Ôn thi Toán 12: Tích phân hàm vô tỉ

Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
199 
BÀI 7. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 
I. TÍCH PHÂN CÓ CHỨA CÁC CĂN THỨC CỦA BIẾN ĐỘC LẬP 
1. Xét dạng cơ bản thường gặp: ( ) pm nI x a bx dx= +∫ với m, n, p hữu tỉ 
1.1. Nếu p∈Z thì gọi k là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu 
thị bởi m và n, khi đó đặt x = tk. 
1.2. Nếu 1m
n
+
∈Z thì gọi S là mẫu số của p và đặt n sa bx t+ = 
1.3. Nếu 1m p Z
n
+
+ ∈ thì gọi S bằng mẫu số của p và đặt 
n
s
n
a bx
t
x
+
= 
2. Xét 
1
1
j
j
rr
qqI R x,x ,..., x dx
 
 
=  ∫ với r1, q1,rj, qj là các số nguyên dương. 
Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số q1, , qj. Khi đó ta có: 
1 1
1
j j
j
rr
; ...;
q k q k
= =
αα
. Đặt ( ) ( )1 1 1jk k kx t I R t ,t ,....,t kt dt R t a−= ⇒ = =∫ ∫αα 
3. Xét ( ) ( )m rn sax b ax bI R x, ,..., dxcx d cx d + + = + + ∫ với m, n, , r, s nguyên dương 
Đặt ax b t
cx d
+
=
+
 ⇒ ( )2
t d b ad bc
x ;dx dt
a ct a ct
− −
= =
−
−
 ⇒ ( )2
m r
n s
td b ad bcI R ,t ,...,t dt
a ct a ct
 − −
=  
− 
−
∫ 
Gọi k là bội số chung nhỏ nhất của các số: { }n,...s . Đặt t = uk thì 
( ) ( )
1 1 1
2 2
km r
m r kn s
k
td b ad bc u td b ad bcI R ,t ,...,t dt R ,u ,...,u ku d u
a ct a cta ct a cu
−
  − − − −
= =   
− −   
−
−
∫ ∫ 
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
1. Dạng 1: ( )∫
p
m nI = x a + bx dx với m, n, p ∈Q 
•
( ) 11 34 41x x dx−= +∫ ∫41 4 3xdxI = 1 + x ⇒ 1 3m ;n ;p 1 Z k 44 4−= = = − ∈ ⇒ = 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
200 
Đặt 4t x= ⇒ 4 34x t dx t dt= ⇒ = ⇒ 
44
1 3 334
x dx 4t dt 4tI 4t dt
1 t 1 t1 x
 
= = = − + + +
∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( )( )
2
2
t 1 t 12t 2 dt
t 1 t t 1
+ + −
= −
+ − +∫
( )
( )( )
2 2
2
2 2
dt t t t 12t 2 2 dt
t t 1 t 1 t t 1
− − +
= − −
− + + − +∫ ∫
( )
2
2
2 32
dt t dt dt2t 2 2 2
t 1t 131t 2 2
= − − +
++ 
− +  
 
∫ ∫ ∫ 
2 34 2t 1 22t arctg ln 1 t 2 ln 1 t c
33 3
−
= − − + + + + 
4
34 44 2. x 1 22 x arctg ln 1 x 2ln 1 x c
33 3
−
= − − + + + + 
• ( )
( ) 21 2 1 31x x dx−= +∫ ∫2 23
xdxI =
1 + x
 ⇒ 
1 1
m ;n ; p 2 Z
2 3
= = = − ∈ ⇒ k = 6 
Đặt 6 56 6t x x t dx t dt= ⇒ = ⇒ = . Khi đó: 
( )
( ) ( )
3 5 8
2 2 22 2
t 6t dt 6t dtI
1 t 1 t
= =
+ +
∫ ∫ 
( ) ( )
2
4 2 4 2
2 2 22 2
4t 3 4 dt6 t 2t 3 dt 6 t 2t 3 dt 6
t 1t 1 t 1
 +  
= − + − = − + − +   
+  + + 
∫ ∫ ∫ 
 = 
5 3t 2t6 3t 4arctg t 6J
5 3
 
