Ôn thi tốt nghiệp khối 12 môn Toán

Phần I: Hình giải tích phẳng:
A. Lý thuyết:
1. & Thì : 
 M là trung điểm của AB thì 
M chia đoạn AB theo tỉ số k thì ta có: 
2. & thì 
3.Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( & có véc tơ pháp tuyến là: = 0 
4..Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( & có véc tơ chỉ phương là : * Dạng chính tắc: 
 * Dạng tham số : 
5. Dạng tổng quát của phương trình đường thẳng: Ax + Bx + C = 0 
6. Phương trình đường thẳng đi qua điểm M( & có hệ số góc k là :
7. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm & là :
8. Phương trình đường thẳng đoạn chắn qua & là: 
9. Phương trình chùm đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 
 và là:
 .+.=0 với 
10. Khoảng cách từ điểm M() tới đường thẳng là:
11. Góc giữa hai đườngthẳng : & là:
12. Phương trình đường tròn tâm và bán kính R là:
13. Dạng phương trình tổng quát của đường tròn :
với 
14. Cho đường tròn : f(x,y)= (C) và điểm M
 Thì 
15. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn Tại điểm là: 
B: Bài tập cơ bản:
1. Cho ABC biết A(1,2) , B(-1,1),C(5,-1).
a.Tính .
b. Tính cos và sin của góc A.
c. Tìm toạ độ chân đường cao của ABC.
d.Tìm toạ độ trực tâm H của ABC.
e. Tìmtoạ độ trọng tâm G của ABC.
f. Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC, từ đó chứng minh rằng I,H,G thẳng hàng.
2. Cho ABC biết A(1, 5) , B(-4, -5), C(4, -1).
Hãy tính toạ độ chân các đường phân giác trong và ngoài của góc A. Tính toạ độ tâm đường tròn nội tiếp ABC.
3. Cho ABC biết A(1, -1) , B(5, -3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G của tam giác trên Ox. Tinh toạ độ điêm C.
4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng BC là : ,các đỉnh A, B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nộ tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng G của tam giác ABC. (Đại học & Cao đẳng năm 2002-A). 
5. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có tâm , phương trình đường thẳng AB là: x – 2y + 2 = 0 và 
AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm .
(Đại học & Cao đẳng năm 2002-B).
6. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có 
AB = AC, = . Biết M(1;-1)là trung điểm cạnh BC và G( là trọng tâm tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-B).
7. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, Cho hai điểm A(0; 2) và B(. Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. (Đại học & Cao đẳng năm 2004-A). 
8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, Cho hai điểm A(1; 1) và B(4; -3).Tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 1 = 0 Sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. (Đại học & Cao đẳng năm 2004-B). 
9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1; 0) , B(4; 0) , C(0; m) với m0.Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G.
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-D).
10. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đường thẳng 
: x – y = 0 & : 2x + y – 1 = 0
 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc ,đỉnh C thuộc và các đỉnh B, D thuộc trục hoành .(Đại học & Cao đẳng năm 2005-A). 
11. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4) . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. 
 (Đại học & Cao đẳng năm 2005-B). 
12. Cho điểm M(3; 0) và hai đường thẳng : 2x – y – 2 = 0, : x + y + 3 = 0. viết phương trình đường thẳng d đi qua M cắt ở A, cắt ở B sao cho MA = MB.
14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho các đường thẳng :
 d1: x + y + 3 = 0, d2: x – y – 4 = 0, d3: x – 2y = 0.
 Tìm toạ độ điểm M nằm trên đường thẳng d3 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2.
(Đại học & Cao đẳng năm 2006 – A ).
13. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(0; 1) và tạo với đuờng thẳng 
d: x + 2y +3 = 0 một góc bằng .
14. Phương trình hai cạnh của một tam giác là: 5x – 2y + 6 = 0 (1) và 
4x + 7y – 21 = 0 (2). Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với O(0; 0).
15. Tam giác ABC có diện tích , hai đỉnh là A(2, -3) ,B(3, -2) , trọng tâm G nằm trên đường thẳng 3x – y – 8 = 0 (1) . Tìm toạ độ đỉnh C.
16. Hình bình hành ABCD có tâm I(1, 6) . các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm P(3, 0) , Q(6, 6), R(5, 9), S(-5, 4). Viết phương trình các cạnh của hình bình hành đó.
