Phần 1: Các bài toán về đa thức

 1 
Phần I: Các bài toán về đa thức 
1. Tính giá trị của biểu thức: 
Bài 1: Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1 
 Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( 31
4
) 
H.Dẫn: 
- Lập công thức P(x) 
- Tính giá trị của đa thức tại các điểm: dùng chức năng CALC 
- Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = 
 P(-5,1289) = ; P( 31
4
) = 
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 tại x = 0,53241 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 tại x = -2,1345 
H.Dẫn: 
- áp dụng hằng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b +...+ abn-2 + bn-1). Ta có: 
P(x) = 1 + x + x2 + x3 +...+ x8 + x9 = 
2 9 10( 1)(1 ... ) 1
1 1
x x x x x
x x
- + + + + -
=
- -
Từ đó tính P(0,53241) = 
T−ơng tự: 
Q(x) = x2 + x3 +...+ x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 +...+ x8) = 
9
2 1
1
x
x
x
-
-
Từ đó tính Q(-2,1345) = 
Bài 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; 
P(5) = 25. Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.Dẫn: 
B−ớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) sao cho: 
+ Bậc H(x) nhỏ hơn bậc của P(x) 
+ Bậc của H(x) nhỏ hơn số giá trị đã biết của P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ hơn 5, nghĩa là: 
Q(x) = P(x) + a1x
4 + b1x
3 + c1x
2 + d1x + e 
B−ớc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là: 
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 0
16 8 4 2 4 0
81 27 9 3 9 0
256 64 16 4 16 0
625 125 25 5 25 0
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
a b c d e
+ + + + + =
 + + + + + =
+ + + + + =
 + + + + + =

+ + + + + =
 ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 
Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 
 2 
Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = 5 là nghiệm của Q(x), mà bậc của Q(x) bằng 5 có hệ số của x5 
bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) 
⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2. 
Từ đó tính đ−ợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11. 
Tính P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? 
H.Dẫn: 
- Giải t−ơng tự bài 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3). Từ đó tính đ−ợc: P(5) = 
; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 
Bài 5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d. Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10. 
Tính 
(5) 2 (6) ?(7)
P PA
P
-
= = 
H.Dẫn: 
- Giải t−ơng tự bài 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 
( 1)
2
x x +
 . Từ đó tính đ−ợc: 
(5) 2 (6)
(7)
P PA
P
-
= = 
Bài 6: Cho đa thức f(x) bậc 3 với hệ số của x3 là k, k ˛ Z thoả mãn: 
f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 
Chứng minh rằng: f(2001) - f(1998) là hợp số. 
H.Dẫn: 
* Tìm đa thức phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b). Tìm a, b để g(1999) = g(2000) = 0 
1999 2000 0 1
2000 2001 0 1
a b a
a b b
+ + = = - 
Û Û 
+ + = = - 
 ⇒ g(x) = f(x) - x - 1 
* Tính giá trị của f(x): 
- Do bậc của f(x) là 3 nên bậc của g(x) là 3 và g(x) chia hết cho: 
 (x - 1999), (x - 2000) nên: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) 
 ⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x + 1. 
Từ đó tính đ−ợc: f(2001) - f(1998) = 3(2k + 1) là hợp số. 
 3 
Bài 7: Cho đa thức f(x) bậc 4, hệ số của bậc cao nhất là 1 và thoả mãn: 
 f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27. Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? 
H.Dẫn: 
- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c. Tìm a, b, c sao cho g(1) = g(3) = g(5) = 0 ⇒ a, b, c là 
nghiệm của hệ ph−ơng trình: 
3 0
9 3 11 0
25 5 27 0
a b c
a b c
a b c
+ + + =