− + − + 
 
. Đặt ( )2 22
dt dtI ; J
t 1 t 1
= =
+ +
∫ ∫ 
Ta có: ( )
2
2 2 2 2 22
1 t t t dt1I dt td 2
t 1 t 1 t 1 t 1 t 1
 
= = − = + 
+ + + +  +
∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 22 2
t t 1 1 t dt dt t2 dt 2 2 2I 2J
t 1 t 1 t 1 t 1t 1 t 1
+ −
= + = + − = + −
+ + + ++ +
∫ ∫ ∫ 
⇒ ( )2 2
t t 12J I J arctg t c
2t 1 2 t 1
= + ⇒ = + +
+ +
⇒ ( )
5 3
2 2
t 2t t 1I 6 3t 4arctg t 6 arctg t c
5 3 22 t 1
   
= − + − + + +     + 
5 3
2
5 38 8 8
8
4
3 6t 20t 90t21arctg t c
5t 1
6 x 20 x 90 x3 21arctg x c
5x 1
− +
= − + +
+
− +
= − + +
+
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
201 
• ( )1 22 31x x dx= +∫ ∫3 3 2
xdxI =
1 + x
 ⇒ 
2 1 11; ; 3
3 2
m
m n p
n
+
= = = ⇒ = ∈
 
Đặt ( ) ( )3 23 32 2 2 2 2 21 1 1 2 6 1t x t x t x x dx t t dt= + ⇒ = + ⇒ − = ⇒ = − 
( ) ( ) ( )
22 22 4 2
3
23
x dx 3t t 1 dtI 3 t 1 dt 3 t 2t 1 dt
t1 x
−
⇒ = = = − = − +
+
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )5 2 3 25 3 2 2 23 3 33 3t 2t 3t c 1 x 2 1 x 3 1 x c
5 5
= − + + = + − + + + + 
• ( ) 1 33 32x x dx−−= −
−
∫ ∫4 33 3
dxI =
x 2 x
 ⇒ 
1 13; 3, 1
3
m
m n p p
n
− +
= − = = ⇒ + = − ∈

Đặt 
3 32 x
t
x
−
= ⇒ ( )
3 2
3 3 2
3 3 3 23
2 2 2 21
1 1
x t dt
t x x dx
x x t t
− −
= = − ⇒ = ⇒ =
+ +
⇒ ( )
2 2
4 2 23 3 33 3 3
6
3
dx x dx 1 2t dtI
2x 2 x 2 x t 1tx t 1x
−
= = = ⋅
 − − + 
+ 
∫ ∫ ∫ 
232 31 t 2 x
t dt c c
2 4 2x
 
− − −
 = = + = − +
 ∫ 
• −∫
3 3
5I = 3x x dx ⇒ 
1 1 1
; 2, 1
3 3
m
m n p p
n
+
= = = ⇒ + = ∈
 
Đặt ( )
3 3 3 2
3 2
3 2 3 23
3 3 3 3 91 2
1 1
x x x x t dt
t t x x dx
x x x t t
− − −
= ⇒ = = − ⇒ = ⇒ =
+ +
⇒ ( ) ( )
3 33
33
5 2 33
1 3x x 9 t dt 3 1I 3x x dx 2x dx td
2 x 2 2 t 1t 1
− −  
= − = = =  
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( )33 3
3t 3 dt 3t 3 I
2 2t 12 t 1 2 t 1
= − = −
++ +
∫ với 3 1
dtI
t
=
+∫
( ) ( )21 1
dtI
t t t
=
+ − +∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )2 2
d t 1 du
u u 3u 3t 1 t 1 3 t 1 3
+
= =
 
− ++ + − + + 
∫ ∫ 
( ) ( )
( )
( )2 2
22
1 u 3u 3 u 3u 1 du u 3 dudu
3 3 u u 3u 3u u 3u 3
 − + − − −
= = − 
− + 
− +
∫ ∫ ∫ 
( )
2 2
1 du 1 2u 3 du 3 du
3 u 2 2u 3u 3 u 3u 3
 −
= − + 
− + − + ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
202 
( )
( )
2
2 2
2
2
1 du 1 d u 3u 3 3 du
3 u 2 2 3u 3u 3 3u
2 4
1 1 u 2u 3ln 3arctg c
3 2 u 3u 3 3
 
