Ôn thi Toán 12: Phương pháp tích phân từng phần

Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
210 
BÀI 8. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
I. CÔNG THỨC TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
Giả sử ( )u u x= ; v = v(x) có đạo hàm liên tục trong miền D, khi đó ta có: 
• ( ) ( )d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu= + ⇔ = + ⇔ = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 ⇒ ( )
b b
b
a
a a
udv uv vdu udv uv vdu= − ⇒ = −∫ ∫ ∫ ∫ 
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu tích phân thường là tích 2 loại hàm số khác nhau 
Ý nghĩa: Đưa 1 tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hơn (trong nhiều 
trường hợp việc sử dụng tích phân từng phần sẽ khử bớt hàm số dưới dấu tích 
phân và cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) 
Chú ý: Cần phải chọn u, dv sao cho du đơn giản và dễ tính được v đồng thời 
tích phân vdu∫ đơn giản hơn tích phân udv∫ 
II. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN CƠ BẢN VÀ CÁCH CHỌN u, dv 
1. Dạng 1: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b
ax b
ax b
ax b
u P x
sin ax b dx
sin ax b dx
cos ax b dx
cos ax b dxP x dve dx
e dx
m dx
m dx
+
+
+
+
 =
 +   + +  + ⇒  =    

∫ (trong đó P(x) là đa thức) 
2. Dạng 2: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )m
m
dv P x dx
arcsin ax b dx
arcsin ax b
arccos ax b dx
arccos ax b
arctg ax b dx
arctg ax bP x
uarc cotg ax b dx
arc cotg ax b
ln ax b dx ln ax b
log ax b dx log ax b
 =
 +   + +  +  +  +⇒  
= +   + +   +  + + 
∫ (trong đó P(x) là đa thức) 
3. Dạng 3: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
ax b ax b
ax b ax b
k
a ax b
a
a
ax bka
sin lnx e sin x dxsin lnx dx e
ucos lnx
ucos lnx dx e cos x dx msin log xx ;
sin log x dx sin x dxm sin x dxcos log x dv
cos log x dx cos x dxm cos x dxdv x dx
+ +
+ +
+
+
   α +β   = 
= α +β    ⇒ ⇒    α +β α +β =   α +β α +β  = 
∫ ∫






www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
211 
III. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 
1. Dạng 1: ( ) ( ) ( ){ }∫ ax+b ax+bP x sin ax + b ;cos ax + b ;e ;m dx 
• ∫
3
1A = x cos x dx . 
Cách làm chậm: Đặt 
3 2
u x du 3x dx
dv cos x dx v sin x
 = = 
⇒ 
= =  
. Khi đó ta có: 
3 2
1A x sin x 3 x sin x dx= − ∫ . Đặt 
2 du 2x dxu x
v cosxdv sin x dx
 == 
⇒ 
= −= 
. Khi đó ta có: 
3 2
1A x sin x 3 x cos x 2 x cos x dx = − − + ∫ . Đặt 
u x du dx
dv cos x dx v sin x
= =  
⇒ 
= =  
. 
( ) ( )3 2 3 21A x sinx 3x cosx 6 xsinx sin xdx x sinx 3x cosx 6 xsin x cosx c= + − − = + − + +∫ 
Cách làm nhanh: Biến đổi về dạng ( ) ( ) ( )∫ ∫P x L x dx = P x du 
( ) ( )3 3 3 3 3 21A x cos x dx x d sin x x sin x sin x d x x sin x 3 x sin x dx= = = − = −∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( )
3 2 3 2 2
3 2 3 2
x sin x 3 x d cos x x sin x 3 x cos x cos x d x
x sin x 3x cos x 6 x cos x dx x sin x 3x cos x 6 x d sin x
 = + = + −
 
