Ôn thi Toán 12: Phương trình và bất phương trình vô tỉ

 Phương trình và bất phương trình vô tỉ 
173 
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ 
I. PHƯƠNG PHÁP NÂNG LŨY THỪA TRỰC TIẾP 
1. Nâng lũy thừa bậc lẻ của phương trình và bất phương trình vô tỷ: 
1.1. Nâng lũy thừa bậc lẻ của phương trình vô tỷ: 
Bài 1. GPT: 3 334 3 1x x+ − − = (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )33 3 3 331 34 3 34 3 3. 34 3 34 3x x x x x x x x= + − − = + − − − + − + − − 
( ) ( ) 23 34 3 12 31 1830 0 61 30x x x x x x⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = − ∨ = 
Bài 2. GPT: 3 3 31 2 2 3x x x− + − = − (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )33 3 3 332 3 1 2 2 3 3. 1 2 1 2x x x x x x x x− = − + − = − + − − − + − 
( ) ( ) ( )3 31 2 2 3 0 1 2 2x x x x x x⇔ − − − = ⇔ = ∨ = ∨ = 
Bài 3. GPT: 3 3 32 1 1 3 1x x x− + − = + (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )33 3 3 333 1 2 1 1 3 2 3. 2 1 1 2 1 1x x x x x x x x+ = − + − = − + − − − + − 
( ) ( ) ( ) ( )3 2 23 71 2 1 1 3 1 1 6 7 1 0 6 7 0 6x x x x x x x x x⇔ = − − + ⇔ = − + ⇔ = − ⇔ = ∨ = 
Chú ý: Thử lại ta thấy 0x = là nghiệm ngoại lai vì không thỏa mãn (1) 
Bình luận: Các bài toán 1, 2, 3 là trường hợp đặc biệt của dạng phương trình 
33 3f g h+ = hoặc 33 3f g h− = (thực chất là 2 dạng hoàn toàn giống nhau) 
Trong cách giải trên chúng ta đã thay thế 3 3f g+ bởi 3 h nên xuất hiện 
nghiệm ngoại lai. Thật vậy giả sử ta sử dụng cấu trúc thay thế để có biến đổi 
( )33 3 3 3 3 33 3f g h f g fg f g h fgh h f g+ = ⇔ + + ⋅ + = ⇔ ⋅ = − − 
( )33 3 3 3 3 33 3f g h f g fg f g h fgh f g h− = ⇔ − − ⋅ − = ⇔ ⋅ = − − 
Sử dụng: ( )3 3 3 2 2 213 ( ) ( ) ( )
2
a b c abc a b c a b b c c a + + − = + + − + − + −  ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 33 3 3 3 3 3 313. 02h f g hfg h f g h f h g f g − − − = + − + − + + + + − =  
⇔ 
3 33 3 3 3 33 3
3 33 3 3 3
0h f g h f g f g h
f g hf g h f g h
 + − + − = = +  + =
  ⇔ ⇔
  
= = −= = − = = −  
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
174 
Như vậy phép thay thế sẽ tạo ra phương trình hệ quả. Nếu f g h= = − vô nghiệm 
hoặc có tập nghiệm thỏa mãn 33 3f g h+ = thì không có nghiệm ngoại lai. 
Nếu f g h= = − có nghiệm thì cần phải thử nghiệm trực tiếp vào (1) 
Bài tập: 3 31 7 2x x+ + − = ; 3 359 22 1x x+ − − = ; 3 3 316 8x x x+ − = − ; 
3 3 35 6 2 11x x x+ + + = + ; 3 324 5 1x x+ − + = ; 3 3 32 1 2 1 16x x x+ + − = ; 
3 3 2 1 1x x+ + = ; ( )3 3 32 3 12 1x x x+ − = − ; 3 33 33 31 1x x x x x x+ − + = + + − 
1.2. Nâng lũy thừa bậc lẻ của bất phương trình vô tỷ 
Bài mẫu. Giải BPT: 3 2 6x x x+ > (1) 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( )2 3 26 6 0 2 3 0 2 0 3x x x x x x x x x x x+ > ⇔ − − < ⇔ + − < ⇔ < − ∨ < < 
Bài tập: 3 29 6 3x x x− + − ; 3 3 32 1 6 1 2 1x x x+ + + > − . 
2. Nâng lũy thừa bậc chẵn của phương trình và bất phương trình vô tỷ: 
2.1. Nâng lũy thừa bậc chẵn của phương trình vô tỷ 
0f g f g= ⇔ = ≥ ; 2
0gf g f g
≥
= ⇔ 
=
; f g f g= ⇒ = và thử lại 
Bài 1. GPT: ( )2 2 31 1 2 1x x x x x− − + + − = + (1) 
Không cần đặt điều kiện, bình phương 2 vế ta nhận được phương trình hệ quả: 
(1) ⇒ ( ) ( ) ( )2 2 31 1 2 2 1x x x x x− − + + − + = + ⇔ ( )2 1 0 0 1x x x x− = ⇔ = ∨ = ± 
Thử lại: Chỉ có 1x = thỏa mãn (1) 
Bài 2. GPT: 2 2 2
7 7x x x
x x
− + − = (1) 
(1) ⇔ 2 2 22 2 2 2 27 7 7 7 72x x x x x x x xx x x x x
 
