Ôn thi Toán 12: Tiếp tuyến

Bài 8. Tiếp tuyến 
 71 
BÀI 8. TIẾP TUYẾN 
§8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN 
A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG 
Cho đồ thị (C): y = f (x). Gọi M0, M là 2 điểm phân 
biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định 
điểm M0 và cho điểm M chuyển động trên (C) đều 
gần điểm M0 thì vị trí giới hạn của cát tuyến 
(M0M) là tiếp tuyến (M0T) tại điểm M0. 
( )
0
0 0M M
lim M M (M T)
→
= TiÕp tuyÕn 
B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN 
I. BÀI TOÁN 1: Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị 
1. Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm 0 0 0M ( , )x y ∈(C). Viết PTTT của 
(C) tại điểm 0 0 0M ( , )x y 
2. Phương pháp: 

 Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra 
phương trình tiếp tuyến tại 0 0 0M ( , )x y của (C) là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0y y f x x x y f x x x f x′ ′− = − ⇔ = − + 
II. BÀI TOÁN 2: Viết PTTT theo hệ số góc cho trước 
1. Bài toán: Cho (C): y = f (x) và số k ∈
 . Viết PTTT của (C) có hệ số góc k. 
2. Phương pháp: 
2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm 

 Giả sử tiếp tuyến có hệ 
số góc k tiếp xúc với 
(C): y = f (x) tại điểm có hoành độ xi 
⇒ ( )if x k′ = ⇒ ix là nghiệm của ( )f x k′ = 

 Giải phương trình ( )f x k′ = ⇒ nghiệm x∈{x0, x1, xi, xn} 
 PTTT tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − + 
0M
M
1M
M2
T
T
0
M0f(x )
0xO x
y
(C): y=f(x)
xx0
1x ix nx
...
...
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 72 
2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi) 
Xét đường thẳng với hệ số góc k có phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc 
(C): y = f (x) ⇔ phương trình ( )kx m f x+ = có nghiệm bội (nghiệm kép) 
⇔  ⇔ nói chung: ( ) ( )2 0ux v m x w m+ + = có nghiệm kép 
⇔ ( ) ( ) ( )2 4 . 0g m v m u w m∆ = = − = . 
Giải phương trình ( ) 0g m = ⇒ các giá trị của m ⇒ PTTT. 
c) Chú ý: Vì điều kiện ( ) ( )1 :C y f x= và ( ) ( )2 :C y g x= tiếp xúc nhau là hệ điều 
kiện 
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
 =

′ ′=
 có nghiệm chứ không phải là điều kiện ( ) ( )f x g x= có 
nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số 
 f (x) mà phương trình tương giao ( )kx m f x+ = có thể biến đổi tương đương 
với 1 phương trình bậc 2. 
3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k 
a) Dạng trực tiếp: 1 11, 2,... , , ... 2, 3,...2 3k = ± ± ± ± ± ± 
b) Tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc α ⇒ k = tgα với 
{ }15 ,30 , 45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165α = ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° (*) 
c) Tiếp tuyến  với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ k = a 
d) Tiếp tuyến ⊥với đường thẳng ( ) : y ax b∆ = + ⇒ 1k
a
−
= với a ≠ 0 
e) Tiếp tuyến tạo với ( ) : y ax b∆ = + góc α ⇒ tg1
k a
ka
−
= α
+
 với (*)α∈ 
III. BÀI TOÁN 3: Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước 
1. Bài toán: 
Cho đồ thị (C): y = f (x) và điểm A(a, b) cho trước. 
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(a, b) đến đồ thị ( ) ( ):C y f x= 
2. Phương pháp: 
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 73 
2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm: 
• Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a, b) 
tiếp xúc (C): y = f (x) tại tiếp điểm có 
hoành độ xi suy ra PTTT có dạng: 
( ) ( ) ( ) ( ): i i it y f x x x f x′= − + 
Do ( ) ( ),A a b t∈ nên ( ) ( ) ( )i i ib f x a x f x′= − + ⇒ ix x= là nghiệm của 
phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0b f x a x f x f x x a b f x′ ′= − + ⇔ − + − = (*) 
Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1, xi, xn}. 
Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( )i iy k x x f x= − + 
• Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có PT ( )y k x a b= − + 
tiếp xúc với đồ thị (C): y = f (x) 
⇔ Hệ phương trình 
( ) ( )
( )
f x k x a b
f x k
 = − +