− +
= − + 
− + 
− + 
 
 
−
= + + 
− + 
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )2
2
1 t 1 1 2 t 1 3ln arctg c
6 3 3t 1 3 t 1 3
+ + −
= + +
+ − + +
2
2
1 t 2t 1 1 2t 1ln arctg c
6 2 3 3t t 1
+ + −
= + +
− +
⇒ ( )
2
5 23
3t 3 1 t 2t 1 1 2t 1I ln arctg
2 6 2 3 3t t 12 t 1
 + + −
= − + 
 − ++  
( )33 3 33 3 3x 3x x 1 x 3x x x 3 2 3x x xln arctg c
2 4 3 4 x 3
− − + − −
= − − + 
• ( ) 1 24 21x x dx−−= +∫ ∫6 4 2
dxI =
x 1+ x
1 m 1
m 4, n 2, p p 2 Z
2 n
− +
⇒ = − = = ⇒ + = − ∈ 
Đặt ( )
2 2
2 2
2 2 2 22
1 1 1 11
1 1
x x t dt
t t x x dx
x x x t t
+ + −
= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =
−
−
⇒ 
( )
( )
( )
32
2
6 24 2 2 26
dx x dx t 1 t dtI t 1 dt
tx 1 x 1 x t 1x
x
− −
= = = ⋅ = − −
+ +
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )33 2 2 2 2
3 3
t 1 x 1 x 2x 1 1 x
t c c c
3 x3x 3x
− − + + − +
= + + = + + = + 
• ( ) ( )
4
11 1 2
7
1
1x x dx
−
−
= +∫ ∫
4
1
dxI =
x 1 + x
 ⇒ 
1
m 1, n , p 1 Z
2
= − = = − ∈ 
Đặt 2 2t x t x dx t dt= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
7 2
1 1 1
2t dt dt 1 t tI 2 2 dt
t 1 t t 1 tt 1 t
+ −
= = =
+ ++∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
2
1
1
1 1 42 dt 2 ln t ln t 1 2 ln 2 ln 3 ln1 ln 2 2 ln
t t 1 3
 
= − = − + = − − + = 
+ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
203 
2. Dạng 2:
 
 
 ∫
j1
j1
rr
qqI = R x, x , ..., x dx 
• ( )
1 2
1 3
1
1
x dx
x x−
− −
=
+
∫ ∫1 3 2
x 1I = dx
x + x
. Gọi k = BSCNN(2, 3) = 6 
Đặt 6 56 6t x x t dx t dt= ⇒ = ⇒ = 
⇒ 
( )3 45 2
1 6 4 2 2
t 1 6 t t t 1I 6t dt dt 6 t 1 dt
t t t 1 t 1
− − − 
= ⋅ = = − − 
+ + + ∫ ∫ ∫
3 2 6 32t 6t 3ln 1 t 6arctg t c 2 x 6 x 3ln 1 x arctg x c= − − + + + = − − + + + 
• ( ) ( )
1 4 1 8
41
− −
=
+
∫ ∫
84
2 4
x xI = dx
x 1 + x
x x dx
x x
. Gọi k = BSCNN(4, 8) = 8 
Đặt 8 78 8t x x t dx t dt= ⇒ = ⇒ = ⇒ ( )
2
7
2 28 2
t t t 1I 8t dt 8 dt
t 1t t 1
− −
= =
++
∫ ∫ 
2 844 ln 1 t 8arctg t c 4 ln 1 x 8arctg x c= + − + = + − + 
•
( )
( )
1 2
1 3
1 1
1 1
− − +
=
+ +
∫ ∫3 3
1 1 + xI = dx
1 + 1 + x
x dx
x
. Gọi k = BSCNN(2, 3) = 6 
Đặt 6 56 1 1 6t x x t dx t dt= + ⇒ = − ⇒ = 
⇒ 
3
5 6 4 3 2
3 2 23
1 1 x 1 t t 1I dx 6t dt 6 t t t t t 1 dt
1 1 x 1 t t 1
− + − − 
= = ⋅ = − + + − − + + 
+ + + + ∫ ∫ ∫
7 5 4 3 2
2t t t t t 16 t ln t 1 arctg t c
7 5 4 3 2 2
 
