Ôn thi Toán lớp 12 - THPT Trần Phú

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG
* Điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền.
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
+ Nếu f’(x) > 0 với "xÎK thì hàm số f(x) đồng biến trên K. 
+ Nếu f’(x) < 0 với "xÎK thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. 
+ Nếu f’(x) = 0 với "xÎK thì hàm số f(x) không đổi trên K. 
* Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f’(x) ³ 0 (f’(x) £ 0), "xÎK và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đó đồng biến (nghịch biến) trên K.
Chú ý: 
+ Nếu bài toán yêu cầu xét chiều biến thiên (tìm khoảng đồng biến, nghịch biến) của hàm số thì ta áp dụng điều kiện đủ.
+ Nếu bài toán yêu cầu chứng minh hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một đoạn (nửa khoảng) thì ta áp dụng điều kiện đủ và bổ sung thêm điều kiện hàm số liên tục trên đoạn (nửa khoảng) đó.
+ Định lý mở rộng thường được áp dụng cho bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng hay một số bài toán có chứa hàm số lượng giác.
+ Với các bài toán có tham số mà dấu của f’(x) phụ thuộc vào dấu của tam thức ax2 + bx + c thì điều kiện để f’(x) ³ 0 "xÎR (f’(x) £ 0 "xÎR) là . 
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) ta thường làm theo các bước:
+ Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
+ Bước 2: Tính đạo hàm y’ = f’(x).
+ Bước 3: Xét dấu f’(x).
+ Bước 4: Kết luận.
Chú ý: + Với dạng toán này học sinh thường lúng túng trong khâu xét dấu f’(x) đặc biệt là khi f’(x) là tam thức bậc hai vô nghiệm. Trong trường hợp này học sinh phải thuần thục kĩ năng xét dấu tam thức bậc hai.
+ Ta có định lý sau thường áp dụng để xét dấu một biểu thức: Nếu đa thức f(x) bậc n mà có n nghiệm thì f(x) sẽ đổi dấu trên tất cả các khoảng nghiệm. Nếu f(x) có nghiệm kép x = x0 thì f(x) không đổi dấu trên hai khoảng (x1; x0) và (x0; x2).
Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = .
Giải:
TXĐ: D = R. 
y’ = x2 - 6x + 8; y’ = 0 Û x2 - 6x + 8 Û . 
BBT: 
x
-¥
2 4
 +¥
y’
+
0 - 0
+
y
Hàm số ĐB trên các khoảng (-¥ ; 2) và (4 ; +¥); nghịch biến trên khoảng (2 ; 4).
Ví dụ 2. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: .
Giải: 
TXĐ: D = R\{2}.
; y’ = 0 Û -x2 + 4x = 0 Û 
BBT: 
x
-¥ 0
2
4 +¥
y’
+ 0
-
-
0 +
y
Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:
 .
Giải:
TXĐ: D = R\{-1}.
; y’ > 0 "xÎR\{-1}. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ ; -1;) và (-1; +¥).
Ví dụ 4. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số: 
Giải: 
TXĐ: D = [-5 ; 1]
; y’ = 0 Û -2 - x = 0 Û x = -2.
Dấu y’: 
x
-5
 -2
 1
y’
+
0
-
y
 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-5 ; -2) và nghịch biến trên khoảng (-2 ; 1).
Ví dụ 5. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số:
 y = .
Giải: 
TXĐ: D = R. 
y’ = 2x3 + 3x2 - 1; y’ = 0 Û , x = -1.
BBT: 
x
-¥ -1 
 +¥
y’
-
-
+
y
Hàm số nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1/2) và đồng biến trên khoảng (1/2 ; +¥).
Các bài tập tự luyện:
Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số: 
a) y = ;	b) y = x3 - 2x2 + x + 1;c) y = ;	d) y = x4 - 4x2 + 3;	
e) y = -x3 + 3x2 + 2;	f) y = x4 + 2x2 -1;
g) y = x4 + 8x3 + 5.	h) ;	
i) ;	j) ;	
k) ;	 l) .
