Ôn thi Toán 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Phương pháp tọa độ trong không gian 
79 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian 
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
e ; e ; e
e e e 1
e e e e e e 0
x Ox y Oy z Oz x Ox
x Ox y Oy z Oz
′ ′ ′ ′⊥ ⊥ ⊥

 ′ ′ ′∈ ∈ ∈


 = = =


⋅ = ⋅ = ⋅ =


 

 




 

 




 

 

 

 

 


II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM 
1. ( ), ,M x y z ⇔ ( ) 1 2 3, , e e eOM x y z OM x y z⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅




 



 

 

 


2. Tọa độ các điểm đặc biệt 
Cho 
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
, ,
, ,
A x y z
B x y z
C x y z





 ⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: 1 2 1 2 1 2I , ,
2 2 2
x x y y z z+ + + 
 
 
Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k
JB
=





 ⇔ 1 2 1 2 1 2, ,1 1 1
x kx y ky z kz
J k k k
− − − 
 
− − − 
Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,3 3 3
x x x y y y z z z
G
+ + + + + + 
 
 
III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 
1. Định nghĩa: 
( )
( )
1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , e e e
, , e e e
a a a a a a a a
b b b b b b b b
 = ⇔ = + +


 = ⇔ = + +


 

 


 


 

 

 
. 
Nếu 
( )
( )
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
A x y z
B x y z




 thì ( )2 1 2 1 2 1, ,AB x x y y z z= − − −




. 
2. Phép toán: ( )1 1 2 2 3 3, , ; a b a b a b a b± = ± ± ±


( )1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a bα ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅


1e


z 
y 
 2e


3e


O 
x 
L 
M 
M’ 
K 
H 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
80 
IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI 
1. ( )cos ,a b a b a b⋅ = ⋅     ; 2. 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + +

 ; 
3. 1 1 2 2 3 30 0a b a b a b a b a b⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =

 


 

4. 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3;a a a a b b b b= + + = + +


 ; 
5. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3a b a b a b a b+ = + + + + +


6. ( ) ( ) ( )2 2 21 1 2 2 3 3a b a b a b a b− = − + − + −


 ; 
7. ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 2 1AB x x y y z z= − + − + −




8. ( ) 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +


 ; 
9. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
− + − + −
=
+ + + +


V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ: ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3, , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c= = =

 
1. Định nghĩa: [ ] 2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
a b p
b b b b b b
 
⋅ = =  
 

 
2. Tính chất: a p b⊥ ⊥

 
; a

 cùng phương b

 [ ] 0a b⇔ ⋅ =  
[ ] ( )2 2 22 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
sin ,
a a a a a a
a b a b a b
b b b b b b
⋅ = + + = ⋅
  
  
 , ,a b c



 

 đồng phẳng ⇔ [ ] 0a b c⋅ ⋅ =  
VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH: 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4, , ; , , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z D x y z 
( ) 22 21 1, .2 2ABCS AB AC AB AC AB AC∆  = = − ⋅ 



 


 


 



 ; 
1
,6ABCDV AB AC AD
 = ⋅ 



 


 



 ; 
,ADV AB AD AA′   ′= ⋅ hép



 


 



www.VNMATH.com
Phương pháp tọa độ trong không gian 
81 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho ( ) ( ) ( )3; 4; 1 ; 2;0;3 ; 3;5; 4A B C− − . Tìm độ dài các cạnh của ∆ABC. 
Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích ∆ABC. 
Bài 2. Cho ( ) ( ) ( )2;1; 1 , 3;0;1 , 2; 1;3A B C− − và OD y∈ . Biết thể tích V của 
ABCD là 5. Tìm tọa độ D. 
Bài 3. Cho ∆ABC với ( ) ( ) ( )1;2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5A B C− − − . Tính độ dài đường 
phân giác trong góc B. 
Bài 4. Cho ( ) ( ) ( )2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4a b c= = = −

 
 . CMR: , ,a b c

 
 không đồng phẳng. 
Cho ( )4;12; 3d = −
 . Hãy phân tích vectơ d
 theo 3 vectơ , ,a b c

 
 . 
Bài 5. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1;0;1 , 1;1;2 , 1;1;0 , 2; 1; 2A B C D− − − − . CMR: A, B, C, D là 4 
đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. 
Tính ABCDV , suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện. 
Bài 6. Cho ( ) ( ) ( )1;2; 4 , 2; 1;0 , 2;3; 1A B C− − − . Gọi M ( ), ,x y z ∈ (ABC). Tìm hệ 
thức liên hệ giữa , ,x y z . 
Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính ABCDS . 
Bài 7. Cho ( ) ( ) ( )1;0;1 , 2;1;3 , 1;4;0A B C− . Gọi M ( ), ,x y z ∈ (ABC). 
Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,x y z . Tìm trực tâm H của ∆ABC. 
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) ( ) ( );2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1;0 , 0; 1;2A B C D− − , 
đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH. 
Bài 9. Cho ( ) ( ) ( )2; 2; 2 , 0;3 2;3 2 , 2;3 2; 3 2A B C− − + − + . 
CMR ∆ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông. 
Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO. 
Bài 10. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1;1;1 , 4;1;5 , 4;6;5 , 1;6;1A B C D . Xác định hình dạng của tứ 
giác ABCD. Tính khoảng cách từ O đến (ABC) 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
82 
Bài 11. Cho ( ) ( ) ( ) ( )1; 2;3 , 1;0;2 , 1;2; 4 , 0;5;0A B C D− − − . 
CMR: ABCD là hình tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD. 
Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD. 
Bài 12. Cho ( ) ( ) ( )1;2; 4 ,. 1;0; 2 , 1; 2;3A B C− − , ( )0; 4; 2D . 
CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm. 
Tìm tọa độ trực tâm của ABCD. 
Bài 13. Cho hình chóp SABC với ( ) ( ) ( )1;2; 1 , 5;0;3 , 7;2; 2A B C− , 
( ) ,SA ABC S Oyz⊥ ∈ . Tính tọa độ S. 
Xác định tọa độ giao điểm của Ox, Oy với (ABC). 
Bài 14. Cho ( )1;2; 1A − . Tìm B đối xứng với A qua Oxy , C đối xứng với A qua 
trục Oz. Tính ABCS 
Bài 15. Cho ( )156; 8; 2u = − −
 . Tìm a
 biết 50a =
 ; a
 cùng phương u
 và a
 tạo 
với ( )0;0;1k
 một góc nhọn. 
Bài 16. Cho ( ) ( )1; 2; 1 , 4;3;5A B− . Xác định Om x∈ sao cho M cách đều A, B. 
Bài 17. Cho ( ) ( ) ( )1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1A B C− − − − . 
Chứng minh: A, B, C không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm ∆ABC 
Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. 
Bài 18. Cho ( ) ( )4; 1; 2 , 3;5; 1A B− − − . Tìm C biết trung điểm AC thuộc Oy, trung 
điểm BC thuộc Oxz. 
Bài 19. Cho ( ) ( )1; 2;7 , 5; 4; 2A B− − . AB cắt Oxy tại M. Điểm M chia đoạn AB 
theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M. 
Bài 20. Cho ( ) ( )3; 2; 2 , 18; 22; 5a b − −

 . Tìm c
 biết 14, ,c c a c b= ⊥ ⊥ 

 
 
 
 , c
 tạo với 
( )0;0;1k
 một góc tù. 
Bài 21. Cho 0v ≠
 . Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi v
 với , ,Ox Oy Oz . 
Chứng minh rằng: 2 2 2cos cos cos 1α + β + γ = 
www.VNMATH.com