+ + + =
 + + + =
 ⇒ bằng MTBT ta giải đ−ợc: 
1
0
2
a
b
c
= -

=

= -
⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2 
 - Vì f(x) bậc 4 nên g(x) cũng có bậc là 4 và g(x) chia hết cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), do vậy: g(x) 
= (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x
2 + 2. 
Ta tính đ−ợc: A = f(-2) + 7f(6) = 
Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc 3. Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1. 
Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức) 
 H.Dẫn: 
- Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Vì f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 nên: 
10
12
8 4 2 4
27 9 3 1
d
a b c d
a b c d
a b c d
=
 + + + =

+ + + =
 + + + =
 lấy 3 ph−ơng trình cuối lần l−ợt trừ cho ph−ơng trình đầu và giải hệ gồm 3 ph−ơng trình ẩn a, b, c 
trên MTBT cho ta kết quả: 
5 25
; ; 12; 10
2 2
a b c d= = - = = 
⇒ 3 2
5 25( ) 12 10
2 2
f x x x x= - + + ⇒ (10)f = 
Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc 3 biết rằng khi chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đều đ−ợc d− là 6 và 
f(-1) = -18. Tính f(2005) = ? 
H.Dẫn: 
- Từ giả thiết, ta có: f(1) = f(2) = f(3) = 6 và có f(-1) = -18 
- Giải t−ơng tự nh− bài 8, ta có f(x) = x3 - 6x2 + 11x 
Từ đó tính đ−ợc f(2005) = 
 4 
Bài 10: Cho đa thức 9 7 5 3
1 1 13 82 32( )
630 21 30 63 35
P x x x x x x= - + - + 
a) Tính giá trị của đa thức khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4. 
b) Chứng minh rằng P(x) nhận giá trị nguyên với mọi x nguyên 
Giải: 
a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 thì (tính trên máy) P(x) = 0 
b) Do 630 = 2.5.7.9 và x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4 là nghiệm của đa thức P(x) nên 
1( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)
2.5.7.9
P x x x x x x x x x x= - - - - + + + + 
Vì giữa 9 só nguyên liên tiếp luôn tìm đ−ợc các số chia hết cho 2, 5, 7, 9 nên với mọi x nguyên thì 
tích: ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)x x x x x x x x x- - - - + + + + chia hết cho 2.5.7.9 (tích của các số nguyên tố 
cùng nhau). Chứng tỏ P(x) là số nguyên với mọi x nguyên. 
Bài 11: Cho hàm số 
4( )
4 2
x
x
f x =
+
. Hãy tính các tổng sau: 
1
1 2 2001) ...
2002 2002 2002
a S f f f     = + + +     
     
2 2 2
2
2 2001) sin sin ... s in
2002 2002 2002
b S f f fp p p     = + + +     
     
H.Dẫn: 
* Với hàm số f(x) đã cho tr−ớc hết ta chứng minh bổ đề sau: 
 Nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1 
* áp dụng bổ đề trên, ta có: 
a) 
1
1 2001 1000 1002 1001
...
2002 2002 2002 2002 2002
S f f f f f            = + + + + +            
            
 1 1 1 11 ... 1 1000 1000, 5
2 2 2 2
f f    = + + + + = + =    
    
b) Ta có 2 2 2 22001 1000 1002sin sin , ..., sin sin
2002 2002 2002 2002
p p p p
= = . Do đó: 
2 2 2 2
2
2 1000 10 012 sin sin ... s in sin
2002 2002 2002 20 02
S f f f fp p p p        = + + + +        
        
 2 2 2 2 21000 500 5012 sin sin ... sin sin sin
2002 2002 2002 2002 2
f f f f fp p p p p             = + + + + +             
             
 2 2 2 2500 5002 sin cos ... sin cos (1)
2002 2002 2002 2002
f f f f fp p p p           = + + + + +           
           
 [ ] 4 2 22 1 1 ... 1 1000 10006 3 3= + + + + = + = 
 5 
2. Tìm th−ơng và d− trong phép chia hai đa thức: 
Bài toán 1: Tìm d− trong phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) 
Cách giải: 
 - Ta phân tích: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ 0.b bP Q r
a a
   