2. Chứng minh hàm số luôn đồng biến, nghịch biến.
Để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến ta áp dụng điều kiện đủ hoặc định lý mở rộng.
Với dạng này ta cần chú ý đến điều kiện để tam thức bậc hai không đổi dấu trên một miền.
Một số ví dụ:	
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số y = nghịch biến trên đoạn [1 ; 2].
Giải: 
TXĐ: D = [0; 2].
y’ = ; y’ = 0 Û 1 - x = 0 Û x = 1. y’ > 0 với xÎ (0; 1), y’ < 0 với xÎ (1; 2).
Hàm số y = liên tục trên đoạn [1; 2] và có y’ < 0 với "xÎ (1; 2). Vậy hàm số luôn nghịch biến trên [1 ; 2].
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số y = đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Giải:
TXĐ: D = R\{-1/2}.
y’ = ; Dấu của y’ là dấu của tam thức bậc hai g(x) = 4x2 + 4x + 3. 
Tam thức g(x) có D’ = -8 0 "x Þ y’ > 0 "x ¹ -1/2. Vậy hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-¥ ; -1/2) và (-1/2; +¥) hay hàm sô luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 Ví dụ 3. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên R.
a) y = x3 - 6x2 + 17x + 4;	b) y = x3 - 3x2 + 3x + 5; 
c) y = 3 + 2x - sin2x.
Giải: 
a) TXĐ: D = R.
y’ = 3x2 - 12x + 17,y’ là tam thức bậc hai có a = 3> 0, D’ = -19 0 với "xÎR. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R.
b) TXĐ: D = R.
y’ = 3x2 - 6x + 3 = 3(x - 1)2 ³ 0 "xÎR, y’ = 0 Û x = 1. Vậy hàm số luôn đồng biến trên R.
c) TXĐ: D = R
y’ = 2 - 2cos2x ³ 0, "xÎR. 
y’ = 0 Û cos2x = 1 Û x = kp, kÎ Z. 
Hàm số đồng biến trên mỗi đoạn , kÎ Z. Do đó hàm số đồng biến trên R.
Bài tập tự luyện:
Bài 1. Chứng minh rằng hàm số đồng biết trên nửa khoảng [2 ; + ¥).
Bài 2. Chứng minh rằng: 
a) Hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
b) Hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó với mọi giá trị của m.
c) Hàm số y = cosx - x luôn nghịch biến trên R;
d) Hàm số y = -x + nghịch biến trên R.
e) Hàm số y = luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số luôn đồng biến, nghịch biến trên một khoảng.
Phương pháp: 
+ Tìm TXĐ;
+ Tính y’;
+ Đặt điều kiện cho y’, giải điều kiện (ẩn là tham số).
+ Kết luận.
Chú ý: Với dạng toán này ta áp dụng định lý mở rộng.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số:
 y = 
luôn đồng biến trên R.
Giải: 
TXĐ: D = R
y’ = x2 - 2mx + 2m -1;
Hàm số ĐB trên R khi và chỉ khi y’³ 0 "xÎR Û D’£ 0 Û m2 - 2m + 1 £ 0 Û (m - 1)2 £ 0 Û m = 1.
Vậy với m = 1 thì hàm số luôn ĐB trên R.
Ví dụ 2. Tìm m đề hàm số y = mx3 - (2m - 1)x2 + (m - 2)x - 2 luôn nghịch biến trên R.
Giải:
TXĐ: D = R.
y’ = 3mx2 - 2(2m - 1)x + m - 2.
Hàm số luôn nghịch biến trên R khi và chỉ khi y’ £ 0 "xÎR. Ta xét các trường hợp:
+ m = 0 Þ y’ = 2x - 2, y’ £ 0 Û x £ 0 Þ m = 0 không thoả mãn.
+ m ¹ 0 Þ y’ là một tam thức bậc hai.
 y’ £ 0 "xÎR.Û 
.
Vậy với m = -1 thì hàm số luôn nghịch biến trên R.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + mx + 1.