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a b′= − + 
⇔ ( ) ( ) ( ) 0f x x a b f x′ − + − = (*) 
Giải phương trình (*) ⇒ nghiệm x∈{x0, x1, xi, xn} 
Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là: ( ) ( ) ( )i i iy f x x x f x′= − + 
2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi) 
• Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a, b) với hệ số góc k có phương trình 
( )y k x a b= − + tiếp xúc (C): y = f (x) ⇔ phương trình ( ) ( )k x a b f x− + = có 
nghiệm bội (nghiệm kép) ⇔  ⇔ nói chung: ( ) ( ) ( )2 0u k x v k x w k+ + = có 
nghiệm kép ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20 và 4 . 0u k g k v k u k w k≠ ∆ = = − = 
⇔ 
( )
( ) 2
0
. . 0
u k
g k k k
 ≠

= α + β + γ =
 (**) Hệ sinh ra hệ số góc 
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k. 
Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a, b). 
A(a,b)
(C): y=f(x)
(C): y=f(x)
A(a,b)
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 74 
§8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN 
I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ 
Bài 1. Cho hàm số ( ) ( )3( ) : 1 1mC y f x x m x= = + − + . Viết phương trình tiếp 
tuyến của đồ thị (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Oy. Tìm m để tiếp 
tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8. 
Giải: ( ) 23y x x m′ = − . Gọi ( ) OmC y A≡∩ ⇒ 0Ax = ; ( )1 ; 0Ay m y m′= − = − 
Tiếp tuyến của (Cm) tại A là: ( ) ( ) ( ) ( ): 0 0 0 1t y y x y mx m′= − + = − + − . 
Xét tương giao: ( ) ( ) ( ) ( )1O 0,1 ; O ,0mt y A m t x B m−≡ − ≡∩ ∩ 
21 1
. 8 1 162 2OAB A BS OAOB y x m m∆⇒ = = = ⇔ − = 
2 2
2 2
2 1 16 18 1 0 9 4 5
2 1 16 14 1 0 7 4 3
m m m m m m
m m m m m m
 
− + = − + = = ±  
⇔ ⇔ ⇔  
  
− + = − + + = = − ±  
Bài 2. Cho ( ) ( ) 3 2: 3 1mC y f x x x mx= = + + + . 
a. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. 
b. Tìm m để các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau. 
Giải: Đạo hàm: ( ) 23 6y x x x m′ = + + 
a. ( ) ( )1mC y =∩ : ( ) ( )( )3 2 2 2
0 C 0,1
3 1 1 3 0
3 0
x
x x mx x x x m
g x x x m
 = ⇒
+ + + = ⇔ + + = ⇔ 
= + + =
 §iÓm
Yêu cầu bài toán ⇔ xD, xE là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của g(x) = 0 
⇔ 
( )
99 4 0 904 40 0 0
m m
m
g m m
∆ = − >  < 
⇔ ⇔ ≠ < 
= ≠ ≠  
 (*) ⇒ D E D E; 3x x m x x+ = = − 
b. Với điều kiện 90
4
m≠ < thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2D E D D E E1 3 6 3 6y x y x x x m x x m′ ′− = = + + + + 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )D D E E D E3 3 2 3 3 2 3 2 3 2g x x m g x x m x m x m   = − + − + = + +    
 ( ) ( )2 2 2D E D E9 6 4 9 6 . 3 4 4 9x x m x x m m m m m m= + + + = + − + = − 
⇔ 2
9 654 9 1 0 8m m m
±
− + = ⇔ = (thoả mãn điều kiện (*) ) 
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 75 
Bài 3. Cho hàm số ( ) 3 2( ) : 3 2C y f x x x= = − + 
 a) Viết phương trình tiếp tuyến đi qua ( )23 , 29A − đến (C) 
 b) Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến ⊥ nhau 
Giải: Đạo hàm: ( )23 6 3 2y x x x x′ = − = − 
Đường thẳng đi qua ( )23 , 29A − với hệ số góc k có phương trình ( )23 29y k x= − − 
tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ 
( ) ( )
( )
23 29f x k x
f x k