17. Cho tam giác ABC với B(3, 5), C(4, -3), phân giác trong của góc A có phương trình là : x + 2y – 8 = 0. Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC.
18. Cho đường thẳng d có phương trình : x – 2y + 1 = 0và điểm A(0, 3).Vẽ đường cao AH vuông góc với d. H d và kéo dài AH về phía H một đoạn HB = 2HA. Tìm toạ độ điểm B.
19. Cho hai điểm A(1, 2) và B(3, 4) Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất.
20. Một hình chữ nhật có hai đỉnh đối nhau có toạ độ là : (5, 1) và (0, 6 ). một cạnh của hình chữ nhật có phương trình là: x + 2y – 12 =0. Tìm phương trình các cạnh còn lại .
21. Cho tan giác ABC có B(2, -7) phương trình đường cao vẽ từ A là 
 : 3x + y +11 =0, trung tuyến vẽ từ C là : x + 2y + 7 = 0 . Tìm phương trình các cạnh của tam giác.
22. Hai cạnh bên của một tam giác cân có phương trình là:
 2x – y + 5 = 0, 3x + 6y – 1 =0
cạnh đáy của tam giác cân đi qua điểm A(2,-1) . Tìm phương trình cạnh đáy.
23. Cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt là : x – y = 0, 2x + y +3 = 0. cạnh AC qua điểm M(0 ,– 1), AB = 2AM.Viết phương trình các cạnh của tam giác.
24. Cho tam giác ABC có C(-3, 1). Phương trình đường phân giác trong AD, đương cao AH lần lượt là : x + 3y +12 = 0; x + 7y +32 = 0. Tìm phương trình các cạnh của tam giác.
25. Cho tam giác ABC với A(3, 3), B(2, -1),C(11, 2). Tìm phương trình đường thẳng đi qua A và chia tam giác ABC thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 2.
26. Tìm phương trình đường thẳng đi qua A(8, 6) và tạo hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12.
27. Lập phương trình đường thẳng đi qua A(3,0) và cắt các đường thẳng: 
 2x – y – 2 = 0 x + y + 3 = 0 tại các điểm I, J sao cho A là trung điểm của IJ.
28. Cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0và điêm M(1,4). Hãy viết phương trình đường thẳng cách đường thẳng d một khoảng bằng và nằm ở phần nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng d và chứa điểm M.
29. Lập phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng: x + y – 3 =0, 
7x – y + 4 = 0 có chứa điểm M(-1, 5).
30. Lập phương trình các đường phân giác trong của tam giác tạo bởi ba cạnh có phương trình lần lượt là: 
3x – 4y = 0, 4x – 3y = 0, 5x + 12y – 101 = 0
31. Lập phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng :
x – 3y = 0, 3x – y + 5 = 0 
32. Hãy tìm tâm của đường tròn nội tiếp của tam giác có ba cạnh là:
x + y + 12 = 0, 7x + y = 0, 7x – y + 8 = 0 
33. Lập phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A(1, 3), B(5, 6), C(7, 0).
34. Lập phương trình đường tròn tâm I(-4, 2) và tiếp xúc với đường thẳng 
3x + 4y – 16= 0
35. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với các trục toạ độ và:
a.đi qua điểm A(2, 4).
b.Có tâm trên đường thẳng 3x – 5y – 8 = 0
36. Lập phương trình của đường tròn có bán kính bằng 1 tiếp xúc với trục hoành và có tâm nằm trên đường thẳng x + y – 3 = 0.
37. Lập phương trình của đường tròn đi qua điểm A(1, -2) và các giao điểm của đường thẳng x -7y + 10 = 0 và đường tròn .
38. Cho đường thẳng d: .Tìm phương trình của đường tròn luôn tiếp xúc với d.
39. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn (C): 
 và đường thẳng d: x – y – 1 =0.
40. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm toạ độ các giao điểm của (C) và (C’). 
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-D).
41. Gọi () là đường tròn có phương trình là:
a. Xác định m để () là đường tròn có bán kính bằng 10
b. Tìm các giá trị của m để () là đường tròn.
c. Tìm tập hợp tâm của () .
42. Cho đường tròn (C) có phương trình : và điểm nằm ngoài (C)
 và là hai đường thẳng tiếp xúc với (C) tại và .
a. Lập phương trình đường thẳng .
b.Chứngminh rằng khi M dịch chuyển trên đường thẳng d cố định không cắt đồ thị (C) thì các đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
43. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : vuông góc với đường thẳng 3x – y + 6 = 0.