= + − = + −
∫ ∫
∫ ∫
( ) ( )3 2 3 2x sin x 3x cosx 6 xsin x sinxdx x sin x 3x cosx 6 xsin x cosx c= + − − = + − + +∫ 
• ( ) ( )3 5 1 3 5 1 5 1 31 1
5 5
x x xx d e x e e d x− − − − = = −
 ∫ ∫ ∫
3 5x 1
2A = x e dx 
( )
( )
( )
3 5x 1 2 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 2 3 5x 1 2 5x 1 5x 1
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 3 5x 1 2 5x 1
5x 1 5x 1
1 1 3
x e 3 x e dx x e x d e
5 5 5
1 3 1 3 6
x e x e e d x x e x e xe dx
5 25 5 25 25
1 3 6 1 3
x e x e x d e x e x e
5 25 125 5 25
6
xe e dx
125
− − − −
− − − − − −
− − − − −
− −
  = − = −    
 = − − = − +
 
= − + = − +
+ −
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
3 5x 1 2 5x 1 5x 1 5x 11 3 6 6
x e x e xe e c
5 25 125 625
− − − − = − + − +
 
Nhận xét: Nếu P(x) có bậc n thì phải n lần sử dụng tích phân từng phần. 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
212 
x 0 pi2/4 
t 0 pi/2 •
2 / 4
∫3
0
A = x sin x dx
pi
. Đặt 2t x t x= ⇒ = ⇒ 
dx 2tdt 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
23 3 3 3 2
03
0 0 0 0
2 2 2 22 222 2 2
0
0 0 0 0
A 2 t sin t dt 2 t d cos t 2t cos t 2 cos td t 6 t cos t dt
3 36 t d sin t 6t sin t 6 sin td t 12 t sin t dt 12 td cos t
2 2
pi pi pi pi
pi
pi pi pi pi
pi
= = − = − + =
pi pi
= = − = − = +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
22 2 22 2
0 0
0
3 3 312t cos t 12 cos t dt 12sin t 12
2 2 2
pi
pi pipi pi pi
= + − = − = −∫ 
• ( )
66 63
3 3
00 0
1 cos 1d cos cos dx
3 3 3
x x
x x x= − = − +∫ ∫ ∫
pi 6
2
4
0
A = x sin x cos xdx
pipi pi
( ) ( )
66 3
2
00
3 1 3 1 sin x 11 31 sin x d sin x sin x
48 3 48 3 3 72 48
pipi  pi pi pi pi
= − + − = − + − = − 
 ∫ 
• ( )∫
1 2 x
5 2
0
x e dxA =
x + 2
. Đặt 
( )
( )2 x x
2
u x e du x x 2 e dx
dx 1dv v
x 2x 2
 = = +
 
⇒ 
= = − 
++
( )
1 1 1 12 x
x x x
5
0 0 0 0
11 1
x x x
0 0
0
x e e eA xe dx xe dx xd e
x 2 3 3
e e e
xe e dx e e 1
3 3 3
= − + = − + = − +
+
= − + − = − + − = −
∫ ∫ ∫
∫
2. Dạng 2: ( ){ }mP x arcsin u;arccos u;arctg u;arc cotg u ; ln u ; log u u ax b dx= +∫ 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 3 31
1 1
1 1ln d ln ln
3 3
e e
e
x x x x x d x
 
= = − 
  
∫ ∫ ∫
e
22
1
1
B = x ln x dx 
( )e e e3 3 3 2 3 3
1 1 1
1 dx 1 1 2
e 2x ln x e 2x ln x dx e ln x d x
3 x 3 3 3
     
= − = − = −     
     
     
∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ee e3 3 3 3e3 3 3 2 31
11 1
e 2 e 2 2 e 2 5e 2
x ln x x d ln x e x dx x
3 9 3 9 9 9 27 27 27
 
= − − = − + = + = − 
  
∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
213 
• ( )
1 21 2 1 2
2 2 2
00 0
1 1 1 1 1ln d ln ln
2 1 2 1 1
x x x
x x x d
x x x
 + + +       
 = = −       
− − − −         
∫ ∫ ∫
1 2
2
0
1+ xB = x ln dx
1 x
 ( )
1 2 1 2 2
2
2
0 0
1 2 1 22
2
0 0
1 2
0
1 1 x dx 1 xln 3 x ln 3 dx
8 1 x 8 1 x1 x
1 1 1 1 2ln 3 1 dx ln 3 1 dx
8 1 x 8 1 x1 x
1 1 ln 3 3 5ln 3 x 2 ln 1 x 2 ln
8 1 x 8 2 6
−  
= − ⋅ ⋅ = −  
+ + 
−
   
