Ôn thi Toán 12: Phương trình đối xứng

Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
231 
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX 
1. Phương pháp chung ( )sin cos sin cos 0a x x b x x c+ + + = 
( )sin cos sin cos 0a x x b x x c− + + = 
Bước 1. Đặt 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1
4 2
1sin cos 2 sin 2; 2 sin cos 1
4 2
t x x x x x t
t x x x x x t
 pi  = + = + ∈ − ⇒ = − 

pi   = − = − ∈ − ⇒ = − 

Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t. 
Bước 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm x. 
2. Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )2 sin cos sin cos 1 1x x x x+ − = 
Giải 
Đặt ( ) 2 1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xpi − = + = − ∈ − ⇒ =  . Ta có 
( ) 21 2 2 1 0 2 1 2; 2t t t  ⇔ − + = ⇔ = − ∈ −  ( ) 2 2cos cos4 2x −pi⇔ − = = α 
( )2 24 4x k x k k
pi pi
− = ±α + pi ⇔ = ± α + pi ∈
 
Bài 2. Giải phương trình: ( )101 1cos sin 1
cos sin 3x xx x+ + + = 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
Với điều kiện (2) thì ( ) ( ) ( ) 101 sin cos sin cos sin cos sin cos3x x x x x x x x⇔ + + + = 
( ) ( )3 sin cos sin cos 1 10sin cosx x x x x x⇔ + + = 
Đặt ( ) 2 1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xpi − = + = − ∈ − ⇒ =  . Khi đó 
( ) 2 21 11 3 1 10.
2 2
t tt  − −⇔ + = 
 
( ) ( )2 2 3 23 1 10 1 3 10 3 10 0t t t t t t⇔ + = − ⇔ − + + = 
( ) ( )2 2 192 3 4 5 0 2; 23t t t t
−  ⇔ − − − = ⇔ = ∈ −  
( ) ( )2 19 2 192 cos cos cos4 3 4 3 2x x− −pi pi⇔ − = ⇔ − = = α 
( )2 24 4x n x n n
pi pi⇔ − = ±α + pi ⇔ = ± α + pi ∈
 (thỏa mãn (2)) 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
232 
Bài 3. Giải phương trình: ( )3 3 31 sin cos sin 2 12x x x+ + = 
Giải 
( ) ( ) ( )3 31 1 sin cos 3sin cos sin cos sin 22x x x x x x x⇔ + + − + = 
Đặt ( ) 2 1sin cos 2 cos 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xpi − = + = − ∈ − ⇒ =  
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )23 2 3 2 21 31 1 3 1 2 3 3 1 3 1
2 2
tt t t t t t t −⇔ + − = − ⇔ + − − = − 
 
( ) ( )3 2 23 3 5 0 1 2 5 0 1 2; 2t t t t t t t  ⇔ + − − = ⇔ + + − = ⇔ = − ∈ −  
( ) ( ) { } ( )12 cos 1 cos 2 ; 24 4 22x x x k k kpi pi pi−⇔ − = − ⇔ − = ⇔ ∈ pi + pi − + pi ∈
 
Bài 4. Giải phương trình: ( )2 3sin cos 1 sin cos 13x x x x+ = + 
Giải 
Đặt ( ) 2 1sin cos 2 sin 2, 2 sin cos4 2tt x x x x xpi − = + = + ∈ − ⇒ =  
Khi đó (1) ( )
2
22 2
0; 2 0; 2
6. 1 3
26 1 9
t t
t t
tt t
    ∈ ∈    ⇔ + = ⇔ ⇔ 
=+ = 
( ) ( )2 sin 1 24 4t x x k kpi pi⇔ = ⇔ + = ⇔ = + pi ∈
 
Bài 5. Giải phương trình: ( )sin cos 7 sin 2 1 1x x x− + = 
Giải 
Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x tpi  = − = − + ∈ − ⇒ = −  
Khi đó ( ) ( )2 21 7 1 1 7 6 0t t t t⇔ + − = ⇔ − − = 
( )
( ) ( )
231cos cos1 4 42 26 23 27 cos cos
4 7 2
4
x k
xt
x k k
t
x
x k
= −pi + pi pi pi + = − =
=   pi ⇔ ⇔ ⇔ = + pi ∈
−
=  pi + = = α  pi = − ± α + pi


 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )1 2 sin cos 2sin cos 1 2 1x x x x+ − + = + 
Giải 
Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 2sin cos 14t x x x x x tpi  = − = − + ∈ − ⇒ = −  . Khi đó 
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2 1 1 2 1 2 2 0 1 2t t t t t t⇔ + + − = + ⇔ − − + = ⇔ = ∨ = 
( ) ( ) { } ( )31cos cos 1 2 ; 2 ; 24 4 2 42x x x k k k kpi pi pi pi−⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −pi + pi + pi + pi ∈
 
www.VNMATH.com
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
233 
Bài 7. Giải phương trình: ( )sin 2 2 sin 14x x x pi+ − = 
Giải 
( ) ( ) ( )sin 2 2 sin 1 sin 2 sin cos 1 14x x x x x xpi+ − = ⇔ + − = 
Đặt ( ) 2sin cos 2 sin 2, 2 sin 2 14t x x x x tpi  = − = − ∈ − ⇒ = −  
Khi đó ( ) ( )21 1 1 1 0 0; 1t t t t t t⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = = 
( ) ( ) { } ( )
tg 1sin cos 0
; 2 ; 21sin 4 22 sin 1 44 2
xx x
x k k k k
xx
=− =
pi pi⇔ ⇔ ⇔ ∈ + pi + pi pi + pi ∈pipi  − = − =
 

 
Bài 8. Giải phương trình: ( )sin 3 cos 3 2 sin cos 1x x x x− + + = 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )3 31 3sin 4sin 4cos 3cos 2 sin cos 1x x x x x x⇔ − − − + + = 
( ) ( ) ( )4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1x x x x x x⇔ − + − + + = 
Đặt ( )sin cos 2 sin 2; 24t x x x pi  = + = + ∈ −  , khi đó ta có phương trình: 
( ) ( )2 214 1 5 1 1 2 2 1 0 1
2
tt t t t t t −− − + = ⇔ − + + = ⇔ = 
 
24x k
pi⇔ = + pi 
Bài 9. Giải phương trình: ( ) ( )1 12 2 sin 2 tan cot 0sin cosx x xx x+ + + + + = 
Giải 
Đặt ( )sin cos 2 sin 2; 2 , 14t x x x tpi  = + = + ∈ − ≠ ±  . Biến đổi ta nhận được 
( ) ( ) ( )2 2 2 3 2
2
2 22 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 0
1
tt t t t t t t
t
+ + + = ⇔ − + + + = ⇔ + + = 
− 
( ) ( )22 1 0 0 1 sin cos 0 tan 1 4t t t t x x x x k
pi⇔ + = ⇒ = ≠ ± ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = − + pi 
Bài 10. Tìm m để phương trình: ( )sin cos sin 2 0m x x x+ + = có nghiệm. 
Giải 
Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2; 2 sin 2 14t x x x x tpi  = + = − ∈ − ⇒ = −  
Khi đó phương trình 2 1 0mt t⇔ + − = ( ) 2 1 0f t t mt⇔ = + − = với 2; 2t  ∈ −  
Để ý rằng: 21 4 0m∆ = + > nên ( ) 0f t = có 2 nghiệm phân biệt 1 2,t t 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
234 
Theo định lý Viét, ta có 1 2 1 2. 1 . 1t t t t= − ⇒ =
( )
( )
1 1
2 2
0 1 2 2, 2
0 1 2 2, 2
t t
t t
 < ≤ < ∈ −
 ⇒ ⇒
 < ≤ < ∈ −
Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm m∀ ∈
 
Bài 11. Tìm m để phương trình: ( )sin 2 4 cos sinx x x m+ − = có nghiệm 
Giải 
Đặt cos sin 2; 2t x x  = − ∈ −  và 2sin 2 1x t= − , khi đó phương trình đã cho 
( ) 2 4 1f t t t m⇔ = − + + = với 2; 2t  ∈ −  . 
Ta có ( ) 4 2 0 2, 2f t t t  ′ = − > ∀ ∈ −  ( )f t⇒ đồng biến trên 2, 2 −  
⇒ Tập giá trị ( )f t là ( ) ( )2 , 2 4 2 1, 4 2 1f f   − = − − +    
Do đó phương trình đã cho có nghiệm ( )f t m⇔ = có nghiệm 2, 2t  ∈ −  
4 2 1 4 2 1m⇔ − − ≤ ≤ + 
Bài 12. Tìm m để: 3 3sin cosx x m− = có 3 nghiệm phân biệt [ ]0,x∈ pi 
Giải 
Biến đổi: ( ) ( )33 3sin cos sin cos 3sin cos sin cosx x m x x x x x x m− = ⇔ − + − = 
Đặt ( ) [ ]sin cos 2 sin 1, 2 0,4t x x x xpi  = − = − ∈ − ∀ ∈ pi  ; 21sin cos 2tx x −= . 
Khi đó phương trình 
( ) ( )23 3 2 313 2 3 1 2 3 2
2
tt t m t t t m f t t t m −⇔ − = ⇔ + − = ⇔ = − + = 
 
Ta có ( ) 23 3 0 1f t t t′ = − + = ⇔ = ± ⇒Bảng biến thiên 
Với ( )2 1, 1t t= ∨ ∈ − cho ta 
1 nghiệm [ ]0,x∈ pi và với mỗi )1, 2t ∈  
cho ta 2 nghiệm [ ]0,x∈ pi . 
Nên để phương trình 3 3sin cosx x m− = 
có 3 nghiệm phân biệt [ ]0,x∈ pi 
thì ( ) 2f t m= phải có 2 nghiệm 1 2,t t sao cho 
1 2
21 1 2 2 2 2 12t t m m− < < < < ⇔ < < ⇔ < < . 
–1 1 2 
2 
0 0 + – 
–2 
2 
t 
f′(t) 
f(t) 
www.VNMATH.com
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
235 
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT 
I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG 
( ) ( ) ( )sin sin costan tan ; tan tan ; tan cot
cos cos cos cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ − −+ = − = + = 
( )cos 2cot tan ; tan cot ; cot tan 2cot 2
sin cos sin 2
a b
a b a a a a a
a b a
+
− = + = − = 
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )3 tan cot 4 1x x+ = 
Giải 
( )1 ⇔ 2 3 2 3 34 sin 2
sin 2 4 2 6 3x x n x nx
pi pi
= ⇔ = = ⇔ = + pi ∨ = + pi 
Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( )2 sin cos tan cot 1x x x x+ = + 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
Đặt ( ) 2sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 14t x x x x tpi  = + = − ∈ − ⇒ = −  
( ) ( ) ( )2 321 2 sin cos 1 2 2 0
sin 2x x t t t tx⇔ + = ⇔ − = ⇔ − − =
( )1t ≠ ± 
( ) ( ) ( )22 2 1 0 2 cos 14t t t t x pi⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − = 24x npi⇔ = + pi 
Bài 3. Giải phương trình: ( ) ( )3 tan cot 2 2 sin 2x x x+ = + (1) 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) 31 2 sin 2
sin 2 xx⇔ = +
2sin 2 2sin 2 3 0 sin 2 1x x x⇔ + − = ⇔ = 4x n
pi⇔ = + pi 
Bài 4. Giải phương trình: ( )2tan 2 cot 8cos 1x x x+ = 
Giải 
ĐK: ( )sin .cos 2 0 , 2x x ≠ , ta có (1) ( ) 2 2cos 2 8cos cos 8cos .cos2 .sin
cos2 .sin
x x
x x x x x
x x
−⇔ = ⇔ = 
( ) ( )cos 1 8cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 
{ }51cos 0 sin 4 ; ;2 2 2 24 2 24 2k k kx x x pi pi pi pi pi pi⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + + 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
236 
Bài 5. Giải phương trình: ( )3tan cot 2 cot 2 1x x x= + 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos sin 2 0 sin 2 0 22
kx x x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) 31 tan cot 2cot 2x x x⇔ − = ⇔ 32cos 2 2cot 22sin cos
x x
x x
−⇔ = 
( )2cot 2 1 cot 0 cot 2 0x x x⇔ + = ⇔ = 2 2 4 2
nx n xpi pi pi⇔ = + pi ⇔ = + 
Bài 6. Giải phương trình: ( )tan cot 2 sin 2 cos 2x x x x+ = + (1) 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) ( )21 2 sin 2 cos 2
sin 2 x xx⇔ = +
( )sin 2 sin 2 cos 2 1x x x⇔ + = 
( )2sin 2 cos 2 1 sin 2 0x x x⇔ − − = ( )cos 2 sin 2 cos 2 0x x x⇔ − = 
cos 2 0 tan 2 1 4 2 8 2
n nx x x xpi pi pi pi⇔ = ∨ = ⇔ = + ∨ = + 
Bài 7. Giải phương trình: ( )6 tan 5cot 3 tan 2 1x x x+ = 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )5cos 3 sin 21 5 tan cot 3 tan 2 tan
cos .sin 3 cos 2 .cos
x x x x
x x x x
x x x x
− −⇔ + = − ⇔ = 
2 2 25cos 2 sin 3 .sin 10cos 2 2sin 3 sin 10cos 2 cos 2 cos 4x x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ = − 
( )2 2 210 cos 2 cos 2 2cos 2 1 12cos 2 cos 2 1 0x x x x x⇔ = − − ⇔ − − = 
1cos 2 cos 2 2 23
2 21cos 2 cos
4 2
x kx
x k
x kx x k
α
= ± + pi= = α
= ±α + pi 
⇔ ⇔ ⇔  β= ±β + pi= − = β  = ± + pi
 
 (thỏa mãn (2)) ( )n∈
 
Bài 8. Giải phương trình: [ ] ( )2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1x g x x g x− = + 
Giải 
Điều kiện: ( )sin 2 sin 3 cos 2 0 sin 4 sin 3 0 2x x x x x≠ ⇔ ≠ 
( ) ( ) ( )2sin 3 2 cos 3 21
sin 2 .sin 3 sin 3 .cos 2
x x x x
x x x x
− −⇔ = ( )2 2 22.sin cos sin cos 0x x x x ⇔ − − =  
3sin 0 sin 0 sin 2 2sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = (3) 
Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm. 
www.VNMATH.com
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
237 
Bài 9. Giải phương trình: ( )22 tan cot 3 1
sinx x x+ = + 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 22
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) ( ) 2 2 21 tan tan cot 3 tan 3
sin sin sinx x x xx x x⇔ + + = + ⇔ + = + 
tan 3 3x x n
pi⇔ = ⇔ = + pi (thỏa mãn (2)) ( )n∈
 
Bài 10. Giải phương trình: ( )23 tan 3 cot 2 2 tan 1
sin 4x x x x+ = + 
Giải 
Điều kiện: ( )sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 .cos3 0 2x x x x x x x≠ ⇔ ≠ 
( ) ( ) ( ) 21 2 tan 3 tan tan 3 cot 2
sin 4x x x x x⇔ − + + = 
2sin 2 cos 2 4sin sin 4 2cos cos 2 2cos3
cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4
x x x x x x x
x x x x x x
⇔ + = ⇔ + = 
4sin sin 4 cos cos 3 2 cos3 4sin sin 4 cos cos 3 0x x x x x x x x x⇔ + + = ⇔ + − = 
( ) ( )sin sin 2 12sin sin 2 4cos 2 1 cos 2 cos
44 cos 2 1 0
x x loai
x x x x x
x

−⇔ + ⇔ ⇔ = =
+ =
2 2 2x k x k
α⇔ = ±α + pi ⇔ = ± + pi (thỏa mãn (2)) ( )n∈
 
Bài 11. Giải phương trình: ( )12 tan cot 2 2sin 2 1
sin 2x x x x+ = + 
Giải 
Điều kiện: sin 2 0 2
kx x pi≠ ⇔ ≠ (2) 
Sử dụng: sin 2 sin cos 2 cos cos 1tan cot 2
cos .sin 2 cos sin sin 2
x x c x xx x
x x x x x
++ = = = 
( ) ( ) ( )1 tan tan cot 2sin 2 tan cotx x x x x x⇔ + + = + + 
( )2 2tan 4sin cos sin 4sin cos sin 1 4 cos 0x x x x x x x x⇔ = ⇔ = ⇔ − = 
( )( ) ( )22
sin 0
21cos 2 2 21 2 3 3cos
4
x
x x n x n n
x
=
pi pi⇔ → = − ⇔ = ± + pi ⇔ = ± + pi ∈
=


 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
238 
Bài 12. Giải phương trình: 23 tan 6 2 tan 2 cot 4
sin 8x x xx− = − (1) 
Giải 
ĐK: cos 6 .sin 8 0x x ≠ , ( ) ( ) cos 411 tan 6 2 tan 6 tan 2
sin 4 cos 4 sin 4
xx x x
x x x
⇔ + − = −
( )tan 6 2 tan 6 tan 2 tan 4x x x x⇔ + − = ( ) ( )tan 6 tan 4 2 tan 6 tan 2 0x x x x⇔ − + − = 
( )sin 2 2sin 4 10 sin 2 4 0cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4x x xx x x x x⇔ + = ⇔ + = . Do sin 8 0x ≠ nên 
Phương trình chỉ có nghiệm ( )1cos 4 cos4 4 2
kx x kα pi= − = α ⇔ = ± + ∈

Bài 13. Giải phương trình: ( )23 tan 2 4 tan 3 tan 3 . tan 2 1x x x x− = 
Giải 
Điều kiện: { } ( )cos 2 .cos3 0 ; | 24 2 6 3k kx x x kpi pi pi pi≠ ⇔ ∉ + + ∈
 
( ) ( ) ( )1 3 tan 2 3 tan 3 tan 3 1 tan 3 tan 2 3x x x x x⇔ − = + 
Nếu 1 tan 3 tan 2 0x x+ = thì từ ( ) tan 2 tan 3 03
1 tan 3 tan 2 0
x x
x x
− =
⇒ 
+ =
2
tan 2 tan 3
1 tan 3 0
x x
x
=
⇔ ⇒
+ =
 Vô lý 1 tan 3 . tan 2 0x x⇒ + ≠ 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )3 tan 2 tan 31 3 tan 3 3 tan tan 3
1 tan 2 tan 3
x x
x x x
x x
−⇔ ⇔ = ⇔ − =
+
( )3 3 2
2
3 tan tan 3 tan 3 tan tan 3 tan 1 3 tan
1 3 tan
x x x x x x x
x
−⇔ = − ⇔ − = − −
−
( )2
2 2
tan 0 tan 0
2 tan 5 tan 3 0 3tan tan5
x
x n
x x
x x n
= =
= pi⇔ − = ⇔ ⇔ 
= = α = ±α + pi 
 (thỏa mãn (2)) 
Bài 14. Giải phương trình: ( )2 3 2 3tan tan tan cot cot cot 6 1x x x x x x+ + + + + = 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 2
2
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 21 tan cot tan cot tan cot 6x x x x x x⇔ + + + + + = 
( ) ( ) ( )3 2tan cot 3 tan cot tan cot tan cotx x x x x x x x⇔ + − + + + ( )tan cot 8x x+ + = 
www.VNMATH.com
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
239 
( ) ( ) ( )3 2tan cot tan cot 2 tan cot 8 0x x x x x x⇔ + + + − + − = 
Đặt tan cot tan cot 2 tan cot 2x x t t x x x x+ = ⇒ = + ≥ = 
Khi đó ( ) ( )3 2 22 8 0 2 3 4 0t t t t t t+ − − = ⇔ − + + = 
( ) ( )23 7 22 0 2 tan cot 22 4 sin 2t t t x x x ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ + = =   
sin 2 1
4
x x npi⇔ = ⇔ = + pi (thỏa mãn (2)) ( )n∈
 
Bài 15. Giải phương trình: ( )tan 2 tan 3 tan 5 tan 2 . tan 3 . tan 5 1x x x x x x− − = 
Giải 
Điều kiện: ( )cos 2 .cos3 .cos5 0 2x x x ≠ 
( ) ( ) ( )1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 . tan 5 3x x x x x⇔ − = + . Nếu 1 tan 2 . tan 5 0x x+ = thì 
từ ( ) tan 2 tan 5 03
1 tan 2 tan 5 0
x x
x x
− =
⇒ 
+ =
2
tan 2 tan 5
1 tan 2 0
x x
x
=
⇔ ⇒
+ =
 Vô lý 1 tan 2 tan 5 0x x⇒ + ≠ 
Khi đó ( ) ( ) ( ) ( )tan 2 tan 51 3 tan 3 tan 2 5 tan 3 tan 3
1 tan 2 tan 5
x xx x x x x
x x
−⇔ ⇔ = = − = − = −
+
tan 3 0 3
kx x pi⇔ = ⇔ = (thỏa mãn (2)) ( )n∈
 
Bài 16. Giải phương trình: ( )2 2 2 2tan 2 . tan 3 . tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1x x x x x x= − + 
Giải 
ĐK: ( )cos 2 .cos3 .cos5 0 2x x x ≠ ; ( ) ( ) ( )2 2 2 21 tan 3 tan 2 tan5 1 tan 3 tan 2 , 3x x x x x⇔ − = − 
Nếu 2 21 tan 3 . tan 2 0x x− = thì từ ( )
2 2
2 2
tan 3 tan 2 0
3
1 tan 3 . tan 2 0
x x
x x

− =
⇒ 
− =
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2
tan 3 . tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3
x x x x x
x x x x x
  = = =  
⇔ ⇔ ⇔  
= = =    
cos 4 0
cos 6 0
x
x
=
⇔ 
=
( )
2
2
2cos 2 1 0
cos 2 4cos 2 3 0
x
x x

− =
⇔ 
− =
2
2
1cos 2 2
3cos 2
4
x
x

=

⇔ ⇒
 =

 Vô lý 2 21 tan 3 tan 2 0x x⇒ − ≠ 
Khi đó ( ) ( ) tan 3 tan 2 tan 3 tan 21 3 tan 5 tan . tan 51 tan 3 . tan 2 1 tan 3 tan 2
x x x xx x x
x x x x
− +⇔ ⇔ = ⋅ =
+ −
( )( ) ( )2tan 5 0 tan 5 0 tan 5 0 5tan 1 cos 2 0
x x kx x k
x x
= =  pi⇔ ⇔ → = ⇒ = ∈ 
= ⇒ = 

 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
240 
Bài 17. Giải phương trình: 
2 2 21 1 1tan . tan 2 tan 2 . tan 4 tan 4 tan8 tan8 2
2 4 4
x x x x x x x+ + = −
Giải 
Điều kiện: cos cos 2 cos 4 cos8 0x x x x ≠ . 
Ta có 
cot 2cot 2 tana a a− = ⇒ 21 2 tan tan 2 2 tan tan tan 2
tan tan 2 a a a a aa a− = ⇔ − = 
Khi đó: ( ) ( ) ( )1 1 1tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 22 4 4x x x x x x x− + − + − = − 
( )tan 1 4x x k k
pi⇔ = ⇔ = + pi ∈ thỏa mãn điều kiện. 
Bài 18. Giải phương trình: 2 2 2 2tan 4 tan 2 16 tan 4 64cot 8 41x x x x+ + = + (1) 
Giải 
Điều kiện: sin 8 0x ≠ . 
Xét đẳng thức cot 2cot 2 tana a a− = . Đạo hàm 2 vế của đẳng thức này ta có 
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2
1 4 1 1 cot 4 1 cot 2 1 tan
sin sin 2 cos
a a a
a a a
− + = ⇔ − − + + = + 
2 2 24cot 2 cot tan 2a a a⇔ − = − . Sử dụng đẳng thức này ta có 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64cot 8 1x x x x⇔ − + − + − = − 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 24cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1x x x x x x x⇔ − + − + − = −
( )2cot 1 cot 1 4 2
kx x x kpi pi⇔ = ⇔ = ± ⇔ = + ∈ 
Bài 19. Giải phương trình: 
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + = 
Giải 
Điều kiện: cos 27 0x ≠ . 
Ta có công thức 
2
2 2
2
8sin cos 2tan 3 tan
cos 3
a aa a
a
− = . Biến đổi phương trình ta có 
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18 0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + = 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0x x x x x x⇔ − + − + − = 
2 2tan 27 tanx x⇔ = ( )27 26 28
k kx x k x x kpi pi⇒ = ± + pi ⇔ = ∨ = ∈ 
www.VNMATH.com
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng 
241 
www.VNMATH.com