Ôn thi Toán 12: Phương pháp lượng giác hoá tích phân hàm vô tỉ

Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 
189 
BÀI 6. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 
I. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁC PHÉP ĐỔI BIẾN SỐ THÔNG DỤNG 
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số 
( )2 2f x, a x dx−∫ x a sin t= t ,2 2pi pi ∈ −   
( )2 2f x, x a dx−∫ ax cos t= ) )3t 0, ,2 2pi pi ∈ ∪ pi   
( )2 2f x, x a dx+∫ x a tg t= )t 0, 2pi∈  
a xf x, dx
a x
 +
 
− ∫
x a cos 2t= ( )t 0, 2pi∈ 
( ) ( )( )f x, x a b x dx− −∫ ( ) 2x a b a sin t= + − t 0, 2pi ∈    
II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA: 
1. Dạng 1: ( )−∫ 2 2f x, a x dx . Đặt x a sin t= ; 2 2t ,pi pi ∈ −   
x 1/2 1 
t pi/6 pi/2 •
( )
−
∫
31 2
1 3
1 2
1 xI = dx
x
. Đặt 
2 2
x sin t ;t ,pi pi = ∈ −
  
 ⇒ 
dx costdt 
( ) ( )32 2 2 22 4 4 4
1 3 3 3 4
6 6 6 6
1 sin t cos t dt cos t dt cos t dt cos td cos tI
sin t sin t sin t sin t
pi pi pi pi
pi pi pi pi
−
⇒ = = = = −∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
6 3 2 3 2 3 2 3 24 4 4 2
2 2 2 2 22 2 2 2
2 0 0 0 0
cos td cos t u du 1 1 u du 1 udu du
1 u1 cos t 1 u 1 u 1 u
pi
pi
− − +
= = = = −
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( )
23 2 3 2 3 2 3 222 2
2 2
0 0 0 0
1 1 u 1 u 1 u 1 1 1 1 udu du du du
4 1 u 1 u 4 1 u 1 u1 u 1 u
 + + − + + 
= − = + −  + − − +   − −∫ ∫ ∫ ∫
( )
3 2
0
1 1 1 1 u 3 2 3 3 33ln 4u 3 ln 3 ln 2 3
4 1 u 1 u 1 u 4 2 22 3
 + +  = − − + = − + = − +  
− + −
− 
• ( )− −∫
3 2
2 2
2I = 3 x 3 x dx . Đặt 3 2 2u sin t ;t ,
pi pi 
= ∈ −
  
 ⇒ 
u 0 3 2 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
190 
t 0 pi/6 
du 3 cos t dt 
Khi đó: ( ) ( ) ( )
6 6
2 2 2 2
2
0 0
I 3 3sin t 3 3sin t 3 cos t dt 3cos t 3cos t 3 cos t dt
pi pi
= − − =∫ ∫ 
( ) ( )
( )
6 6 6222 2
0 0 0
6 6
0 0
6
0
1 cos 2t 99 cos t dt 9 dt 1 2 cos 2t cos t dt
2 4
9 1 cos 4t 91 2 cos 2t dt 3 4 cos 2t cos 4t dt
4 2 8
9 1 9 3 9 81 33t 2sin 2t sin 4t 3
8 4 8 2 8 16 64
pi pi pi
pi pi
pi
+ 
= = = + + 
 
+ 
= + + = + + 
 
 pi pi 
= + + = + + = +     
∫ ∫ ∫
∫ ∫ 
u 0 1 
t 0 pi/6 • ( )
− −
∫
1
3 2 2
0
dxI =
4 x 4 x
. Đặt 2
2 2
u sin t ;t ,pi pi = ∈ −
  
