Ôn thi Toán 12: Phương trình mặt phẳng trong không gian

Phương trình mặt phẳng trong không gian 
83 
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN 
I. VÉCTƠ ĐẶC TRƯNG CỦA MẶT PHẲNG: 
1. Hai véctơ ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , ; ; ;u a a a v b b b= =



 là một cặp véc tơ chỉ phương (VTCP) 
của mặt phẳng (α) ⇔ , 0u v ≠


 

; không cùng phương và các giá của chúng 
song song hoặc nằm trên mặt phẳng (α) 
2. Véctơ ( ); ;n a b c=
 là véc tơ pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng (α) 
⇔ (α) ⊥ giá của n


3. Nhận xét: Mặt phẳng (α) có vô số cặp véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp 
tuyến đồng thời [ ]// ,n u v
 
 
 . 
Nếu 
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=



 là một cặp VTCP của mp(α) thì VTPT là: 
[ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v
b b b b b b
 
= =  
 

 
 

II. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT PHẲNG 
1. Phương trình tham số: 
Phương trình mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP 
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=



 là: 
( )
0 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 2
0 3 1 3 2
,
x x a t b t
y y a t b t t t
z z a t b t
= + +

= + + ∈

= + +
 
2. Phương trình tổng quát: 
2.1. Phương trình chính tắc: 0Ax By Cz D+ + + = với 2 2 2 0A B C+ + > . 
Nếu D = 0 thì 0Ax By Cz+ + = ⇔ (α) đi qua gốc tọa độ. 
Nếu A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 thì (α): 0By Cz D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục x’Ox. 
Nếu A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 thì (α): 0Ax Cz D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục y’Oy. 
Nếu A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 thì (α): 0Ax By D+ + = sẽ song song hoặc chứa với trục z’Oz. 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
84 
2.2. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua M0(x0, y0, z0) với cặp VTCP 
( )
( )
1 2 3
1 2 3
, ,
; ;
u a a a
v b b b
 =


=



 hay VTPT [ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, ; ;
a a a a a a
n u v
b b b b b b
 
= =  
 

 
 

 là: 
( ) ( ) ( )2 3 3 1 1 20 0 0
2 3 3 1 1 2
0
a a a a a a
x x y y z z
b b b b b b
− + − + − = 
2.3. Phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 3 điểm 
( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3, , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z không thẳng hàng có VTPT là: 
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
, , ,
y y z z z z x x x x y y
n AB AC
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −  = =   
− − − − − − 

 


nên phương trình là: 
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 1
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
0
y y z z z z x x x x y y
x x y y z z
y y z z z z x x x x y y
− − − − − −
− + − + − =
− − − − − −
Đặc biệt: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c là: 
( )1 0yx z abc
a b c+ + = ≠ 
3. Phương trình chùm mặt phẳng: 
Cho 2 mặt phẳng cắt nhau 
( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2: 0 ; : 0a x b y c z d a x b y c z dα + + + = α + + + = với 
( ) ( ) ( )1 2∆ = α α∩ . 
Mặt phẳng (α) chứa (∆) là ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2 0p a x b y c z d q a x b y c z d+ + + + + + + = 
với 2 2 0p q+ > 
III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 MẶT PHẲNG 
Cho 2 mặt phẳng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )1 1 1 1, ,n A B C=
 
và (α2): 2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = có VTPT ( )2 2 2 2, ,n A B C=
 . 
Nếu 1 2,n n

 

 không cùng phương thì (α1) cắt (α2). 
Nếu 1 2,n n

 

 cùng phương và (α1), (α2) không có điểm chung thì (α1) // (α2) 
Nếu 1 2,n n

 

 cùng phương và (α1), (α2) có điểm chung thì (α1) ≡ (α2) 
www.VNMATH.com
Phương trình mặt phẳng trong không gian 
85 
IV. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG 
Góc giữa 2 mặt phẳng (α1): 1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = và (α2): 
2 2 2 2 0A x B y C z D+ + + = là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) thỏa mãn: 
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
.
cos
n n A A B B C C
n n A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +

 


 
 với 1 2,n n

 

 là 2 VTPT của (α1), (α2). 
V. KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (α): 0Ax By Cz D+ + + = là: 
( ) 0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
2. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song: ( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = β ∀ ∈ α 
( ) ( ) ( ); ;d d M Mα β = α ∀ ∈ β 
VI. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Lập phương trình tổng quát của mp(α) đi qua A(2; 1; −1) và vuông góc 
với đường thẳng xác định bởi 2 điểm B(−1; 0; −4), C(0; −2; −1). 