= − − = − + −   + +  + 
 
= − − − + = + − 
+ 
∫ ∫
∫ ∫ 
• ( ) ( ) ( )112 20
0
ln 1 ln 1x x x xd x x   = + + − + +   ∫ ∫
1
2
3
0
B = ln x + 1 + x dx 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2 2
0 0
1 2 1
2
02
0
x dx x dxln 1 2 x 1 ln 1 2
1 x x 1 x 1 x
1 d 1 xln 1 2 ln 1 2 1 x ln 1 2 2 1
2 1 x
 
= + − + = + − 
+ + + + 
+
= + − = + − + = + + −
+
∫ ∫
∫
•
( ) ( ) ( )1 1 2 2
0 0
ln 1 1x x d x= + + +∫ ∫
2
4 2
x ln x + 1 + xB = dx
1 + x
( ) ( )
( )
( ) ( )
11
2 2 2 2
0
0
1
2
2 2
0
1
0
1 x ln x 1 x 1 x d ln x 1 x
dxx2 ln 1 2 1 x 1
1 x x 1 x
2 ln 1 2 dx 2 ln 1 2 1
 
= + + + − + + + 
 
 
= + − + +
 
+ + + 
= + − = + −
∫
∫
∫
•
( )1
0
∫
2
5 2
x ln x + 1 + xB = dx
x + 1 + x
. Đặt 
( )
( )
2
2
2
u ln x 1 x
x dxdv x 1 x x dx
x 1 x

= + +

= = + −
+ +
( )2
2 2
x dxdu 1 dx x 1 x
1 x 1 x
 
⇒ = + + + = 
+ + 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
214 
( ) ( ) ( )1 2 3 22 2 2 2 31 1v 1 x d 1 x x dx 1 x x
2 3
 
= + + − = + − ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )1 13 2 3 22 3 2 2 35 20 0
1 1 dxB 1 x x ln x 1 x 1 x x
3 3 1 x
    
= + − + + − + −    
  +
∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 3
2 2
0 0
1 1 2
2
20 0
2 2 1 ln 1 2 1 dx 1 x dx
3 3 31 x 1 x
2 2 1 ln 1 2 1 1 1 x 1
arctg x d 1 x
3 3 6 1 x
− +
= − +
+ +
− + + −
= − + +
+
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 1 22 2 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 1 x 1 x d 1 x
3 12 6
−
− + pi  
= − + + − + + ∫ 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
3 2 1 22 2
0
2 2 1 ln 1 2 1 2 1 x 2 1 x
3 12 6 3
2 2 1 ln 1 2 2 2
3 12 9
− + pi  
= − + + − +  
− + pi −
= − +
• ( ) ( ) ( )1 2 2
0
1 ln 1
2
x x d x= + +∫ ∫
1
2
6
0
B = x ln x + 1 + x dx 
( ) ( )
( ) ( )
1
12 2
2 2
0 0
1 1 2
2
2 2 2
0 0
x ln x 1 x 1
x d ln x 1 x
2 2
1 1 x dx 1 1 x dxln 1 2 x 1 ln 1 2
2 2 2 21 x x 1 x 1 x
 + +   = − + +   
 
= + − + = + − 
+ + + + 
∫
∫ ∫
x 0 1 
t 0 pi/4 Xét 
1 2
2
0 1
x dxI
x
=
+
∫ .Đặt x )tg t ; t 0, 2pi= ∈ ⇒ 
dx 2dt cos t 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 4 41 22 2 2
2 3 42 2
0 0 0 0
24 2 2 2 22 2
2 22 2
0 0 0
tg tx dx dt sin t sin tI dt d sin t
cos t cos t cos t1 x 1 tg t
sin t d sin t u du 1 1 u 1 u du
4 1 u 1 u1 sin t 1 u
pi pi pi
pi
⇒ = = ⋅ = =
+ +
 + − −
= = =  + − 
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
215 
( ) ( )
( )
2 2 2 22
2 2 2
0 0
2 2
0
1 1 1 1 1 1 2du du
4 1 u 1 u 4 1 u1 u 1 u
1 1 1 1 u 22 ln ln 1 2
4 1 u 1 u 1 u 2
   