= − −

 ′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 223 232 3 2 3 2 29 9f x f x x x x x x x′= − − ⇔ − + = − − − 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 223 22 2 3 2 2 3 10 3 09 3x x x x x x x x x− − − = − − ⇔ − − + = 
⇔ 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
232 : 2 2 29
233 : 3 2 9 259
23 5 611 1
 : 23 3 9 3 27
x x t y y x y
x x t y y x y x
x x t y y x y x

′= = ⇒ = − − ⇔ = −


′= = ⇒ = − − ⇔ = −

−
′= = ⇒ = − − ⇔ = +

 TiÕp tuyÕn
 TiÕp tuyÕn
 TiÕp tuyÕn
b) Lấy bất kì M(m, −2) ∈ đường thẳng y = −2 
Đường thẳng đi qua M(m, −2) với hệ số góc k có phương trình ( ) 2y k x m= − − 
tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= ⇔ Hệ ( ) ( )( )
2f x k x m
f x k
 = − −

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 22 3 2 3 2 2f x f x x m x x x x x m′= − − ⇔ − + = − − − 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 3 2 2 2 3 1 2 0x x x x x x m x x m x− − − = − − ⇔ − − − + = 
⇔ 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
2
2 : 2 2 2
2 3 1 2 0
x t y y x m y
g x x m x
′ = ⇒ = − − ⇔ = −

= − − + =
 TiÕp tuyÕn
Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến 2 // Oy x= − nên để từ 
M( , 2)m − kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì g(x) = 0 phải có 2 
nghiệm phân biệt x1, x2 và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ x1, x2 vuông 
góc với nhau ⇒ ( ) ( )( )2 53 1 16 3 5 3 3 0 13g m m m m m∆ = − − = − + > ⇔ > ∨ < − (*) 
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 76 
Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1 2 23 1; 1 3 2 .3 2 12mx x x x f x f x x x x x− ′ ′+ = = ⇒ = − − = − 
⇔ ( ) ( )[ ]1 2 1 2 1 29 2 4 1 9 1 3 1 4 1 54 27 1x x x x x x m m − + + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = −  
55
27m⇔ = (thoả mãn (*) ). Vậy ( ) ( )55M , 2 227 y− ∈ = − thoả mãn yêu cầu. 
Bài 4. Cho hàm số ( ) 3( ) : 12 12C y f x x x= = − + 
Tìm trên đường thẳng y = −4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) 
Giải: Đạo hàm: 23 12y x′ = − 
Lấy bất kì M(m, −4) trên đường thẳng y = −4. Đường thẳng đi qua M(m, −4) 
với hệ số góc k có phương trình ( ) 4y k x m= − − tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= 
⇔ Hệ 
( ) ( )
( )
4f x k x m
f x k
 = − −

′ =
 có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) 4f x f x x m′= − − 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 212 12 3 12 4 2 2 8 3 2 2x x x x m x x x x x x m⇔ − + = − − − ⇔ − + − = − + −
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2 22 2 8 2 3 6 3 6x x x x x m x m⇔ − + − = − + − − 
( ) ( ) ( )[ ]22 2 3 4 2 3 4 0x x m x m⇔ − − − − − = . Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì 
( ) ( ) ( )22 3 4 2 3 4 0g x x m x m= − − − − = phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2 
⇔ 
( ) ( )
( ) ( )
23 4 16 3 4 0
2 8 4 3 4 0
m m
g m
∆ = − + − >

= − − ≠
 ⇔ 
( ) ( )
( )
43 3 4 4 0
4 212 2 0 3
mm m
mm
 ⇔
< ≠− ≠ 
Bài 5. Tìm trên đồ thị ( ) ( )3 2( ) : 0C y f x ax bx cx d a= = + + + ≠ các điểm kẻ 
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 
Giải: Đạo hàm: ( ) 23 2y f x ax bx c′ ′= = + + 
Lấy bất kì M(m, f (m)) ∈ (C): y = f (x). Đường thẳng đi qua M(m, f (m) với hệ 
số góc k có phương trình: ( ) ( )y k x m f m= − + tiếp xúc với ( ) ( ):C y f x= 
⇔ Hệ 
( ) ( ) ( )
( )
f x k x m f m
f x k
 = − +

