Ôn thi Toán 12: Tiệm cận và khoảng cách

Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 62 
BÀI 7. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH 
A. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG 
I. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 
1. Điểm chạy ra vô tận: 
 M(x, y) → ∞ ⇔ 
x
y
x
y
→ ∞
 → ∞
 → ∞

→ ∞
2. Định nghĩa tiệm cận 
Cho đường cong (C): y = f (x) và đường thẳng (D). Lấy M bất kì ∈ C). Gọi H 
là hình của M lên đường thẳng (D). Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận 
của đường cong (C) ⇔ ( )M ,lim 0x y MH→∞ = 
3. Nhận xét: 
Đường cong (C): y = f (x) chỉ có thể có tiệm cận ⇔ Miền xác định hoặc miền 
giá trị của hàm số y = f (x) phải chứa ∞ ⇔ Đường cong (C): y = f (x) phải có 
nhánh chạy ra vô tận. Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận 
nhưng vẫn không có tiệm cận. 
II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN 
Cho đường cong (C): y = f (x). Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng 
1. Tiệm cận đứng: ( )lim
x a
f x x a
→
= ∞ ⇔ = là tiệm cận đứng 
2. Tiệm cận ngang: ( )lim
x
f x b y b
→∞
= ⇔ = là tiệm cận ngang 
3. Tiệm cận xiên: ( ) ( )lim 0
x
f x ax b y ax b
→∞
 − + = ⇔ = +  là tiệm cận xiên (a ≠0) 
O x
y
M1
M
2M
...
nM
...
H 2
H
1H
H n
...
...
(D)
(C): y=f(x)
y
xO
H 11
M
M
H
2H
nH
M2
nM
. .
.
. .
.
..
.
..
.
x0
0f(x )
a
b
f(x )0
0x
Mn
2M
M
M1
1H
O x
y
H2 HnH ... ...
... ...
...
...
nH
H 1
H
2H
...Mn
...
M2
M
1M
y
xO
ax +b0
x0
0f(x )
K
www.VNMATH.com
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 
 63 
III. TIỆM CẬN CỦA HÀM PHÂN THỨC: Xét hàm số ( ) ( )( )
u xy f x
v x
= = 
1. Tiệm cận đứng: Bước 1: Giải phương trình ( ) { }1 20 , ,..., nv x x x x x= ⇔ ∈ 
 Bước 2: Nếu 
( )
( )
0
0
k
k
u x
v x
 ≠

=
 thì ( )( )limk kx x
u x
x x
v x→
= ∞ ⇔ = là 1 tiệm cận đứng. 
2. Tiệm cận ngang: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết ( ) ( )
MXÐ: 
 u x v x
∞

≤
chøa
BËc BËc
 Bước 2: Xét giới hạn ( )( )limx
u x b y b
v x→∞
= ⇔ = là tiệm cận ngang. 
3. Tiệm cận xiên: 
Bước 1: Dấu hiệu nhận biết ( ) ( )
MXÐ: 
 1u x v x
∞

= +
chøa
BËc BËc
Bước 2: Tìm tiệm cận: 
Cách 1: Phương pháp tổng quát 
Xét giới hạn 
( )
lim
x
f x
a
x→∞
=
 ®Æt
; ( )lim
x
f x ax b
→∞
 − = 
 ®Æt
. Kết luận: (C) có tiệm 
cận xiên là: y = ax + b 
Cách 2: Phương pháp chia đa thức (Sử dụng hàm phân thức hữu tỷ) 
Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: ( ) ( )( )
( )
( )
u x w xf x ax b
v x v x
= = + + với 
( ) ( )deg degw x v x< 
Bước 2: ( ) ( ) ( )( )lim lim 0x x
w xf x ax b
v x→∞ →∞
 − + = =  . Vậy (C) có tiệm cận xiên là: 
y = ax + b. 
IV. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Tìm m để ( ) ( ) 2: xC y f x
x m
= =
−
 có tiệm cận. 
Giải. 
 Với m = 0 thì ( ) 2 0xf x x x
x
= = ∀ ≠ ⇒ (C) không có tiệm cận. 