 ⇒ 
du 2costdt 
Khi đó: ( )
6 6
3 2 2 2 2
0 0
2cos t dt 2cos t dtI
4 4sin t 4 4sin t 4cos t 4cos t
pi pi
= =
− −
∫ ∫ 
 ( )
66 6
2
00 0
dt 1 1 1 1d tg t tg t tg
4 4 4 6 4 34cos t
pipi pi
pi 
= = = = = 
 ∫ ∫ 
u 0 a 
t 0 pi/2 • ( )0; a− >∫
a
2 2 2
4
0
I = x a x dx . Đặt 
2 2
u a sint ;t ,pi pi = ∈ −
  
 ⇒ 
du acostdt 
Khi đó: ( )
2a
2 2 2 2 2 2 2 2
4
0 0
I x a x dx a sin t a a sin t a cos t dt
pi
= − = −∫ ∫ 
( ) ( )
( )
2 2 24
2 2 4 2 2 2
0 0 0
22 44 4 4
00
a
a sin t a cos t a cos t dt a sin t cos t dt sin 2t dt
4
aa a 1 a1 cos 4t dt t sin 4t
8 8 4 8 2 16
pi pi pi
pipi
= = =
pipi 
= − = − = ⋅ = 
 
∫ ∫ ∫
∫
www.VNMATH.com
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 
191 
• ( ) ( )
1 20
2
21 2 0 11 1 11
2 44
dx du
ux−
=
−
+ −+ − +
∫ ∫ ∫
0
5
-1 2
dxI = =
1 + x 1 + x
u 0 1/2 
t 0 pi/2 Đặt 
1
2 22
u sin t ;t ,pi pi = ∈ −
  
 ⇒ 
du (costdt)/2 
 Khi đó ta có: 
2 2 2 2
5 2
0 0 0 0
cos t dt cos t dt 2 dtI 1 dt 2 2J
2 cos t 2 cos t 2 2 cos t 22 1 sin t
pi pi pi pi
pi pi 
= = = − = − = − 
+ + + + −
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( )
2 2 2 2
2 22 2
0 0 0 0
2
13
0
t2 d tgdt dt dt 2J
t tt t2 cos t 1 2cos 3 tgcos 1 tg 22 22 2
ttg2 2 1 9 4 32arctg arctg I 2
2 183 3 3 3 3 3 3 3
pi pi pi pi
pi
= = = =
+ + ++ +
pi pi pi − pi
= = = ⇒ = − ⋅ =
∫ ∫ ∫ ∫
•
( ) ( ) ( )
( )1 2 2
2 2 2 2
1 3 3
1
41 4 1
xdx u du
u ux x
− − −
− − −
+
= =
− − −
− − −
∫ ∫ ∫
1 2
6 2 2
1 3
xdxI =
x 1 3 + 2x x
u 3− 2− 
t 
−pi/3 −pi/4 Đặt 2 2 2u sin t ;t ,
pi pi 
= ∈ −
  
 ⇒ 
du 2costdt 
Khi đó ta có: 
( ) ( )
( )
44 4 4
6 22 2 33 3 3
44 4
2 2
33 3
1 2sin t 2cos t dt 1 2sin t dt 1 1 dtI cotg t
4 2 sin t4sin t4sin t 4cos t
3 3 1 sin t dt 3 3 1 d cos t 3 3 1 1 cos tln
12 2 12 2 12 4 1 cos t1 cos t 1 cos t
3 3 1 2 2ln l
12 4 2 2
−pi−pi −pi −pi
−pi
−pi −pi −pi
−pi−pi −pi
−pi
−pi −pi
+ +  
= = = + 
 
− − − +
= + = − = −
−
− −
− +
= − −
−
∫ ∫ ∫
∫ ∫
3 3 1 3 2 2
n 3 ln
12 4 3
 
− +
= − 
 
u 0 1/2 
t 0 pi/6 • ( )
−
∫
1 2 2
7 520
x dxI =
1 x
. Đặt 
2 2
u sin t ;t ,pi pi = ∈ −
  