1) Tìm m để hàm số ĐB trên R.
2) Tìm m để hàm số ĐB với x > 1.
HD: y' = 3x2 - 6x + m.
1) ĐK Û y’ ³ 0 với "x Û g(x) = 3x2 - 6x + m ³ 0 với "x Û D’ £ 0 Û 9 - 3m £ 0 Û m ³ 3.
2) ĐK Û y’ ³ 0, "x > 1 Û 3x2 - 6x + m ³ 0, "x > 1
Û m ³ -3x2 + 6x, "x > 1.
Xét hàm số f(x) = -3x2 + 6x với x > 1.
khảo sát hàm số ta được maxf(x) = 3. 
ĐS: m ³ 3.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + mx - 2 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
HD: 
Có y’ = -3x2 + 6x + m.
Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2) khi và chỉ khi y’£ 0 "xÎ (0; 2) Û -3x2 + 6x + m £ 0 "xÎ (0; 2) Û m £ 3x2 - 6x "xÎ (0; 2)
Xét hàm số g(x) = 3x2 - 6x với xÎ (0; 2). 
Khảo sát hàm số ta tìm được ming(x) = -3.
ĐS: m £ -3.
Các bài tập tự luyện: 
Bài 1. Tìm giá trị của m để hàm số:
a) y = 2x3 + 3mx2 - 2m + 1 luôn đồng biến trên R.
b) luôn nghịch biến trên R. 
4. Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh bất đẳng thức
Phương pháp: Để chứng minh BĐT bằng đạo hàm:
+ B1: Chuyển BĐT về một vế dạng f(x) > 0 (<, ≤, ≥).
+ B2: Tính đạo hàm f’(x) và xét dấu f’(x) trên TXĐ do đề bài chỉ định từ đó suy ra khoảng ĐB hay NB.
+ B3: Dựa vào định nghĩa ĐB, NB để kết luận.
Một số ví dụ: 
Ví dụ 1. Chứng minh BĐT:
Giải: 
Xét hàm số 
Có 
Do đó hàm số ĐB trên .
Suy ra f(x) > f(0) với mọi x > 0 
(ĐPCM).
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1. Chứng minh các BĐT:
a) sinx 0;	 b) x < tanx với ;
c) sinx > với x > 0; 
Bài 2. Cho hàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x.
a) Chứng minh rằng hàm số ĐB trên nửa khoảng .
b) Chứng minh rằng:
 2sinx + tanx > 3x với mọi .
Bài 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CÓ BẢN CẦN NẮM VỮNG
* Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0 + h) và có đạo hàm trên khoảng K hoặc trên K\{x0}, với h > 0.
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ + sang - khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
+ Nếu f'(x) đổi dấu từ - sang + khi x đi qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
* Quy tắc 1: Để tìm cực trị của hàm số theo định lí 1 ta làm theo các bước:
b1: Tìm TXĐ.
b2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
b3: Lập bảng biến thiên.
b4: Kết luận.
* Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h, x0 + h), với h > 0. Khi đó:
+ Nếu thì x0 là điểm cực đại;
+ Nếu thì x0 là điểm cực tiểu.
* Quy tắc 2: Để tìm cực trị của hàm số theo định lí 2 ta làm theo các bước:
b1: Tìm TXĐ.
b2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 3, ...) là các nghiệm của f'(x).
b3: Tính f''(x) và f''(xi).
4. Dựa vào dấu của f''(xi) ta suy ra tính chất cực trị của xi.
* Chú ý: + Đối với bài toán tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số ta áp dụng quy tắc 1.
+ Quy tắc 2 thường được áp dụng cho các hàm số đa thức và các hàm số lượng giác; áp dụng cho các bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị tại x0.
Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1. 
a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 
2x3 - 3x2 - m = 0. (1)
Giải: 
a) 
TXĐ: D = R.
y’ = 6x2 - 6x, y’ = 0 Û 6x2 - 6x = 0 Û 
BBT: 
x
-¥
0 1
 +¥
y’
+
0 - 0
+
y
1
 0
b) 2x3 - 3x2 - m = 0 Û 2x3 - 3x2 + 1 = m + 1.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m + 1. 