− = − − ⇒ − = + − − − 
 
⇔ 
( ) ( )2 2 2
0
7 70 1 2 4 1 2
2 4 7 14 0
x
x x x x
x x x x x
≠   
= − − ⇔ − = ⇔ ⇔ =  
    − + + =
Chú ý: Ở bài này nếu không chuyển vế mà bình phương ngay thì rất khó giải. 
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình vô tỉ 
175 
Bài tập: 22 8 1 3 4x x x+ + = + ; 2 3 2 2 1x x x− + = − ; 
2
3 2 1
3 2
x x x
x
− − = −
−
; 2
2
51
2 1
x x
x
+ − =
+
 ; 2
2
4016
16
x x
x
+ + =
+
; 
8 1 3 5 7 4 2 2x x x x+ + − = + + − ; 3 19 3 2 7 11 2x x x x+ + − = + + ; 
11 3 2 9 7 2x x x x+ − − = + − − ; 2 2 24 9 5 2 1 1x x x x x+ + − + − = − ; 
22 1 2 4 23x x x x+ + = + − ; 2 23 5 7 3 7 2 3x x x x− + + − + = ; 
2 2 2 23 7 3 2 3 5 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − + ; 
365 4
5
x x
x
− = − +
−
; 1015 1
1
x x
x
+ = + −
−
; 2
2
11
5
3
x x
x
+ − =
−
2.2. Nâng lũy thừa bậc chẵn của bất phương trình vô tỷ: 
Bài mẫu. Giải BPT: 1 1x x x+ − − ≤ (1) 
Điều kiện: 
1 0
1 1
1 0
x
x
x
+ ≥
⇔ − ≤ ≤
− ≥
(1) ⇔ 
( )
( )
( )
( )
2 22
2 22
1 0 1 0
1 1 1 1 0 1 0
1 0
00 1 0 1
1 1 1 1 0
x x
x x x x x
x
xx x
x x x x
 − ≤ ≤ − ≤ ≤ 
     + − − ≥ − − ≥
− ≤ ≤  
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ 
 =≤ ≤ ≤ ≤   
   