 ⇒ 
du costdt 
⇒ 
( )
( )
6 6 6 62 2
2 3
7 452 00 0 0
sin t cos t dt sin t dt 1 1I tg t d tg t tg t
3 9 3cos t1 sin t
pi pi pi pi
= = = = =
−
∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
192 
2. Dạng 2: ( )−∫ 2 2f x, x a dx . Đặt ax cos t= ; ) )30 2 2t , ,pi pi ∈ ∪ pi   
x 2 2 
t pi/4 pi/3 •
−
∫
2
1 2
2
dxI =
x x 1
. Đặt ) )31 0 2 2x ; t , ,cos t pi pi = ∈ ∪ pi   ⇒ 
dx sintdt/cos2t 
3 3 3 32
1 2
4 4 4 4
2
sin t dt cos t sin t dt sin t dtI dt
cos t. tg t 3 4 121 1 cos t tg t1
cos t cos t
pi pi pi pi
pi pi pi pi
pi pi pi
⇒ = = = = = − =
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
x 2 2 
t pi/4 pi/3 •
−
∫
2 2
2 2
2
x dxI =
x 1
. Đặt ) )31 0 2 2x ; t , ,cos t pi pi = ∈ ∪ pi   ⇒ 
dx sintdt/cos2t 
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 32 2 2 2 4
2 42 2
4 4 42
2 2
23 3 3
4 22
4 4 4
sin t sin t1 dt dt
x dx cos t dtcos t cos t cos tI
1 cos tx 1 sin t1
cos t cos t
cos t dt d sin t 1 1 sin t 1 sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin tcos t 1 sin t
pi pi pi
pi pi pi
pi pi pi
pi pi pi
⋅
⇒ = = = =
−
−
 + + −
= = =  + − 
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
3 32
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t1 sin t 1 sin t
pi pi
pi pi
   
= + = + +   
− + 
−
− + 
∫ ∫ 
3
4
1 1 1 1 sin t 1 2 2 2 3ln ln
4 1 sin t 1 sin t 1 sin t 4 2 3 2 3 2 3
1 2 2 2 2 2 3 2 1 7 4 3ln ln
4 2 42 2 2 2 2 2 3 2 2
pi
pi
  + +
= − + = − + −    
− + −
− + −   
 + − −
− − + = +  
− + − − 
x 4 8 
t 0 pi/3 •
−
∫
8 2
3
4
x 16I = dx
x
. Đặt ) )34 0 2 2x ; t , ,cos t pi pi = ∈ ∪ pi   ⇒ 
dx 4sintdt/cos2t 
3 3 322 2
2
3
0 0 0
4sin t dt116 1
16 tg t sin t dtcos t cos tI 4 tg t dt
4 cos t
cos t
pi pi pi
 
− ⋅ 
⋅ 
⇒ = = =∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
3 3 3
32
0
0 0 0
4 1 tg t 1 dt 4 d tg t dt 4 tg t t 4 3
3
pi pi pi
pi  pi    = + − = − = − = −       
∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 
193 
• ( )
− −
∫4 2 2 2 2
dxI =
x a x a
 (a > 0). Đặt ( ) ( )0 2 2ax ;t , ,cos t pi pi= ∈ ∪ pi 
( )
4 2 3 3
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
a tg t dt1 asintdtI
cos t a cos t tg t1 1
a 1 a 1
cos t cos t
dt 1 cos t dt 1 d sin t 1
c
.a cos t tg t .a sin t .a sin t .a sin t
⇒ = ⋅ =
ε ⋅   
− −   
   
−
= = = = +
ε ε ε ε
∫ ∫
∫ ∫ ∫
trong đó ε = 1 nếu tgt > 0 và ε = −1 nếu tgt < 0 
x a 2 2a 
t pi/4 pi/3 •
−
∫
2a 2 2
5
a 2
x aI = dx
x
. Đặt ) )30 2 2ax ; t , ,cos t pi pi = ∈ ∪ pi   ⇒ 
dx asintdt/cos2t 
2
3 3 32 22 2
2
5
4 4 4
a sin t dt1a 1
a tg t sin t dtcos t cos tI a tg t dt
a cos t
cos t
pi pi pi
pi pi pi
 