Dựa vào BBT ta có:
+ Với , Phương trình (1) có một nghiệm.
+ Với , phương trình (1) có 2 nghiệm.
+ Với , phương trình (1) có 3 nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = -x3 + 3x2 -1.
a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b) Chứng tỏ rằng với mọi mÎ[-2; 2] phương trình: 
x3 - 3x2 + m2 = 0
luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Giải:
a) 
TXĐ: D = R.
y’ = -3x2 + 6x, y’ = 0 Û -3x2 + 6x = 0 Û 
BBT: 
x
-¥
0 2
 +¥
y’
-
0 + 0
-
y
 3
-1 
b) x3 - 3x2 + m2 = 0 Û -x3 + 3x2 - 1 = m2 - 1.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = m2 - 1. 
Ta có: 
m2 - 1 ³ -1 "m;
m2 - 1 £ 3, "mÎ[-2; 2] .
Suy ra với "mÎ[-2; 2] ta luôn có -1 £ m2 - 1 £3. 
Do đó, dựa vào BBT ta kết luận phương trình luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt.
Ví dụ 3. Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 1.
a) Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm thuộc khoảng (-2; 2) của phương trình: x4 - 2x2 + m = 0 (1).
Giải:
TXĐ: D = R.
y’ = 4x3 - 4x, y’ = 0 Û 4x3 - 4x = 0 Û 
BBT: 
x
-¥ -2 -1 0 1 2 +¥
y’
 - 0 + 0 - 0 + 
y
 1 
 9 9 
 0 0
b) x4 - 2x2 + m = 0 Û x4 - 2x2 +1 = 1 - m.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y = 1 - m.
Từ BBT ta có:
+Với 1 - m 1, (1) không có ng thuộc (-2;2) 
+Với 1 - m = 0 Û m = 1, (1) có 2 ng thuộc (-2;2)
+Với 0<1- m<1Û 0<m<1, (1) có 4 ng thuộc (-2;2)
+Với 1<1- m < 9 Û -8<m<0, (1) có 2 ng thuộc (-2;2) 
+ Với 1 - m³ 9 Û m £-8, (1) không có ng thuộc (-2;2)
Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số:
y = |x2 + 4x + 3|.
Giải:
TXĐ: D = R.
Viết lại hàm số dưới dạng: 
; y’ = 0 Û x = -2.
BBT:
x
-¥ -3 -2 -1 +¥
y’
 - + 0 - + 
y ... Á TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Một số kiến thức cần nắm vững:
B. Bài tập
Bài 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số: 
a) f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên [-4; 4];
b) f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên [-4; 3];
c) f(x) = trên đoạn [-1; 1];
d) f(x) = 
Bài 4: ĐƯỜNG TIỆM CẬN
A. Một số kiến thức cần nắm vững
1. Tiệm cận ngang
* ĐN: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng (-¥; a), (b; + ¥) hoặc (-¥; +¥)). Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 
2. Đường tiệm cận đứng
* ĐN: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: 
B. Bài tập
Bài 1. Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số: 
a) ;	b) ;	
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
g) ;	h) ;
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) ;	b) ;
c) ;	d) ;
e) ;	f) ;
Bài 3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
a) ;	b) ;
Bµi 3: TiÕp tuyÕn, tiÕp xóc vµ
t­¬ng giao
1. Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña hµm sè.
Cho hµm sè y = f(x) cã ®å thÞ lµ (C).
* TiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm M(x0; y0) Î (C):
y - y0 = f’(x0)(x - x0).
* TiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k cho tr­íc:
+ Gäi x0 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm. Ta cã f’(x0) = k. 
+Gi¶i ph­¬ng tr×nh ta t×m ®­îc x0, råi t×m y0 = f(x0)
Tõ ®ã ta viÕt ®­îc ph­¬ng tr×nh.
