Ôn thi Toán 12: Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích

Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
217 
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH 
I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG XÁC ĐỊNH BỞI ĐƯỜNG CONG y = f(x) 
1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI 1 ĐƯỜNG CONG: 
1.1. Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 
( ) ( ):
: 0
,
 =

=

= =
y f x
Ox y
x a x b
C
1.2. Công thức tổng quát: ( )= ∫
b
a
S f x dx 
1.3. Công thức khai triển: 
a. ( )= ∫
b
a
S f x dx a nếu f(x) ≥ 0 
b. ( )= −∫
b
a
S f x dx nếu f(x) ≤ 0 
c. ( ) ( ) ( )= − +∫ ∫ ∫
c d b
a c d
S f x dx f x dx f x dx 
2. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI 2 ĐƯỜNG CONG: 
2.1. Bài toán: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 
( ) ( )
( ) ( )
1
2
:
:
,
 =

=

= =
y f x
y g x
x a x b
C
C 
2.2. Công thức tổng quát: ( ) ( )= −∫
b
a
S f x g x dx 
O a b x 
f(x) < 0 
y 
S 
f(x) < 0 
f(x) > 0 
f(x) > 0 y 
O a b 
x 
c d 
S2 
S3 S1 
x 
y 
a b O 
S 
f(x) 
g(x) 
x 
y 
a b O 
f(x) 
g(x) 
c 
g(x) 
f(x) 
S2 S1 
f(x) > 0 
O a b x 
y 
S 
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
218 
2.3. Công thức khai triển: 
a. ( ) ( )( )= −∫
b
a
S f x g x dx nếu f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b] 
b. ( ) ( )( )= −∫
b
a
S g x f x dx nếu f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b] 
c. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )= − + −∫ ∫
c b
a c
S f x g x dx g x f x dx 
3. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG CONG TỰ CẮT KHÉP KÍN 
3.1. Bài toán 1: Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 
( ) ( )
( ) ( )
1
2
 =

=
: y f x
: y g x
C
C
Bước 1: Giải phương trình: ( ) ( )
=
= ⇔ 
 =
x a
f x g x
x b
Bước 2: Sử dụng ( ) ( )= −∫
b
a
S f x g x dx 
3.2. Bài toán 2: Tìm diện tích hình phẳng 
S giới hạn bởi 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
3
 =

=

=
: y f x
: y g x
: y h x
C
C
C
Bước 1: Giải phương trình tương giao → tìm hoành độ giao điểm 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
3 1
C
A
B
 ≡ ∩

≡ ∩

≡ ∩
C C
C C
C C
Bước 2: Sử dụng ( ) ( )( ) ( ) ( )( )= − + −∫ ∫
c b
a c
S f x h x dx g x h x dx 
4. CHÚ Ý: Cần phải điền "đvdt" vào kết quả cuối cùng trong các bài toán 
tính diện tích hình phẳng 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2
2 3
3 1
giải phương trình f(x) = g(x) 
giải phương trình g(x) = h(x) 
giải phương trình h(x) = f(x) 
x 
y 
a b O 
f(x) 
g(x) 
S 
S 
g(x) f(x) 
h(x) 
a b c x 
y 
O 
A 
B 
C 
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
219 
5. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Tính S: ( ) ( ){ } ( )2 21 2P : x ay ; P : y ax a 0= = > 
Giải 
( ) ( )
42
2
2
1 2
2 2
4
4 3
2
2
2
xx yy
P P : a a
y ax y ax
x
ax x a x x 0, y 0
a
x a, y ay axy ax

== 
∩ ⇔ 
 
= = 

= = = = 
⇔ ⇔ ⇔  
= ==  
=
a
a 2 3 2 3 2
0 0
x 2 a x 2a a aS ax dx x x
a 3 3a 3 3a 3
  
= − = − = − =  
   ∫ (đvdt) 
Bài 2. Tính S: ( ) ( ){ }2: y 2y x 0 ; D : x y 0− + = + =C 
Giải 
( )
( )
2: y 2y x 0
D : x y 0

− + =

+ =
C
⇔ 
( )
( )
2: x y 2y
D : x y 0
 = − +

+ =
C
( ) ( ) 2 y 0; x 0D : y 2y y 0
y 3; x 3
= =
∩ − + + = ⇔ 
= = −
C 
( ) ( ) ( )3 32 2
0 0
S y 2y y dy y 2y y dy = − + − − = − + + ∫ ∫ 
( )
33 3 2
2
0 0
y 3y 1 3 9y 3y dy 27 9
3 2 3 2 2
 
