Ôn thi tốt nghiệp 12 - Phương pháp tọa độ trong không gian

Á1. TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
Cho và ta có:
Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k thì ta có :
 (Với k ≠ -1)
@/. Đặc biệt khi M là trung điểm của AB (k = – 1 ) thì ta có :
Tọa độ của véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oyz
Cho và ta có :
Tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng:
Nếu và thì 
Vectơ tích có hướng vuông góc vơi hai vectơ và .
.
.
VHộpABCDA’B’C’D’ =.
VTứdiện ABCD =.
Điều kiện khác:
 và cùng phương 
 và vuông góc 
Ba vectơ đồng phẳng Û(tích hỗn tạp của chúng bằng 0).
A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện Û không đồng phẳng.
Cho hai vectơ không cùng phương và vectơ đồng phẳng với và 	Û $k,l ÎR sao cho 
G là trọng tâm của tam giác ABC 
G là trọng tâm của tứ diện ABCD Û.
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
Tính .
Chứng tỏ rằng OABC là một hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật đó.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Cho S(0;0;5).Chứng tỏ rằng S.OABC là hình chóp.Tính thể tích hình chóp. 
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1)
Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện. 
Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.
Tính các góc của tam giác ABC.
Tính diện tích tam giác BCD.
Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
Bài 3: Cho 
Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ không đồng phẳng. 
Chứng tỏ rằng bộ ba vectơ đồng phẳng, hãy phân tích vectơ theo hai vectơ .
Phân tích vectơ theo ba vectơ .
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3).
Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Tính thể tích hình hộp.
Chứng tỏ rằng AC’ đi qua trọng tâm của hai tam giác A’BD và B’CD’.
Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên đoạn A’C.
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4). Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình 	chiếu của A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba 	mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
Chứng minh rằng N1N2 ^ AN3 .
Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1.
Á2. MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó là một vectơ pháp tuyến của nó.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có dạng : 
 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .
Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận và làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
 .
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 
(P) cắt (Q) Û A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) Û A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) Û A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Cho hai mặt phẳng cắt nhau : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0 . Phương trình chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và (Q) là:
	m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 (trong đó m2 + n2 ≠ 0)
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’= 0. 
Ta có : (00≤φ≤900)
 Û hai mặt phẳng vuông góc nhau.
Trong phương trình mặt phẳng không có biến x thì mặt phẳng song song Ox, không có biến y thì song song Oy, không có biến z thì song song Oz.
B/. BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
Viết phương trình tham số đường thẳng (D) là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Chứng minh rằng đường thẳng (D) cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.
Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ không thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).
Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng quát đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt mp(P).
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). 
( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .
Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng. 
Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).
Lập phương trình mặt phẳng (b) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.
Lập phương trình mặt phẳng (c) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P)và (Q).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1). 
Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M song song Ox và hợp với mặt phẳng (P) một góc 450.
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.
Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d).
Á3. ĐƯỜNG THẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình đường thẳng:
Phương trình tổng quát của đường thẳng: 	
(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
Phương trình ttham số của đường thẳng : 
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng (D) đi qua M có VTCP và (D’) đi qua M’ có VTCP .
(D) chéo (D’)	Û 	
(D) cắt (D’)	Û 	 với 
(D) // (D’)	Û 	
(D) ≡ (D’) 	Û 	
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng:
Cho đường thẳng (D) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT .
(D) cắt (α) 	Û 
(D) // (α) 	Û 
(D) nằm trên mp(α)	Û 
Khoảng cách:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (D) đi qua M0 có VTCP .
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
(D) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP , (D’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP 
Góc :
Góc giữa hai đường thẳng :
	(D) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP 
	(D’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP 
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
	(D) đi qua M0có VTCP , mp(α) có VTPT .
	Gọi φ là góc hợp bởi (D) và mp(α) 
B/. BÀI TẬP:
Bài 1: 
Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Viết phương trình tham số chính tắc của đuờng thẳng có phương trình 	
Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) và một đường thẳng (D) có phương trình
Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,D).
Chứng tỏ rằng mọi điểm M của đường thẳng (D) đều thỏa mãn AM ^ BC, BM ^ AC, CM ^ AB.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O.
Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D).
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D). (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:	
Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D’) không cắt nhau nhưng vuông góc nhau.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (D)và (D’).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (D) và vuông góc với (D’). 
Viết phương trình đường vuông góc chung của (D)và (D’).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) 	 D(-1;-5;3).
Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB.
Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.
Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
Bài 7: Cho đường thẳng và mp (P) : x + y + z – 7 = 0
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Tìm tọa độ giao điểm của (D) và (P).