 Với m ≠ 0 thì ( ) 2lim
x m
xf x
x m→
= = ∞
−
 ⇒ Tiệm cận đứng x = m. Vậy với m ≠ 0 
thì hàm số luôn có tiệm cận. 
Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của (C): ( ) 2 1
xy f x
x mx
= =
− +
Giải. ( ) 2lim lim 01x x
xf x
x mx→∞ →∞
= =
− +
 ⇒ (C) có tiệm cận ngang y = 0. 
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 64 
Xét phương trình ( ) 2 1g x x mx= − + = 0 (1). 
Ta có: 2 4g m∆ = − . • Nếu 2 2m− 0 ∀x 
⇒ (C) không có tiệm cận đứng. 
• Nếu 2m = − thì (1) có 1 nghiệm x = −1 ⇒ ( )
1
lim
x
f x
→−
= −∞ ⇒ TCĐ: x = −1 
• Nếu 2m = thì (1) có 1 nghiệm x = 1 ⇒ ( )
1
lim
x
f x
→
= +∞ ⇒ TCĐ: x = 1 
• Nếu 2 2m m> ∨ < − thì (1) có 2 nghiệm phân biệt 
2
1,2
4 0
2
m m
x
± −
= ≠ 
⇒ ( ) ( )
1 2
lim ; lim
x x x x
f x f x
→ →
= ∞ = ∞ ⇒ (C) có 2 tiệm cận đứng 1 2 và x x x x= = 
Bài 3. Tìm m để ( ) ( ) 22 3: x x mC y f x
x m
− +
= =
−
 không có tiệm cận đứng. 
Giải. Hàm số không có tiệm cận đứng ⇔ ( ) 22 3 0u x x x m= − + = có nghiệm x = m 
⇔ ( ) ( )22 3 0 2 1 0 0 1u m m m m m m m m= − + = ⇔ − = ⇔ = ∨ = 
Bài 4. Tìm tiệm cận của ( ) ( ) 2 6 2:
2
mx xC y f x
x
+ −
= =
+
Giải. 
• Xét m = 0 thì 6 22
xy
x
−
=
+
, khi đó: 
2
6 2lim 2x
x
x→−
−
= ∞
+
 ⇒ Tiệm cận đứng x = −2. 
( )6 2 14lim lim 6 62 2x xxx x→∞ →∞− = − =+ + ⇒ Tiệm cận ngang y = 6. 
• Xét m ≠ 0: Ta có: ( ) 2 6 2 4 146 22 2
mx x mf x mx m
x x
+ − −
= = + − +
+ +
 Nếu 74 14 0 2m m− = ⇔ = thì 
( ) 7 1 22f x x x= − ∀ ≠ − nên không có tiệm cận 
 Nếu 72m ≠ thì 4 14 0m − ≠ ⇒ 
( )
2
lim
x
f x
→ −
= ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = −2. 
( ) ( ) 4 14lim 6 2 lim 02x x
mf x mx m
x→∞ →∞
− − + − = =  +
 ⇒ TCX: 6 2y mx m= + − . 
Kết luận: 
Nếu m = 0 thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCN: y = 6. 
Nếu 72m = thì (C) không có tiệm cận. 
Nếu 70; 2m m≠ ≠ thì (C) có TCĐ: x = −2 ; TCX: 6 2y mx m= + − 
www.VNMATH.com
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 
 65 
B. KHOẢNG CÁCH 
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC 
1. Khoảng cách giữa 2 điểm 
( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2
2 2
M ,
N ,
x y
MN x x y y
x y

⇒ = − + −

2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng 
( )
( )
( )0 0 0 0
2 2
M ,
M,
: 0
x y Ax By C
d
A BAx By C
 + +
⇒ ∆ =
+∆ + + =
§iÓm 
Các trường hợp đặc biệt: Nếu (∆): x = a thì d(M, ∆) = |x0 − a| 
 Nếu (∆): y = b thì d(M, ∆) = |y0 − b| 
Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: ( ) 0 0Md x y= + 
3. Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong 