= − + = − + = − ⋅ + ⋅ = 
 ∫ (đvdt) 
Bài 3. Tính S: ( ) ( ){ }2P : y 2x ; D : x 2y 2 0 ; Ox : y 0= − + = = 
Giải 
( ) ( ) ( )22
2
y 2 2y 2y 2xP D
x 2y 2 x 2y 2
y 2y 4y 4 0
x 2x 2y 2
 = −= 
∩ ⇔ ⇔ 
= − = −  
 =− + =
⇔ ⇔ 
== − 
( )
22 2 3
2
0 0
y y 8S 2y 2 dy y 2y
2 6 6
   
= − − = − + =  
   ∫ (đvdt) 
a
a
(P )
O
y
x
S
(P )
1
2
2
1
3
-3
1
x + y = 0
x = -
y +2
y2
S
x
y
O
2
2-2
1
-2
S
x
y
O
(D)
(P)
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
220 
Bài 4. Tính S: ( ) ( ) ( ){ }21 7 xP : y x 8x 7 ; H : y3 x 3−= − − + = − 
Giải 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2
1 7 xP H : x 8x 7
3 x 3
x 0
x x 11x 28 0 x 4
3 3 x
x 7
−
∩ − − + =
−
=
− + ⇔ = ⇔ =
−
 =
( )7 2
4
1 7 xS x 8x 7 dx
3 x 3
− 
= − − + − 
− ∫ 
7 2
4
x 8x 4 4 dx
3 3 3 x 3
 
= − + − − 
− ∫
73 2
4
x 4x 4
x 4ln x 3 9 8ln 2
9 3 3
 
= − + − − − = + 
 
 (đvdt) 
Bài 5. Cho: ( ) ( ){ }2 2 2P : y 2x ; C : x y 8= + = . 
 (P) chia (C) thành 2 phần, tìm tỉ số diện tích của 2 phần đó. 
Giải 
Nhìn vào đồ thị ta có: 
2 2
2
2
0
yS 2 8 y dy
2
 
= − − 
 ∫ 
22 2 3
2 2
0 0 0
y 82 8 y dy y dy 2I 2I
3 3
= − − = − = −∫ ∫ 
Xét 
2
2
0
I 8 y dy= −∫ . Đặt y 2 2 sin t dy 2 2 cos tdt= ⇒ = 
( )
4 42
2 2 2
0 0 0
44 4
2
00 0
I 8 y dy 8 8sin t .2 2 cos tdt 8 1 sin t cos tdt
1 18 cos t dt 4 1 cos 2t dt 4 t sin 2t 4 2
2 4 2
pi pi
pipi pi
= − = − = −
pi   
= = + = + = + = pi +     
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Vậy 2
8 8 4S 2I 2 4 2
3 3 3
= − = pi + − = pi + (đvdt). Ta có: ( )21 2S S 2 2 8+ = pi = pi 
⇒ ( )1 44S 8 2 63 3= pi − pi + = pi − (đvdt) ⇒ 12
46S 18 4 9 23
4S 6 4 3 22 3
pi − pi − pi −
= = =
pi + pi +pi +
-1 1 3 x
y
4
3
7
7
3
O
S
(P)
(H)
2
-2
2O
y
2 2
x
S
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
221 
Bài 6. Tính S: ( ) ( ){ }2P : y x 4x 3 ; D : y x 3= − + = + 
Giải 
( ) ( )
2 2
2 2
x 3 x 4x 3 x 5x 0 x 0, y 3
P D :
x 5, y 8x 3 x 4x 3 x 3x 6
 + = − + − = = =
∩ ⇔ ⇔  
= =+ = − + − − +   
( ) 2 x 1P Ox : y 0 x 4x 3 0
x 3
=
∩ = ⇒ − + = ⇔ 
=
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
0
3
2
1
5
2
3
S x 3 x 4x 3 dx
x 3 x 4x 3 dx
x 3 x 4x 3 dx
 = + − − + + 
 + + + − + + 
 + + − − + 
∫
∫
∫
( ) ( ) ( )1 3 52 2 2
0 1 3
x 5x dx x 3x 6 dx x 5x dx= − + + − + + − +∫ ∫ ∫ 
1 3 53 2 3 2 3 2
0 1 3
x 5x x 3x x 5x 1096x
3 2 3 2 3 2 6
     