Chó ý: NÕu D lµ tiÕp tuyÕn vµ:
+ D // d: y = ax + b Þ kD = a.
+ D ^ d: y = ax + b Þ kD = -1/a.
+ D hîp víi trôc Ox mét gãc a Þ kD = ± tan(a).
+ D hîp víi tia Ox mét gãc a Þ kD = tan(a).
* TiÕp tuyÕn ®i qua mét ®iÓm A(x1; y1).
C¸ch 1: Gäi x0 lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm.
PTTT t¹i x0 lµ: y = f’(x0)(x - x0) + f(x0).
AÎ TT Þ y1 = f’(x0)(x1 - x0) + f(x0).
Gi¶i ph­¬ng tr×nh Èn x0 råi t×m f(x0), f’(x0).
C¸ch 2: §­êng th¼ng D ®i qua A cã hÖ sè gãc k cã ph­¬ng tr×nh: y = k(x - x1) + y1.
D lµ tiÕp tuyÕn cña (C) Û hÖ PT sau cã nghiÖm:
gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh b»ng ph­¬ng ph¸p thÕ ®Ó t×m k.
2. §iÒu kiÖn tiÕp xóc cña hai ®å thÞ:
§å thÞ 2 hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc nhau Û hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
nghiÖm cña hÖ lµ hoµnh ®é tiÕp ®iÓm.
§Æc biÖt ®å thÞ hµm sè y = f(x) tiÕp xóc víi trôc Ox Û hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm.
3. §iÓm cè ®Þnh cña hä ®­êng cong.
§iÓm cè ®Þnh lµ ®iÓm cã to¹ ®é (x0; y0) nghiÖm ®óng ph­¬ng tr×nh: y0 = f(x0, m). V× vËy: muèn t×m ®iÓm cè ®Þnh mµ hä ®­êng cong (Cm) ®i qua ta lµm theo hai b­íc tuú theo d¹ng hµm sè nh­ sau:
+ §­a ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng:
* 
* 
+ Gi¶i hÖ ®iÒu kiÖn trªn ta t×m ®­îc ®iÓm cè ®Þnh.
4. TiÕp tuyÕn cè ®Þnh
* PP: 
D¹ng 1: Hä ®­êng cong ®i qua ®iÓm cè ®Þnh: Ta t×m ®iÓm cè ®Þnh M(x0; y0), råi chøng minh f’(x0) = h»ng sè víi "m.
D¹ng 2: Hä ®­êng cong kh«ng ®i qua ®iÓm cè ®Þnh: ¸p dông ®iÒu kiÖn tiÕp xóc cña ®å thÞ hai hµm sè, ta cã hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm víi mäi m:
.
5. T­¬ng giao
Hoµnh ®é giao ®iÓm cña ®å thÞ 2 hµm sè y = f(x) vµ y = g(x) lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: f(x) = g(x).
Chó ý bµi to¸n t×m sè giao ®iÓm cña ®å thÞ hµm sè víi trôc hoµnh.
* §å thÞ hµm sè y = ax3 + bx2 + cx + d c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng Û hµm sè cã 2 cùc trÞ vµ ®iÓm uèn n»m trªn trôc hoµnh Û .
* §å thÞ hµm sè y = ax4 + bx2 + c c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng Û ph­¬ng tr×nh:
at2 + bt + c = 0 cã 2 nghiÖm d­¬ng t1 < t2 tho¶ m·n t2 = 9t1.
C¸c bµi tËp luyÖn tËp:
a) C¸c bµi tËp vÒ ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn:
Bµi 1. Cho hµm sè y = x3 - 2x2 + 2x cã ®å thÞ lµ (C).
1) ViÕt PTTT cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = -x +1.
2) Chøng minh r»ng trªn (C) kh«ng cã 2 ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i hai ®iÓm nµy vu«ng gãc víi nhau.
HD: 1) §S: y = x, y = x + 2/27.
2) CM: y’ > 0 víi "x.