 Định nghĩa: Cho đồ thị (C) và đường thẳng (∆). 
Lấy bất kỳ M∈(C) và N∈(∆), khi đó d(∆, C) = Min MN 

 Bài toán: Cho (C): y = ƒ(x) và (∆): Ax + By + C = 0. Tìm d(∆, C) 

 Phương pháp: Cách 1: Lấy bất kì M(x0, y0)∈(C) ⇒ y0 = ƒ(x0) 
 Tính d(M, ∆) = 0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+
 . Khi đó ( ) ( ), Min M,d C d∆ = ∆ 
Cách 2: Bước 1: Viết PT tiếp tuyến (t) của (C) // (∆) ⇒ Tiếp điểm A(x0, y0) 
 Bước 2: ( ) ( ), ,d C d A∆ = ∆ 
4. Diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa độ 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 21 1 2 2
 Diên tích tam giác OAB 1 1det ,
2 2O 0, 0 ; A , ; B ,
x y
S OA OB
x yx y x y

⇒ = =

i  

( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1
3 1 3 11 1 2 2 3 3
 Diên tích tam giác ABC 1 1det ,
2 2A , ; B , ;C ,
x x y y
S AB AC
x x y yx y x y x y

− −
⇒ = =
− −
i  

II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. a. Cho A(3, 0). Tìm điểm M ∈ (P): 2y x= để AM nhỏ nhất. 
 b. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M. 
Giải 
a. Gọi ( )2M ,m m ∈(P) ⇒ 2 4 2 6 9AM m m m= + − + 
Cách 1: Đặt ( ) 4 2 6 9g m m m m= + − + . Ta có: ( ) 34 2 6 0g m m m′ = + − = 
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 66 
⇔ ( ) ( )21 2 2 3 0 1m m m m− + + = ⇔ = . Lập BBT suy ra Min g(m) = g(1) = 5 
⇒ Min 5AM = xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) 
Cách 2: ( ) ( )2 22 4 2 26 9 1 3 1 5 5AM m m m m m= + − + = − + − + ≥ 
⇒ Min 5AM = ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) 
Cách 3: 2 4 2 1 1 1 1 6 5AM m m m= + + + + + − + 
6 4 26 . .1.1.1.1 6 5m m m≥ ⋅ − + 6 6 5 5m m= − + ≥ 
⇒ Min 5AM = xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) 
b) Tiếp tuyến của (P) tại M có hệ số góc là: ( )1 2k y m m′= = 
Đường thẳng AM có hệ số góc là: 
2M
2
M
0
3 3
y mk
x m
−
= =
− −
 ⇒ 
3
1 2
2
. 3
mk k
m
=
−
Khi AM min thì m = 1 ⇒ 1 2
2.1
. 1
1 3k k = = −− ⇒ AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P) 
Bài 2. Cho (P): ( ) 22 3 1y f x x x= = − + và (∆): y = x − 5. 
Tìm điểm M∈(P), N∈(∆) sao cho MN nhỏ nhất. 
Giải: Lấy ( )2M , 2 3 1m m m− + ∈ (P) và ( )N , 5n n − ∈ (∆). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 222 22 2 2M N 2 3 1 5 2 2 3m n m m n m n m n m m ⇒ = − + − + − + = − + − + − +  
( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 22 22 2 3 2 2 3 2 1 2 8 M N 2 2m n m m m m m  = − + − + + − + ≥ − + ≥ ⇒ ≥   
Dấu bằng xảy ra ⇔ 1, 3m n= = . Suy ra ( ) ( )M 1,0 và N 3, 2− 
Bình luận: Có thể giải bằng phương pháp hình học theo các bước sau đây: 
− Vẽ đồ thị và nhận xét (∆) và (P) không cắt nhau. 
− Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) // (∆), tiếp xúc nhau tại M 
− Gọi N là hình chiếu của M lên (∆), chứng minh MN là khoảng cách ngắn 
nhất bằng lý luận hình học. 
Bài 3. Tìm điểm M ∈ (H): ( ) 3 5
2
xy f x
x
−
= =
−
 để tổng khoảng cách từ M đến 2 
tiệm cận của (H) là nhỏ nhất. 
Giải: y = ( ) 3 5 13
2 2
xf x
x x
−
= = +
− −
 ⇒ TCĐ: x = 2 ; TCN: y = 3. 
Lấy ( )1M ,3 2m m+ − ∈(H), khi đó tổng k/c từ M đến 2 tiệm cận của (H) là: 
( ) M M 1M 2 3 2 22d x y m m= − + − = − + ≥− ; Dấu bằng ⇔ 
( )
( )
M 1, 2
2 1
M 3, 4
m

