( ) ( )( )2 22 2a b ab a b ab+ + = + + . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức 
3 3 2 2
3 3 2 24 9 .
a b a bP
b a b a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(KB-2012). Cho các số thực x, y, z thoả mãn các điều kiện 0x y z+ + = và 2 2 2 1.x y z+ + = Tìm giá trị 
lớn nhất của biểu thức 5 5 5.P x y z= + + 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 27/28 
(KD-2008). Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức 2 2
( )(1 )
(1 ) (1 )
x y xyP
x y
− −= + + . 
(KD-2009). Cho các số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức 2 2(4 3 )(4 3 ) 25 .S x y y x xy= + + + 
(KD-2011NC). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 
22 3 3
1
x xy
x
+ += + trên đoạn [ ]0; 2 . 
(KD-2012). Cho các số thực x, y thoả mãn ( ) ( )2 24 4 2 32.x y xy− + − + ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức ( )( )3 3 3 1 2A x y xy x y= + + − + − . 
2. Bất đẳng thức 
(KA-2003). Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z ≤ 1. Chứng minh rằng 
82111 2
2
2
2
2
2 ≥+++++
z
z
y
y
x
x . 
(KA-2005). Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn 4111 =++
zyx
. Chứng minh rằng: 
1
2
1
2
1
2
1 ≤++++++++ zyxzyxzyx . 
(KB-2005). Chứng minh rằng với mọi x ∈ R, ta có: 
 xxx
xxx
543
3
20
4
15
5
12 ++≥⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , Khi nào đẳng thức xảy ra? 
(KD-2005). Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: 
3 3 3 3 3 31 1 1 3 3
x y y z z x
xy yz zx
+ + + + + ++ + ≥ .Khi nào đẳng thức xảy ra ? 
(KD-2007). Cho 0a b≥ > . Chứng minh rằng 1 12 2
2 2
b a
a b
a b
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≤ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
(KA-2009). Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x + y + z) = 3 xyz, ta có: 
3 3 3( ) ( ) 3( )( )( ) 5( )x y x z x y x z y z y z+ + + + + + + ≤ + . 
(KD-2010). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 24 21 3 10y x x x x= − + + − − + + . 
(KB-2010). Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn a + b+ c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 2 .M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + + 
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Trang 28/28 
Phần 11. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC 
(KA-2009). Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của biểu thức 
2 2
1 2A z z= + . 
(KA-2009 nâng cao). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z 
thỏa mãn điều kiện (3 4 ) 2z i− − = . 
(KA-2010). Tìm phần ảo của số phức z, biết ( ) ( )22 1 2z i i= + − 
(KA-2010 NC). Cho số phức x thoả mãn 
( )31 3
1
i
z
i
−= − . Tìm môđun của số phức z iz+ . 
(KA-2011). Tìm tất cả các số phức z , biết: 22 .z z z= + 
(KA-2011 NC). Tính môđun của số phức z , biết: ( )( ) ( )( )2 1 1 1 1 2 2 .z i z i i− + + + − = − 
(KA-2012 NC). Cho số phức z thoả mãn 
( )5
2
1
z i
i
z
+ = −+ . Tính môđun của số phức 
21 .w z z= + + 
(KB-2009). Tìm số phức z thỏa mãn: (2 ) 10z i− + = và . 25z z = . 
(KB-2010). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn: 
( )1z i i z− = + . 
(KB-2011). Tìm số phức z , biết: 5 3 1 0iz
z
+− − = . 
(KB-2011 NC). Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
3
1 3
1
iz
i
⎛ ⎞+= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
. 
(KB-2012 NC). Gọi 1 2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 
2 2 3 4 0z iz− − = . Viết dạng lượng giác 
của 1z và 2.z 
(KD-2009). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 
điều kiện (3 4 ) 2z i− − = . 
(KD-2010). Tìm số phức z thoả mãn 2z = và 2z là số thuần ảo. 
(KD-2011). Tìm số phức z , biết: ( )2 3 1 9z i z i− + = − . 
(KD-2012). Cho số phức z thoả mãn ( ) ( )2 1 22 7 8
1
i
i z i
i
++ + = ++ . Tìm môđun của số phức 1 .w z i= + + 
(KD-2012 NC). Giải phương trình ( )2 3 1 5 0z i z i+ + + = trên tập hợp các số phức. 
---------------Hết---------------