= − = + −   
− + 
−
− + 
 +
= − − = − + 
− + − 
∫ ∫
⇒ ( ) ( ) ( ) ( )6 1 1 1 1 2 2B ln 1 2 I ln 1 2 ln 1 2 ln 1 22 2 2 2 2 4
 
= + − = + − − + = − + + 
 
• ( ) ( )
0 002 2 2
8
8 8
1 1 1ln 1 d ln 1 ln 1
2 2 2
x x x x x d x
−
− − −
− = − = − − −∫ ∫ ∫
0
7
8
B = x ln 1 xdx 
( ) ( )
0 0 2
2
8 8
0 02
8 8
0
2
8
1 1 dx 1 x dx32ln 3 x 32ln 3
2 4 1 x2 1 x 1 x
1 1 1 x 1 132ln 3 dx 32ln 3 1 x dx
4 1 x 4 1 x
1 1 l 6332ln 3 ln 1 x x x 32ln 3 6 ln 3 6 ln 3
4 2 2 2
− −
− −
−
−
= − − ⋅ ⋅ = − +
−
− −
− −  
= − + = − + − + 
− − 
 
= − + − − − − = − + + = −  
∫ ∫
∫ ∫ 
x 
 −3 0 
t 2 1 • ( )
−
−
− −
∫
0
8
3
ln 1 xB = dx
1 x 1 x
. Đặt 1t x= − ⇒ 
dx 
 −2tdt 
Khi đó ta có: ( ) ( )1 2 28 3 2
2 1 1
ln t dt 1B 2t dt 2 ln t 2 ln t d
tt t
−
= − = =∫ ∫ ∫ 
( )
2 22 2
2
1 11 1
2 ln t 1 dt 22 d ln t ln 2 2 ln 2 1 ln 2
t t tt
− −
= − = − + = − − = −∫ ∫ 
• ( )
( )
( )
3 32
2 22
1 1
1 ln d 1 1 1ln
2 2 11
x x
x d
xx
+ − 
= =  
+ +
∫ ∫ ∫
3
9 22
1
x ln x dxB =
x + 1
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
3 3 3
22 2
1 11
3 32 2
22
1 1
3
2
1
ln x 1 1 ln 3 1 dxd ln x
2 20 2x 12 x 1 x x 1
ln 3 1 x 1 x ln 3 1 1 xdx dx
20 2 20 2 x x 1x x 1
ln 3 1 1 9ln 3ln x x 1 2
20 2 2 20
− −
= + = +
++ +
− + − −  
= + = + − 
+ +
−  
= + − + = −  
∫ ∫
∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
216 
3. Dạng 3: Tích phân từng phần luân hồi 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 3 31 1 1sin ln sin ln sin ln3 3 3= = −∫ ∫ ∫21C = x sin ln x dx x d x x x x d x 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 2
3 3 3 3 3
3 3 2 3 3
1
1 1 dx 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin lnx x cos lnx dx
3 3 x 3 3
1 1 1 1 1
x sin lnx cos lnx d x x sin lnx x cos lnx x d cos lnx
3 9 3 9 9
1 1 1 1 1 1
x sin lnx x cos lnx x sin ln x dx x sin lnx x cos lnx C
3 9 9 3 9 9
= − = −
= − = − +
= − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 31 110 1 1 1C x sin ln x x cos ln x C 3x sin ln x x cos ln x c9 3 9 10
 ⇒ = − ⇒ = − +  
• ( )
2 2
2 2
00 0
1 1 1 11 cos 2 dx cos 2 dx
2 4 2 4 2
x
x xe ee x e x J−= − = − = −∫ ∫ ∫
pi
2x 2