 Mp(α) đi qua A nhận ( )1; 2;3BC = −
 làm VTPT nên phương trình mp(α) là: 
( ) ( ) ( )1 2 2 1 3 1 0x y z− − − + + = ⇔ 2 3 3 0x y z− + + = 
Bài 2. Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của mp(α) đi qua 
( )2; 1; 4A − , ( )3; 2; 1B − và vuông góc với ( ) : 2 3 0x y zβ + + − = 
HD: ( )1;3; 5AB = −
 , ( )1;1; 2nβ =
 . Do mp(α) đi qua A, B và ( ) ( )α ⊥ β nên (α) 
nhận , bAB n

 

 làm cặp VTCP. Suy ra VTPT của (α) là: 
( )3 5 5 1 1 3; ; 11; 7; 2
1 2 2 1 1 1
n
− − 
= = − − 
 


. Mặt khác (α) đi qua ( )2; 1; 4A − nên 
phương trình mp(α): ( ) ( ) ( )11 2 7 1 2 4 0 11 7 2 21 0x y z x y z− − + − − = ⇔ − − − = . 
Bài 3. Lập phương trình mp(α) đi qua A(1; 0; 5) và // mp(γ): 2 17 0x y z− + − = . 
Lập phương trình mp(β) đi qua 3 điểm B(1; −2; 1), C(1; 0; 0), D(0; 1; 0) 
và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 mp(α) và (β). 
HD: mp(α) // (γ): 2 17 0x y z− + − = có ( )2; 1;1n = −
 ⇒ (α): 2 0x y z c− + + = 
(α) đi qua A(1; 0; 5) ⇒ 2 1 0 5 0 7c c⋅ − + + = ⇔ = − ⇒ PT (α): 2 7 0x y z− + − = 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
86 

 mp(β) nhận 2 véc tơ ( ) ( )0; 2; 1 , 1;3; 1BC BD= − = − −
 
 làm cặp VTCP nên có 
VTPT là: ( )2 1 1 0 0 2; ; 1;1; 2
3 1 1 1 1 3
nβ
− − 
= = 
− − − − 


. 
Vậy phương trình mp(β): ( )1 2 0 2 1 0x y z x y z+ − + = ⇔ + + − = 

 ( ) 2 22 1 1 1 1 2 3 1cos cos , 606 2 32 1 1 1 1 2n nβ
⋅ − ⋅ + ⋅ piϕ = = = = ⇒ ϕ = = °
+ + + +

 

Bài 4. Viết PT mặt phẳng chứa đường thẳng (∆): 
2 0
3 2 3 0
x z
x y z
− =

− + − =
 và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 5 0x y z− + + = 
HD: Phương trình chùm mặt phẳng chứa (∆) là: 
( ) ( ) ( )2 22 3 2 3 0 , ; 0m x z n x y z m n m n− + − + − = ∈ + > 
⇔ ( ) ( )3 2 2 3 0m n x ny n m z n+ − + − − = 
⇒ mp(α) chứa (∆) có VTPT ( )3 ; 2 ; 2u m n n n m= + − −
 