− ⋅ 
⋅ 
⇒ = = =∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
3 3 3
32
4
4 4 4
a 1 tg t 1 dt a d tg t dt a tg t t a 3 1
12
pi pi pi
pi
pi
pi pi pi
  pi    = + − = − = − = − −      
 
∫ ∫ ∫ 
x a 2 2a 
t pi/4 pi/3 •
−
∫
2a 2 2
6 2
a 2
x aI = dx
x
. Đặt ) )30 2 2ax ; t , ,cos t pi pi = ∈ ∪ pi   ⇒ 
dx asintdt/cos2t 
( )
2
3 3 32 2 22 2
5 2 2 3
4 4 4
a sin t dt1a 1
a tg t sin t dt sin tcos t cos tI dt
a cos t cos ta
cos t
pi pi pi
pi pi pi
 
− ⋅ 
⋅ 
⇒ = = =∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
23 3 32 2
4 22
4 4 4
sin t cos t sin t 1 1 sin t 1 sin tdt d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin tcos t 1 sin t
pi pi pi
pi pi pi
 + − −
= = =  + − 
−
∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( )
( )
3 32
2 2 2
4 4
1 1 1 1 1 1 2d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t1 sin t 1 sin t
pi pi
pi pi
   
= − = + −   
− + 
−
− + 
∫ ∫ 
( )3
4
1 1 1 1 sint 1 2 2 2 3 2 3 ln 2 3ln ln
4 1 sint 1 sint 1 sint 4 22 3 2 3 2 3
pi
pi
  + + − +
= − − = − − =  
− + −
− + −   
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
194 
3. Dạng 3: ( )∫ 2 2f x, x + a dx . Đặt x a tg t= ; )0 2t , pi∈  
x 1 3 1 
t pi/6 pi/4 •
( )
∫
51 2
1 8
1 3
1 + xI = dx
x
. Đặt )0 2x tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
dx 2dt cos t 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
552
4 4 4 42 2
1 8 8 8 8
6 6 6 6
4 4
8
7
66
dt 1 dt1 tg t
cos t dt d sin tcos tcos t cos tI
tg t tg t sin t sin t
1 1 128 8 2
sin t d sin t 8 2 128
7 77sin t
pi pi pi pi
pi pi pi pi
pi pi
−
pipi
 
+  
 
⇒ = = = =
− −
= = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
• ( ) ( )
0 1
2 2
1 0
1 1 1 1x d x u du
−
= + + + = +∫ ∫ ∫
0
2
2
-1
I = x + 2x + 2dx 
u 0 1 
t 0 pi/4 Đặt )0 2u tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
du 2dt cos t 
Khi đó ta có: 
( )
( )
4 4 4 41
2 2
2 2 3 4 22
0 0 0 0 0
dt dt cos t dt d sin tI u 1 du tg t 1
cos t cos t cos t 1 sin t
pi pi pi pi
= + = + = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
24 4 2
0 0
1 1 sin t 1 sin t 1 1 1d sin t d sin t
4 1 sin t 1 sin t 4 1 sin t 1 sin t
pi pi
 + + −  
= = +  + − − +  ∫ ∫
( ) ( )
( )
44
2 2 2
00
1 1 1 2 1 1 1 1 sin td sin t ln
4 4 1 sin t 1 sin t 1 sin t1 sin t1 sin t 1 sin t
pipi
 + 
= + + = − +  
− + − −
− + 
∫
1 2 2 2 2 2 1ln ln 3 2 2
4 2 42 2 2 2 2 2
 +
= − + = + + 
− + −  
•
−
∫
1 2
3
0
1 + xI = dx
1 x
. Đặt ( )
2
2 22
1 1 4
1 1 1
x u udu
u x ;dx
x u u
+ −
= ⇒ = =
− + +
u 1 3 
t pi/4 pi/3 ⇒ ( )
3 2
3 22
1
4u duI
u 1
=
+
∫ . Đặt ( )0 2u tg t;t , pi= ∈ ⇒ 
du dt/cos2t 
⇒ ( )
33 3
2
3
44 4
1 3I 4sin u du 2 1 cos 2u du 2 u sin 2u 1
2 6 2
pipi pi
pipi pi
pi 
= = − = − = + − 
 ∫ ∫ 
www.VNMATH.com
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 
195 
•
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 2 3
3 32 2 2 21 1 12 2 1
−
− −
= =
  ++ + + 
∫ ∫ ∫
3-2
4 32 21
dxI =
x + 2 x + 4x + 5
dx d u
u ux x
u 1 3 
t pi/4 pi/3 Đặt )0 2u tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
du 2dt cos t 
Khi đó ta có: 
( )
33 3 33 3 2
4 2 2 2 2
44 4 4
cos t dt cos t 1 sin t 1I dt d sin t sin t
sin ttg t cos t sin t sin t
2 3 2 2 7 6 9 2 7 3
2 2 63 2 2 3 2 2
pipi pi pi
pipi pi pi
− − 
⇒ = ⋅ = = = − 
 