− = ⇔ 

3
9
1-1
1
0
O
y
x
A
B
M
H
M
www.VNMATH.com
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 
 67 
Bài 4. Tìm điểm M ∈ (H): ( ) 1
1
xy f x
x
−
= =
+
 để tổng khoảng cách từ M đến 2 
trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất. 
Giải: Lấy ( )1M , 1mm m −+ ∈(H), tổng k/c từ M đến Ox, Oy là: 
( ) M M 1M 1
md x y m
m
−
= + = +
+
. 
Để ý rằng với M(1, 0) thì d(M) = 1, do đó 
để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi 
1 1 1
0 11 1 1 11
m m
mm
m mm
 <
− < < 
⇔ ⇔ < < − <
− < + +
( ) ( ) ( )1 2 2M 1 2 2 1 2 2 2 1
1 1 1
md m m m
m m m
−
= + = + + − ≥ + ⋅ − = −
+ + +
Suy ra ( ) ( )Min M 2 2 1d = − xảy ra ⇔ ( )2 1 M 2 1,1 2m = − ⇔ − − 
Bài 5. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C): ( ) 4 93
xy f x
x
−
= =
−
 các điểm M1, M2 
để độ dài M1M2 là nhỏ nhất. 
Giải: ( ) 4 9 343 3
xy f x
x x
−
= = = +
− −
 ⇒ TCĐ: x = 3 ; TCN: y = 4 
Gọi 
( )
( )
1 1 1
2 2 2
M , nhánh trái (C)
M , nhánh (C)
x y
x y
 ∈

∈
 cña
ph¶i cña
. Do 1 23x x< < nên đặt 
1
2
3 ; 0
3 ; 0
x
x
= − α α >

= + β β >
⇒ 1 2
3 34 ; 4y y= − = +
α β ⇒ ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + − 
 ( ) ( ) ( )2 2 22 23 3 3 61 2 24    = α + β + + = α + β + ≥ αβ ⋅ =    α β αβ αβ     
1 2Min M M 2 6= ⇔ 3α = β = ⇒ ( ) ( )1 2M 3 3, 4 3 ; M 3 3, 4 3− − + + 
Bài 6. Cho đồ thị (C): ( ) 2 5 153
x xy f x
x
+ +
= =
+
. Tìm M∈(C) để khoảng cách từ 
M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy 
Giải: Khoảng cách từ M(x, y) đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M(x, y) đến Oy 
⇔ 2 2y x y x= ⇔ = ± . Xét 2 khả năng sau: 

 
2
2 2 2
9 92 3 2 0 3 11 15 03 3
y x y x y x
y x x x x
x x
= − = − 
= −  
⇔ ⇔  
= + + + + = + + =  + + 
 ⇔ x ∈ ∅ 
y
O x
-1
1-1
1
M H
K
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 68 
• 
2
1 612 2 2
29 92 2 0 15 03 3 1 61
y x y x y x x
y x x x x
x x y