Mặt phẳng (P) có VPPT ( )1; 2;1v = −
 nên để (α) ⊥ (P) thì 0u v⋅ =
 
 
( ) ( ) ( )1 3 2 2 1 2 0m n n n m⇔ ⋅ + − ⋅ − + ⋅ − = 8 0n m⇔ − = . 
Cho 1n = suy ra 8m = , khi đó phương trình mp(α) là: 11 2 15 3 0x y z− − − = 
Bài 5. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Oz và lập với mặt phẳng (α): 
2 5 0x y z+ − = một góc 60°. 
HD: Mặt phẳng (P) chứa Oz ⇒ (P) có dạng: 0mx ny+ = ( 2 2 0m n+ > ) 
⇒ VTPT ( ); ; 0u m n=
 . Mặt phẳng (α) có VTPT ( )2;1; 5v = −
 suy ra 
( )
2 2 2 2
2. 1. 0. 5 1cos , cos 60
22 1 5
m n
u v
m n
+ −
= ° ⇔ =
+ + +

 

( ) ( )2 2 22 2 10m n m n⇔ + = + 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24 4 4 10 2 3 8 3 0m mn n m n m mn n⇔ + + = + ⇔ + − = 
Cho 1n = ⇒ 2 13 8 3 0 3 3m m m m+ − = ⇔ = − ∨ = . 
Vậy ( ) :3 0P x y− = hoặc ( ) : 3 0P x y+ =
www.VNMATH.com
Phương trình mặt phẳng trong không gian 
87 
Bài 6. Viết phương trình tổng quát của mp(α) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo 
với (Oxy) một góc 60°. 
HD: (α): 0Ax By Cz D+ + + = qua M, N suy ra: 0;3 0C D A D+ = + = 
⇒ 3 ; 3C A D A= = − . Mặt phẳng (Oxy) có VTPT là ( )0;0;1 suy ra 
2 2 2
2 2 2 2 2
3 1cos60 36 10
210
C A A A B
A B C A B
= ° ⇔ = ⇔ = +
+ + +
2 226 26A B B A⇔ = ⇔ = ± . Do 2 2 2 0A B C+ + ≠ ⇒ 0A ≠ . 
Cho 1A = suy ra mp(α): 26 3 3 0x y z− + − = hoặc 26 3 3 0x y z+ + − = 
Bài 7. Cho A(a; 0; a), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là 3 số dương thay đổi 
luôn luôn thỏa mãn 2 2 2 3a b c+ + = . Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ O 
đến mặt phẳng (ABC) đạt Max. 
HD: 
 (ABC): 1 0yx z
a b c+ + − = . Suy ra ( ) 2 2 2
1 1 1 1
;d O ABC a b c
= + + 
⇒ 2 2 2 2
1 1 1 1
d a b c
= + + ⇒ ( )2 2 22 2 21 1 1 1 1 9 33 3a b ca b c
 
= + + + + ≥ ⋅ = 
 
2 1 1
3 3
d d⇒ ≤ ⇒ ≤ . Với 1a b c= = = thì 1Max
3
d = 
Bài 8. Cho chùm mặt phẳng ( ) ( ): 2 1 1 0mP x y z m x y z+ + + + + + + = . 
Chứng minh rằng: (Pm) luôn đi qua (d) cố định ∀m 
Tính khoảng cách từ O đến (d). Tìm m để (Pm) ⊥ ( )0 : 2 1 0P x y z+ + + = 
HD: 
 Với mọi m, (Pm) luôn đi qua đường thẳng cố định (d): 
2 1 0
1 0
x y z
x y z
+ + + =

+ + + =

 Mặt phẳng 2 1 0x y z+ + + = có VTPT: ( )2;1;1u =
 và 1 0x y z+ + + = có 
VTPT ( )1;1;1v =
 suy ra (d) có VTCP là: [ ] ( ); 0; 1;1a u v= = −
 
 
 . 
Mặt khác (d) đi qua ( )0;0; 1M − ⇒ ( )( ) [ ] 2
2
1 0 0 1
,
20 1 1
OM ad O d
a
⋅ + +
= = =
+ +

 


 

 ( ) ( ) ( ) ( ): 2 1 1 1 0mP m x m y m z m+ + + + + + + = có VTPT ( )1 2; 1; 1n m m m= + + +
 ; 
Trường hợp đặc biệt mặt phẳng ( )0P có VTPT ( )2 2;1;1n =
 . 
Để (Pm) ⊥ (P0) thì ( ) ( ) ( )1 2 30 2 2 1 1 1 1 0 4 6 0 2n n m m m m m
−
⋅ = ⇔ + + + + + = ⇔ + = ⇔ =

 

www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
88 
Bài 9. Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; 3; 1), C(2; 2; −1). Viết phương trình mặt 
phẳng (ABC). CMR: O ∈ (ABC) và OABC là một hình chữ nhật. 
Cho S(9; 0; 0). Tính thể tích chóp S.OABC. Viết phương trình mặt 
phẳng chứa AB và đi qua trung điểm OS. 
HD: 
 ( ) ( )2; 2; 1 , 2;1; 3AB AC= − = −
 
 ⇒ VTPT ( ), 5; 4; 2n AB AC = = − − 

 


Do (ABC) đi qua A(0; 1; 2) nên phương trình mặt phẳng (ABC) là: 
( ) ( ) ( )5 0 4 1 2 2 0 5 4 2 0x y z x y z− − + − − − = ⇔ − + = 

 O(0; 0; 0) và 5.0 4.0 2.0 0− + = nên O ∈ (ABC). 
Ta có: ( )0;1;2OA =
 , ( )2; 2; 1OC = −
 OC AB⇒ =
 
 
0.2 1.2 2.1 0OA OC⋅ = + − =

 

 suy ra OABC là hình chữ nhật. 

 Gọi H là hình chiều của S lên (OABC) suy ra 
1 12 2.3 3OABC ABC SABCV S SH S SH V= ⋅ = ⋅ ⋅ = 
12 ,6 AB AC AS
 = ⋅ ⋅ 

 
 

Ta có: ( )9; 1; 2AS = − −
 và ( ), 5; 4; 2AB AC  = − − 

 