   
− − − −
= − − − = + =   
  
∫ ∫ ∫
•
− −
⋅
−
−
∫
2 2
5 22
1
x x 2x + 2 dxI =
x 2x + 2x + x 2x + 2
( )
( ) ( )
22
22
1
x x 1 1 dx
x 1 1x x 1 1
− − +
= ⋅
− ++ − +
∫ 
u 0 1 
t 0 pi/4 
1 2
22
0
u 1 u 1 du
u 1u 1 u 1
+ − +
= ⋅
++ + +
∫ . Đặt )0 2u tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
du 2dt cos t 
( )
4 42
5 2 22
0 0
4 4
0 0
tg t 1 tg t 1 dt sin t cos t 1I dt
sin t cos t 1cos t tg t 1tg t 1 tg t 1
2 dt1 dt 2 2J
sin t cos t 1 4 sin t cos t 1 4
pi pi
pi pi
+ − + + −
⇒ = ⋅ =
+ +++ + +
pi pi 
= − = − = − 
+ + + + 
∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( )
4 4 4
2 2
0 0 0
4 4
12
00
dt dt dtJ
t t t t tsin t cos t 1 2sin cos 2cos 2cos 1 tg2 2 2 2 2
td tg
2 tln 1 tg ln 1 tg ln 2 I 2 ln 2 ln 2
t 2 8 4 41 tg
2
pi pi pi
pi pi
= = =
+ + + +
pi pipi
= = + = + = ⇒ = − = −
+
∫ ∫ ∫
∫
• ( ) ( )
1 0
2 2
0 1
1 1 1 1x x dx u u du
−
− = − + = + +∫ ∫ ∫
1
2
6
0
I = x x 2x + 2 dx 
u 
 −1 0 
t 
−pi/4 0 Đặt )0 2u tg t ;t , pi= ∈  ⇒ 
du dt/cos2t 
Khi đó ta có: 
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
196 
( )
0 0 0
2
6 2 3 4
4 4 4
1 tg tdt sin t cos tI 1 tg t 1 tg t dt dt
cos t cos t cos t
−pi −pi −pi
+ +
= + + = =∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
20 0 0 0
4 2 42
4 4 4 4
sin t dt d sin t d cos t 1 sin t 1 sin t d sin t
1 sin t 1 sin tcos t cos t1 sin t−pi −pi −pi −pi
 + + −
= + = − +  + − 
−
∫ ∫ ∫ ∫ 
( )
( ) ( )
( )
( )
0 20
3
4 4
0
2 2 2
4
0
4
1 1 1 d sin t
1 sin t 1 sin t3cos t
1 2 2 1 1 2 d sin t
3 1 sin t1 sin t 1 sin t
1 2 2 1 1 1 sin tln
3 1 sin t 1 sin t 1 sin t
1 2 2 2 2 2 1 1 4 2ln 2 ln 1 2
3 32 2 2 2 2 1
−pi
−pi
−pi
−pi
 