Bµi 2. ViÕt PTTT t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè y = x3 - 3x2. CMR ®©y lµ tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt trong c¸c hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ.
HD: §S: y = -3x + 1.
CMR y’³ - 3 víi "x.
Bµi 3. Cho hµm sè y = x3 - 3x + 1. ViÕt PTTT víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(1; 6).
§S: y = 9x - 15.
Bµi 4. Cho hµm sè y = . CMR tiÕp tuyÕn t¹i mét ®iÓm bÊt k× cña ®å thÞ lu«n c¾t hai ®­êng tiÖm cËn vµ tam gi¸c t¹o thµnh cã diÖn tÝch kh«ng ®æi.
HD: + Giao víi TC§ t¹i , giao víi TCN t¹i .
Bµi 5. Cho hµm sè y = f(x) = . 
1) CMR hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i giao ®iÓm x = x0 cña ®å thÞ víi trôc hoµnh lµ k = .
2) T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm mµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i 2 ®iÓm nµy vu«ng gãc víi nhau. 
§S: m = 2/5.
b) C¸c bµi to¸n vÒ tiÕp tuyÕn cè ®Þnh:
Bµi 6. CMR ®å thÞ hµm sè lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh.
HD: §iÓm cè ®Þnh (-1; -2). y’(-1) = 1.
Bµi 7. CMR víi "m¹0 th× ®å thÞ hµm sè lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
HD: ®iÓm cè ®Þnh (0; 1), y’(0) = 1.
Bµi 8. Chøng minh r»ng ®å thÞ hµm sè lu«n tiÕp xóc víi hai ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
HD: G/s tiÕp tuyÕn cè ®Þnh lµ y = kx + b. Ycbt Û hÖ: cã nghiÖm víi .
§S: y = x + 3, y = x - 5.
c) C¸c bµi to¸n vÒ tiÕp xóc:
Bµi 9. T×m m ®Ó hµm sè y = x3 - 3mx + m + 1 tiÕp xóc víi trôc hoµnh.
§S: m = 1.
Bµi 10. Cho (C): y= (x2 - 1)2 vµ (P): y = ax2 - 3. T×m a ®Ó (C) vµ (P) tiÕp xóc nhau. ViÕt PT c¸c tiÕp tuyÕn chung cña (C) vµ (P).
HD: a = 2, tiÕp ®iÓm lµ x = .
Bµi 11. T×m m ®Ó (P): y = x2 + m tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè: .
§S: k = -1.
d) C¸c bµi to¸n vÒ t­¬ng giao:
Bµi 12. T×m m ®Ò ®å thÞ hµm sè y = x3 - 3mx2 + 4m3 c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm lËp thµnh mét CSC.
HD: m = 0, m = .
Bµi 13. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = x4 - 2(m + 1)x2 + 2m + 1 c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm lËp thµnh mét CSC.
§S: m = 4, m = -4/9.
Bµi 14: Cho hµm sè 
T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y= -x - 4 c¾t ®å thÞ hµm sè (1) t¹i 2 ®iÓm ®èi xøng nhau qua ®­êng th¼ng y = x.
HD: Ycbt Û trung ®iÓm ®o¹n th¼ng thuéc ®­êng th¼ng y = x.
Bµi 15: Cho hµm sè
T×m m ®Ó ®­êng th¼ng D: y= 2x + m c¾t (C ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho tiÕp tuyÕn cña (C ) t¹i A, B song song víi nhau.
T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M thuéc (C ) sao cho kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn giao ®iÓm 2 ®­êng tiÖm cËn lµ ng¾n nhÊt.
Bµi 16: Cho hµm sè
Gäi I lµ giao ®iÓm 2 ®­êng tiÖm cËn cña (C ) T×m ®iÓm M thuéc (C) sao cho tiÕp tuyÕn t¹i M vu«ng gãc víi d­êng th¼ng IM.
Bµi 17: Cho hµm sè 
T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè (1) c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d­¬ng.