− ±= = 
= =   
⇔ ⇔ ⇔   
= + + − − = + − =  + +  = − ±
Bài 7. Tìm điểm M ∈ (C): ( ) 2 63
x xy f x
x
+ −
= =
−
 để khoảng cách từ M đến 2 
trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất. 
Giải: Lấy ( )( )M ,m f m ∈(C) ⇒ 
( ) ( ) 2 6 6M 43 3
m md m f m m m m
m m
+ −
= + = + = + + +
− −
Do M0(2, 0) thì d(M0) = 2 nên để tìm Min d(M) ta chỉ cần xét khi 2m ≤ . 
Xét 2 khả năng sau: 
• Nếu −2 ≤ m ≤ 0 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 43 3d g m m m m m= = − + + + = +− − 
( )
( )2
6 0
3
g m
m
−
′ = <
−
 ⇒ ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2d g m g= = = 
• Nếu 0 ≤ m ≤ 2 thì ( ) ( ) ( )6 6M 4 2 43 3d h m m m mm m= = + + + = + +− − 
( )
( )2
62 0 3 3
3
h m m
m
′ = − = ⇔ = ±
−
Nhìn bảng biến thiên suy ra: 
( ) ( ) ( ) ( )Min M Min 0 2 2d h m h h= = = = 
⇔ 0 2m m= ∨ = ⇔ M(0, 2), M(2, 0) 
Bài 8. Tìm M ∈ (C): 2 2 21
x xy
x
+ −
=
−
 để khoảng cách từ M đến giao 2 đường 
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 
Giải: ( ) 13
1
y f x x
x
= = + +
−
 ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = x + 3 ⇒ I(1, 4) 
Lấy M(a + 1, b)∈(C) với a ≠ 0 ⇒ 14b a
a
= + + ; ( ) ( )2 21 1 4IM a b= + − + − 
⇒ ( ) ( )22 2 2 22 21 1 12 2 2 2 2 2 1 2IM a a a aa a a= + + = + + ≥ ⋅ + = + 
⇒ ( )Min 2 1 2IM = + xảy ra ⇔ 2 22 41 1 12 2 2 2a a aa
±
= = ⇔ = ⇔ = 
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1M 1 , 4 2 M 1 , 4 2
2 2 2 2
   ⇔ − − − + + +   
   
 hoÆc 
x 0 3 3− 2 
f ′ + 0 − 
f 
2 
10 4 3−
2 
www.VNMATH.com
Bài 7. Tiệm cận và khoảng cách 
 69 
Bài 9. Tìm M ∈ (C): 2 3 32
x xy
x
+ +
=
+
 để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường 
tiệm cận của (C) là nhỏ nhất. 
Giải: ( ) 2 3 3 112 2
x xy f x x
x x
+ +
= = = + +
+ +
⇒ TCĐ: x + 2 = 0 ; TCX: x − y + 1 = 0 
Lấy M(x0, y0)∈(C), khi đó tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là: 
( ) 0 0 40 0 0
0 0
1 1 1M 2 2 2 2 8
2 2 2 2 2
x y
d x x x
x x
− +
= + + = + + ≥ + ⋅ =
+ +
⇒ ( ) 4Min M 8d = xảy ra ⇔ 
4
0 04 4
0
81 1 12 222 2 2 2
x x
x
+ = = = ⇔ = − ±
+
4 4
4 4 4 4
1 1 1 1M 2 , 1 2 M 2 , 1 2
2 2 2 2
   ⇔ − − − − − − + − + +   
   
 hoÆc 
Bài 10. Tìm trên mỗi nhánh của (C): ( ) 2 2 51
x xy f x
x
− + −
= =
−
 các điểm M1, M2 
để độ dài M1M2 là nhỏ nhất. 
Giải: ( ) 41 1f x x x= − + − − ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = −x + 1 
Gọi 
( )
( )
1 1 1
2 2 2
M , nhánh trái (C)
M , nhánh (C)
x y
x y
 ∈