= + + 
− + 
−  
= + + + 
−
− + 
 − +
= + − + 
− + − 
 
− − +
= − − + = + + 
+ − + 
∫
∫
•
( )23 2 2
2
3 2
3 2
2
x
dx
x
+
=∫ ∫
3 2 2
7 2
3 2
9 + 2xI = dx
x
x 3 2 3 2 
t pi/6 pi/4 Đặt )3 0 22x tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
dx ( )23 2dt cos t 
Khi đó ta có: 
( ) ( ) ( )2 22 23 2 4
7 2 2 2
63 2
x 3 2 3 2 tg t 1 3dtI 2 dx 2
x 2 cos t3 tg t
2
pi
pi
+ +
= = ⋅
 
 
 
∫ ∫ 
( )
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
6 6 1 2 1 2
dt d sin t du u 1 u2 2 2 2 du
cos t sin t cos t sin t u 1 u u 1 u
pi pi
pi pi
+ −
= = = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫ 
2 22 2 2 2
2 2
1 21 2 1 2
du du 1 1 u 1 2 3 2 22 2 ln ln 2 2 2
2 1 u u 2 31 u u
   + + = + = − = − +   − − 
∫ ∫ 
• ∫
1
3 2I = x 1 + x dx . Đặt )0x tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
x 0 1 
www.VNMATH.com
Bài 6. Phương pháp lượng giác hóa tích phân hàm vô tỉ 
197 
t 0 pi/4 
dx 2dt cos t 
⇒ ( )
4 4 4 43 3 2
3 2
8 2 3 6 6
0 0 0 0
tg tdt sin t 1 cos tI tg t 1 tg t dt dt d cos t
cos t cos t cos t cos t
pi pi pi pi
−
= + = = = −∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
44 4
6 4 5 3
00 0
d cos t d cos t 1 1 2 1 2
15cos t cos t 5cos t 3cos t
pipi pi
 
= − + = − = + 
 ∫ ∫
x 0 1 
t 0 pi/4 • ( )∫
1 2
9 2 2
0
x dxI =
x + 1 x + 1
. Đặt )0 2x tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
dx 2dt cos t 
( ) ( )
4 4 4 42 2 2 2
9 2 2 22 2
0 0 0 0
tg t dt sin t sin t cos t sin tI dt dt d sin t
cos tcos t cos t 1 sin t1 tg t 1 tg t
pi pi pi pi
= ⋅ = = =
−+ +
∫ ∫ ∫ ∫ 
( ) ( )
44
2
00
1 1 1 sin t 21 d sin t ln sin t ln 1 2
2 1 sin t 21 sin t
pipi
 + 
= − = − = + −  
− − ∫
x 
 1 3 1 
t pi/6 pi/4 •
( )
∫
1 2 2
10 3
1 3
x + 1 x + 1I = dx
x
. Đặt )0 2x tg t ;t , pi= ∈ ⇒ 
dx 2dt cos t 
( )4 4 42 2
10 3 2 3 2 4 2
6 6 6
1 tg t 1 tg t dt dt sin tI dt
tg t cos t sin t cos t sin t cos t
pi pi pi
pi pi pi
+ +
= ⋅ = =∫ ∫ ∫ 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
24 4 4 2 2
2 2 22 2 2 2
6 6 6
4 4 4 42 2
2 2 2 2
6 6 6 6
d cos t d cos t cos t 1 cos t d cos t
1 cos t cos t1 cos t cos t 1 cos t cos t
cos t 1 d cos t d cos t cos td cos t 2 d cos t
cos t1 cos t 1 cos t cos t 1 cos t
pi pi pi
pi pi pi
pi pi pi pi
pi pi pi pi
 + −
= − = − =   
− 
− −
   