Bµi 18: Cho hµm sè T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt
Bµi 19: Cho hµm sè 
T×m to¹ ®é 2 ®iÓm A,B n»m trªn (C ) vµ ®èi xøng nhau qua ®­êng th¼ng x - y - 4 = 0.
Bµi 20: Cho hµm sè
X¸c ®Þnh m ®Ó (d) y = m(x - 5) + 10 c¾t ®å thÞ (C ) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt nhËn I(5;10) lµ trung ®iÓm. 
Bµi 21. Cho hµm sè 
CMR tÝch c¸c kho¶ng c¸ch tõ M thuéc (C ) dÕn 2 tiÖm cËn cña (C ) kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ cña M.
C¸c bµi tËp tù luyÖn:
Bµi 1 (39.I): Cho y = x3 + 3x2 + 3x + 5.
1. CMR: Trªn ®å thÞ kh«ng tån t¹i hai ®iÓm mµ hai tiÕp tuyÕn t¹i ®ã vu«ng gãc víi nhau.
2. T×m k ®Ó trªn ®å thÞ cã Ýt nhÊt mét ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng y = kx.
Bµi 2: T×m c¸c ®iÓm M Î ®å thÞ hµm sè y = sao cho tiÕp tuyÕn t¹i M c¾t c¸c trôc to¹ ®é t¹i A vµ B t¹o thµnh tam gi¸c vu«ng c©n OAB.
Bµi 3 : T×m tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt cña y = x3 + 3x2 - 9x + 5.
Bµi 4 : ViÕt tiÕp tuyÕn víi y = -x3 + 3x2 biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi y = x.
Bµi 5: ViÕt pttt qua M(; 1) víi y = -x3 +3x -1.
Bµi 6:ViÕt pttt ®i qua M(1 ; 0) víi y = .
Bµi 7: CMR trªn ®å thÞ cña y = kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua giao hai tiÖm cËn.
Bµi 8: Qua A(-2; 5) cã mÊy tiÕp tuyÕn víi y = x3 - 9x2 + 17x + 2.
Bµi 9. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = (x - 1)(x2 + mx + m) tiÕp xóc víi trôc hoµnh.
Bµi 10. Cho hµm sè . X¸c ®Þnh a ®Ó hµm sè tiÕp xóc víi Parabol y = x2 + a.
Bµi 11. Cho hµm sè cã ®å thÞ lµ (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) sao cho c¸c tiÕp tuyÕn Êy vu«ng gãc víi tiÖm cËn xiªn. Chøng minh r»ng tiÕp ®iÓm lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng tiÕp tuyÕn bÞ ch¾n bëi hai ®­êng tiÖm cËn.
Bµi 12. Cho hµm sè cã ®å thÞ lµ Cm. T×m m ®Ó ®å thÞ (Cm) c¾t trôc Ox t¹i hai ®iÓm vµ tiÕp tuyÕn t¹i hai ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 13. Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 2 cã ®å thÞ (C). Qua A(1; 0) kÎ ®­îc mÊy tiÕp tuyÕn tíi (C). ViÕt c¸c ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn Êy. Chøng minh r»ng kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo cña ®å thÞ song song víi tiÕp tuyÕn qua A(1; 0).
Bµi 14. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = x3 + mx2 + 1 tiÕp xóc víi ®­êng th¼ng d cã ph­¬ng tr×nh y = 5.
Bµi 15. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ hµm sè y = x4 - 2x2 t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi 16. T×m m ®Ó ®å thÞ (C) cña hµm sè y = c¾t ®­êng th¼ng d: y = mx + 1 t¹i 2 ®iÓm thuéc 2 nh¸nh kh¸c nhau cña ®å thÞ.
Bµi 17. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ (C) cña hµm sè y = t¹i hai ®iÓm A, B sao cho AB = 1.
Bµi 18. T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ (C) cña hµm sè y = t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho OA ^ OB.
Bµi 19. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè y = x3 + mx2 - m c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm lËp thµnh cÊp sè céng.