  + − − ≤ − − ≤  
Bình luận: Chỉ lũy thừa bậc chẵn cả 2 vế của 1 BPT vô tỉ khi và chỉ khi các vế 
cùng dấu. Nếu cả 2 vế cùng không âm thì dấu BPT nhận được giữ nguyên. Nếu 
cả 2 vế cùng không dương thì dấu BPT nhận được đổi ngược lại. Xét riêng khi 
2 vế trái dấu, khi đó BPT hoặc luôn đúng hoặc vô nghiệm 
Bài tập: 22 6 1 2 0x x x− + − + > ; 2 3 10 8x x x− − + < ; ( ) 2 23 4 9x x x− − ≤ − 
( )23 6 2 2 1x x x− + + > − − ; 3 9 5x x x+ > − + − ; 2 5 4 2x x x+ − > − ; 
2 1 3 2 4 3 5 4x x x x− + − < − + − ; 4 2 4 2 22 1 2 1x x x x x x+ − − + + < + ; 
2 7 3 2x x x− > − − − − ; 2 12 2 10x x x+ < + − − ; 21 1 4 3x x x+ + < + ; 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
176 
II. ĐẶT 1 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN MỚI 
Bài mẫu. Giải BPT: 2 25 10 1 7 2x x x x+ + ≥ − − (1) 
Đặt ( )2 2 25 10 1 0 5 2 1u x x u x x= + + ≥ ⇒ = + + . Khi đó: 2 1(1) 7 5
uu −⇔ ≥ − 
( ) ( ) ( )2 2 15 36 0 9 4 0 4 5 2 3 0 3
x
u u u u u x x
x
≥⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥ ⇔ ≥ ⇔ + − ≥ ⇔  ≤ −
Bình luận: Đặt ẩn phụ nhằm trục căn thức để tránh phải GPT, GBPT bậc cao. 
Khi đó nói chung ta sẽ giải 2 PT, BPT bậc thấp hơn. 
Bài tập: 12 3
1
x x
x x
+
− >
+
 ; 32 1 2 1 2
xx x x x ++ − + − − = ; 
4 2 21 1 2x x x x− − + + − = ; 21 12 11 23x x x x+ − − = − + − ; 
27 9 2 63x x x x+ − − = − + + ; 23 1 4 4 3 2x x x x− + − − − + − = − ; 
( ) ( ) 25 2 3 3x x x x+ − = + ; 2 24 2 3 4x x x x+ − = + − 
221 13 x x x x+ − = + − ; 
5 15 2 4
22
x x
xx
+ < + + 
III. ĐẶT 1 ẨN PHỤ VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI 2 CĂN THỨC 
Bài mẫu. ( ) ( )1 8 1 8x x x x m+ + − + + − = . Tìm m để PT có nghiệm. 
Đặt ( ) ( ) ( ) ( )21 8 0 9 9 2 1 8 9 1 8 18u x x u x x x x= + + − ≥ ⇒ ≤ = + + − ≤ + + + − = 
Bài toán đưa về: Tìm m để ( ) 2 92
uf u u m−= + = có nghiệm 3;3 2u  ∈   
Ta có đồ thị ( )y f u= là một parabol quay bề lõm lên trên và có hoành độ đỉnh 
0 1 3u = − < nên ycbt ⇔ ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 9 6 2min ;max 3 ; 3 2 3; 2m f u f u f f
 + ∈ = =    
Bài tập. 22 2 2 4 2 2x x x x− − + = − − + ; 22 3 1 3 16 2 5 3x x x x x+ + + = − + + + 
( ) ( )3 6 3 6x x x x m+ + − − + − = . GPT khi m = 3; Tìm m để PT có nghiệm. 
( ) ( )1 4 1 4x x x x m+ + − + + − = . Tìm m để PT có nghiệm duy nhất. 
( ) ( ) 341 2 1 2 1x x m x x x x m+ − + − − ⋅ − = . Tìm m để PT có nghiệm duy nhất. 
4 4 1 1x x x x m+ − + + − = . Tìm m để PT có nghiệm duy nhất. 
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình vô tỉ 
177 
IV. ĐẶT 1 ẨN PHỤ VÀ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ BIẾN THIÊN, HẰNG SỐ BIẾN THIÊN 
Bài 1. GPT: ( ) 3 34 1 1 2 2 1x x x x− + = + + (1) 
Đặt 3 2 31 0 1u x u x= + ≥ ⇒ = + . Khi đó (1) ⇔ ( ) ( )34 1 2 1 2 1x u x x− = + + − 
( )22 4 1 2 1 0u x u x⇔ − − + − = . Ta có: ∆ = ( ) ( ) ( )2 24 1 8 2 1 4 3x x x− − − = − 
(1) ⇔ 
( ) ( )
3 3
3
2 23
311
4 41 3
2 42 1 0 2 1 0
2 1 2
1 2 1 2 0
x x
u x
x x
u x x
x x x x
 + = = −
 
= = −  ⇔ ⇔ ⇔ − ≥ − ≥     = −  =  + = − − =  
Bài 2. GPT: 2 7 7x x+ + = (1) 
(1) ⇔ 
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 42
7 0 7 0
7 7
7 2 1 7 07 7
x x
x x
x x xx x

− ≥ 
− ≥ 
+ = − ⇔ ⇔ 
 
− + + − =+ = − 
⇔ 
2 2
1 297 7
2
7 7 1 2
x x
x x x x x

−
− ≤ ≤ = 
⇔ 
 = − ∨ = + +  =
Bài tập. ( )2 23 1 3 1x x x x+ + = + + ; ( ) 22 1 1 0x x x x x x− − − − + − = ; 
( ) 2 22 3 1 2 1 6 3 4x x x x x− + − = − − ; ( ) 2 22 1 2 1 2 1x x x x x− + − = − − ; 
V. ĐẶT 1 ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ ĐỐI XỨNG, HỆ NỬA ĐỐI XỨNG 
Bài 1. GPT: 3 31 2 2 1x x+ = ⋅ − (1) 
Đặt 33 2 1 2 1y x y x= − ⇔ = − . Khi đó (1) ⇔ 
3
3
1 2
1 2
x y
y x
 + =