- = - +   
   
⇒ r = 
bP
a
- 
 
 
Bài 12: Tìm d− trong phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - 6 cho (2x - 5) 
Giải: 
- Ta có: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ 
5 5 50.
2 2 2
P Q r r P     = + ⇒ =     
     
⇒ r = 
5
2
P   
 
Tính trên máy ta đ−ợc: r = 
5
2
P   
 
 = 
Bài toán 2: Tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) 
Cách giải: 
- Dùng l−ợc đồ Hoocner để tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (x + a) 
Bài 13: Tìm th−ơng và d− trong phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 cho (x + 5) 
H.Dẫn: - Sử dụng l−ợc đồ Hoocner, ta có: 
 1 0 -2 -3 0 0 1 -1 
-5 1 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756 
* Tính trên máy tính các giá trị trên nh− sau: 
( )- 5 SHIFT STO M 
1 ã ANPHA M + 0 = (-5) : ghi ra giấy -5 
 ã ANPHA M + - 2 = (23) : ghi ra giấy 23 
 ã ANPHA M - 3 = (-118) : ghi ra giấy -118 
 ã ANPHA M + 0 = (590) : ghi ra giấy 590 
 ã ANPHA M + 0 = (-2950) : ghi ra giấy -2950 
 ã ANPHA M + 1 = (14751) : ghi ra giấy 14751 
 ã ANPHA M - 1 = (-73756) : ghi ra giấy -73756 
x7 - 2x5 - 3x4 + x - 1 = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 
Bài toán 3: Tìm th−ơng và d− trong phép chia đa thức P(x) cho (ax +b) 
 6 
Cách giải: 
- Để tìm d−: ta giải nh− bài toán 1 
- Để tìm hệ số của đa thức th−ơng: dùng l−ợc đồ Hoocner để tìm th−ơng trong phép chia đa thức 
P(x) cho (x +
b
a
) sau đó nhân vào th−ơng đó với 
1
a
 ta đ−ợc đa thức th−ơng cần tìm. 
Bài 14: Tìm th−ơng và d− trong phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 cho (2x - 1) 
Giải: 
- Thực hiện phép chia P(x) cho 
1
2
x
 
- 
 
, ta đ−ợc: 
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 
1
2
x
 
- 
 
2 5 7 1
2 4 8
x x
 
+ - + 
 
. Từ đó ta phân tích: 
P(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 = 2.
1
2
x
 
- 
 
.
1
2
. 2
5 7 1
2 4 8
x x
 
+ - + 
 
 = (2x - 1). 2
1 5 7 1
2 4 8 8
x x
 
+ - + 
 
Bài 15: Tìm các giá trị của m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m chia hết cho Q(x) = 3x +2 
H.Dẫn: 
- Phân tích P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P1(x) + m. Khi đó: 
P(x) chia hết cho Q(x) = 3x + 2 khi và chỉ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x) 
Ta có: 1 1
2 20
3 3
P m m P   - + = ⇒ = - -   
   
Tính trên máy giá trị của đa thức P1(x) tại 
2
3
x = - ta đ−ợc m = 
Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + 5 + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + 7 + n. Tìm m, n để hai đa 
thức trên có nghiệm chung 0
1
2
x = 
H.Dẫn: 
0
1
2
x = là nghiệm của P(x) thì m = 1
1
2
P  -  
 