Bµi 20. T×m m ®Ò ®å thÞ hµm sè y = c¾t trôc hoµnh t¹i 4 ®iÓm lËp thµnh mét cÊp sè céng.
Bµi 4. BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh b»ng ®å thÞ
Mét sè kiÕn thøc cÇn n¾m v÷ng:
§Ó biÖn luËn sè nghiÖm ph­¬ng tr×nh F(x, m) = 0 ta cã thÓ biÕn ®æi vÒ d¹ng: f(x) = g(m), trong ®ã y = f(x) lµ hµm sè ®· kh¶o s¸t hoÆc cã thÓ dÔ dµng kh¶o s¸t cßn y = g(m) lµ ®­êng th¼ng phô thuéc tham sè m.
Víi ph­¬ng ph¸p nµy ta chó ý tíi c¸ch vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
* §å thÞ hµm sè y = f(|x|):
§å thÞ hµm sè y = f(|x|) ®­îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = f(x) b»ng c¸ch:
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ phÝa bªn ph¶i trôc Oy.
+ Bá phÇn ®å thÞ phÝa bªn tr¸i trôc Oy vµ lÊy ®èi xøng phÇn bªn ph¶i qua trôc Oy.
* §å thÞ hµm sè y = |f(x)|:
§å thÞ hµm sè y = |f(x)| ®­îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè y = f(x) b»ng c¸ch:
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ phÝa trªn trôc Ox.
+ Bá phÇn ®å thÞ phÝa d­íi trôc Ox vµ lÊy ®èi xøng phÇn phÝa d­íi qua trôc Ox.
* §å thÞ hµm sè ®­îc suy ra tõ ®å thÞ hµm sè (1) b»ng c¸ch:
+ Gi÷ nguyªn phÇn ®å thÞ hµm sè (1) víi .
+ Bá phÇn ®å thÞ hµm sè (1) víi vµ lÊy ®èi xøng phÇn ®ã qua trôc Ox.
Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Kh¶o s¸t y = (x + 1)2(x - 1)2 (C). BiÖn luËn sè nghiÖm cña (x2 - 1)2 - 2m +1 = 0 (1). 
HD: y = x4 - 2x2 + 1.
Bµi 2. Kh¶o s¸t y = x3 -3x2 + 2. BiÖn luËn sè nghiÖm cña PT: x3 -3x2 + 2 = 2().
HD: Þ hoÆc .
Bµi 3. Kh¶o s¸t y =. BiÖn luËn sè nghiÖm cña: 
cos2x - (m -1)cosx + m + 2 = 0 (1) (0 £ x £ p).
HD: §Æt cosx = t (-1 £ t £ 1) th× 
(1) Û t2 - (m -1)t + m + 2 = 0 Û = m.
Bµi 4. Kh¶o s¸t y = . BiÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh: = m.
Bµi 5. Kh¶o s¸t y = . BiÖn luËn sè nghiÖm cña PT: x2 + 3x + 2kçx - 1ç= 0 (1).
HD: (1) .
Bµi 6. Kh¶o s¸t y = . BiÖn luËn sè nghiÖm cña PT .
Bµi 7. Kh¶o s¸t y = . BiÖn luËn sè nghiÖm cña PT: x2 - x - k + 1 = 0. (1)
Bµi 8. Kh¶o s¸t y = -x3 + 3x2 - 2. BiÖn luËn sè nghiÖm: x3 - 3x2 + m = 0.
Bµi 9. Kh¶o s¸t y = . BiÖn luËn sè nghiÖm cña PT: = m.
Bµi 10. Kh¶o s¸t y = 4x3 - 3x - 1 (C). T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã 4 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 11. Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn cña ®å thÞ cña hµm sè khi m=1
X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè (1) nghÞch biÕn trªn ®o¹n [-1;0]
T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 
 (2)
HD: 
§Æt x = . §iÒu kiÖn x ³ 3.
(2) Û x2 - (a + 2)x + 2a + 1 = 0 Û 
XÐt hµm sè trªn [3; + ¥).
DS: m ³ 4.