′ =
 có nghiệm ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x m f m′= − + 
( ) ( )3 2 2 3 23 2ax bx cx d ax bx c x m am bm cm d⇔ + + + = + + − + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 23 2a x m b x m c x m ax bx c x m⇔ − + − + − = + + − 
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 77 
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )222 0 2 0x m ax am b x m am b x m ax am b⇔ − − − − − + = ⇔ − + + = 
⇔ 2
am bx m x
a
+
= ∨ = − . Từ điểm M(m, f (m)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến 
đến (C) ⇔ 32 3
am b bm am b m
a a
+ −
− = ⇔ = − ⇔ = 
Vậy ( )M ,3 3b bfa a − −   ∈(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). 
Bình luận: ( ) 6 2 0 3
bf x ax b x
a
−
′′ = + = ⇔ = ⇒ Điểm uốn ( ),3 3b bU fa a − −   
Bài 6. Cho đồ thị (C): ( ) 2 2x mx my f x
x m
− +
= =
+
. 
 1) Chứng minh rằng: Nếu (Cm) cắt Ox tại x0 thì tiếp tuyến của (Cm) tại điểm 
đó có hệ số góc là 00
0
2 2x mk
x m
−
=
+
 2) Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (Cm) tại 2 điểm 
đó vuông góc với nhau. 
Giải: 
1) Giả sử ( ) ( )
22
0 00 0
0 0
0 0
2 02
O ,0 0
x mx mx mx m
C x x y
x m x m
 − + =
− + 
≡ ⇒ = = ⇔ + ≠ −
∩
 (*) 
Tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với Ox có hệ số góc là: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
2
0 0 0 0 ...  ⇔ 0y′ = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m < 0 

 Với m < 0, chọn 
2
mk = . Xét PT: ( )y x k′ = ⇔ ( )2
1
2
mm
x m
+ =
−
( )
( )2
2
1 2 2 2
2
m x m x m x m
m m mx m
− − − −⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
−
. 
Xét PT: ( ) 1y x k
−
′ = ⇔ ( )2
1 2m
mx m
−+ =
−
 ( )
( )2
2
21 m
mx m
− +⇔ =
−
( )2
2 22 2
m mx m x m
m m
− −⇔ − = ⇔ − = ±
+ +
 2 2
mx m
m
−⇔ = ±
+
. 
Vậy với m < 0 và 
2
mk = thì các PT ( )y x k′ = có nghiệm x1 và ( ) 1y x k
−
′ = có 
nghiệm x2 nên ( ) ( )1 2. 1y x y x′ ′ = − , tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà 
tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau. 
Bài 8. Cho 
2 2( ) :
1
x xC y
x
+ +
=
−
. Tìm A∈(C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc 
với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C) 
Giải: 
 ( ) 2 2 42
1 1
x xy f x x
x x
+ +
= = = + +
− −
 ⇒ 
TCÐ: 1
TCX : 2
x
y x
=

= +
 ⇒ TĐX: I(1, 3) 

 Đạo hàm: ( )2
41
1
y
x
′ = −
−
 ⇒ ( ) ( )2
41
1
y a
a
′ = −
−
. Gọi ( )4, 2 1A a a a+ + − ∈(C) 
⇒ Đường thẳng (AI) có hệ số góc là: ( )2
41
1
A I
A I
y yk
x x a
−
= = +
−
−
Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên ( ) . 1y a k′ = − 
⇔ ( )
( ) ( )( )
44 4 4
4
4 44 4 4
1 8 1 8,3 2 2 8161 1 1 8
1 1 8 1 8,3 2 2 8
a A
a
a a A
 = − ⇒ − − −

− = − ⇔ − = ⇔

− = + ⇒ + + +
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 79 
Bài 9. Tiếp tuyến của 1( ) :C y x
x
= + cắt Ox, Oy tại A(α, 0) và B(0, β). 
Viết phương trình tiếp tuyến khi αβ = 8 
Giải:  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0 là: 
( ) ( ) ( ) ( ) 200 0 0 2 2
0 00 0
11 2 2: 1
x
t y y x x x y x y x y x
x xx x
− 
′= − + ⇔ = − + ⇔ = ⋅ + 
 