= − + + − + + − + =     
     
 (đvdt) 
Bài 7. Tính S: ( ) ( ) ( )21 23x 12xC : y 1 2sin ; C : y 1 ; D : x2 2
 pi
= − = + = 
pi 
Giải 
( ) 21 3xC : y 1 2sin cos3x2= − = 
Nhìn vào đồ thị ta có: ANOI OIKS S S3= − 
6 6
00
7 1 3 cos3xdx 2 sin3x 2 1
2 2
pi pi
+ pi
= ⋅ − = pi − = pi −∫ 
Bài 8. Tìm diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 
(P): y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của (P) 
 đi qua A(2; −2). 
-1
1 2 3
O
x
y
5
3
8
S
1
2
S
S
3
-3
O x
y
6
pi pi
3 2
pi
1
7 A
B
C
N
M
S
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
222 
s2
1s
10
7
3
4
y
x
O
1
2
1d
2
2
d2
(P)
Giải 
Đường thẳng qua A có dạng (d): y = k(x − 2) − 2. 
(d) là tiếp tuyến của (P) khi 
( )
( ) ( )[ ]
2
2
x 2x 2 k x 2 2
x 2x 2 k x 2 2

− + = − −

′ ′
− + = − −
⇔ ( )( )2 2
2x 2 k 2x 2 k x 0;k 2
x 4;k 6x 2x 2 2x 2 x 2 2 x 4x 0
− = − =  = = − 
⇔ ⇔  
= =
− + = − − − − =   
Vậy 2 tiếp tuyến của (P) đi qua A là: (d1): y = −2x + 2 tiếp xúc với (P) tại 
B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 tiếp xúc với (P) tại C(4, 10). 
Vậy ( ) ( ) ( ){ }2 1 2S: P : y x 2x 2; d : y 2x 2 ; d : y 6x 14= − + = − + = − 
( ) ( ) ( ) ( )
2 4
2 2
0 2
S x 2x 2 2x 2 dx x 2x 2 6x 14 dx   = − + − − + + − + − −   ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
2 4 2 4
22 2 2
0 2 0 2
x dx x 8x 16 dx x dx x 4 d x 4= + − + = + − −∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) 42 33
0 2
x x 4 8 8 8 8 160 0
3 3 3 3 3 3 3
− −   
= + = − + − = + =   
   
 (đvdt) 
Bài 9. Tính S: ( ) ( ) ( )221 2 x 27P : y x ; P : y ; H : y27 x
 
= = = 
 
Giải 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2
2 3
1
2
3 2
2
xP P :x x 0 y 0
27
27P H : x x 27 x 3
x
x 27P H : x 27 x 9
27 x
∩ = ⇔ = ⇒ =
∩ = ⇔ = ⇔ =
∩ = ⇔ = ⇔ =
Nhìn vào đồ thị ta có: 
933 92 2 3 3
2
0 3 0 3
x 27 x 26x xS x dx dx 27 ln x
27 x 27 81 81
     
= − + − = + −     
     ∫ ∫ 
26 10 27ln9 27ln3 9 27ln 3
3 3
   
= − + − − + =   
   
 (đvdt) 
3O
y
3
96
9
2
9
s1
2
s
(P )
(P )
(H)
1
2
x
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
223 
Bài 10. Tính S: ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1 2 1 2
x 2 8P : y x ; P : y ; H : y ; H : y
4 x x
 
= = = = 
 
Giải 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 3
1 1
2 3
1 2
2
3
2 1
2P H : x x 2 x 2 y 4
x
8P H : x x 8 x 2 y 4
x
x 2P H : x 8 x 2 y 1
4 x
∩ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
∩ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
∩ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
( ) ( )
2
3 3 3
2 2
x 8P H : x 32 x 2 4 y 2 2
4 x
∩ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = 
33
3 3
2 322 32 2 3 3
2
22 2 2
2 8 x x xS x dx dx 2ln x 8ln x
x x 4 3 12
      