= − − − + + − − + + + 
 
( ) ( ) ( )7 5 46 6 6
6 3 6
6 6 41 x 1 x 1 x 2 1 x
7 5 5
6 1 x 3ln 1 x 1 arctg 1 x c
−
= + + + + + − +
+ + + + + + + +
• 5 ∫
8
3 3
1
dxI =
x 1 + x
. Đặt 3 23 3t x t x dx t dt= ⇒ = ⇒ = 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
204 
⇒ 
2 22
5 3 33
1 1
3t dt dtI 3
t. 1 tt 1 t
= =
++∫ ∫
. Đặt 3 23u 1 t u 1 t dt 3u du= + ⇒ = + ⇒ = 
⇒ ( ) ( ) ( )
3 3
3 3
2 3 32
5 3 23
1 2 2
dt 3u du 3uduI 3 3 3
t. 1 t u 1 u u 1 u u 1
= = =
+
− − + +
∫ ∫ ∫ 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
2 2
2 2 2
1 u 1 du 3 2u 23 du 3 du
u 1 u 1 2u u 1 u u 1
− − 
= − = − 
− −+ + + + ∫ ∫ ∫
( )
( )
3 3
3
3
3 3
3 3
3
2 22 2
2 2
3 2u 1 du 9 du3ln u 1
2 2u u 1 31u
2 2
+
= − − +
+ +  
+ +  
 
∫ ∫ 
( )
( )
3
33
3 3
3
333 2
2 2
2
3 333
33
3 2u 13ln u 1 ln u u 1 3 3 arctg
2 3
2 3 1 2 2 13 3 1ln 3 3 arctg 3 3 arctg
2 3 32 2 1
+
= − − + + +
+ +−
= + −
−
•
( )6
−
−
∫
1
3
3
dxI =
x + 4 + x + 4
. Đặt 24 4 2t x t x dx t dt= + ⇒ = + ⇒ = 
3 3
3
6 3 2 1
1 1
2t dt dtI 2 2arctg t 2
3 4 6t t 1 t
pi pi pi 
= = = = − = 
 + +∫ ∫
• 7
−
∫
3 2
2
2
dxI =
x 1 x
. Đặt 2 2 21 1t x x t t dt x dx= − ⇒ = − ⇒ = − 
 ( )
3 23 2 1 2 3 2
7 222 2 1 21 2 1 23 2
x dx t dt dt 1 t 1 2 3I ln ln
2 t 1 31 t1 t tx 1 x
− + +
= = = = =
−
−
−
−
∫ ∫ ∫ 
• ∫
2
8 3
1
dxI =
x 1 + x
. Đặt 3 2 3 21 1 2 3t x t x t dt x dx= + ⇒ = + ⇒ = 
( )
( )
32 2 3 32
8 223 3 3 21 1 2 2
dx 3x dx 2t dt 2 dt 1 t 1I ln
3 3 t 1t 13 t 1 tx 1 x 3x 1 x
1 1 2 1 1 1 3 2 2ln ln ln 2 2 ln 2 1 ln
3 2 3 3 22 1
−
⇒ = = = = =
+
−
−+ +
 
− + = − = − + + =   
+ 
∫ ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
205 
3. Dạng 3: ( ) ( )   ∫
m r
n sax + b ax + bI = R x, , ..., dx
cx + d cx + d 
•
( ) ( )
3
1 1
1 1
x dx
x x
+
= ⋅
− +
−
∫ ∫1 23
dxI =
x 1 x + 1
. 
Đặt ( )
3 2
33
3 23
1 1 2 1 61
1 1 1 1 1
x x t t dt
t t x dx
x x x t t
+ + + −
= ⇒ = = + ⇒ = ⇒ =
− − −
−
−
⇒ ( )
3 2
3
1 3 2 33
x 1 dx t 1 6t dt dtI t 3
x 1 x 1 2t t 1t 1
+ − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = −
− +
−
−
∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
22
2 3
2 3
1 t 2 1 2t 1 3dt ln t 1 dt
t 1 2t t 1 t t 1
1 3 dtln t 1 ln t t 1
2 2 31t
2 2
1 t t 1 2t 1 1 t 1 2t 1ln 3 arctg c ln 3 arctg c
2 23 3t 1 t 1
+ + + 
= − + = − − + 
− + + + + 
= − − + + + + +
 
+ +  
 
+ + + − +
= + + = + +
− −
∫ ∫
∫ 
⇒ 
( )
( )
33 3 3
1 3 33 3
1 2 x 1 2 x 1 x 1I ln 3 arctg c
2 x 1 3 x 1x 1 x 1
 