, với P1(x) = 3x
2 - 4x + 5 
0
1
2
x = là nghiệm của Q(x) thì n = 1
1
2
Q  -  
 
, với Q1(x) = x
3 + 3x2 - 5x + 7. 
Tính trên máy ta đ−ợc: m = 1
1
2
P  -  
 
 = ;n = 1
1
2
Q  -  
 
 = 
 7 
Bài 17: Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n. 
a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2) 
b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x). Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ rằng đa thức R(x) chỉ có duy 
nhất một nghiệm. 
H.Dẫn: 
a) Giải t−ơng tự bài 16, ta có: m = ;n = 
b) P(x) ⋮ (x - 2) và Q(x) ⋮ (x - 2) ⇒ R(x) ⋮ (x - 2) 
Ta lại có: R(x) = x3 - x2 + x - 6 = (x - 2)(x2 + x + 3), vì x2 + x + 3 > 0 với mọi x nên R(x) chỉ có một 
nghiệm x = 2. 
Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 đ−ợc th−ơng q1(x) d− r1. Chia q1(x) cho x + 0,5 đ−ợc th−ơng q2(x) d− r2. 
Tìm r2 ? 
H.Dẫn: 
- Ta phân tích: x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 
 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 
- Dùng l−ợc đồ Hoocner, ta tính đ−ợc hệ số của các đa thức q1(x), q2(x) và các số d− r1, r2: 
 1 0 0 0 0 0 0 0 0 
1
2
- 1 
1
2
- 
1
4
1
8
- 
1
16
1
32
- 
1
64
1
128
- 
1
256
1
2
- 1 -1 
3
4
1
2
- 
5
16
3
16
- 
7
64
1
16
- 
Vậy: 2
1
16
r = - 
 8 
Phần II: Các bài toán về Dãy số 
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm −u việt hơn các MTBT khác. Sử dụng MTĐT 
Casio fx - 570 MS lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ. Nếu biết cách sử dụng 
đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác. Ngoài việc MTBT giúp cho 
việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một  ... ( )g x là những hàm số liên tục sao cho 
[ ]( ) 1 ,g x q x a b′ Ê < " ˛ thì từ mọi vị trí ban đầu 0 ( , )x a b˛ dãy { }nx xây dựng theo ph−ơng pháp lặp 
1( )n nx g x -= sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b của ph−ơng trình ( ) 0f x = . 
Thí dụ 1. Giải ph−ơng trình 3 2 1 0x x- - = . 
Ph−ơng trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và t−ơng đ−ơng với 
3 2 1x x= + . Do 3 2( ) 1g x x= + có đạo hàm 
2 23
2
'( )
3 ( 1)
xg x
x
=
+
 thỏa mãn điều kiện 
3
1
'( ) 1
4
g x = < trong 
khoảng (1;1.5) nên dãy lặp 231 1n nx x+ = + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng 
(1;1.5) . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo hàm 3 2( ) 1g x x= + : 
SHIFT 3 ( ALPHA X 2x + 1 ) 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu 0 1x = và bấm phím = . 
 57 
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến 1.465571232x = . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu 0 1x = bằng cách bấm phím 1 = . 
Khai báo dãy xấp xỉ 231 ( ) 1nn nx g x x+ = = + : 
SHIFT 3 ( Ans 2x + 1 ) 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 1.465571232x = . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 1.465571232x = . 
Thí dụ 2. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình 3 0xe x+ - = . 
Vì ( ) 3xf x e x= + - có đạo hàm '( ) 1 0xf x e x= + > " nên nó đồng biến trên 
toàn trục số. Hơn nữa, (0) 3f = - , (1) 2 0f e= - > nên ph−ơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm 
trong khoảng (0,1) . 
Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với ln(3 )x x= - . 
Đặt ( ) ln(3 )g x x= - thì 1'( )