= − + − = − + −      
      ∫ ∫ 4 ln 2= (đvdt) 
Bài 11. Tính S: ( ) ( ) ( ){ }32 2P : y 4x; C : y 4 x= = − 
Giải 
Phương trình của (P) và (C) đều chẵn đối với y, vì thế S là miền nhận Ox làm 
trục đối xứng. Gọi S1 là phần nằm trên trục Ox, khi đó S = 2S1 
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
3 3 2
22
P C : 4x 4 x x 12x 52x 64 0
x 2 x 10x 32 0 x 2 x 5 7 0
x 2 y 2 2
∩ = − ⇔ − + + =
 ⇔ − − + = ⇔ − − + = 
⇔ = ⇒ =
( )
( ) ( )3
P Ox : 4x 0 x 0
C Ox : 4 x 0 x 4
∩ = ⇔ =
∩ − = ⇔ =
( ) ( ) ( )
2 4 2 41 332 2 21
0 2 0 2
S 4x dx 4 x dx 2 x dx x 4 d x 4= + − = − − −∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
2 43 5
2 2
0 2
4 2 8 2 8 2 64 2
x x 4 0 0
3 5 3 5 15
   
= − − = − − + =   
   
. Vậy 128 2S 2S
15
′= = 
Cách 2: S:
( )
( )
2
2 3
1P : x y
4
C : x 4 y

=


= −
 ⇒ ( )2 2 2 231
0
1S 4 y y dy
4
 
= − − 
 ∫
128 2
15
= (đvdt) 
s2
1S
4
O
4
1
22
3
3
3
42
3
16
(P )
x
y
(P )
(H )
(H )
1
2
2
1
-1
2 3O 4
1
-2 2
S
1
x
y
22
(C)
(P)
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
224 
Bài 12. Tính S: ( ) ( ) ( ){ }32 2P : y 2x; C : 27y 8 x 1= = − 
Giải 
Gọi S′ là phần nằm phía trên trục Ox, từ tính chất 
của 2 hàm chẵn suy ra tính đối xứng khi đó S = 2S′. 
Do y2 ≥ 0 ⇒ (x − 1)3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3
2
8P C : 2x x 1
27
x 4 2x 1 0 x 4 y 2 2
∩ = −
⇔ − + = ⇒ = ⇒ =
( )P Ox : 2x 0 x 0∩ = ⇔ = ; ( ) ( )3C Ox: x 1 0 x 1∩ − = ⇔ = 
( ) ( ) ( )
34 4 41 3
2 21
1 1 1
8 x 1 4 2 68 2S 2S 2 2x dx 2 2 x dx x 1 d x 1
1527 3 3
 
− = = − = − − − = 
 ∫ ∫ ∫
Bài 13. Tính diện tích hình elip giới hạn bởi (E): 
22
2 2
yx 1
a b
+ = 
Giải 
Phương trình 
22
2 2
yx 1
a b
+ = chẵn đối với x và y nên elip nhận O là tâm đối xứng. 
Gọi S1 là diện tích của phần elip thuộc góc phần tư (I) trên mặt phẳng Oxy. 
⇒ { }2 21 bS : x 0; y 0; y a xa= = = − và a 2 21 0bS 4S 4 a x dxa= = −∫ 
Đặt x = acosα: 
x 0 2
x a 0
= ⇒ α = pi

= ⇒ α =
; Khi đó 
( )
2a 0
2 2 2 2
0 2 0
b 4b 1 cos 2S 4 a x dx a sin d 4ab d ab
a a 2
pi
pi
− α
= − = − α α = α = pi∫ ∫ ∫ (đvdt) 
Bài 14. Tính S: ( ){ }20 y 1; y x 1 ; x sin y≤ ≤ = + = pi 
Giải 
[ ]x sin y 1,1= pi ∈ − ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên ( )2y x 1 x y 1= + ⇔ = − 
( )
11 3
2
00
1 2 2 1S sin y y 1 dy cos y y y
3 3
 
= pi − + = − pi − + = + 
pi pi ∫ (đvdt) 
22
2 2
4O 1
1
S
(P)
(C)
x
y
x
y
O
a
b
S
1
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
225 
THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY 
I. VX SINH BỞI DIỆN TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: 
 S: 
( ) ( )
1 2
: y f x
Ox : y 0
, : x a, x b
 =

=
∆ ∆ = =
C
Công thức: ( )
b
2
x
a
V f x dx= pi∫ 
II. VX SINH BỞI DIỆN TÍCH S QUAY XUN ...  − ≤ ⇔ − = − 

 
2 2 2 2
1 2 2 1 1 2: ; :A B A y b a x A B A y b a x⇒ = + − = − − 
( ) ( )a 2 22 2 2 2
x
a
V b a x b a x dx
−
 