2
0
C = e sin x dx
pipi pi pi
2
0
2xJ e cos x dx
pi
= ∫ ( ) ( )2x 2x 2x
00 0
1 1 1
e d sin 2x e sin 2x sin 2x d e
2 2 2
pipi pi
= = −∫ ∫
( ) ( )2x 2x 2x 2x
00 0 0
2 2 2 2
2x
0
1 1 1
e sin 2x dx e d cos 2x e cos 2x cos 2x d e
2 2 2
e 1 e 1 e 1 e 1
e cos 2x dx J 2J J
2 2 2 4
pipi pi pi
pipi pi pi pi
= − = = −
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
∫
⇒ 
2 2 2 2
2
e 1 1 e 1 e 1 e 1C J
4 2 4 8 8
pi pi pi pi
− − − −
= − = − = 
• ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1
1 1
cos ln cos ln 1 sin ln dx
e e
e
x x xd x e x= − = − + +∫ ∫ ∫
pie
3
1
C = cos ln x dx
pi pi
pi
pi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
e e
e
1
1 1
e
3 3 3
1
e 1 sin ln x dx e 1 x sin ln x xd sin ln x
1
e 1 cos ln x dx e 1 C 2C e 1 C e 1
2
pi pi
pi
pi
pi pi
pi pi pi pi
= − + + = − + + −
−
= − + − = − + − ⇒ = − + ⇒ = +
∫ ∫
∫
• ( ) ( )[ ] ( )
11 1
1 1 1 1 11 cos 2ln dx cos 2ln
2 2 2 2 2
ee e
e
x x x dx I−= + = − = −∫ ∫ ∫
pie
2
4
1
C = cos ln x dx
pipi pi
pi
www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
217 
Xét ( )
1
2
e
I cos ln x dx
pi
= ∫ ( ) ( )( ) ( )
e e
e
1
1 1
2sin 2lnx
xcos 2lnx xd cos 2lnx e 1 x dx
x
pi pi
pi
pi
= − = − +∫ ∫ 
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
e e
e
1
1 1
e e
1 1
e 1 2 sin 2 ln x dx e 1 2x sin 2 ln x 2 xd sin 2 ln x
2cos 2 ln x
e 1 2 x dx e 1 4 cos 2 ln x dx e 1 4I
x
pi pi
pi
pi pi
pi pi
pi pi pi
= − + = − + −
= − − = − − = − −
∫ ∫
∫ ∫
⇒ ( )4e 1 e 1 65I e 1 I C e 1 I e 1 e 15 5 5
pi pi
pi pi pi pi− −
= − ⇒ = ⇒ = − + = − + = − 
• ( ) ( )1 sin 1 sin 1 sin1 cos1 cos 1 cosx x xx x xd e e e d xx x+ + += = − ++ +∫ ∫ ∫x5 1 + sin xC = e dx1 + cos x 
( ) ( )
( )
( )
x x
x x x
2 2
x x
x
2
1 sin x 1 cos x sin x 1 sin x e dx e sin x dx
e e dx e
1 cos x 1 cos x 1 cos x1 cos x 1 cos x
1 sin x e dx e sin x dx
e I J ; I ; J
1 cos x 1 cos x 1 cos x
+ + + +
= − = − −
+ + ++ +
+
= − − = =
+ + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫1
Xét ( )21
xe sin x dxJ
cos x
=
+
∫ . Đặt 
( )
( )
( )
xx
2 2
du e dxu e
d 1 cos x 1sin x dxdv v
1 cos x1 cos x 1 cos x
 ==