∈
 cña
ph¶i cña
. Do 1 21x x< < nên đặt 
1
2
1 ; 0
1 ; 0
x
x
= − α α >

= + β β >
⇒ 1 2
4 4;y y= α + = −β −
α β ⇒ ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 2 1M M x x y y= − + − 
( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2
2
84 4 4 41 1 2 1      = α +β + −β − − α − = α +β + + = α +β + +      β α αβ αβ     αβ 
( )
( ) ( )1 22 2 88 4 42 4 2 8 32 2 1 M M 4 2 1 2  ≥ ⋅ αβ + = αβ + = + ⇒ ≥ +  αβ αβ αβ αβ  
Suy ra ( )1 2Min M M 4 2 1 2= + xảy ra ⇔ ( )2 40 và 8 8α = β > αβ = ⇔ α = β = 
⇒ ( ) ( )4 44 4 4 41 2M 1 8, 8 2. 2 ;M 1 8, 8 2. 2− + + − − 
Bài 11. Cho (Cα): ( )
23 cos 4 sin 7
1
x xy f x
x
α + α +
= =
−
 (cosα ≠ 0). 
 Tìm α để khoảng cách từ O(0, 0) đến tiệm cận xiên của (Cα) là lớn nhất. 
Giải: 
( ) 23 cos 4 sin 7 4sin 3cos 73 cos 4sin 3cos1 1
x xf x x
x x
α + α + α + α +
= = α + α + α +
− −
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương 
 70 
⇒ TCX (∆): 3 cos 4sin 3cosy x= α + α + α ⇔ 3 cos 4sin 3cos 0x yα − + α + α = 
( )
2 2 2
4 10.sin 3. 10 cos4sin 3cosO,
9cos 1 10 sin 10cos
d α + αα + α∆ = =
α + α + α
( ) ( )2 2 2 2BCS
2 2
4 10 3 sin 10cos 13
1010 sin 10 cos
 + α + α ≤ =
α + α
 ⇒ ( ) 13Min O,
10
d ∆ = 
Dấu bằng xảy ra ⇔ ( )4 10sin 40 40tg arctg3 3 310 cos k k
α
= ⇔ α = ⇔ α = + pi ∈
α
 
Bài 12. Cho đồ thị (C): ( ) 22 11
x xy f x
x
− +
= =
−
. Tìm ( )1 1M ,x y ∈(C) với 1 1x > 
để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất. 
Giải: ( ) 22 1 22 1
1 1
x xf x x
x x
− +
= = + +
− −
⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = 2x + 1 ⇒ I(1, 3) 
Lấy M(1 + a, b)∈(C) với a > 0 ⇒ 23 2b a
a
= + + . 
Khoảng cách từ M đến I(1, 3) là: ( ) ( )2 21 1 3IM a b= + − + − 
⇒ ( ) ( )22 2 2 22 22 4 42 5 8 2 5 8 4 2 5IM a a a aa a a= + + = + + ≥ ⋅ + = + 
Suy ra Min 2 2 5IM = + xảy ra ⇔ 2 22 4
4 2 25 2 5
5 20
a a a
a
= = ⇔ = ⇔ = 
4
4 4
202 4M 1 ,3
220 20
 
⇔ + + + 
 
Bài 13. (Đề thi TSĐH khối A năm 2005) 
Tìm m để hàm số 1y mx
x
= + có cực trị và khoảng cách từ điểm cực 
tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 1
2
. 
Giải. Hàm số có cực trị 2
1 0y m
x
′⇔ = − = có 2 nghiệm phân biệt 0m⇔ > . 
Khi đó đồ thị có điểm cực tiểu là 1 ; 2M m
m
 
 
 
 và khoảng cách đến tiệm cận 
xiên y mx= hay 0mx y− = là 
( ) 2
2 2
2 1
, 2 1 0 1
21 1
m m md M d m m m
m m
−
= = = ⇔ − + = ⇔ =
+ +
www.VNMATH.com