= pi + − − − −  ∫ 
a a
2 2 2 2
a 0
4 b a x dx 8 b a x dx
−
= pi − = pi −∫ ∫ . Đặt x = asint ⇒ 
( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
x
0 0
2
22 2 2 2
0
0
V 8 b a 1 sin t a cos t dt 4 a b 2 cos t dt
4 a b 1 2 cos 2t dt 4 a b t sin 2t 2 a b
pi pi
pi
pi
= pi − = pi
= pi + = pi + = pi
∫ ∫
∫ ®vtt
b. Ta có: ( ) ( )2 22 2 2 2x y b a x a y b+ − ≤ ⇔ = − − 
⇔ 
 ( ) 
 ( )2 22 21 2 2 1 1 2B A B : x a y b ; B A B : x a y b= − − = − − − 
Do các cung 

1 2 2 1 1 2B A B , B A B đối xứng nhau qua Oy nên 
( ) ( )
b ab a 3 3
2 32 2 3
y
b ab a
1 2a 4 aV a y b dy a y y b 2a
3 3 3
++
−
−
  pi  
= pi − − = pi − − = pi − =       ∫ (đvtt) 
Bài 5. Cho S là diện tích của (E): ( )
22 yx 4 14 16
− + = 
 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 
Giải 
x 0 a 
t 0 pi/2 
dx a cost dt 
O
b
-a a x
y
I
A
B
C
D
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
229 
a. (E): ( ) ( )
2 22 2y yx 4 x 41 14 16 16 4
− −+ = ⇔ = − ( )22y 4 4 x 4 ⇔ = − −  
( ) ( )2E Ox : 4 x 4 0 x 2; x 6∩ − − = ⇔ = = 
 ⇔ 
 ( ) 
 ( )2 2ABC : y 2 4 x 4 ; ADC : y 2 4 x 4= − − = − − − 
Do các cung 

ABC, ADC đối xứng nhau qua Ox nên 
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
6 62
2 2
x
2 2
63
2
V 2 4 x 4 dx 4 4 x 4 d x 4
x 4 8 8 1284 4 x 4 4 8 8
3 3 3 3
 
= pi − − = pi − − − 
 
− pi 
= pi − − = pi − + − =   
   
∫ ∫
®vtt
b. (E): ( ) ( )
2 22 2y yx 4 x 41 1
4 16 4 16
− −+ = ⇔ = − 
( ) ( )2 21x 4 16 y
4
⇔ − = − 




2
2
1BAD : x 4 16 y
2
1BCD : x 4 16 y
2
⇔ = − −
= + −
2 24 4
2 2 2
y
4 4
1 1V 4 16 y 4 16 y dy 8 16 y dy
2 2
− −
    
= pi + − − − − = pi −    
    ∫ ∫
Đặt y = 4sint ⇒ ⇒ ( )
2
2
y
2
V 8 16 1 sin t 4cos t dt
pi
−pi
= pi −∫ 
( ) ( ) ( )
2 2
22 2
2
2 2
64 2 cos t dt 64 1 2cos 2t dt 6 4 t sin 2t 64
pi pi
pi
−pi
−pi −pi
= pi = pi + = pi + = pi∫ ∫ ®vtt 
Bài 6. Cho S: 
( ) 2P : y 2x x
Ox : y 0
 = −

 =
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox 
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 
y 
−4 4 
t 
−pi/2 pi/2 
dy 4 cost dt 
CA
D
B
62 4
4
y
xO
-4
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
230 
Giải 
a. ( ) 2P Ox : 2x x 0 x 0; x 2∩ − = ⇔ = = 
( ) ( )2 222 2 3 4
x
0 0
V 2x x dx 4x 4x x dx⇒ = pi − = pi − +∫ ∫ 
( )
2
3 4 5
0
4 1 16
x x x
3 5 15
 
= pi − + = pi 
 
®vtt 
b. ( ) ( )22P : y 2x x x 1 1 y= − ⇔ − = − 
 OA : x 1 1 y ; AB: x 1 1 y⇒ = − − = + − 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 2
y
0
1 1
1 2
0 0
1
3 2
0
V 1 1 y 1 1 y dy
4 1 y dy 4 1 y d 1 y
8 81 y
3 3
 ⇒ = pi + − − − − 
= pi − = − pi − −
pi pi
= − − =
∫
∫ ∫
®vtt
Bài 7. Tìm Vx khi quay S: { }6 6y cos x sin x; y 0; x 0; x 2pi= + = = = quanh Ox. 
Giải 
( ) ( )2 226 6 6 6
x
0 0
V cos x sin x dx cos x sin x dx
pi pi
= pi + = pi +∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
22 2 2 2 2 2 2
0 0
22 2
00
3
cos x sin x cos x sin x 3sin x cos x dx 1 sin 2x dx
4
3 5 3 51 1 cos 4x dx x sin 4x
8 8 32 16
pi pi
pipi
  