− + + − = ⋅ + +
− 
−+ − − 
 ( )
3 3
3 33 3
1 2 2 x 1 x 1ln 3 arctg c
2 3 x 1x 1 x 1
+ + −
= + +
−+ − −
• ( )2
−
⋅
−
∫ 3 2
2 x 1I = dx
2 + x 2 x
. Đặt ( )
2
3
3 23
2 4 122
2 1 1
x t dt
t x dx
x t t
− −
= ⇒ = − ⇒ =
+ + +
⇒ 
( )
( )
2 23 2
3
2 6 2 3 23
1 t 12t dt 3 dt 3 3 2 xI t c c
4 8 2 x16t t 8t1 t
+ − − + 
= ⋅ ⋅ = = + = ⋅ + 
− +
∫ ∫ 
•
−
∫
1
3
0
1 xI = dx
1 + x
. Đặt ( )
2
2
2 22
1 1 1 4
1 1 1 1
x x t t dt
t t x dx
x x t t
− − − −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ + + +
⇒ ( )
( )
( )
1 0 1 12 2
3 2 2 22 2
0 1 0 0
1 x 4t dt d 1 t 1I dx 2t 2 t d
1 x 1 t1 t 1 t
− − +  
= = = ⋅ = −  + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
1 1
1
2 2 0
0 0
2t dt2 1 2 arctg t 1
21 t 1 t
− pi
= + = − + = −
+ +∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
206 
• ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 621 1 11 11   + +− = −   − − − − − − ∫ ∫2 53 64 21 x + 1 x + 1I = dxx 1 x 1x 1 x x dxx xx 
Đặt 6
1
1
x
t
x
+
=
−
⇒ ( )
5
6
6 26
1 2 2 121 1
1 1 1 1
x t dt
t x dx
x x t t
+ −
= = + ⇒ − = ⇒ =
− −
−
−
⇒
( )
( )
( )
( ) ( )
( )4 5 5 4 5 5 9
4 2 2 2 2 66 6 6
6
t t 12t dt t t t dt 1 t t dtI 12 12
4t2 t 1 t 1 t 11 1
t 1
− − − −
= ⋅ = − = −
 
− + − −+ − 
− 
∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) 5 25 43 4 3 6 33t 3t 3 x 1 3 x 13 1 t t dt 3 t t dt c c
5 4 5 x 1 4 x 1
+ +   
= − − = − = − + = ⋅ − ⋅ +   
− −   ∫ ∫ 
• 5
−
⋅∫
6
4
x 4 dxI =
x + 2 x + 2
. Đặt 2
4 4 61
2 2 2
x x
t t
x x x
− −
= ⇒ = = −
+ + +
⇒ ( )2 22
6 12t dt
x 2 dx
1 t 1 t
+ = ⇒ =
−
−
 ⇒ ( )
1 26 2
5 22
4 0
x 4 dx 1 t 12t dtI t
x 2 x 2 6 1 t
− −
= ⋅ = ⋅ ⋅
+ +
−
∫ ∫ 
1 21 2 1 22
2 2
00 0
t dt 1 1 t2 2 1 dt 2 ln t 2 ln 3 1
1 t1 t 1 t
 + 
= = − = − = −  
− − − ∫ ∫
•
−
∫ 36
x + 1I = dx
x 1
. Đặt 33 3
1 1 2 21 1
1 1 1 1
x x
t t x
x x x t
+ +
= ⇒ = = + ⇒ − =
− − −
−
⇒ ( )
2
23
6t dtdx
t 1
−
=
−
 ⇒ ( )
( )
( )
3 3
3
6 2 23 3
x 1 6t dt td t 1I dx 2
x 1 t 1 t 1
+ − −
= = = −
−
− −
∫ ∫ ∫ 
3 3 3
2t dt12 td 2
t 1 t 1 t 1
 
= = − 
− − − ∫ ∫ ( ) ( )
2
3 2
0
2t dt2
t 1 t 1 t t 1
= −
−
− + +
∫ 
3 2
2t 2 1 t 2 dt
3 t 1t 1 t t 1
+ 
= − − 
−
− + + ∫
( )
3 2
2t 2 1 2t 1 3ln t 1 dt
3 3t 1 t t 1
+ +
= − − +
− + +∫
( )
( )
2
3 22
2
3 2
2t 2 1 dtln t 1 ln t t 1
3 3t 1 31t
2 2
2t 1 t 1 2 2t 1ln arctg c
3 3 3t 1 t t 1
= − − + + + +
−  
+ +  
 