( ) ( ) 0 2
0
2O ,0 ;
1
x
t x A
x
= α ⇔ α =
−
∩ ( ) ( )
0
2O 0,t y B
x
= β ⇔ β =∩ 
αβ = 8 ⇔ 0 2 2
00 0
2 2 48 8
1 1
x
xx x
⋅ = ⇔ =
− −
2 2
0 0 0
1 1 11 2 2 2
x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ± 
Vậy PTTT là: 2 2y x= − ± 
Bài 10. Cho đồ thị ( ) 2 3 4: 2 2
x xC y
x
− +
=
−
 và điểm M bất kì ∈ (C). Gọi I là giao 
của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 
 a) Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB. 
 b) Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi 
 c) Chứng minh rằng: IABS const∆ = . 
 d) Tìm M để chu vi ∆IAB nhỏ nhất. 
Giải 
• 
2 3 4 112 2 2 1
x x xy
x x
− +
= = − +
− −
( )1TCÐ: 1; TCX : 1 1,2 2xx y I −⇒ = = − ⇒ 
( )
( )2
1 1
2 1
y x
x
′ = −
−
 ⇒ ( ) ( )2
1 1
2 1
y m
m
′ = −
−
với ( )1M , 12 1mm m− + − ∈(C). Tiếp tuyến tại M là (t): 
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
1 1 11
2 2 11
my y m x m y m y x m
mm
 
′= − + ⇔ = − − + − +
 
−
− 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 1TCÐ: 1 1, ; TCX : 1 2 1,1 2 2 2xt x A t y B m mm= ≡ − = − ≡ − −−∩ ∩ 
M 
xB 2 
B 
A 
x 
y 
O 
yA 
I 
−1 
H 
α 
ϕ 
1 
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 80 
a) Do M2
A Bx x m x
+
= = và A, M, B thẳng hàng ⇒ M là trung điểm của AB. 
b) 1 2 2 2. 1 5. 1 5
d d m
m
= − ⋅ =
−
c) BH ⊥ AI ⇒ 1 1 1 2 1. . . 2 2 4 2
2 2 2 1 2IAB A I B H
S IA BH y y x x m
m∆
= = − − = − = ⋅ =
−
d) Gọi góc giữa 2 tiệm cận là α, góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương Ox là 
ϕ ⇒ α + ϕ = 2
pi
. Do TCX: 12
xy = − có hệ số góc là 12 nên 
1tg 2ϕ = 
2
2
sin sin1 1
cos 2 4cos
ϕ ϕ
⇔ = ⇒ =ϕ ϕ
2
2 2
sin 1 1 2sin ;cos
1 4sin cos 5 5
ϕ
⇔ = ⇒ ϕ = ϕ =
+ϕ + ϕ
Ta có chu vi ∆IAB là: 2 2 2 . cosP IA IB AB IA IB IA IB IA IB= + + = + + + − α 
( )2 . 2 . 2 . sin 2 . 2 1 sinIA IB IA IB IA IB IA IB≥ + − ϕ = + − ϕ 
( )2 . 2 1 sin
sin
IA BH
= + − ϕ
α
( )8 2 1 sin
cos
= + − ϕϕ 
42 20 2 5 1= ⋅ + − 
⇒ 4Min 2 20 2 5 1P = ⋅ + − . Dấu bằng xảy ra ⇔ 
4 20
. .cos 4
IA IB
IA IB
IA IB
=
⇔ = =
α =
 ⇔ 4 4 42 4 420 1 15 51
m m
m
= ⇔ − = ⇔ = ±
−
Bài 11. Cho đồ thị: ( ) 2 3: 2
x xC y
x
− +
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
(C) tạo với đường thẳng ( ) : 1y x∆ = − + góc 60°. 
Giải 
 Do tiếp tuyến của (C) tạo với ( ) : 1y x∆ = − + góc 60° nên hệ số góc k của tiếp 
tuyến thoả mãn ( )( )
( )
( )
1 3 1 2 31 tg 60 3
1 . 1 1 3 1 2 3
k k kk
k k k k
 + = − = −
− −
= ° = ⇔ ⇔ 
+ −  + = − = + 
 