= pi + + − = pi −   
 
pi   
= pi − − = pi + =     
∫ ∫
∫ ®vtt
Bài 8. Cho S: 
( ) ( )
( )
( )
2
1
2
P : y x x 0
D : y 3x 10
D : y 1
 = >

= − +

=
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox 
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 
2
1
y
xO
O x
y
1
2
A
B
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
231 
Giải 
a. ( ) ( )1 2D D : 3x 10 1 x 3∩ − + = ⇔ = 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1
P D : x 1 x 1 0
P D : x 3x 10 x 2 0 ; y 4
∩ = ⇒ = >
∩ = − + ⇒ = > =
( ) ( )
( ) ( )
2 3
24
x
1 2
32 35
1 2
V x 1 dx 3x 10 1 dx
x 1 3x 10 31 61
x x 6
5 3 3 5 5
 
= pi − + pi − + − 
  
− + pi pi
= pi − + pi ⋅ − = + pi =  
−   
∫ ∫
®vtt
b. ( ) ( )2P : y x x 0 x y= > ⇔ = ; ( )1 10 yD : y 3x 10 x 3
−
= − + ⇔ = 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
24 4 42 2
y
1 1 1
43
2
1
10 y
V y dy y 10 d y 10 ydy
9 9
y 10 152 15 101y
9 3 2 27 2 54
 
− pi
 = pi − = − − − pi
 
 
−pi pi pi pi pi
 = ⋅ − = − =
 
∫ ∫ ∫
Bài 9. Cho S là diện tích của (E): 
22
2 2
yx 1
a b
+ = (0 < b < a) 
 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 
Giải 
a. (E): ( )
2 2 22 2 2 2 2
2 2 2 2 2
y y bx x1 1 y a x
a b b a a
+ = ⇔ = − ⇔ = − 
⇔  2 2 2 2b bBA : y a x ;CA : y a x
a a
−
= − = − 
Do các cung  BA, AC đối xứng nhau qua Ox nên 
( ) ( ) aa a2 2 3 222 2 2 2 2x 2 2
aa a
b b x 4 abbV a x dx a x dx a x
a 3 3a a
−
− −
 pi pi pi
= pi − = − = − = 
 ∫ ∫ (đvtt) 
1
321O x
y
S
D
D
(P)
4
1
2
O
y
x
A
B
C
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
232 
b. (E): ( )2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2y y ax x1 1 x b y
a b a b b
+ = ⇔ = − ⇔ = − 


2 2
2 2
aAB: x b yb
aBC : x b yb
⇔ = −
−
= −
Do các cung  AB, BC đối xứng nhau qua Oy nên 
( ) ( ) bb b 32 2 222 2 2 2 2y 2 2
00 0
y2 a 2 a 4 a baV 2 b y dy b y dy b yb 3 3b b
 pi pi pi
= pi − = − = − = 
 ∫ ∫ (đvtt) 
Bài 10. Cho S: ( ) ( ){ }2 21 2P : y 4 x ; P : y x 2= − = + . Tính Vx khi S quay quanh Ox 
Giải 
( ) ( ) 2 2 21 2P P : 4 x x 2 x 1 x 1∩ − = + ⇔ = ⇔ = ± 
⇒ ( ) ( )
1 2 22 2
0
V 2 4 x x 2 dx = pi − − + ∫ 
( ) ( )
11 3
2
00
x24 1 x dx 24 x 16
3
 
= pi − = pi − = pi 
 ∫ ®vtt 
Bài 11. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán 
kính R = 1 quay quanh trục Oy. 
Giải 
Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1 
⇔ ( )2 2 2x 2 1 y x 2 1 y− = − ⇔ = ± − 
⇒  2 2CA : x 2 1 y ; BC : x 2 1 y= − − = + − 
⇒ ( ) ( )1 12 22 2 2y
0 0
V 2 2 1 y 2 1 y dy 16 1 y dy = pi + − − − − = pi −  ∫ ∫ 
Đặt y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ 
2 2
2 2
y
0 0
V 16 1 sin t cos t dt 16 cos t dt
pi pi
= pi − = pi∫ ∫ 
( ) ( )
22
2
00
18 1 cos 2t dt 8 t sin 2t 4
2
pipi
 