3
g x
x
= -
-
 nên ( )1'( ) 0,1
2
g x x< " ˛ . 
Do đó dãy lặp 1 ln(3 )n nx x+ = - hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1) . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo ( ) ln(3 )g x x= - : ln ( 3 - ALPHA X ) 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? 
Khai báo giá trị ban đầu 0
1
2
x = : 1 /b ca 2 và bấm phím = . 
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến 
26 27 28 0.792059968x x x= = = . 
Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968 . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu 0
1
2
x = : 1 /b ca 2 và bấm phím = . 
Khai báo dãy xấp xỉ 1 ( ) ln(3 )n n nx g x x+ = = - : ln ( 3 - Ans ) 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 26 27 28 0,792059968x x x= = = . 
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là 0,792059968x = 
Nhận xét 1. Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 
13 b−ớc lặp ta đã đi đến nghiệm là 0,79206. 
Nhận xét 2. Nếu ta đ−a ph−ơng trình 3 0xe x+ - = về dạng 3 xx e= - thì ( ) 3 xg x e= - có đạo hàm 
'( ) xg x e= - không thỏa mãn điều kiện 
( )'( ) 1 0,1g x q xÊ < " ˛ 
nên ta ch−a thể nói gì đ−ợc về sự hội tụ của dãy lặp. 
 58 
Nhận xét 3. Chọn điểm xuất phát 0 2x =
([2], trang 62) thì cần nhiều b−ớc lặp hơn. 
Dùng lệnh solve để giải ph−ơng trình trên Maple: 
> solve(exp(x)+x-3,x); 
 -LambertW(exp(3)) + 3 
Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW. 
Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: 
> evalf(",30); 
 .79205996843067700141839587788 
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý. 
Thí dụ 3. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình ln 0x x+ = . 
Vì ( ) lnf x x x= + là một hàm đồng biến ngặt trên (0, )+Ơ . Hơn nữa (1) 1 0f = > và 1 1( ) 1 0f
e e
= - < nên 
ph−ơng trình có duy nhất nghiệm trên khoảng 
1( ,1)
e
. 
Ph−ơng trình đã cho t−ơng đ−ơng với ( )xx e g x-= = . 
Vì '( ) xg x e -= - nên 1'( ) 1x
e
g x e
e
-
= Ê < với mọi 
1( ,1)x
e
˛ nên dãy lặp 1 n
x
nx e
-
+ = hội tụ. 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Khai báo ( ) xg x e -= : SHIFT xe ( - ALPHA X ) 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
1
2
x = : 
1 /b ca 2 và bấm phím = . Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến 0,567143290x = . 
Vậy nghiệm gần đúng là 0,567143290x = . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS: 
Khai báo giá trị ban đầu 0
1
2
x = : 1 /b ca 2 và bấm phím = . 
Khai báo 1 ( ) nn
x
nx g x e
-
+ = = : SHIFT
xe ( - Ans ) 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 0,567143290x = . 
Vậy nghiệm gần đúng là 0,567143290x = . 
Thí dụ 4. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình cos : ( )x x g x= = . 
Vì ( ) cosf x x x= - có đạo hàm '( ) 1 sin 0f x x x= + ‡ " và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc 
2
2
x kp p= - + nên nó là hàm đồng biến ngặt. Do (0) 1f = - và ( )
2 2
f p p= nên ph−ơng trình có duy 
nhất nghiệm trong khoảng (0, )
2
p
. 
Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1
2
g x x p e= - < - < với mọi (0, )
2
x
p
e˛ - với e đủ nhỏ nên dãy 1 cosn nx x+ = 
hội tụ trong khoảng (0, )
2
p
e- . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
 59 