 + =
⇔ 
( )( )
3
2 2
1 2
2 0
x y
x y x xy y
 + =


− + + + =
3 1 2 1 51
2
x x
x x
x y
 + =
− ±⇔ = ∨ =
=
Bài 2. GPT: 2 2 3 3x x x− − = + (1) 
Đặt 3 1 0x y+ = − ≥ suy ra 1y ≥ và 23 2 1x y y+ = − + . Khi đó ta có: 
(1) ⇔ 
( ) ( )
2 2
2
2 2 2 2 3 17 1 13
2 21 02 2
x x y x x y
x x
x y x yy y x
 
− − = − − =  + −⇔ ⇔ = ∨ = 
− + − = − − = 
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
178 
Bài tập. 2 4 3 5x x x− − = + ; 2 6 2 8x x x− − = + ; 23 2 4
2
x x x+ = + ; 
24 3 6 23
x x x+ = − − ; 22 15 32 32 20x x x+ = + − ; 23 1 4 13 5x x x+ = − + − ; 
24 3 1 5 13x x x+ + + = ; 232 32 2 15 20x x x+ = + + ; 2 4 6x x x+ = + ; 
3 23 9 9 27 21x x x x− = − + − ; 3 23 3 5 8 36 53 25x x x x− = − + − 
VI. ĐẶT 2 ẨN PHỤ VÀ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài mẫu. GPT: 3 2 3 22 1 3x x x x+ + + + − = (1) 
Đặt 
3 2 2 3 2
2 3 23 2
2 0 2
11 0
u x x u x x
v x xv x x
 = + + ≥ = + + 
⇒ 
  = + −= + − ≥ 
. Khi đó ta có: 
(1) ⇔ ( ) ( )2
2 2
3 3 2
1 2 2 0 1
1 13
u v u v u
x x x x
u v vu v
+ = + = =   
⇔ ⇔ ⇔ − + + = ⇔ =  
− = =
− =    
Bài tập. 33 1x x+ − = ; 3 2 1 1x x− + − = ; 2 23 10 5x x+ + − = ; 
( )2 32 2 5 1x x+ = + ; 2 25 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = + ; 
3 24 12 6x x+ + − = ; 4 418 1 3x x− + − = ; 4 417 5 4x x− + + = ; 
4 4 41 1x x x− + = + ; 3 32 2 32 2 4x x x x+ + + − − = 
VII. ĐẶT ẨN PHỤ BẰNG BIẾN SỐ LƯỢNG GIÁC 
Bài mẫu. GPT: ( ) ( )33 2 21 2 1x x x x+ − = − (1) 
Điều kiện: [ ]1;1x∈ − . Đặt sin ; ;
2 2
x pi pi = α α ∈ −
  