⇒ 
− +
= = = 
++ +
∫
⇒ 
x x x
e e dx eJ I
1 cos x 1 cos x 1 cos x
= − = −
+ + +∫ (2). Thay (2) vào (1) ta có: 
⇒ 
x x
x x
5
1 sin x e 1 sin x eC e I I c e c
1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x
 + +
= − − − + = − + 
+ + + + 
• ∫
pi 2
6 x
0
sin xC = dx
e
( )
0 0 0
1 1 11 2 2
2 2 2
pi pi pi
− − −
= − = −∫ ∫ ∫
x x x
e cos x dx e dx e cos x dx 
0 0 0
1 1 1 1 12 2
2 2 2 2 2 2
pi pi pi
− −pi −pi
− −
− − −
= − = − = −∫ ∫
x
x xe e e
e cos x dx e cos x dx J 
0
2xJ e cos x dx
pi
−
= ∫ ( ) ( )
x
x x
00 0
1 e sin 2x 1
e d sin 2x sin 2x d e
2 2 2
pipi pi
−
− −
= = −∫ ∫
( ) ( )
00 0 0
1 1 2 12 2 2
2 4 4 4
x
x x xe cos xe sin x dx e d cos x cos x d e
pipi pi pi
−
− − −
−
= = = − +∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
218 
0
1 1 1 1 5 1 12
4 4 4 4 4 4 5
xe e e ee cos x dx J J J
pi
−pi −pi −pi −pi
−
− − − −
= − = − ⇒ = ⇒ =∫ 
⇒ ( )6 1 1 1 1 2 12 2 2 10 5
e e eC J e
−pi −pi −pi
−pi− − −
= − = − = − 
• ( ); 0a− >∫
a
2 2
7
0
C = a x dx 
( ) ( )2 2 2 22 2 2 207 2 2 2 2
0 0 0
2
2 2 2 2 2 2
72 2 00 0 0 2
a a aa
aa a a
x dx a a xC x a x x d a x dx
a x a x
dx x a
a a x dx a arcsin a x dx C
aa x
− −
= − − − = =
− −
pi
= − − = − − = −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
⇒ 
2 2
7 72 2 4
a aC Cpi pi= ⇒ = 
• ( ); 0a >∫
a
2 2
8
0
C = a + x dx 
( )
( )
2
2 2 2 2 2
08 2 2
0 0
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 0 0
2
2 2
a aa
a a a
xC x a x xd a x a dx
a x
a x a dx
a dx a a x dx a
a x a x
= + − + = −
+
+ −
= − = − + +
+ +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
80
0
2 2 2
8 8
2 2 1 2
2 1 22 2 1 2
2
aa
a a ln x a x a x dx a a ln C
lnC a a ln C a
= + + + − + = + + −
+ +
⇒ = + + ⇒ =
∫
• ( ); 0a >∫
a
2 2 2
9
0
C = x a + x dx . Đặt ( )32 22 2 2
du dxu x
1v a xdv x a x dx 3
=
= 
⇒ 
= + = + 
( ) ( )
a a3 3
2 2 2 22 2
9
0 0
a a2 2
4 2 2 2 2 2 4
8 9
0 0
x 1C a x a x dx
3 3
2 2 a 1 2 2 a 1
a a x dx x a x dx a C C
3 3 3 3 3 3
= + − +
= − + − + = − −
∫
∫ ∫
www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
219 
( ) ( ) ( )24
13 9
4 2 2 a 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2 3 2 ln 1 2C a C
3 3 3 2 6 8
+ + − + − +
⇒ = − ⋅ = ⇒ = 
• ( ); 0a− >∫
a
2 2 2
10
0
C = x a x dx . Đặt ( )32 22 2 2
du dxu x
1v a xdv x a x dx 3
=
= 
⇒ 
−
= − = − 
( ) ( )
a a a a3 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2
10
0 0 0 0
2 2 4 4
7 10 10 7 10
x 1 1C a x a x dx a a x dx x a x dx
3 3 3
a 1 2 a a aC C C C C
3 3 3 3 12 8
 
−
= − + − = − + − 
 
 
pi pi
= + ⇒ = = ⇒ =
∫ ∫ ∫
• ( )222 2 2 22
2
aa
a
a
x x a x d x a− = − − −∫ ∫
2a
2 2
11
a 2
C = x a dx 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2a 2a 2 2 2
2 2
2 2 2 2
a 2 a 2
2a 2a
2 2 2 2
2 2
a 2 a 2
2a2a
2 2 2 2 2 2
a 2
a 2
2 2
11
x a x a2 3 2 a x dx 2 3 2 a dx
x a x a
dx2 3 2 a a x a dx
x a
2 3 2 a a ln x x a x a dx
2 32 3 2 a a ln C
1 2
+ −
= − − = − −
− −
= − − − −
−
= − − + − − −
+
= − − −
+
∫ ∫
∫ ∫
∫
( ) ( )22 211 112 3 a 2 32C 2 3 2 a a ln C 2 3 2 ln21 2 1 2
 + +
⇒ = − − ⇒ = − − 
+ + 
• ( ) ( )2 22
44 4
cotg1 1cotg cotg
sinsin sin
xd x x d
xx x
= − = − +∫ ∫ ∫
pi 2
12 3
pi 4
dxC =
sin x
pi pipi
pipi pi
2 2
2 2
4 4
2 2 2
123 2
4 4 4
cos x 1 12 cotg x dx 2 1 dx
sin xsin x sin x
dx dx sin x dx2 2 C
sin x sin x 1 cos x
pi pi
pi pi
pi pi pi
pi pi pi
 