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian). 
Khai báo ( ) cosg x x= : cos ALPHA X 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1.5x = và bấm phím = . Sau 
đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến 0,739085133x radian= . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS: 
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc 
MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS. 
Khai báo giá trị ban đầu 0 1.5x = : 1.5 và bấm phím = . 
Khai báo 1 ( ) cosnn nx g x x+ = = : cos Ans 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 0.739085133x = . 
Thí dụ 5. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình 3 3 1 0x x- + = . 
Vì ( 2) 1f - = - , ( 1) 3f - = , (1) 1f = - , (2) 3f = và 3 3 1 0x x- + = là ph−ơng trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 
nghiệm trong các khoảng ( 2, 1)- - , ( 1,1)- , (1,2) . 
Ph−ơng trình trên t−ơng đ−ơng với 3 3 1x x= - . Xét khoảng ( 2, 1)- - . 
 Đặt 3( ) 3 1g x x= - . Ta có 
323
1 1
'( ) 1
16(3 1)
g x
x
= < <
-
 nên dãy 31 3 1n nx x+ = - hội tụ trong khoảng 
( 2, 1)- - . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
ấn phím MODE 1 (tính theo số thực). 
Khai báo 3( ) 3 1g x x= - : SHIFT 3 ( 3 ã ALPHA X - 1 ) 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 1x = - và bấm phím = . 
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến 1 1,879385242x ằ - . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu 0 1x = - : - 1 và bấm phím = . 
Khai báo 31 ( ) 3 1n n nx g x x+ = = - : SHIFT 3 ( 3 ã Ans - 1 ) 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 1 1,879385242x ằ - . 
Vậy một nghiệm gần đúng là 1 1,879385242x ằ - . 
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải ph−ơng trình bậc hai ta tìm đ−ợc hai nghiệm còn lại là: 
1,53208886x ằ và 0,3472963x ằ . 
Chú ý: Để tính nghiệm 2 0,3472963x ằ ta không thể dùng ph−ơng trình t−ơng đ−ơng 
3 3 1 ( )x x g x= - = nh− trên vì 
23
1
'( )
(3 1)
g x
x
=
-
 không thỏa mãn điều kiện '( ) 1g x qÊ < trong khoảng 
(0,1) và dãy lặp 31 3 1n nx x+ = - không hội tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu 0,3472963x = và thực 
 60 
hiện dãy lặp 31 3 1n nx x+ = - theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới 
1 1,879385242x ằ - ). 
Nhận xét 1: Có thể giải ph−ơng trình 3 3 1 0x x- + = trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS 
theo ch−ơng trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau: 
Vào MODE giải ph−ơng trình bậc ba: MODE MODE 1 ⊳ 3 
Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 = 
Máy hiện đáp số 1 1.53088886x = . 
Bấm tiếp phím = , máy hiện 2 1.879385242x = - . 
Bấm tiếp phím = , máy hiện 3 0.347296355x = . 
Vậy ph−ơng trình có ba nghiệm thực 
1 1.53088886x = ; 2 1.879385242x = - ; 3 0.347296355x = . 
Thí dụ 6. Tìm giao điểm của đồ thị hàm số 3 2( ) 3 1f x x x= - + - với trục hoành (chính xác đến 710 - ). 
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số 3 2( ) 3 1f x x x= - + - với trục hoành chính là nghiệm của ph−ơng 
trình 3 2( ) 3 1 0f x x x= - + - = . 
Vì ( 1) 3f - = , (0) 1f = - , (1) 1f = , (2,5) 2,125f = và (3) 1f = - nên ph−ơng trình có 3 nghiệm trong các 
khoảng ( 1;0)- , (0;1) và (2,5;3) . 