44. Cho hai đường tròn :
(C) : 
(C’): .
a. Chứng minh rằng (C) và (C’) ngoài nhau . Tìm khoảng cách ngắn nhất và dài nhất nối một điểm của (C) với một điểm của (C’).
b. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn các điều kiện : và . Chứng minh bất đẳng thức sau:
.
45. Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn điều kiện : c + d = 6, .
Chứng minh bất đẳng thức sau: .
*VẤN ĐỀ VỀ CÁC ĐƯỜNG CÔ NÍC:
A: Lý thuyết:
I. Elíp:
1. Phương trình chính tắc : với a,b > 0.
*Hai tiêu điểm (-c, 0) và (c, 0) với 
*Tâm sai 
2. Tiếp tuyến tại điểm là .
3. Điều kiện để đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với Elíp: 
4. Phương trình đường chuẩn : & .
II. Hypebol:
1. Phương trình chính tắc : với a, b > 0.
Hai tiêu điểm (-c, 0) và (c, 0) với 
Tâm sai 
2. Tiếp tuyến tại điểm là .
3. Điều kiện để đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc với Elíp: 
4. Phương trình đường chuẩn : & .
5. Hai đường tiệm cận: 
III: Parabol:
1. Phương trình chính tắc : với p > 0.
Tiêu điểm Tâm sai e = 1
2. Tiếp tuyến tại điểm là .
3. Phương trình đường chuẩn : .
4. Hai đường tiệm cận: 
5. Điều kiện để đường thẳng d: Ax + By + C = 0 tiếp xúc Parabol: 
 với p > 0 là : 
 với p > 0 là : 
 với p > 0 là : 
 	với p > 0 là : 
B: Các bài tập cơ bản:
46. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho Elíp (E) có phương trình . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Hãy xác định toạ độ điểm M & N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó .
(Đại học & Cao đẳng năm 2002-D).
47. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho Elíp (E) có phương trình : . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E) biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
(Đại học & Cao đẳng năm 2005-D).
48. Xác định tâm đối xứng , độ dài hai trục , tiêu cự , tâm sai .toạ độ tiêu điểm , các đỉnh và phương trình đường chuẩn của Elíp:
a.
b. .
49. Lập phương trình chính tắc của Elíp có:
a. Ox , Oy là hai trục , nhận hai điểm (-4,0) và (0, ) làm hai đỉnh.
b. Tâm O, một tiêu điểm là (0, -2) , một đỉnh là (1, 0).
c. Hai đỉnh trên một trục là (0, -4) và (0, 4) , tiêu điểm là (0, -3).
d. Tâm O, trục nhỏ trên Oy, tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng .
e. Hai đỉnh trên trục lớn là : (-3, 0) và (3, 0) tâm sai bằng .
f. Tâm O, một đỉnh trên trục lớn là (4, 0) và Elíp qua điểm ( 2, )
g. Tâm O, một tiêu điểm là (0, -4) và Elíp qua điểm (-1, ).
h. Phương trình các cạnh hình chữ nhật cơ sở là: x4 = 0, y3 = 0.
i. Tâm O, tiêu điểm trên Oy, tâm sai , khoảng cách giữa hai đường chuẩn là .
50. Viết phương trình tiếp tuyến của Elíp :
a. (E) : biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x + 5y = 0.
b. (E) : biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x  ... ta có :
. 
 và cùng phương 
 , . 
 , đồng phẳng khi và chỉ khi . = 0.
2. S = dt = 
3. Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ 
4. Thể tích tứ diện ABCD. 
5. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có véc tơ pháp tuyến : với 
6. Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng cắt Ox tại (a, 0, 0) , cắt Oy tại (0, b, 0) và cắt Oz tại (0, 0, c) với a, b, c : 
7. Dạng TQ phương trình của mặt phẳng trong khong gian : Ax + By + Cz + D = 0
8. Cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : 
 Phương trình chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là:
 với .
9. Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có véc tơ chỉ phương với là : 
* Dạng chính tắc : 
* Dạng tham số : ( t là tham số và t R)
* Dạng tổng quát: 

 10. Cho (): và : .
* () cắt = 0. và a : b : c 
* () || .
* 
* () chéo .
* () và cùng nằm trong một mặt phẳng = 0.
