Ôn thi tốt nghiệp và CĐ, ĐH - Chuyên đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề 1. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. Tính đơn điệu của hàm số .
1. Định nghĩa: 
Cho hàm số xét trên khoảng . Khi đó
- Hàm số được gọi là đồng biến trên khoảng nếu .
(Ý nghĩa đồ thị: Hàm số đồng biến có đồ thị đi lên từ trái sang phải trên khoảng đó)
- Hàm số được gọi là nghịch biến trên khoảng nếu .
(YN Đồ thị: Hàm số nghịch biến có đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên khoảng đó)
2. Định lý: 
Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng . Khi đó
- Nếu thì hàm số đồng biến trên .
- Nếu thì hàm số nghịch biến trên .
(Nếu hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên gọi chung là đơn điệu trên )
3. Quy tắc 
	1. Tìm tập xác định
	2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó hoặc 
 không xác định.
	3. Lập bảng xét dấu của .
	4. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Ví dụ
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Đáp án
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng .
b) Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
c) hàm số đồng biến trên các khoảng và .
d) hàm số đồng biến trên các khoảng và .
Ví dụ 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Đáp án
a) Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
c) hàm số đồng biến trên các khoảng và 
d) Hàm số đồng biến trên các khoảng và .
 Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a) 	b) 
Đáp án
a) Hàm số đồng biến trên khoảng .
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng và .
b) Hàm số đồng biến trên khoảng . 
 Hàm số nghịch biến trên khoảng .
II. Cực trị của hàm số .
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng và điểm 
+) Nếu tồn tại số sao cho và thì ta nói hàm số đạt cực đại tại .
+) Nếu tồn tại số sao cho và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
Chú ý:
- Nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại thì được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số, được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số (ký hiệu là (). Điểm được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
2. Định lý
Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên hoặc , với .
+) Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi vượt qua thì là điểm cực đại của hàm số .
+) Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi vượt qua thì là điểm cực tiểu của hàm số .
+) Nếu không đổi dấu khi vượt qua thì không phải điểm cực trị của hàm số .
3. Quy tắc tìm cực trị
1. Tìm tập xác định
	2. Tính đạo hàm . Tìm các điểm mà tại đó hoặc 
 không xác định.
	3. Lập bảng xét dấu của .
	4. Kết luận các điểm cực trị của hàm số, thay các điểm cực trị vào hàm số để tìm giá trị cực trị.
4. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm cực trị của các hàm số
a) 	b) 
c) 	d) 
Đáp án
a) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
b) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
c) Hàm số không có cực trị.
d) Hàm số không có cực trị.
Ví dụ 2. Tìm cực trị của các hàm số
a) 	b) 
c) 	d) 
Đáp án
a) Hàm số không có cực trị.
b) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
c) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
d) b) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
Ví dụ 3. Tìm cực trị của các hàm số
a) 	b) 
Đáp án
a) Hàm số đạt cực tiểu tại 
b) Hàm số đạt cực đại tại 
 Hàm số đạt cực tiểu tại 
III. Khoảng lồi, lõm, điểm uốn.
1. Khoảng lồi, khoảng lõm của đồ thị
a) Định nghĩa
	Giả sử sử hàm số có đạo hàm trên khoảng . Ta nói rằng:
+) Đồ thị của hàm số lồi trên khoảng nếu tiếp tuyến của tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị.
+) Đồ thị của hàm số lõm trên khoảng nếu tiếp tuyến của tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị.
b) Định lý
Giả sử sử hàm số có đạo hàm cấp trên khoảng . Khi đó:
+) Nếu thì đồ thị của hàm số lồi trên . 
+) Nếu thì đồ thị của hàm số lõm trên . 
2. Điểm uốn
a) Định nghĩa
	Giả sử sử hàm số có đạo hàm trên khoảng chứa điểm . Nếu đồ thị của hàm số lồi trên một trong hai khoảng , và lõm trên khoảng còn lại thì điểm được gọi là điểm uốn của đồ thị (điểm uốn là điểm phân chia hai phần lồi và lõm của đồ thị)
b) Định lý
Giả sử sử hàm số có đạo hàm cấp trên khoảng chứa điểm . Nếu và đổi dấu khi vượt qua thì điểm là một điểm uốn của đồ thị hàm số .
3. Quy tắc xét khoảng lồi, lõm, tìm điểm uốn
1. Tìm tập xác định
	2. Tính đạo hàm , giải phương trình 
	3. Lập bảng xét dấu của .
	4. Kết luận các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị hàm số.
4. Ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm, điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Đáp án
a) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng, lõm trên khoảng, điểm uốn 
b) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng , lõm trên khoảng , điểm uốn .
c) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng , lõm trên khoảng , điểm uốn .
d) Đồ thị hàm số lồi trên khoảng , lõm trên các khoảng và , điểm uốn .
IV. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số và hàm số với .
1. Sơ đồ khảo sát
	1. Tập xác định 
	2. Chiều biến thiên
- Tính , tìm các điểm thoả mãn .
- Lập bảng xét dấu .
- Từ bảng xét dấu kết luận khoảng đơn điệu, cực trị của hàm số.
- Tính 
- Lập bảng biến thiên 
	3. Đồ thị
- Tìm giao của đồ thị với các trục toạ độ (nếu tìm giao với Ox khó thì bỏ qua).
- Vẽ các điểm cự trị của đồ thị hàm số, vẽ các giao với các trục.
- Dựa vào bảng biến thiên hoàn thiện đồ thị.
Nhận xét: Đồ thị của hàm bậc 3 nhận trung điểm của cực đại và cực tiểu làm tâm đối xứng. Đồ thị của hàm trùng phương nhận trục Oy làm trục đối xứng.
2. Ví dụ
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải.
Bảng biến thiên
Đồ thị
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải.
Bảng biến thiên
Đồ thị
Ví dụ 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải.
Bảng biến thiên
Đồ thị 
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải.
Bảng biến thiên
Đồ thị 
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải.
Bảng biến thiên
Đồ thị 
V. Tiệm cận của đồ thị hàm số 
1. Tiệm cận ngang
	Cho hàm số xác định trên một khoảng vô hạn (là các khoảng dạng ). Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các giới hạn sau tồn tại.
2. Tiệm cận đứng 
	Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số nếu ít nhất một trong các giới hạn sau tồn tại.
3. Tiệm cận xiên
	Đường thẳng được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số nếu: 
 hoặc 
* Cách tìm tiệm cận xiên:
Cách 1. Hai hệ số trong phương trình được xác định theo công thức: 
 hoặc 
Cách 2. Đối với hàm số , có tiệm cận xiên khi và chỉ khi bậc của lớn hơn bậc của . Khi đó ta tìm tiệm cận xiên bằng cách thực hiện phép chia đa thức cho . Giả sử , thì đường thẳng chính là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số .
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận xiên của hàm số .
Giải.
Cách 1. Ta có 
Vậy đường thẳng là tiệm cận xiên của đò thị hàm số đã cho.
Cách 2. Ta có 
Vậy đường thẳng là tiệm cận xiên của đò thị hàm số đã cho.
Ví dụ 2. Tìm tiệm cận xiên của hàm số .
Giải.
Ta có , 
Vậy đường thẳng là tiệm cận xiên của đò thị hàm số đã cho.