, khi đó ta có: 
(1) ⇔ 3 3sin cos 2 sin cosα + α = α α . Đặt sin cos 2; 2u  = α + α∈ −  , khi đó: 
(1) ⇔ ( ) ( ) ( )3 22 3 2 0 2 2 1 2 1 0u u u u u u+ − − = ⇔ − + − + + = 
Nếu 2u = thì ( ) 22 cos 2 sin sin4 4 4 2xpi pi piα − = ⇔ α = ⇒ = α = = 
Nếu 1 2u = − thì 2 1 2 2 2 11 1 2
2
x x x
− − −
+ − = − ⇔ = 
Bài tập. 
2
35
121
xx
x
+ =
−
 ; ( ) ( )3 32 21 1 1 1 2 1x x x x + − − − + = + −  
www.VNMATH.com
 Phương trình và bất phương trình vô tỉ 
179 
VII. BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 
Các đẳng thức cơ bản: 1a b ab+ = + ⇔ ( 1)( 1) 0a b− − = 
 av bu ab uv+ = + ⇔ ( ) ( ) 0a v b u− − = 
Bài 1. Giải phương trình: 32 2 3 2x x
x
+ − = + (1) 
(1) ⇔ ( )2 22 2 3 3 2 10 2 3 0x x x x x x
x x
+ − − −
= ⇔ − + =
 ⇔ 2 3x x= + ⇔ 3x = 
Bài 2. GPT: 6 5 4 33 1 1 2x x x x x− + = + − + (1) 
(1) ⇔ ( )26 33 3 31 1 1 1 1 1x x x x x x x x− + = + − ⇔ − + = + − 
⇔ ( ) ( )31 1 1 0x x− − − = ⇔ 1 1 1 1 2x x x x− = ∨ = ⇔ = ∨ = 
Bài 3. Giải phương trình: 2 22 1 2 6 2 2 4 3x x x x x x+ + + = + + + (1) 
(1) ⇔ 2 1 2 3 2 2 1 3x x x x x x+ + + = + + + 
⇔ ( ) ( )1 2 2 3 0x x x+ − − + = ⇔ 1x = 
Bài 4. Giải phương trình: 2 24 7 3 7 3 6 2 7 46 21x x x x x x x+ + − = + + − (1) 
(1) ⇔ 24 7 6 3 7 3 2 7 7 3 0x x x x x x x+ − + − − + − = 
⇔ ( ) ( )2 7 3 2 7 3 0x x x x− − + − = ⇔ 7 3 2 2 7 3x x x x− = ∨ + = 
⇔ 2 24 7 3 0 9 4 28 0x x x x− + = ∨ − − = ⇔ 31; 2;
4
x x x= = = (lấy nghiệm 3
7
x ≥ ) 
VIII. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Bài mẫu. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
( )2 2 4 2 21 1 2 2 1 1 1m x x x x x+ − − + = − + + − − (1) 
Đặt 2 21 1 0t x x= + − − ≥ , khi đó 2 42 2 1 2t x= − − ≤ ⇒ 0 2t≤ ≤ 
và 4 22 1 2x t− = − . Ta có (1) ⇔ ( ) 22 2m t t t+ = − + ⇔ ( )2 2
2
t tm f t
t
− + +
= =
+
Ta có ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
44 0 0; 2
2 2
t tt tf t t
t t
− +
− −  ′ = = ≤ ∀ ∈  
+ +
 ⇒ ( )f t nghịch biến / 0; 2   
Phương trình có nghiệm ⇔ m TGT∈ của ( )f t ( ) ( )2 ; 0 2 1; 1m f f   ⇔ ∈ ≡ −    
www.VNMATH.com
Chương VI. Phương trình và bất phương trình đại số – Trần Phương 
180 
IX. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ 
Bài 1. Giải phương trình: ( )2 21 12 2 4x x xx− + − = − + (1) 
(1) ⇔ 2 21 12 2 4x x x x+ − + + − = 
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: 
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 1. 1. 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1 12 1 1 2 1 1 2 2
x x x x x x
x xx x x x
  + − = + − ≤ + + − = 
+    + − = ⋅ + ⋅ − ≤ + + − =     
⇒ 2 2
1 12 2 4x x
x x
+ − + + − ≤ . Dấu bằng xảy ra ⇔ 1x = 
Bài 2. Giải phương trình: 3 2 21 15 3 3 2 3
2 2
x x x x x+ + − = + − (1) 
(1) ⇔ ( ) ( )2 21 15 2 1 3
2 2
x x x x x− + + = + − ; ĐK: 5 2 0x − ≥ 
Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )22 25 2 1 1 15 2 1 3
2 2 2
x x x
x x x x x
− + + +
− + + ≤ = + − 
Do đó (1) ⇔ 2 21 5 2 4 3 0 1; 3x x x x x x x+ + = − ⇔ − + = ⇔ = = 
Bài 3. Giải phương trình: 43 7 15 2x x x+ + = + (1) 
ĐK: 0x ≥ . (1)⇔
2
4 24 4 4 (7 15)7 15 2 3 7 15 4
4 5
x x
x x x x x
x
− +
+ − = − ⇔ + − =
+
 (2) 
• Nếu 24 7 15x x > nên (2) vô nghiệm 
• Nếu 24 7 15x x≥ + thì ( ) ( )2 0 2VT VP≤ ≤ nên (2) ⇔ 24 7 15 0 3x x x= + ⇒ < = 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 3x = 
Bài 4. Giải phương trình: 3 231 2 1 3 1x x x x+ + = + + − (1) 
• ĐK: 0x ≥ . (1) ⇔ 3 23 2 1 3 1 1x x x x+ − + − = − (2) 
• Xét 3 23 2 1 3 1x x x+ ≥ + − ⇔ 22 1 3 1x x x+ ≥ + − ⇔ 23 2 0 0 1x x x− − ≤ ⇒ ≤ ≤ 
Mặt khác ta có ( ) 2 22 1 0 1 1VP x x x= − ≥ ⇔ ≥ ⇒ ≥ . Từ đó suy ra (1) ⇔ 1x = 
• Xét 3 23 2 1 3 1x x x+ ≤ + − ⇔ 22 1 3 1x x x+ ≤ + − ⇔ 23 2 0 1x x x− − ≥ ⇒ ≥ 
Mặt khác ta có ( ) 2 22 1 0 1 0 1VP x x x= − ≤ ⇔ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Từ đó suy ra (1) ⇔ 1x = 
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 1x = 
www.VNMATH.com