2 3 512 2
x xy x
x x
− +
= = + +
− −
 ⇒ ( ) ( )2
51
2
y x
x
′ = −
−
- Xét 2 3k = + , khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 
 ( )2
51 2 3
2x
− = +
−
 ⇔ ( ) ( )2 5 1 32 02x
−
− = < (Vô nghiệm) 
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 81 
- Xét 2 3k = − ⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: 
( )2
51 2 3
2x
− = −
−
 ⇔ ( ) ( )2 5 1 32 2x
+
− = ⇔ 
( )
1,2
5 1 32
2
x x
+
= = ± 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
t y x x y x y x
t y x x y x y x
= − − + ⇔ = − + − − −
= − − + ⇔ = − + − + −
Bài 12. Chứng minh rằng: Từ điểm A(1, −1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc 
nhau đến đồ thị (C): ( ) 2 1
1
x xy f x
x
+ +
= =
+
• Cách 1: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình 
( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ 
( ) ( )
( )
1 1f x k x
f x k
 = − −

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( ). 1 1f x f x x′= − − ⇔  ⇔ ( ) 2 3 1 0g x x x= + + = 1,2 3 52x x
− ±⇔ = = 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
2 2
1 1 2 21 1 2 2
1 2 2 2 2 2
1 21 2 1 2
1 12 2 1 1
1 11 1 1 1
g x x g x xx x x xf x f x
x xx x x x
− + − ++ +
′ ′ = ⋅ = ⋅ = = −
+ ++ + + +
 • 
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(1, −1) với hệ số góc k có phương trình 
( )1 1y k x= − − tiếp xúc với (C) ⇔ ( ) 2 11 1
1
x xk x
x
+ +
− − =
+
 có nghiệm kép ⇔ 
( )[ ]( ) ( )21 1 1 1k x x x x− − + = + + hay ( ) ( )21 2 2 0k x x k− − − + = có nghiệm kép 
( ) 21 và 1 0k g k k k′⇔ ≠ ∆ = = + − = . Ta có: 1 4 5 0g∆ = + = > nên ( ) 0g k = có 2 
nghiệm phân biệt k1, k2 thoả mãn 1 2 1k k = − . Từ đó suy ra từ A(1, −1) luôn kẻ 
được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C). 
Bài 13. Viết PT tiếp tuyến đi qua A(6, 4) đến (C): ( ) 2 2 1
2
x xy f x
x
− +
= =
−
Giải: Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc k có phương trình 
( )6 4y k x= − + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ 
( ) ( )
( )
6 4f x k x
f x k
 = − +

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( ). 6 4f x f x x′= − + ⇔ ( ) ( )( )
( )2
2
1 32 1 6 4
2 2
x xx x x
x x
− −
− +
= ⋅ − +
−
−
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 82 
⇔  ⇔ 2 3 0x x− = ⇔ x = 0 ∨ x = 3. Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến. 
( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 1: 0 6 4 6 44 4 2t y f x x y x′= − + = − + ⇔ = − và 
( ) ( ) ( ) ( )2 : 3 6 4 0 6 4 4t y f x x y′= − + = ⋅ − + ⇔ = 
Bài 14. Cho họ ( ) 22( ) :
1m
x mx mC y f x
x
+ +
= =
+
 và điểm A(0, 1). Tìm m để: 
 1) Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) 
 2) Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) 
 3) Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (Cm) 
 4) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (Cm) 
 5) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ với nhau đến (Cm) 
 6) Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm) 
 7) Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) 
Giải: • Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc k có phương trình 1y kx= + 
tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ ( )( )
1f x kx
f x k
 = +

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) . 1f x f x x′= + ⇔ ( )( )
22
2
2 22 1
1 1
x x xx mx m
x x
++ +
= +
+ +
( ) ( ) ( ) ( )22 22 1 2 2 1x mx m x x x x⇔ + + + = + + + 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )23 2 1 1 0h x m x m x m= − + − + − = 
 Với m = 3 thì ( ) 4 2h x x= + ⇒ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm 1
2
x −= 
1) Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 vô nghiệm 
 ⇔ ( )3 và 2 1 0hm m′≠ ∆ = − < ⇔ m < 1 
2) Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có nghiệm 
 ⇔ ( )
3
1
3 và 2 1 0
m
m
m m
=
⇔ ≥
′≠ ∆ = − ≥
3) Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (Cm) ⇔ h(x) = 0 có đúng 1 nghiệm ⇔ 
( )
3 3
13 và 2 1 0
m m
mm m
= = 
⇔ 
′ =≠ ∆ = − = 
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến 
 83 
4) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (Cm) 
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ( )3 và 2 1 0 1 3m m m′≠ ∆ = − > ⇔ < ≠ 
5) Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến ⊥ đến đồ thị (Cm) 
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn ( ) ( )1 2. 1f x f x′ ′ = − 
⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 24 2 2 1 1x x x x x x+ + = − + + 
 ⇔ 1 3m< ≠ và ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 24 2 4 1 0x x x x x x x x x x   + + + + + + + =    
 ⇔ 1 3m< ≠ và ( )( )
2
2
4 10 10 0
3
m m
m
− +
=
−
 ⇔ 5 15m = ± 
6) 22 2( ) : 2 2
1 1m
x mx mC y x m
x x
+ +
= = + − +
+ +
 ⇒ TCX: y = 2x + m − 2 
( ) 1
2
f x −′ = ⇔ ( )( )
2
2
2 2 1 20 5 10 1 0 1
2 51
x x
x x x
x
+ + = ⇔ + + = ⇔ = − ±
+
Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến ⊥ TCX của (Cm) 
⇔ ( ) 0h x = có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của: ( ) 1
2
f x −′ = 
⇔ 1 3m< ≠ và 2 21 1 0
5 5
h h   − − − + =   
   