= pi + = pi + = pi 
 ∫ ®vtt 
B
A
x
y
O
C
(P )
4
y
x
O
2
2
3
112
1
2(P )
y
xO 1 2
I
C
A B
3
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
233 
Bài 12. Cho S: ( ) ( ){ }2P : y 2x ; D : y 2x 4= = + . 
 Tính Vx khi S quay quanh Ox 
Giải 
( ) ( ) 2 2C D : 2x 2x 4 x x 2 0 x 1 x 2∩ = + ⇔ − + = ⇒ = − ∨ = 
( )
( ) ( )
2
2 4
x
1
23 5
1
V 2x 4 4x dx
3 2x 4 4 x 288
2 5 5
−
−
 ⇒ = pi + − 
 pi + pi
= − = 
 
∫
®vtt
Bài 13. Cho S: ( ) ( ) ( )221 2 x 27P : y x ; P : y ; H : y27 x
 
= = = 
 
Giải 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 2
2 3
1
2
3 2
2
xP P :x x 0 y 0
27
27P H :x x 27 x 3
x
x 27P H : x 27 x 9
27 x
∩ = ⇔ = ⇒ =
∩ = ⇔ = ⇔ =
∩ = ⇔ = ⇔ =
Nhìn vào đồ thị ta có: 
( ) ( )
3 9 92 4
4
x 2 2
0 3 0
3 9 95 2 5
2
0 3 3
27 xV x dx dx dx
x 27
x 27 x 243 81 1 58381 243
5 x 5 5 15 327 .5
= + −
 
= − − = − − − − = 
 
∫ ∫ ∫
®vtt
b. ( ) ( ) ( )1 2 27P : x y ; P : x 27y ; H : x y= = = (x, y ≥ 0) 
( ) ( ) ( )
( )
3 9 3 92 2 2
y
0 3 0 3
9
32 2
0
3
27 27V 27y y dy y dy 26ydy y dy
y y
1 81 913y 27 ln y y 117 27 ln 9 27 ln 3 81 27 ln 3
2 2 2
    ⇒ = − + − = + −    
   
 
= + − = + − − + = + 
 
∫ ∫ ∫ ∫
®vtt
y
2
-1 2 xO
8
4
3O
y
3
96
9
2
9
s1
2
s
(P )
(P )
(H)
1
2
x
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
234 
x
y
1,5
O
8
3
16
5
4 5
A-1
2
4
(D)
(H)
Bài 14. Cho S: ( ) ( ){ }C : y x, D : y 2 x, y 0= = − = . Tính Vy khi S quay quanh Oy 
Giải 
( ) ( ) ( )2C : x y y 0 ; D : x 2 y= ≥ = − 
⇒ ( ) ( ) 2 2C D : y 2 y y y 2 0∩ = − ⇔ + − = 
⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 
( )
( ) ( )
1
2 4
y
0
15
3
0
V 2 y y dy
y1 32y 2
3 5 15
 = pi − − 
  pi
= pi − − = 
 
∫
®vtt
Bài 15. Cho ( )
22 yxH : 1
16 4
− = và (D) là tiếp tuyến của (H) đi qua A(2, −1) với 
hệ số góc dương. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi miền phẳng giới 
hạn bởi (H), (D) và trục Ox khi quay quanh trục Oy. 
Giải 
(D) đi qua A(2, −1) nên 
(D): y = k(x − 2) − 1 
⇔ (D): ( )kx y 2k 1 0− − + = 
Ta có: (D) tiếp xúc (H) 
⇔ ( )2216k 4 2k 1− = + ⇔ 212k 4k 5 0− − = 
⇔ 
5 1k k
6 2
= ∨ = − (loại) ⇒ (D): 5 8 6 16y x x y
6 3 5 5
= − ⇔ = + 
( ) ( )
2
2 26 16 3D H : 4y 16 y 4y 12y 9 0 y ; x 5
5 5 2
 
∩ + = + ⇔ − + = ⇔ = = 
 
⇒ ( )3 2 22y
0
6y 16V 4y 16 dy
5
 + 
= pi + −  
  ∫ ( ) ( )
3 2 33 2
0 0
4y 36 8 816y y d y3 33 25
  pi
=pi + − + + 
  ∫ 
( ) ( )3 23
0
9 36 72824 y 32 75 25
pi pi 
= pi + − + = 
 