= + = + +   
− − −   
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
( )
4 4 2
6 0
4
6
1 cos t 1 1 1 12 ln d cos t
1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t
9 1 cos t 1 1 1 1 9 1 2 2ln ln 1 2
4 1 cos t cos t 4 1 cos t 1 cos t 2 2 3 3
pi pi
pi
pi
pi
 +  
= − + −  
− − +  
 + + 
= − + − = + − −  
− − +  + 
∫
www.VNMATH.com
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Trần Phương 
198 
4. Dạng 4: 
 
 
− ∫
a + xf x, dx
a x
. Đặt 2x a cos t= ; ( )0 2t , pi∈ 
x 0 5/2 
t pi/4 pi/6 •
−
∫
5 2
1
0
5 + xI = dx
5 x
. Đặt 5 2 0
2
x cos t ; t , pi = ∈
  
 ⇒ 
dx 
−10sin2tdt 
⇒ 
( )
( ) ( ) ( )
6 4 2
1 2
4 6
5 1 cos 2t cos tI 10sin 2t dt 10 2sin t cos t dt
5 1 cos 2t sin t
pi pi
pi pi
+
= − =
−
∫ ∫ 
( ) ( )44 42
66 6
1 5 5 2 310 2cos t dt 10 1 cos 2t dt 10 t sin 2t
2 6 2
pipi pi
pipi pi
pi − 
= = + = + = + 
 ∫ ∫ 
x 0 3/2 
t pi/4 pi/6 •
−
∫
3/2
2
2
0
3 + xI = x dx
3 x
. Đặt 3 2 0
2
x cos t ; t , pi = ∈
  
 ⇒ 
dx 
− 6sin2tdt 
⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( )
6 4 2
2 2
2 2
4 6
3 1 cos 2t cos tI 9cos 2t 6sin 2t dt 54 cos 2t 2sin t cos t dt
3 1 cos 2t sin t
pi pi
pi pi
+
= − =
−
∫ ∫ 
( ) ( ) ( )
4 4 4
2 2 2 2 3
6 6 6
44
66
54 cos 2t 2cos t dt 54 cos 2t 1 cos 2t dt 54 cos 2t cos 2t dt
1 cos 4t cos 6t 3cos 2t 27 1 1 354 dt 2t sin 4t sin 6t sin 2t
2 4 2 2 6 2
27 1 3 3 3 3 27 4 3
2 2 6 2 3 4 4 2 6 3
pi pi pi
pi pi pi
pipi
pipi
= = + = +
+ +   
= + = + + +      
  pi pi pi  
= − + − + + = + −    
     
∫ ∫ ∫
∫



5. Dạng 5: ( ) ( )( )− −∫ f x, x a b x dx . Đặt ( ) 2x a b a sin t= + − ; t 0, 2pi ∈    
x 
3a b
4
+
a b
2
+
t pi/6 pi/4 • ( ) ( )
− −
∫
a+b
2
1
3a+b
4
dxI =
x a b x
 (a < b). Đặt 
( ) 2
0
2
x a b a sin t
t ,
 = + −

 pi ∈   
⇒ 
dx (b−a)sin2tdt 
⇒ 
( )
( ) ( )
4 4 4
1 2 2 22 2
6 6 6
b a sin 2t dt 2sin t cos t dtI 2dt 2
4 6 6sin t cos tb a sin t 1 sin t
pi pi pi
pi pi pi
− pi pi pi 
= = = = − = 
 
− −
∫ ∫ ∫ 
III. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 
( ) ( )
2 2 2 1
3 2 3
1 2 3 43 2 3 23 2 3 2
1 o3 2 3
dx dx 2 xI x 4 x dx ; I ; I ; I x dx
2 xx x 1 x x 4−
+
= − = = =
−
− +
∫ ∫ ∫ ∫ 
www.VNMATH.com