11. Cho thẳng đường (): 
 và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 có các khả năng sau xảy ra:
* () cắt (P) 
* 
 12. Khoảng cách từ tới mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 
Chú ý: Hai điểm và nằm về một phía so với (P) là :
13. . Khoảng cách từ thẳng đường (): 
14. Khoảng cách giữa hai đường thẳng (): 
 và : .
 với , & .
15. Gọi là góc giữa () và :
16. Gọi là góc giữa đường thẳng () và (P) có:
 (
17.Gọi là góc giữa (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : 
18. Phương trình mặt cầu :
* Dạng chính tắc : với tâm I(a, b, c) bán kính R.
* Dạng tổng quát : với tâm I( -A, -B, -C) , bán kính 
B: Các bài tập cơ bản: 
19. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(1, 2, 1) , B(5, 3, 4),
C(8, -3, 2).
a. Chứng minh ABC là tam giác vuông .
b. Tìm toạ độ chân đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.
c. Tính 
diện tích của tam giác ABC.
20. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(1, -1, 1), B(3, 1, -2), 
C(-1, 2, 4), D( 5, -6, 9).
a. Chứng tỏ điểm D nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
b. Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
21. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Biết 
A(1, 0, 1),B’(2, 1, 2), D’(1, -1, 1) , C(4, 5, -4). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại .
21. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho bốn điểm A(5, 7, -2), B(3, 1, -1), 
C(9, 4, -4), D( 1, 5, 0).
a. Chứng tỏ A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng.
b. Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD.
22. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(-1, 1, 2) , B( 3, -1, 0), 
C( 2, 1, 1)
a. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng qua A và vuông góc với BC.
b. Tìm Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).
23. Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm (1, -2, 3) và song song với mặt phẳng : 
x – 3y +2z + 13 = 0.
24. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng qua hai điểm A(2, 1, 1), B(3, 2, 2) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y – 5z – 3 = 0.
25. Tìm phương trình tổng quát của mặt phẳng qua hai điểm A(1, 2, -2), B(2, 0, -2) và vuông góc với mặt phẳng: 
26. Tìm phương trình mặt phẳng qua điểm (-2, 3, 1) và vuông góc với cả hai mặt phẳng : 
3x + 2y – z – 1 = 0, 2x – 5y + 4z – 7 = 0.
27. Tìm góc giữa hai mặt phẳng : 2x – y + z – 7 = 0 & x + y + 2z – 11 = 0.
28. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng :
 và .
a. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng .
b. Cho điểm M(2, 1, 4) . Tìm toạ độ H thuộc đường thẳng sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
 (Đại học & Cao đẳng năm 2002-A). .
29 Trong không gian cho hệ trục Oxyz , Cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2 = 0 và đường thẳng ( m là tham số ).
Xác định m để đường thẳng song song với mặt phẳng .
(Đại học & Cao đẳng năm 2002-D).
30. Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho hai điểm A(2, 0, 0), B(0, 0, 8) và điểm C sao cho . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. (Đại học & Cao đẳng năm 2003-B).
31. Trong không gian cho hệ trục Oxyz , cho đường thẳng 
Tìm k để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) : x – y – 2z + 5 = 0.
(Đại học & Cao đẳng năm 2003-D).
32. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho điểm A(-4, -2, 4) và đường thẳng 
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường thẳng d. (Đại học & Cao đẳng năm 2004-B).
33. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi hai mặt phẳng 
(P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y + z +1 = 0 mà góc đó chứa điểm .
34. Viết phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhọn tạo bởi hai mặt phẳng :
(P): x – 2y + z – 1 =0 và (Q): 2x + y + z + 1 =0
35. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho đường thẳng và mặt phẳng (P) : 2x + y – 2z + 9 = 0.
a. Tìm điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2.
b. Tìm toạ độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
(Đại học & Cao đẳng năm 2005-A).
36. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng :
 và .
a. Chứng minh rằng và song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
 cả hai đường thẳng và .
b. Mặt phẳng toạ độ O cắt hai đường thẳng và lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ).
(Đại học & Cao đẳng năm 2005-D).
37. Tìm phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng : 
x + 3y – z + 4 = 0
Và vuông góc với đường thẳng tại giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
38. Lập phương trình của đường thẳng qua điểm (3, 2, 1) và vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng đó.
39. Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm (-4, -5, 3) và cắt cả hai đường thẳng :
 và 
40. Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm (0, 1, 1) vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng .
41.Xác định góc nhọn giữa đường thẳng và mặt phẳng : 
 3x + y –z + 1 = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M(-1, -1, -1) trên đường thẳng và K là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng : x + 2y – z + 1 = 0
Tính HK.
42. Cho hình tứ diện ABCD với các đỉnh A(-1, 2, 3), B(0, 4, 4), C(2, 0, 3) , 
D( 5, 5, -4).
a. Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng (ABC).
b. Tính thể tích của tứ diện ABCD.
43. Cho hai đường thẳng và .
a. Chứng minh rằng và chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa và .
c. Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (2, 3, 1) và cắt cả hai đường thẳng trên.
d. Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng trên.
44. Tìm phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng :
 & .
Và tính khoảng cách hai đường thẳng trên.
45. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng : x + 2y + 3z +4 = 0.
46. Tìm phương trình mặt phẳng (P) qua điểm (2, -1, 5) và vuông góc với đường thẳng 
47. Lập phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3) vuông góc với véc tơ và cắt đường thẳng .
48. Cho S(-3, 1, -4), A(-3, 1, 0), B(1, 3, 0), C(3, -1, 0), D(-1, -3, 0)
a. Chứng minh rằng ABCD là hình vuông và SA là đường cao của hình chóp S.ABCD.
b. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
49. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn sau:
50. Tìm phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M(4, 3, 0)
51. Cho đường tròn (C) có phương trình 
 Viết phương trình mặt cầu chứa (C) và đi qua gốc O.
52. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho ba điểm A(2, 0, 1) , B(1, 0 , 0),
 C(1, 1, 1) và mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 =0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-D).
* Giải toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ:
 55. Trong không gian cho hệ trục Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với 
A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’(C) và MN.
b. Viết phương trình mặt phẳng chứa A’(C) và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos = . (Đại học & Cao đẳng năm 2006-A).
53. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với 
A(0, -3, 0) , B(4, 0, 0), C(0, 3, 0), B’(4, 0, 4).
a. Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’ . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC’B’).
b. Gọi M là trung điểm của A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. (Đại học & Cao đẳng năm 2005-B).
54. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ biết A’(0, 0, 0), B’(a, 0, 0), D’(0, a, 0),
 A(0, 0, a) với a > 0. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, B’C’
a. Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với AN và BD’.
b. Tính thể tích của hình tứ diện ANBD’.
c. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD’.
55. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b. Gọi M, N, P lần lượt trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’. Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
(Đại học & Cao đẳng năm 2002-B).
56. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện 
[B, A’C, D]. (Đại học & Cao đẳng năm 2003-A).
57. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ , B(a, 0, 0), D(0, a, 0), A’(0, 0, b) 
 với a,b > 0. Gọi M là trung điểm của CC’.
a. Tính thể tích của khối tứ diện BDA’M theo a, b.
b. Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.
(Đại học & Cao đẳng năm 200-A).
58. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi , AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2, 0, 0), B(0, 1, 0), S(0, 0, ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.
b. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. (Đại học & Cao đẳng năm 2004-A).
59. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ . Biết A(a, 0, 0), B(-a, 0 , 0), C(0, 1, 0), B’(-a, 0, b), với a, b, > 0.
a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’.
b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b =4. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ lớn nất.
(Đại học & Cao đẳng năm 2004-D).
60. Trong không gian cho hệ trục Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ . Biết
A(0, -3, 0), B(4, 0, 0) , C(0, 3, 0), B’(4, 0, 4).
a. Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC’B’).
b. Gọi M là trung điểm của A’B’ . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A’C’ Tại điểm N. Tính độ dài MN. (Đại học & Cao đẳng năm 2005-B).
61. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với A(0, 0, 0) , B(a, 0, 0), D(0, b, 0), 
A’(0, 0, c) với a, b, c > 0.
a. Tính góc giữa DA’ và BD’.
b. Tính góc giữa BD’ và mặt phẳng (MNP) trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BB’, CD, D’A’.
62. Cho các điểm A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) với a, b, c > 0. Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh diện với đỉnh O của hình hộp đó.
a. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
b. Tính toạ độ của hình chiếu vuông góc H của C xuông mặt phẳng (ABD) . Tìm điều kiện đối với a, b, c để H thuộc mặt phẳng (xOy). ( Đại học QG Hà Nội – 1998) 
--------------------------------HẾT----------------------------------
Chúc các em học tập tốt!!!