®vtt 
x
y
O
2
2
1
(C)
(D)
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
235 
Bài 16. Cho S: ( ) ( ) ( ){ }2C : y x 2 , D : y 4= − = . 
 a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy 
Giải 
a. ( ) ( ) ( )2P D : x 2 4 x 0, x 4∩ − = ⇔ = = 
⇒ ( )
4
4
x
0
V 16 x 2 dx = pi − − ∫ 
( ) 45
0
x 216x
5
 
−
= pi − 
 
( )256
5
pi
= ®vtt 
b. ( )  P : x 2 y AI : x 2 y ; IB: x 2 y− = ± ⇒ = − = + 
⇒ ( ) ( )4 2 2y
0
V 2 y 2 y dy = pi + − − ∫ 
( )
44
3 2
00
16 1288 ydy y
3 3
pi pi
= pi = =∫ ®vtt 
Bài 17. Cho S: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2
y yP : x y 0 ; P : x 3y y 2 ; D : x 4
4 2
 
 = ≤ = − + ≤ =
 
 a. Tính S b. Tính Vx khi S quay quanh Ox 
Giải 
a. 
2 2
2y y y 03y y 4y y 44 2
=
= − + ⇔ − ⇒  =
( ) ( )
2
1
yP D : 4 y 4 0
4
∩ = ⇒ = − < 
( ) ( )
2
2
y y 2P D : 3y 4 y 4 22
− =
∩ + = ⇒ 
= >
Nhìn vào đồ thị suy ra: 
0 22 2
4 0
y yS 4 dy 4 3y dy
4 2
−
   
= − + + −   
   ∫ ∫ 
0 23 3 2
4 0
y y 3y4y 4y
12 6 2
−
   
= − + + −   
   
( )16 416 8 6 14
3 3
   
= − + + − =   
   
®vdt 
(D)
O x2
y
S
4
(P)
O
x
y
4
4
6
2
S
(P )
1
2
(P )
(D)
-4
www.VNMATH.com
Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
236 
b. ( ) ( )
2
1
yP : x y 0 y 2 x
4
= ≤ ⇔ = − 
⇒ ( ) ( )
4 4 42 2
x 0
0 0
V 2 x dx 4 x dx 2 x 32= pi − = pi = pi = pi∫ ∫ ®vtt 
Bài 18. Cho S: ( ) ( )
3
2xC : y ; P : y x
3
 
= = 
 
. 
 Tính Vx khi S quay quanh Ox. 
Giải 
( ) ( )
3
2x x 0C P : x
x 33
=
∩ = ⇔ 
=
( ) 23 3 6322 4
x
0 0
xxV x dx x dx3 9
    
= pi − = pi −    
    ∫ ∫ 
( )
35 7
0
x x 486
5 63 35
 
= pi − = pi 
 
®vtt 
Bài 19. Cho S: ( ) ( ) ( ){ }32 2C : y 4 x ; P : y 4x= − = . 
 Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy 
Giải 
( ) ( ) ( )3C P : 4 x 4x− =∩ 
3 2x 12x 52x 64 0⇔ − + − = 
( ) ( )2x 2 x 5 7 0 ⇔ − − + =  
x 2 y 2 2⇔ = ⇒ = ± 
( ) ( )3C Ox : 4 x 0 x 4− = ⇔ =∩ 
( )P Ox : 4x 0 x 0= ⇔ =∩ 
  ( )3OA : y 4x ; AN : y 4 x= = − ;   ( )3OB: y 4x ; BN : y 4 x= − = − − 
Do (C), (P) nhận Ox làm trục đối xứng nên: 
( ) ( )( ) ( ) ( )42 4 22 23 42
x 0 20 2
V 4x dx 4 x dx 2 x 4 x 12
4
pi
= pi + pi − = pi − − = pi∫ ∫ ®vtt 
( ) ( )2 2 2 24 422 4 3 2 33y
0 0
y y 1024 2V 2 4 y dy 2 16 y 8y dy
16 16 35
   
= pi − − = pi + − − = pi   
   ∫ ∫ ®vtt 
y
x
O
3
9
(P)
(C)
(C)
2 2
y
x
S
2-2
4O 2
(P)
A
B
N
www.VNMATH.com
Ứng dụng tích phân tính diện tích, thể tích 
237 
www.VNMATH.com