− +
= − + +
− + +
∫
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
207 
• ( ) ( )7 − ⋅∫
3 2
3
2
2
dxx 1I =
x + 1 x - 1
. Đặt 33
1 21 1
1 1 1
xxt t
x x x
−
−
= ⇒ = = −
+ + +
⇒ ( )
3 2
3 3 23
2 2t 6t dt
x 1 x 1 ;dx
1 t 1 t 1 t
+ = ⇒ − = =
− −
−
⇒ ( ) ( )
3 2
3
7 2
2
dxx 1I
x 1 x 1
−
= ⋅
+
−
∫
( )
( )
3
3
21 2 3 2
2
6 23
1 3
1 t 6t dt
t
4t 1 t
−
= ⋅ ⋅
−
∫ 
( )
3 3
3
3
1 2 1 2
33
2
1 31 3
3 dt 3 3 3 2
2 2t 2t
−
= = = −∫ 
• 8
−
⋅
− −
∫
5
3
3
x + 3 dxI =
x 4 x 4
. Đặt 33
3 3 71
4 4 4
x x
t t
x x x
+ +
= ⇒ = = +
− − −
 ⇒ 3
74
1
x
t
− =
−
⇒ ( )
2
23
21
1
t dtdx
t
−
=
−
 ⇒ ( )
5 2 23 2 3
3
8 2 33
3 0 0
x 3 dx t 1 21t dt t dtI t 3
x 4 x 4 7 t 1t 1−
+ − −
= ⋅ = ⋅ ⋅ = −
− −
−
−
∫ ∫ ∫ 
 ( ) ( )
2 2
2
3 0 2
0 0
1 dt3 1 dt 3t 3
t 1 t 1 t t 1
 
= − + = − − 
− 
− + +
∫ ∫ 2
1 t 26 dt
t 1 t t 1
+ 
= − − − 
− + + ∫
( )
( )
2
2 2
2 20 20
1 2t 1 3 1 3 dt6 ln t 1 dt 6 ln t t 1
2 2 2t t 1 31t
2 2
+ +
= − − − + = − + + + +
+ +  
+ +  
 
∫ ∫ 
2
0
1 2t 1 1 5 3 36 ln 7 3 arctg 6 ln 7 3 arctg
2 2 3 63
+ pi
= − + + = − + + − 
•
( )
4=
−
−
∫ ∫9 34
xdxI =
x a x
x dx
a x
 (a > 0). 
Đặt 44 1x x at t
a x a x a x
= ⇒ = = −
− − −
 ⇒ 4 4
1
1 1
a
a x dx ad
t t
 
− = ⇒ =  
+ + 
⇒ 49 4 4 4 4
x at dt at1I dx a td a aJ
a x t 1 t 1 t 1 t 1
 
= = = − = − 
− + + + + ∫ ∫ ∫
Xét 4 1
dtJ
t
=
+∫
( ) ( )2 2 2 2
4 4 4
1 t 1 t 1 1 t 1 t 1dt dx dt
2 2t 1 t 1 t 1
 + − − + −
= = − 
+ + + ∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
208 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
2 22 22 2
2 2
1 1 1 11 1 d x d x1 1 x xx xdx dx
1 12 2 1 1x x x 2 x 2
x x x x
   + −
− +   
= − = −   
+ +   
− + + −    
∫ ∫ ∫ ∫ 
2 2
2
1 1 x 1 1 x x 2 1
arctg ln c
2 2 x 2 2 2 x x 2 1
 
− − +
= − +  + + 
⇒ 
2 2
9 4 4 2
at at a 1 x 1 1 x x 2 1I aJ arctg ln c
2t 1 t 1 2 x 2 2 2 x x 2 1
 