 ⇔ 1 3m< ≠ và 
( ) ( )2 11 4 5 2 11 4 5 0m m− − − + = ⇔ 11 4 5
2
m
±
= 
7) Do ( ) 0h x = là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt. 
 Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (Cm) ∀m. 
Bài 15. Tìm trên Oy các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị 
(C): ( ) 2 1
1
x xy f x
x
− +
= =
−
Giải: • ( ) ( ) ( )
2
2
1 1 11
1 1 1
x xf x x f x
x x x
− +
′= = + ⇒ = −
− −
−
. 
Lấy bất kì điểm A(0, a)∈Oy. Đường thẳng đi qua A(0, a) với hệ số góc k có 
PT y kx a= + tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ 
( )
( )
f x kx a
f x k
 = +

′ =
 có nghiệm 
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 84 
⇒ ( ) ( ) .f x f x x a′= + ⇔ ( )2
1 11
1 1
x x a
x x
 + = − +
 
−
− 
⇔ ( )2
1
1 1
x a
x x
+ =
−
−
 ⇔ ( )2
2 1
1
x a
x
−
=
−
 ⇔ ( )2 2 1 1 0ax a x a− + + + = (1) 
Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ Phương trình (1) có nghiệm 
⇔ 
0 và 1 0
1
0 và 1 0
a a
a
a a
= + ≠
⇔ ≥ −
′≠ ∆ = + ≥
Bài 16. Tìm trên Ox các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến 
2 3( ) :
2
x xC y
x
+ −
=
+
Giải: • 
2 3 11
2 2
x xy x
x x
+ −
= = − −
+ +
 ⇒ ( )2
11
2
y
x
′ = +
+
. 
Lấy bất kì điểm A(a, 0)∈Ox. Đường thẳng đi qua A(a, 0) với hệ số góc k có 
phương trình ( )y k x a= − tiếp xúc với (C) ⇔ Hệ 
( ) ( )
( )
f x k x a
f x k
 = −

′ =
 có nghiệm 
⇒ ( ) ( ) ( )f x f x x a′= − ⇔ ( )
( )
2
1 11 1 0
2 2
x x a
x x
 
− − − + − =
 + + 
⇔ ( )2
2 2 1 0
2
x a a
x
− + + − =
+
 (1). Nếu a = −2 thì (1) ⇔ 82 3 0
2 3xx + = ⇔ = −+ 
Xét a ≠ −2, khi đó (1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )21 2 3 2 6 5 0g x a x a x a= − + − + − = (2) 
Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) ⇔ g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm 
⇔ ( )2
1 0 và 3 2 0
1 0; 3 0g
a a
a a a
− = − ≠

′
− ≠ ∆ = − + − =
1
1 13
2
a
a
=
⇔
− ±
=

. 
Vậy từ 4 điểm ( ) ( )1 2 3 41 13 1 132,0 ; 1,0 ; , 0 ; , 02 2A A A A
   
− − − +
−    
   
∈ Ox kẻ 
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C). 
Bài 17. Cho đồ thị 
22 1( ) :
1
x xC y
x
− +
=
−
. Chứng minh rằng: Trên đường thẳng 
(∆): y = 7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp 
tuyến lập với nhau góc 45° . 
www.VNMATH.com