= − − = − − − 
 
= − + − = − + −
−
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )
2
12 12
4
1 1 cos x 2 ln 1 22C 2 ln 2 ln 1 2 C
2 1 cos x 2
pi
pi
+ − + +
⇒ = − − = − + + ⇒ =
−
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
220 
4. Dạng 4: Các bài toán tổng hợp 
•
( ) ( )3 3 33 2 3 2 3
2 2 2
0 0 0
2 1dx dx dx
1 1 1
x x x x x
x x x
+ +
= = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫
3 5 3
1 2
0
x + 2xD = dx
x + 1
3 3
2 2 2
2
0 0
x dx
x .x x 1 dx x I J
x 1
= + + = +
+
∫ ∫ 
Xét 
3
2 2
0
1I x .x x dx= +∫ . Đặt ( )
2
3 222
du 2x dx
u x
1
v x 1dv x x 1 dx 3
= = 
⇒ 
= + = + 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 33 2 3 2 3 22 2 2 2 2
0 0 0
35 22
0
1 2 1I x x 1 x x 1 dx 8 x 1 d x 1
3 3 3
2 2 588 x 1 8 32 1
15 15 15
= + − + = − + +
= − + = − − =
∫ ∫
Xét 
3
2
2
0 1
x dxJ x
x
=
+
∫ . Đặt 
2
2
2
u x du 2x dx
x dxdv v x 1
x 1
 =
= 
⇒ 
=  = +
 +
( ) ( ) 33 33 3 22 2 2 2 2 20
00 0
2 4J x x 1 2x x 1dx 6 x 1d x 1 6 x 1
3 3
= + − + = − + + = − + =∫ ∫ 
⇒ 1
58 4 26D I J
15 3 5
= + = + = 
•
( )22 23 33
3 3 3
11 1
1 1 1 111
3 33
x d x
x d
x x x
+ + 
= − + = − + 
 ∫ ∫ ∫
2 3
2 4
1
1 + xD = dx
x
( )
( )
( )
( )
2 22 3
3 3 3 3
1 1
3 32
22
2 2
3
2
2 1 1 x dx 2 1 1 d 1 x
3 8 2 3 8 6x 1 x x 1 x
2 1 1 d u 2 1 1 du
3 8 6 3 8 3 u 1u 1 u
2 1 1 u 1 2 1 1 1ln ln 2 ln 1 2
3 8 3 u 1 3 8 3 2
+
= − + = − +
+ +
= − + = − +
−
−
−  
= − + = − + + + 
+  
∫ ∫
∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 8. Phương pháp tích phân từng phần 
221 
• ( ) 2
2
2 sin
0
1 2 cos 2sin cos dx
4
x
x x x e
pi
=∫ ∫
2
pi 2
sin x 3
3
0
D = e sin x cos x dx 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
2 22
sin x sin x sin x
00 0
2 2 2
sin x sin x sin x
00 0
1 1 11 cos 2x d e 1 cos 2x e e d 1 cos 2x
4 4 4
1 1 1 1 1 1 e
e sin 2x dx d e e 1
2 2 2 2 2 2 2
pi pipi
pi pi pi
= + = + − +
−
= + = − + = − + = −
∫ ∫
∫ ∫
• ( ) ( ) ( )
2
3
ln 1 cos d sinx x
pi
pi
− = −∫ ∫
pi 2
4
pi 3
D = cos x ln 1 cos x dx 
( ) ( )( )
( )
( )
2 2
2
3 3 3
2 22
3 3
2
3
3 sin x dx
sin x ln 1 cos x sin xd ln 1 cos x ln 2 sin x
2 1 cos x
3 1 cos x 3ln 2 dx ln 2 1 cos x dx
2 1 cos x 2
3 3 3ln 2 x sin x ln 2 1
2 2 6 2
pi pi
pi
pi
pi pi
pi pi
pi pi
pi
pi
= − − − = −
−
−
= − = − +
−
pi
= − + = − − +
∫ ∫
∫ ∫ 
• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3
3
4
4 4
ln tg d cos cos ln tg cos ln tgx x x x x d x
pi pi
pi
pi
pi pi
= − = − +∫ ∫ ∫
pi 3
5
pi 4
D = sin x ln tg x dx 
( ) ( )
3 3 3
2 2
4 4 4
33
2
44
1 cos x dx 1 dx 1 sin x dxln 3 ln 3 ln 3
4 4 sin x 4cos x tg x sin x
1 d cos x 1 1 1 cos x 3ln 3 ln 3 ln ln 1 2 ln 3
4 4 2 1 cos x 41 cos x
pi pi pi
pi pi pi
pipi
pipi
= − + = − + = − +
+
= − − = − − = + −
−
−
∫ ∫ ∫
∫
•
( ) ( )4 4 4 42
0 0 0 0
sin dx dx 1 cos
tg
21 cos 1 cos2cos
2
+
= + = − +
+ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
pi 4
6
0
x + sin xD = dx
1 + cos x
x x d x xxd
xx x
pi pi pi pi
( ) ( ) ( )
4 44
0 00
x x 4 xln 1 cos x x tg tg dx ln tg 2 ln cos
2 2 4 8 22 2
4 2 2ln 2 1 ln 2 1 ln1 2 1
4 4 4 42 2
pi pipi
pi pi 
= − + + − = + + 
  +
pi + pi pi
= + − + = − + = −
+
∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
222 
• ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
4 4
7
0 0
2 sin cos cos sin dx 2 sin cos sin d sin= =∫ ∫ ∫
pi 2
4
0
D = sin 2x cos sin x dx x x x x x x
pi pi
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
4 2 2
0 0 0
1 1
0 0
11 1 12
00 0 0
1 12 t cos t dt t 1 cos 2t dt t 1 2cos 2t cos 2t dt
2 2
1 1 cos 4t 1
t 1 2cos 2t dt t 2 4 cos 2t cos 4t dt
2 2 4
1 1 t 1 12t dt t 4cos 2t cos 4t dt t d 2sin 2t sin 4t
4 4 4 4 4
= = + = + +
+ 
= + + = + + 
 