− − +
= − = − − +  + + + + 
•
( ) ( ) ( ) ( )1 2− −= −− − −
−
∫ ∫10 n n+1 n 1
dxI =
x a x b nn
dx
x b x a
x a
Đặt 
( )
( )
1
21 1 1
n
nn
n
n
x b x b a b a b b a nt dt
t t x a dx
x a x a x a t t
−
− − − − −
= ⇒ = = + ⇒ − = ⇒ =
− − −
−
−
( )
( )
n 1
10 2 2
nn 1
n
1 b a nt dt n ntI dt c
b a b aa b t 1t
t 1
−
−
−
= ⋅ = = +
− −
− 
−
 
− 
∫ ∫ 
• ∫11
dxI =
1 + x + x + 1
. Đặt 
1 11 1 2t x x x x x t
t t
= + + ⇒ = + − ⇒ = − 
⇒ 
22 4
3
1 1
2 2
t t
x dx dt
t t
 
− −
= ⇒ = 
 
 ⇒ ( )
4
11 3
dx t 1I dt
1 x x 1 2t 1 t
−
= =
+ + + +∫ ∫
( )
3 2
3 2 3 2
2
t t t 1 1 1 1 1 1 1 1dt 1 dt t ln t c
2 t 2 t2t t t 2t
1 x 1
x ln x x 1 x x c
2 2 2
− + −    
= = − + − = − − + +   
   
= − + + + − + +
∫ ∫
• ( )
− −
∫12 3 2
xdxI =
1 x 1 x
. Đặt ( )
2
2
2 22
1 1 1 4
1 1 1 1
x x t t dt
t t x dx
x x t t
+ + −
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
− − + +
⇒ ( ) ( )
2
12 3 2 23 2 22 22
2 2
x dx 1 1 t 1 4t dtI
t 11 x 1 x t 1 1 tt 11 1
t 1 t 1
−
= = ⋅ ⋅
+ − −
− + 
−
−
−   +  + 
∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 7. Tích phân hàm vô tỉ 
209 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )2 2 4 4
43 3 2 2 4 22 2 2 2
t 1 t 1 4t dt t 1 4t dt t 1 dt
3t 12 3t 1 4tt 1 t 1 t 1 t 1
+ − − −
= = =
+  ++ − − + − − 
∫ ∫ ∫ 
( )
( )
4
4 4 4 44 44
1 4 1 t 4 dt t 4 d 3t t 4 dudt
3 3 3 3 3 33t 1 3t 1 u 13 3 3 33t 1
 
= − ⋅ = − = − = − 
+ + +  +
∫ ∫ ∫ ∫ 
Xét 4 1
duJ
u
=
+∫
( ) ( )2 2 2 2
4 4 4
1 u 1 u 1 1 u 1 u 1d u d u du
2 2u 1 u 1 u 1
 + − − + −
= = − 
+ + + ∫ ∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2 2
2 22 2
2 2
2 2
2
1 1 1 11 1 d u d u1 1 u uu udu du
1 12 2 1 1u u u 2 u 2
u u u u
1 1 u 1 1 u 2u 1
arctg ln c
2 2 u 2 2 2 u 2u 1
   + −
− +   
= − = −   
+ +   
− + + −    
 
− − +
= − +  + + 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 4
24 4
1 1 t 3 1 1 t 3 t 12 1
arctg ln c
2 2 t 12 2 2 t 3 t 12 1
 
− − +
= − +  + + 
 với 1 xt
1 x
+
=
−
⇒ 
2 2 4
12 24 44
t 2 1 t 3 1 1 t 3 t 12 1I arctg ln c
3 3 3 2 t 12 2 2 t 3 t 12 1
 
− − +
= − − +  + + 
, với 1 xt
1 x
+
=
−
•
−
∫
1
13
0
1 xI = dx
1 + x
. Đặt 2 2t x x t dx t dt= ⇒ = ⇒ = 
⇒ 
1 1
13
0 0
1 x 1 tI dx 2t dt
1 t1 x
− −
= =
++∫ ∫
. Đặt t cos u dt sinudu= ⇒ = − 
( )
( ) ( )
0 0
13 2
2 2
2 2 2
0 0 0
2
0
1 cos u 1 cos uI 2cos u sin u du 2 sin u cos u du
1 cos u 1 cos u
2 1 cos u cos u du 2 cos u du 1 cos 2u du
12sin u u sin 2u 2
2 2
pi pi
pi pi pi
pi
− −
⇒ = − = −
+
−
= − = − +
pi 
= − − = − 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com