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (D) trên mp(P).
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng (D) và (D’) lần lượt có phương trình:.
Chứng minh rằng hai đường thẳng đó cắt nhau tìm tọa độ giao điểm.
Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) đi qua hai đường thẳng (D) và (D’).
Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc và cắt cả hai đường (D) và (D’) .
 Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng .
Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và (D) vuông góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng.
Chuyển phương trình của (D) về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến (D).
Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (D), biết (d) và (D) cắt nhau.	
(Đề HK2 2005)
Á4. MẶT CẦU
 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
	 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 . 
Phương trình x2 + y2  + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2–D>0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính .
Vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R và mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0.
Nếu d(I,(P)) > R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung.
Nếu d(I,(P)) = R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.
Nếu d(I,(P)) < R thì mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn có phương trình : 
Bán kính đường tròn .
Tâm H của đường tròn là hình chiếu của tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P).
 BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 và hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5).
Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
Viết phương trình đường thẳng MN.
Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).
Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
Tính thể tích tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và bán kính.
Viết phương trình đường tròn qua ba điểm A,B,C. Hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2  + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0.	
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính R và tọa độ tâm H của đường tròn (C).
Bài 4: Trong không gian cho (P): x + 2y – z + 5 = 0 điểm I(1;2;-2) và đường thẳng .
Tìm giao điểm của (d) và (P). Tính góc giữa (d) và (P).
Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) và I.
Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm trong (P) cắt (d) và vuông góc (d).
 (Thi HK2, 2002-2003)
Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D.
Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
 (TN THPT 2003-2004)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)
Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính   với mặt phẳng(P).
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng(P).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa độ tại A, B, C. 
Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D của (d): với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ACD. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
	 (TN THPT 2001-2002)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi : .
Chứng minh AB^AC, AC^AD, AD^AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
Viết phương trình tham số của đường (d) vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa (d) và mặt phẳng (ABD). 
Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. 
Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và mặt phẳng (P).
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.
Viết phương trình mặt phẳng(ABC). 
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng(ABC).
Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tính tọa độ A, B, C và viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
x5. GIẢI TOÁN BẰNG HHGT
CÁCH GIẢI CHUNG
Để giải bài toán bằng phương pháp tọa độ trong không gian ta có thể chọn cho nó một hệ trục tọa độ phù hợp rồi chuyển về hình học giải tích để giải.
Các bước chung để giải như sau:
	B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
	B2: Chuyển các giả thiết của bài toán về HH giải tích.
	B3: Giải bằng HH giải tích.
	B4 : Kết luận các tính chất, định tính, định lượng... của bài toán đặt ra.
CÁC BÀI TẬP 
Bài 1: 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a 
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
Bài 2: 
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy bằng a .Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt bên đối diện.
Bài 3: 
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại C. Cho SA = AC = CB = a 
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.
Tính góc giữa đường thẳng SA và mp(SBC).
Bài 4: 
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. SA^(ABC), AC = a, BC = b, SA = h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và SB.
Tính độ dài MN.
Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h để MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng AC và SB.
Bài 5:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tính số đo của góc nhị diện [B,A’C,D].
Bài 6: 
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc . Gọi M là trung điiểm cạnh AA’ và N là trung điểm của cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’,M,D,N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.
Bài 7*: 
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. M là điểm thuộc AD’ và N thuộc BD sao cho AM=DN=k (0<k<).
Tìm k để đoạn MN ngắn nhất.
Chứng minh rằng MN//(A’D’BC) khi k biến thiên.
Khi đoạn MN ngắn nhất. Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và MN//A’C.
Bài 8* 
Tìm m để hệ phương trình sau đây có đúng một nghiệm tìm nghiệm đó.
	.
Bài 9* 
	Cho ba số thực x,y,z thỏa tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 	nhất của 	.
 Bài 10*: Giải hệ phương trình:
	.
 Bài 11*: Giải hệ phương trình:
Bài 12: Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất 
Bài 13: Tìm a để hệ sau có duy nhất nghiệm (ĐS:m=-1/2)
Bài 14 Tìm a để hệ sau có nghiệm	(ĐS:a≥4/25)
Bài 15 Cho hệ xác định m để nghiệm đúng với mọi xÎ[0;2] (ĐSm=0)
Bài 16: Cho hệ phương trình tìm a để hệ phương trình có hai nghiệm.(ĐS:0<a<4/3)
Bài 17:Tìm các số dương a để hệ sau đây có nghiệm:
	a.
	b.
 Bài 18: