Ôn thi Toán 12: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
23 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong mặt phẳng 
1
2
2 2
1 2 1 2
Véc e
Véc e
e e 1 ;e e 0
x Ox y Oy
x Ox
y Oy
′ ′⊥

′∈

′∈

 = = ⋅ =








 

 

 


 t¬ ®¬n vÞ
 t¬ ®¬n vÞ
II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM 
1. ( ),M x y ⇔ ( ),OM x y



 ⇔ 1 2e eOM x y= ⋅ + ⋅




 

 


2. Tọa độ các điểm đặc biệt 
Cho 
( )
( )
( )
1 1
2 2
3 3
,
,
,
A x y
B x y
C x y





 ⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: 1 2 1 2,
2 2
x x y y
I
+ + 
 
 
Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k
JB
=





 ⇔ Tọa độ: 1 2 1 2,
1 1
x kx y ky
J k k
− − 
 
− − 
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3,3 3
x x x y y y
G
+ + + + 
 
 
III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 
1. ĐN: 
( )
( )
1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2
, e e
, e e
a a a a a a
b b b b b b
 = ⇔ = +


 = ⇔ = +


 

 


 

  . Nếu 
( )
( )
1 1
2 2
,
,
A x y
B x y




 thì ( )2 1 2 1,AB x x y y= − −




. 
2. Phép toán: ( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2, ; ,a b a b a b a b a b a b± = ± ± α ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅
  
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI 
1. ( )cos ,a b a b a b⋅ = ⋅     
2. 1 1 2 2a b a b a b⋅ = +

3. 2 2 2 21 2 1 2;a a a b b b= + = +

7. a b a b+ ≤ +
  
 8. a b a b− ≤ +
  
9. a b a b+ ≥ −
  
 10. a b a b− ≥ −
  
11. a b a b⋅ ≤ ⋅
  
y 
x 
1e


2e


O 
M 
P 
Q 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
24 
4. ( ) ( )2 21 1 2 2a b a b a b+ = + + + 
5. ( ) ( )2 21 1 2 2a b a b a b− = − + − 
6. ( ) ( )2 22 1 2 1AB x x y y= − + −


 
12. ( ) 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ,
a b a b
a b
a a b b
+
=
+ +

; 
13. ( ) 1 2 2 1
2 2 2 2
1 2 1 2
sin ,
a b a b
a b
a a b b
−
=
+ +

V. SỰ THẲNG HÀNG 
( ) 1 2 1 2 2 1
1 2
det ,
a a
a b a b a b
b b
= = −

 ; ( ) 1 2 2 1// det , 0a b a b a b a b⇔ = − =   
A, M, B thẳng hàng ⇔ ( )det , 0AB AM =


 



 
VI. DIỆN TÍCH TAM GIÁC 
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, ; , ; ,A x y B x y C x y ( ) 2 1 2 1
3 1 3 1
1 1det ,
2 2ABC
x x y y
S AB AC
x x y y∆
− −
= =
− −



 



VII. BÀI TẬP MẪU MINH HỌA 
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( ) ( )3; 1 ; 1;2 ; 5;5A B C− . 
 Tìm tọa độ điểm D sao cho: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



. 
Giải 
Cách 1: Đặt D(x; y) suy ra: ( ) ( ) ( )3; 1 ; 2;3 ; 2;6AD x y AB AC= − + = − =


 


 


 
Ta có: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



 ⇔ 
3 8 6 11
1 12 18 7
x x
y y
− = − − = − 
⇔ 
+ = − = − 
Vậy tọa độ điểm D là (−11; −7) 
Cách 2: 4. 3.AD AB AC= −



 


 



 ⇔ ( )3 3AD AB AB AC BD BC− = − ⇔ = − ⋅


 


 


 


 


 


 
Do ( )4;3BC =


 nên ( )12; 9BD = − −


 suy ra tọa độ điểm D là D(−11; −7) 
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( ) ( )3; 4 ; 1; 2 ; 4; 1A B I− − . Xác định tọa 
độ các điểm C, D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành và I là trung điểm 
cạnh CD. Tìm tọa độ tâm O của hình bình hành ABCD. 
Giải 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
25 
Cách 1: Do I(4; −1) là trung điểm CD nên đặt ( )4 ; 1C x y− − − và 
( )4 ; 1D x y+ − + ⇒ ( )2 ; 2CD x y=


 . 
Để tứ giác ABCD là hình binh hành thì ( )4; 2CD BA= =


 


 ⇔ 2; 1x y= = . 
Vậy tọa độ các điểm C, D là ( ) ( )2; 2 ; 6;0C D− 
Tâm O của hình bình hành là trung điểm của AD suy ra 9 ; 2
2
O   
 
Cách 2: Gọi ( );C x y , khi đó ( )1 2; 1
2
IC AB= = − −


 



. Vậy ( ) ( )2; 2 ; 6;0C D− 
Cách 3: Lập phương trình đường thẳng AB. 
Qua I dựng đường thẳng (d) song song với (AB). 
Khi đó C và D là 2 điểm nằm trên đường thẳng (d) thỏa mãn 1
2
IC ID AB= = . 
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( ) ( )3;1 ; 1; 3A B − . Xác định tọa độ các 
điểm C, G sao cho điểm G là trọng tâm tam giác ABC. Biết C nằm trên đường 
thẳng 2x = và G cách trục hoành 1 đơn vị. 
Giải 
Cách 1: Điểm C nằm trên đường thẳng 2x = nên có tọa độ (2; y) 
Điểm G cách trục hoành 1 đơn vị nên có tọa độ (x; 1) 
Điểm G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: 
( )
3 1 2 33 2
3 51 3 3
A B C G
A B C G
xx x x x x
y y y y yy
+ + =+ + = = 
⇔ ⇔  
+ + = =+ − + =  
Vậy tọa độ các điểm C và G là: ( ) ( )2;5 ; 2;1C G 
Cách 2: Trung điểm M của AB có tọa độ ( )2; 1M − nên M cũng thuộc đường 
thẳng 2x = . Trọng tâm G nằm trên trung tuyến CM do đó có hoành độ là 2. 
Vậy G(2; 1) suy ra C(2; 5) 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
26 
Bài 4. Cho ∆ABC với ( ) ( ) ( )1, 3 ; 3, 5 ; 2, 2A B C− − − . Tìm tọa độ của M, N là giao 
của các đường phân giác trong và ngoài của góc A với đường thẳng BC. 
Xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC. 
Giải 
AM là phân giác trong của tam giác ABC suy ra: 
2 2 2
2
MB AB
ACMC
= − = − = −



 ⇔ 
( )( ) ( )5 2 23 2.2 7M ; M ; 31 2 1 2 3− + −+ ⇔ −+ + 
AN là phân giác ngoài của tam giác ABC suy ra: 
 2NB AB
ACNC
= =



 ⇔ 
( )( ) ( )5 2 23 2.2N ; N 1;11 2 1 2− − −− ⇔− − 
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC suy ra BI là phân giác trong ∆ABM 
2 2 3
2 5103
IA BA
BMIM
= − = − = −



 ⇔ 
( )
( )
3 7 31 3 335 5I ; I 4 5; 33 31 1
5 5
 + ⋅ − + −
 
⇔ − − 
 + + 
 
Bài 5. Cho ( ) ( ) ( )6,3 ; 3, 6 ; 1, 2A B C− − 
 a. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp I. 
 b. CMR: H, G, I thẳng hàng. 
Giải 
a. Tọa độ trọng tâm G: 74 ;3 3 3 3
A B C A B C
G G
x x x y y y
x y
+ + + +
= = = = ⇒ ( )74G ;3 3 
i H là trực tâm ∆ABC nên ta có: 
( ) ( )
( ) ( )
4 6 8 3 0 2. 0
15 3 5 6 0
. 0
H H H
HH H
x y xAH BC AH BC
yx yBH AC BH AC
   − − − = =⊥ =    
⇔ ⇔ ⇔   
=
− + − − =   ⊥ =  

 
 
 


 
 
 
 ⇔ ( )H 2;1 
i I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC nên: IA IB IC= = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 26 3 3 6 1 2I I I I I Ix y x y x y− + − = + + − = − + + 
⇔ 12 6 45 6 12 45 2 4 5I I I I I Ix y x y x y− − + = − + = − + + 1; 3I Ix y⇔ = = ⇔ ( )I 1;3 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
27 
b. Phương trình đường thẳng IH là: 12 2 5 0
1 2 3 1
yx x y−− = ⇔ + − =
− −
Ta có: 8 72 5 5 03 3G Gx y+ − = + − = suy ra G ∈ (IH) suy ra G, H, I thẳng hàng. 
Bài 6. Cho ∆ABC với ( ) ( ) ( )3; 4 ; 2;1 ; 1; 2A B C − − . 
a. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
b. Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao cho diện tích 13ABM ABCS S∆ ∆= 
Giải 
a. Điểm I là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇔ IA IB IC= = 2 2 2IA IB IC⇔ = = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 23 4 2 1 1 2I I I I I Ix y x y x y− + − = − + − = − − + − − 
⇔ 6 8 25 4 2 5 2 4 5I I I I I Ix y x y x y− − + = − − + = + + 5; 5I Ix y⇔ = − = ⇔ ( )I 5;5− 
b. Do hai tam giác ABM và ABC có cùng đường cao nên để 13ABM ABCS S∆ ∆= 
thì 3.BC BM= . Gọi ( );M x y suy ra ( )2; 1BM x y= − −



 ; ( )3; 3BC = − −


 
Ta có: 3.BC BM= ⇔ 13BM BC= ± ⋅




 



 ⇔ 
1; 0
2 1 1
3; 2
x y
x y
x y
= =
− = − = ± ⇔ 
= =
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là ( ) ( )1 21;0 , 3;2M M . 
Bài 7. Cho ( ) ( )3; 4 , 1; 2A B − . Xác định tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho 
tam giác ABM vuông. 
Giải 
Gọi tọa độ điểm M là ( );0M x suy ra ( ) ( )3; 4 , 1;2AM x BM x= − − = −



 



 
Để ∆ABM vuông tại M thì ( ) ( )0 3 1 8 0AM BM x x⋅ = ⇔ − − − =



 



 
( ) ( )2 4 5 0 5 1 0 5 1x x x x x x⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ = ∨ = − . 
Để ∆ABM vuông tại A thì ( )0 2 3 24 0 15AM BA x x⋅ = ⇔ − − = ⇔ =



 


 . 
Để ∆ABM vuông tại B thì ( )0 2 1 12 0 5BM BA x x⋅ = ⇔ − + = ⇔ = −



 


 . 
Vậy có 4 điểm M trên trục hoành thỏa mãn ∆ABM vuông là 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 25;0 , 1;0 , 15;0 , 5;0M M M M− − 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
28 
Bài 8. Cho A(1; 0), B(0; 3), C(−3; −5). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 1 
trong các điều kiện sau: 
a. ( ) ( )2 3 2 0MA MB MA MB− − =
 
 
 
 b. ( ) ( ) 22 3MA MB MA MB MC BC− + + =
 
 
 
 
 
c. 2 2 3 .MB MC MB MC+ =

 

 d. 2 2 22 2MA MB MC+ = 
Giải 
Gọi M ( );x y suy ra ( ) ( ) ( )1 ; , ;3 , 3 ; 5MA x y MB x y MC x y− − − − − − − −
 
 
 
a. ( )2 3 2 ; 9MA MB x y− = + −
 
 và ( )2 1; 6MA MB x y− = + −
 
 
( ) ( )2 3 2 0MA MB MA MB− − =
 
 
 
 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 1 9 6 0x x y y+ + + − − = 
⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 223 15 31 02 2 2 2x y+ − + − − = ⇔ ( ) ( )
22 2 103 15
2 2 2
x y
 
+ + − =  
 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )3 15;2 2− bán kính 102 
b. ( )2 3 ; 2 3MA MB MC x y+ + = − − − −
 
 
 
( ) ( ) 22 3MA MB MA MB MC BC− + + =
 
 
 
 
 ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 9 2 3 73x x y y+ − − + − − − = 
⇔ ( ) ( ) 22 25 85743 3 733 6 12x y− + − − + = ( ) ( )22 25 194 03 6 36x y⇔ + + − + = 
Phương trình trên vô nghiệm nên không có điểm M nào thỏa mãn yêu cầu. 
c. 2 2 3 .MB MC MB MC+ =

 

 ⇔ ( ) 2 2. .MB MC MB MC BC MB MC− = ⇔ =
 
 
 
 
 
 
⇔ ( ) ( ) ( )3 3 5 73x x y y− − − + − − − = ⇔ ( ) ( )2 23 36512 4x y+ + + = 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )3 ; 12− − bán kính 3652 
d. 2 2 22 2MA MB MC+ = ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )2 22 22 22 1 3 2 3 5x y x y x y    − + + + − = + + +      
⇔ ( ) ( )222 2 16 26 57 0 8 13 290x y x y x y+ − − − = ⇔ − + − = 
Vậy quĩ tích điểm M là đường tròn tâm ( )8;13 bán kính 290 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
29 
Bài 9. Giả sử ( ) ( )1,3 ; 2,0M N− chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. 
 Tìm tọa độ A, B. 
Giải 
Gọi tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 
Cách 1: Ta có: AM MN NB= = hay M là trung điểm AN, N là trung điểm MB 
1 1
2 1
2 4 ; 2 6
2 5 ; 2 3
M N M N
N M N M
x x x y y y
x x x y y y
= − = − = − =
⇒ 
= − = = − = −
. 
Vậy tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )4;6 , 5; 3A B− − . 
Cách 2: Ta có: AM MN NB= =




 



 



1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 ( 1) 2 4 ; 5
3 0 3 0 6 ; 3
x x x x
y y y y
− − = − − = − = − = 
⇔ ⇔ 
− = − = − = = −  
Vậy tọa độ các điểm A, B là ( ) ( )4;6 , 5; 3A B− − . 
Bài 10. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi M là điểm bất kì trên đường tròn ngoại 
tiếp hoặc nội tiếp của ∆ABC. Chứng minh rằng: 2 2 2MA MB MC const+ + = 
Giải 
Xét ( ) ( ) ( )2MB MC MA AB MA AC MA AB AC MA AB AC⋅ = + + = + ⋅ + +


 



 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 
( )2 2 cos 60 2MB MC MA a MA AM MB MC⇔ ⋅ = + ° + + +


 



 


 



 


 



 
( )22
2
aMB MC MA MA MB MC⇔ ⋅ = − + + +



 



 


 


 




. Tương tự ta có: 
( ) ( )2 22 2;
2 2
a aMC MA MB MB MC MA MA MB MC MC MA MB⋅ = − + + + ⋅ = − + + +




 


 


 



 


 


 


 



 


 



Cộng các vế của 3 đẳng thức trên ta được: 
2
2 2 2 3
2
aMB MC MC MA MA MB MA MB MC⋅ + ⋅ + ⋅ = + + −



 



 



 


 


 



( ) 22 2 2 2 2 2 2 32
2
aMB MC MA MA MB MC MA MB MC
 
⇔ + + = + + + + + − 
 



 



 



( ) ( )2 2 2 2 23 3 3MO MA MB MC a⇔ ⋅ = + + −



 (với O là trọng tâm tam giác ABC) 
2 2 2 2 23MA MB MC MO a⇔ + + = + . 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
30 
Ta có tam giác ABC đều suy ra O cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp, do đó 
MO chính là bán kính và 
3
aMO = . Vậy ta có: 
2
2 2 2 2 23 2
3
aMA MB MC a a+ + = ⋅ + = = const (đpcm) 
Bài 11. Cho ( ) ( ) ( )2, 3 ; 3,7 ; 5,4A B C− − − . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các 
đoạn AB, BC, CA theo các tỉ số: 3
2
−
, 
1
2
,
4
3
−
. Chứng minh rằng: 
 M, N, P thẳng hàng và M chia đoạn NP theo tỉ số 7
3
−
. 
Giải 
Cách 1: Ta có: ( ) ( ) ( )5;10 ; 2; 3 ; 7; 7AB BC CA= − = − − = −


 


 


 
3 1 4
; ;
2 2 3
MA NB PC
MB NC PA
= − = = −



 


 






 


 



3 4
; ;
5 7
AM AB BN BC CP CA⇔ = ⋅ = − = ⋅




 


 


 


 


 



( ) ( ) ( )3;6 ; 2;3 ; 4; 4AM BN CP⇔ = − = = −



 


 


 
( ) ( ) ( )1;3 ; 1;10 ; 1;0M N P⇔ − − − 
Vậy M, N, P cùng thuộc đường thẳng 1x = − . 
Ta có: ( ) ( )0;7 ; 0; 3MN MP= = −



 


 
7
3
MN
MP
−
⇒ =








 (đpcm) 
Cách 2: Ta có: 3 1 4; ;
2 2 3
MA NB PC
MB NC PA
= = = 
Gọi N1 là giao điểm của MP và BC. 
Ta có: 1
1
4
3
MN C MPC
MN A MPA
S S PC
S S PA
= = = và 1
1 1
1
3 2
2
AMN
MN C BMN
BMN
S AM S S
S MB
= = ⇒ = ⋅ 
1
1 1
1
12.
2
N B NBCN BN
N C NC
⇒ = ⇔ = = ⇒ 1N N≡ . Vậy M, N, P thẳng hang (đpcm). 
C 
M 
B 
A 
N1 
P 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
31 
Bài 12. Cho tứ giác ABCD có A(0; 1), B(−2; −1), C(−1;−4), D(1; 0) 
a. Chứng minh rằng: Các tam giác ABD và BCD là những tam giác vuông 
b. Tính diện tích tứ giác ABCD. 
c. Tìm M trên Oy để diện tích ∆MBD và diện tích ∆BCD bằng nhau. 
Giải 
a. Ta có ( ) ( )2; 2 , 1; 1 0AB AD AB AD= − − = − ⇒ ⋅ =
 
 
 
 ⇒ AB ⊥ AD 
 ( ) ( )1; 3 , 3;1 0BC BD BC BD= − = ⇒ ⋅ =
 
 
 
 ⇒ BC ⊥ BD 
Vậy ∆ABD vuông tại A và ∆BCD vuông tại B (đpcm) 
b. 1 12 ; 5
2 2ABD BCD
S AB AD S BC BD= ⋅ = = ⋅ = ⇒ 7ABCD ABD BCDS S S= + = 
c. Gọi ( )M 0; Oy y∈ . Sử dụng công thức ( )22 212MBDS MB MD MB MD= − ⋅

 

suy ra để MBD BCDS S= thì ( )22 2 10MB MD MB MD− ⋅ =

 

( ) ( ) ( ) 22 24 1 1 2 1 10y y y y   ⇔ + + + − − + + =    
( ) ( ) ( )22 2 22 5 1 2 100y y y y y⇔ + + + − + − = ⇔ 29 6 99 0y y+ − = 
⇔ ( ) ( )3 3 3 11 0y y− + = ⇔ 113 3y y
−
= ∨ = 
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn là ( )M 0;3 hoặc ( )11M 0; 3− 
Bài 13. Cho ( ) ( ) ( )1, 3 ; 3,1 ; 4;6A B C− − . Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số (−1) 
và N là điểm chia AC tỉ số 4. Tìm I BN CM= ∩ 
Giải 
Ta có: 1; 4MA NA
MB NC
= − =



 






 


 
( )
( )
( )
( )
2; 2 1; 12
5;93 1;3
AM MAB AM
NAC CN CN
 = − − −= ⋅  
⇔ ⇔ ⇔  
  = ⋅ =  







 







 


 


 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
32 
Cách 1: Ta có: ( ) ( )8;8 , 5; 7BN CM= = − −


 



 . Gọi tọa độ điểm I là ( )0 0,x y suy ra: 
0 0 00 0 0 0
0 0 0
1 3 9// 3 1 4 6
;
8 8 5 7 5 30 7 28 13//
y x xBI BN x y x y
y x yCI CM

− = + = + − − −  
⇔ = = ⇔ ⇔  
− −
− = − =   


 





 



 
Vậy tọa độ điểm I là ( )9;13I . 
Cách 2: PT đường thẳng BN là (BN): ( )9 11 3 4
5 ( 3)y x y x
−
− = + ⇔ = +
− −
. 
PT đường thẳng CM là (CM): ( )1 6 7 26 4
1 4 5 5
y x y x− −− = − ⇔ = +
− −
. 
I BN CM= ∩ nên tọa độ I là nghiệm của hệ 
7 2 9
5 5
134
xy x
yy x

== +  
⇔ 
= 
= +
Cách 3: Ta có: 1
3
BCN
BCA
S CN
S CA
= = . Mặt khác: 
3.
CNI CAI CBI CNI CNB
CNB CAB CAB BCN
S S S S S
S S S S
+
= = = 
Suy ra: 2. 2CNB CNI
BNS S
NI
= ⇒ = 
3 39 ; 13
2 2
N B N B
I I
x x y y
x y
− −
⇒ = = = = 
Vậy tọa độ điểm I là ( )9;13I . 
Bài 14. Chứng minh rằng: 2 22 5 2 5 2 5a a a a− + + + + ≥ (1) 
Giải 
Cách 1: (1) ⇔ 2 2 2 2( 1) 2 ( 1) 2 2 5a a− + + + + ≥ 
Đặt ( ) ( )1 ; 2 , 1;2a a b a= − = +

 ⇒ ( )2;4a b+ =

 
Ta có: 2 2 2 2 2 2( 1) 2 ( 1) 2 2 4 2 5a a a b a b− + + + + = + ≥ + = + =
   
 (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra 1 1 0a b a a a⇔ ↑↑ ⇔ − = + ⇔ =  . 
C 
M 
B 
A N 
I 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
33 
Cách 2: ( ) ( )2 2 2 242 5 2 5 2 2 5 2 5a a a a a a a a− + + + + ≥ ⋅ − + + + 
42 2 2 4 2 442 ( 5) 4 2 6 25 2 25 2 5a a a a= ⋅ + − = ⋅ + + ≥ ⋅ = (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra 
2 22 5 2 5
0
0
a a a a
a
a

− + = + +
⇔ ⇔ =
 =
. 
Bài 15. Giải phương trình: 2 3(4 ) 2 7 2 85 57 13x x x x x x− − + − = − + − (1) 
Giải 
Ta có: (1) ⇔ ( ) ( )2(4 ) 2 7 2 5 8 17x x x x x x− − + − = − − + 
( ) ( )2(4 ) 2 7 2 5 4 1x x x x x ⇔ − − + − = − − +  (ĐK: 722;x  ∈   ) 
Xét ( ) ( )4 ;1 , 2; 7 2a x b x x= − = − −

 ⇒ ( )4 2 7 2a b x x x⋅ = − − + −

 
và ( ) ( ) ( )24 1; 2 7 2 5a x b x x x= − + = − + − = −

 

Khi đó (1) ⇔ a b a b⋅ = ⋅

 
 
 

 ⇔ ( )cos 1a b⋅ =
 
 ⇔ 4 1
2 7 2
x
x x
−
=
− −
( ) ( )2 3 24 7 2 2 2 23 89 114 0x x x x x x⇔ − − = − ⇔ − + − + = 
( ) ( )23 2 17 38 0x x x⇔ − − + = . Do 722;x  ∈   nên 22 17 38 0x x− + > . 
Vậy phương trình có nghiệm 3x = . 
Bài 16. CMR: 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + + , , ,x y z∀ ∈ 
Giải 
Ta có: ( ) 222 2 32 2xx xy y y x + + = + +    ; ( )
22
2 2 3
2 2
zy yz z y z
 
+ + = + +  
 
Xét ( )3 3; , ;2 2 2 2x za y x b y z   = + = − +      

 ⇒ ( )3;2 2x za b x z −+ = +  

 
⇒ 
( ) ( )2 2 2 23
4 4
x z x z
a b z zx x− ++ = + = + +



. 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
34 
Do a b a b+ ≥ +

 
 
 

 nên 2 2 2 2 2 2x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + + (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra ⇔ a b↑↑  ⇔ 0x z= = hoặc 
2 2 2
2 2
y x y xx x
z y z z y
+ − −
= − ⇔ =
+
 0y y x xy yz zx
y z y
− − −
⇔ = ⇔ + + =
+
. 
Hay là ( )0 , 1
1
k
x z x kz y z k
k
−
= = ∨ = = ≠ −
+
Cách 2: Trong 3 số , ,x y z có ít nhất 
2 số cùng dấu, giả sử là x và y . 
Lấy các điểm O, A, B, C1, C2 sao cho 
1 2, ,OA x OB y OC OC z= = = = và 
   
1 1 2 2120 ; 60BOC C OA AOC C OB= = ° = = ° . 
Ta có: 2 2 2 2 cos120AB x y xy= + − ° 
2 2AB x y xy⇔ = + + . Tương tự suy ra: 
2 2 2 2
1 1,BC y z yz C A z x zx= + + = + + 
và 2 2 2 22 2,BC y z yz C A z x zx= + − = + − . 
Nếu z cùng dấu với ,x y thì sử dụng 1 1AB BC C A+ ≥ suy ra (đpcm) 
Nếu z cùng dấu với ,x y thì sử dụng 2 2AB BC C A+ ≥ suy ra (đpcm) 
Dấu bằng xảy ra ⇔ Trong 3 điểm A,B,C có ít nhất 2 điểm trùng O 
 ⇔ 2 trong 3 số , ,x y z có ít nhất 2 số bằng 0. 
Trong trường hợp ,x z cùng dấu và khác dấu với y thì dấu bằng xảy ra khi độ 
dài đường là phân giác từ đỉnh O của tam giác OAC chính là OB 
A 
O 
C1 
B 
|x| 
|y| 
|z| 
C2 
www.VNMATH.com
 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng 
35 
VIII. BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 
Dạng 1: Xác định tọa độ của 1 điểm 
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( )1, 2 ; 0, 4 ; 3, 2A B C− . Tìm D với: 
 a. 2 3CD AB AC= −



 


 



 b. 2 4 0AD BD CD+ − =



 


 


 
Bài 2. Cho ( ) ( ) ( )1, 2 ; 2,1 ; 3,5A B C− − . Tìm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
Bài 3. Cho A(1, −2). Tìm trên Ox điểm M để đường trung trực của AM đi qua gốc O 
Bài 4. Cho ( ) ( )1, 3 ; 3,3A B− − . Tìm M, N để chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau 
Bài 5. Giả sử ( ) ( )1, 2 ; 0, 4M N chia AB thành 3 đoạn có độ dài bằng nhau. 
 Tìm tọa độ A, B. 
Bài 6. Cho ( ) ( ) ( )2, 6 ; 10,6 ; 11,0A B C− − − . Gọi M là điểm chia AB theo tỉ số 
(−3) và N là điểm chia AC tỉ số (−2). Tìm I BN CM= ∩ 
Bài 7. Cho ( ) ( ) ( )1, 1 ; 2,4 ; 6,1A B C− − . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia các đoạn 
AB, BC, CA theo các tỉ số: −1, 2, 12
−
. Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng. 
Bài 8. Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm 
đường tròn nội tiếp I. 
 a. ( ) ( ) ( )6, 2 ; 4,7 ; 0, 1A B C− − 
 b. ( ) ( ) ( )2, 4 ; 5,5 ; 6, 2A B C− − 
 c. ( ) ( ) ( )3, 2 ; 6,3 ; 8, 1A B C − 
Bài 9. Cho ∆ABC cân tại A. Gọi D là trung điểm AB; E là trọng tâm ∆ACD; I 
là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD. CMR : IE CD⊥ 
Bài 10. Cho ∆ABC đều nội tiếp trong đường tròn (I, R). Gọi M là điểm bất kì 
trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. CMR: 4 4 4MA MB MC const+ + = 
www.VNMATH.com
Phần 2. Hình giải tích − Trần Phương 
36 
Dạng 2: Sự thẳng hàng 
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( ) ( )2; 2 , 4; 1 , 7;5 , 5;1A B C E− − . 
a. Chứng minh rằng: B, C, E thẳng hàng 
b. Tìm tọa độ điểm D trên Oy sao cho ABCD là hình thang đáy AB, CD 
Bài 2. Cho A(−3, 12); B(2, −4); C(5, −4); D(5, 5). Tìm AC BD∩ . 
Bài 3. Cho A(1, 3); B(5, −5). Tìm M ∈ Ox để ( ) MinMA MB+ . 
Bài 4. Cho A(1, 2); B(3, 4). Tìm M ∈ Ox để ( ) MinMA MB+ . 
Bài 5. Cho ( ) ( )1;6 , 3; 4A B − − . Tìm M∈(∆): 2 1 0x y− − = để ( ) MinMA MB+ 
Bài 6. Cho ( ) ( )1 1 2 2, ; ,A x y B x y . Tìm M∈(∆): 0ax by c+ + = để ( ) MinMA MB+ 
Bài 7. Chứng minh rằng: 2 22 2 6 10 2 2a a a a− + + − + ≥ 
Bài 8. Cho 3 7 0a b− + = . CMR: 2 2 2 22 12 37 6 6 18 5a b a b a b a b+ − − + + + + − + ≥ 
Bài 9. Chứng minh rằng: 2 22 5 12 136 13a a a a− + + − + + ≥ 
Bài 10. Cho a, b, c > 0 và ab bc ca abc+ + = . Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 22 2 2 3a b b c c a
ab bc ca
+ + ++ + ≥ 
Bài 11. Cho ( ) :2 1 0x y∆ − − = và 5 điểm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10, 1 ; 2,3 ; ,0 ; 1,6 ; 3, 42A B C E F− − − 
 a. Tìm D ∈ (∆) sao cho (A, B, C, D) là hàng điểm điều hòa. 
 b. Tìm M(x, y) ∈(∆) sao cho: EM FM+




 




 là nhỏ nhất. 
www.VNMATH.com