 
= + + = + + 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
1 1
0 0
1
0
1 1 1 1 1
t 2sin 2t sin 4t 2sin 2t sin 4t dt
4 4 4 4 4
1 1 1 1 12sin 2 sin 4 cos 2t cos 4t
4 4 4 4 16
1 1 1 1 31
sin 2 cos 2 sin 4 cos 4
2 4 16 16 64
   
= + + − +   
   
   
= + + − − −   
   
= + + + +
∫
• ( )
4 4 2
2
8 2 2
0 0
sin 2 cos2 cos dx d cos
cos cos
x x
x x
x x
pi pi
−
= − = −∫ ∫ ∫
pi 4
2
0
tg xD = 1 + sin x dx
cos x
( ) ( )
1 21 2 1 2 1 22 2
2 2
2
11 1 1
1 2 1 2
2
11
2 u 2 u 11d u 2 u d d 2 u
u u uu
du u3 1 3 1 arcsin 3 1
1222 u
− −
= − = − = − −
pi
= − − = − − = − −
−
∫ ∫ ∫
∫
• ( ) ( )
3
9 2
0
cos dx
cos sin cos
x x x
x x x x
pi
= ⋅
+
∫ ∫
pi 3 2
2
0
x dxD =
x sin x + cos x
( )3 33
00 0
3
3
02
0
x x x1 1 1d d
x sin x cos x x sin x cos x x sin x cos xcos x cos x cos x
4 4 3 3cos x x sin x1 dx tg x
x sin x cos x3 3 3 3 3 3cos x
pi pipi
pi
pi
 
= − = − ⋅ +  + + +  
− pi − pi − pi+ 
= + = + = ++ pi + pi + pi 
∫ ∫
∫
www.VNMATH.com