⇒ ( ) ( )1 19 5 1 4 2 2 45 153 3V = − − ⋅ − − = − = 

 Trung điểm của OS là ( )9 ;0;02M ⇒ ( )9 ; 1; 22AM = − −
 
⇒ Mặt phẳng chứa AB và đi qua M có VTPT là: [ ] ( )1. 5; ; 112n AB AM= = − − −
 

 
⇒ Phương trình mặt phẳng: 10 22 45 0x y z+ + − = . 
Bài 10. Lập phương trình của mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi hai mặt 
phẳng ( ) ( ): 3 7 36 0; :2 15 0P x y z Q x y z− + + = + − − = nếu biết khoảng cách từ 
gốc tọa độ O đến α bằng 3. 
Giải 
Mặt phẳng ( )α thuộc chùm tạo bởi (P) và (Q) nên có phương trình dạng: 
( ) ( ) ( )2 23 7 36 2 15 0 0m x y z n x y z m n− + + + + − − = + > 
( ) ( ) ( )2 3 7 36 15 0m n x n m y m n z m n⇔ + + − + − + − = . Ta có 
www.VNMATH.com
Phương trình mặt phẳng trong không gian 
89 
( )( )
( ) ( ) ( )2 2 2
36 15
, 3 3
2 3 7
m nd O
m n n m m n
−α = ⇔ =
+ + − + −
2 2 2 212 5 59 16 6 19 104 85 0m n m mn n n mn m⇔ − = − + ⇔ − + = 
( ) ( )19 85 0 19 85n m n m n m n m⇔ − − = ⇔ = ∨ = 
+ Cho n = m = 1 thì nhận được ( )1 : 3 2 6 21 0x y zα − + + = 
+ Cho m = 19, n = 85 ta có ( )2 : 189 28 48 591 0x y zα + + − = . 
Bài 11. Lập phương trình mặt phẳng ( )α đi qua 2 điểm A(2; –1; 0), B(5; 1; 1) 
và khoảng cách từ điểm ( )10; 0; 2M đến mặt phẳng ( )α bằng 6 3 . 
Giải 
Gọi phương trình mặt phẳng ( )α là: ( )2 2 20 0Ax By Cz D A B C+ + + = + + > 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 ; 5 0 2A A B D B A B C D∈ α ⇒ − + = ∈ α ⇒ + + + = 
Mặt khác: ( )( ) 2 2 27 71, 26 3 6 3d M C D A B Cα = ⇔ + = + + 
( ) ( ) ( )2 2 2 227 2 49 3C D A B C⇔ + = + + . 
Từ (1) và (2), ta có ( )3 2 , 2 4C A B D B A= − − = − 
Thế (4) vào (3), ta được: ( )22 2 227.49 49 3 2A A B A B = + + +  
2 2 175 12 17 0 5B AB A B A B A+ − = ⇔ = ∨ = − 
+ Chọn A = B = 1 ⇒ C = –5, D = –1 thì nhận được ( )1 : 5 1 0x y zα + − − = 
+ Chọn A = 5, B = 17 ⇒ C = 19, D = –27 thì ( )2 :5 17 19 27 0x y zα − + − = 
VII. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 
Bài 1. Viết PT mp(α) chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 
( ) : 7 0P x y z− + − = , ( ) :3 2 12 5 0Q x y z+ − + = 
Bài 2. Viết PT mp(α) đi qua M(1; 2;1) và chứa giao tuyến của 
( ) ( ): 1 0, : 2 3 0P x y z Q x y z+ + − = − + = 
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng chứa ( )
3 0
:
3 2 1 0
x y z
x y z
− + − =∆ 
+ + − =
 và vuông góc với mặt phẳng (P): 2 3 0x y z+ + − = 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
90 
Bài 4. Cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4). Viết PT mp(ABC). 
Tính khoảng cách từ gốc O đến (ABC). Viết PT mặt phẳng: 
a. Qua O, A và // BC; Qua C, A và ⊥ (α): 2 3 1 0x y z− + + = . 
b. Qua O và ⊥ (α), (ABC); Qua I(−1; 2; 3) và chứa giao tuyến của (α), (ABC) 
Bài 5. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 4 0x ny z m+ + + = thuộc 
chùm mặt phẳng có phương trình: 
( ) ( )3 7 3 9 2 5 0x y z x y zα − + − + β − − + = 
Bài 6. Cho 2 mặt phẳng ( ) : 2 3 1 0x y zα − + + = , ( ) : 5 0x y zβ + − + = và điểm 
M(1; 0; 5). Tính khoảng cách từ M đến mp(α). 
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến (d) của (α) và (β) 
đồng thời vuông góc với mặt phẳng (Q): 3 1 0x y− + = . 
Bài 7. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 3), B(−1; 3; 2), 
C(−1; 2; 3). Tính khoảng cách từ gốc O đến (P). 
Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện OABC. 
Bài 8. Cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3). Các điểm M, N lần lượt là trung 
điểm của OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 23
OP
OC = và 
2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. 
Viết phương trình mp(MNPQ) và tìm tỉ số AQ
AB
. 
Bài 9. Cho A(a; 0; 0), B(0; a; 0), C(a; a; 0), D(0; 0; d) với a, d > 0. Gọi A’, B’ 
là hình chiếu của O lên DA, DB. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 
đường OA’, OB’. Chứng minh mặt phẳng đó vuông góc CD. 
Tính d theo a để số đo góc  45A OB′ ′ = ° . 
Bài 10. Tìm trên Oy các điểm cách đều 2 mặt phẳng 
( ) ( ): 1 0, : 5 0x y z x y zα + − + = β − + − = 
Bài 11. Tính góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) cùng đi qua điểm I(2; 1; −3) biết 
(P) chứa Oy và (Q) chứa Oz. 
Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 mặt phẳng (P) và (Q). 
Bài 12. Cho ∆OAB đều cạnh a nằm trong mặt phẳng (Oxy), đường thẳng AB // Oy. 
Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong mp(Oxy). Cho điểm ( )0;0; 3aS . 
Xác định A, B và trung điểm E của OA. Viết phương trình mặt phẳng 
(P) chứa SE và song song với Ox. Tính ( ),d O P từ đó suy ra ( );d Ox SE 
www.VNMATH.com