Ph−ơng trình 3 2( ) 3 1 0f x x x= - + - = t−ơng đ−ơng với 3 23 1x x= - . 
Đặt 3 2( ) 3 1g x x= - thì 
2 23
2
'( )
(3 1)
xg x
x
=
-
 và '( ) 0,9 1g x < < . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS: 
Bấm phím MODE 1 (tính theo số thực). 
Khai báo 3 2( ) 3 1g x x= - : SHIFT 3 ( 3 ã ALPHA X 2x - 1 ) 
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0 2,7x = và bấm phím = . 
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta đi đến nghiệm 2,879385242x ằ . 
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS : 
Khai báo giá trị ban đầu 0 2,7x = : 2.7 = . 
Khai báo 231 ( ) 3 1nn nx g x x+ = = - : SHIFT 3 ( 3 ã Ans 2x - 1 ) 
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến 2,879385242x ằ . 
Vậy một nghiệm gần đúng là 2,879385242x ằ . 
Hai nghiệm còn lại có thể tìm bằng ph−ơng pháp lặp hoặc phân tích ra thừa số rồi tìm nghiệm của 
ph−ơng trình bậc hai hoặc một lần nữa dùng ph−ơng pháp lặp. 
Bài tập 
Bài tập 1. Tìm khoảng cách ly nghiệm của các ph−ơng trình sau đây: 
1) 4 4 1 0x x- - = ; 2) 3 29 18 1 0x x x- + - = ; 3) lg 3 5 0x x- + = . 
 61 
Bài tập 2 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 24.11.1996). 
Giải ph−ơng trình (tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình): 
1) 3 7 4 0x x- + = ; 2) 3 22 9 3 0x x x+ - + = ; 3) 532 32 17 0x x+ - = ; 
4) 6 15 25 0x x- - = ; 5) 52 2cos 1 0x x- + = ; 6) 2 sin 1 0x x+ - = ; 
7) 2cos3 4 1 0x x- - = ; 8) 2 1 0 ( 0)
2
x tgx xp- - = - < < ; 9) Cho 1 0x- < < . 
Tìm một nghiệm gần đúng của cos 3 0x tg x+ = ; 
10) (Câu hỏi thêm cho tr−ờng chuyên Lê Hồng Phong): 
10a) 4 2 7 2 0x x x- + + = ; 10b) 6 1 0x x- - = . 
Bài tập 3 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996). 
Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình: 
1) 3 5 1 0x x+ - = ; 2) 6 15 25 0x x- - = ; 3) 9 10 0x x+ - = ; 
4) 6 1 0x x- - = ; 5) 3 cos 0x x- = ; 6) cot 0 (0 )
2
x gx x p- = < < ; 
7) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 3 số lẻ) của ph−ơng trình: 2 1 0x tgx- - = ; 
8) Tìm một nghiệm gần đúng (lấy 2 số lẻ thập phân) của: 2 sin 1 0x x+ - = . 
Bài tập 4 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình: 
1) 3 5 2 0x x+ - = ; 2) 9 7 0x x+ - = ; 3) 7 1 0x x+ - = ; 4) 7 2 0x x+ - = . 
Bài tập 5 (Thi Giải toán trên máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp. HCM, 15.3.1998). 
Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình: 
1) 83 2 5 0x x- - = ; 2) 5 2 sin(3 1) 2 0x x x- - - + = ; 
3) Tìm nghiệm âm gần đúng của ph−ơng trình: 10 35 2 3 0x x x- + - = ; 
4) (Câu hỏi thêm cho tr−ờng chuyên Lê Hồng Phong): 
Tìm một nghiệm gần đúng của ph−ơng trình 2 3 5 11x x x x+ + = . 
Bài tập 6. Tìm nghiệm gần đúng của ph−ơng trình trên máy tính điện tử bỏ túi: 
1) 3 23 3 0x x+ - = ; 2) 3 1 0x x- - = ; 3) 3 5 1 0x x+ - = ; 
4) 35 20 3 0x x- + = ; 5) 38 32 17 0x x+ - = ; 6) 5 0, 2 0x x- - = ; 
7) 3 1000 0x x+ - = ; 8) 7 5 1 0x x+ - = ; 9) 16 8 0x x+ - = ; 
10) 1x x- = ; 11) 5 3 0x x- - = ; 12) 11x
x
+ = ; 
13) 3 1x x- = ; 14) 63 2 5 0x x- - = ; 15) 83 2 5 0x x- - = 
16) 4 5 6x x x+ = ; 17) 13 11 19x x x+ = ; 18) 2 3 4 10x x x x+ + = ; 
 62 
19) 3 log 2 0x x+ - = ; 20) 2cos 0xx e- = ; 21) cos log (0 )
2
x x x
p
= < < ; 22) 
cos 0x tgx- = .