Ôn thi Toán 12: Đường tròn

Bài 3. Đường tròn 
21 
BÀI 3. ĐƯỜNG TRÒN 
I. PHƯƠNG TRÌNH: 
1. Dạng chính tắc: ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính R. 
2. Dạng khai triển: ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = 
 ⇒ Tâm I(a, b) ; bán kính 2 2R a b c= + − với 2 2 0a b c+ − > 
II. TIẾP TUYẾN: 
1. ( ) ( ) ( )22 2:C x a y b R− + − = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : 
 ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0x a x x y b y y− − + − − = 
2. ( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ⇒ Tiếp tuyến tại ( ) ( )0 0 0,M x y C∈ : 
 ( ) ( )0 0 0 0 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + = 
3. ( ) : 0D Ax By C+ + = tiếp xúc (I, R) ⇔ ( )( ),d I D R= 
III. PHƯƠNG TÍCH: 
( ) 2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = ; Điểm M(m, n) 
⇒ ( )( )
( )
2 2
0 :
2 2 0 :
0 :
M
M m n am bn c MC
M C
>

= + − − + <

= ∈
 n»m ngoµi
 n»m trongP 
IV. TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
: , 2 2 0
: , 2 2 0
C f x y x y a x b y c
C g x y x y a x b y c
 = + − − + =


 = + − − + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 11 2 , , 2 2 0M M f x y g x y a a x b b y c cC C= ⇔ = ⇔ − + − + − =P P 
V. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 
A. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN THEO CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC CHO TRƯỚC 
1. VPT đường tròn đường kính AB biết A(4, −1); B(3, 5) 
2. VPT đường tròn đi qua A(2, 0); B(0, 1); C(−1, 2) 
3. VPT đường tròn đi qua A(2, 3); B(−1, 1) và tâm ∈ 3 11 0x y− − = 
4. VPT đường tròn tâm I(1, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y− − = 
5. VPT đường tròn đi qua A(1, 2) và tiếp xúc ( ) :3 4 2 0D x y− + = tại (−2, −1) 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
22 
6. VPT đường tròn đi qua A(6, 3); B(3, 2) và tiếp xúc ( ) : 2 2 0D x y+ − = 
7. VPT đường tròn tâm ∈ ( ) : 5 0x y∆ + − = ; 10R = và tiếp xúc ( ) :3 3 0D x y+ − = 
8. VPT đường tròn tâm I(3, 1) và cắt ( ) : 2 4 0x y∆ − + = một đoạn có độ dài = 4 
9. Viết phương trình đường tròn tâm ∈ ( ) : 4 3 2 0x y∆ + − = và tiếp xúc với 
( )1 : 4 0D x y+ + = và ( )2 : 7 4 0D x y− + = 
10. Viết phương trình đường tròn đi qua O(0, 0) và tiếp xúc với 2 đường thẳng 
( ) ( )1 2: 2 1 0; : 2 2 0D x y D x y+ − = − + = 
11. Viết phương trình đường tròn đi qua A(4, 2) và tiếp xúc với 2 đường thẳng 
( ) ( )1 2: 3 2 0; : 3 18 0D x y D x y− − = − + = 
12. Viết phương trình đường tròn đi qua A(1, −2) và các giao điểm của 
( ) : 7 10 0D x y− + = với ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ − + − = 
B. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 
1. 
( )
( )
2 2: 2 4 0
: 1 0
C x y x y
D x y
 + − − =

 + − =
 2. 
( )
( )
2 2: 6 4 9 0
: 2 0
C x y x y
D x y
 + + + + =

 − + =
3. 
( )
( )
2 2: 8 2 1 0
: 2 1 0
C x y x y
D x y
 + − − + =

 − + =
C. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐƯỜNG TRÒN 
( )
( )
1 1 1
2 2 2
( ) : ,
( ) : ,
C I R
C I R




 1 2d I I= ⇒ 
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
: ( ), ( )
:
:
:
:
R R d R R C C
d R R
d R R
d R R
d R R
 − < < +

 = +


= −

> +

< −
 c¾t nhau
 tiÕp xóc ngoµi
 tiÕp xóc trong
 ngoµi nhau
 trong nhau
1. 
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 6 4 0
( ) : 10 14 70 0
C x y x y
C x y x y
 + − − + =

 + − − + =
 2. 
2 2
1
2 2
2
( ) : 2 6 15 0
( ) : 6 2 3 0
C x y x y
C x y x y
 + − − − =

 + − − − =
3. 
2 2
1
2 2
2
( ) : 6 10 24 0
( ) : 6 4 12 0
C x y x y
C x y x y
 + + − + =

 + − − − =
 4. 
2 2
1
2 2
2
( ) : 2 4 5 0
( ) : 5 4 0
C x y x y
C x y x y
 + + − − =

 + − − + =
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
23 
D. QUỸ TÍCH TÂM ĐƯỜNG TRÒN 
 1. ( ) 2 2: 4 2 2 3 0mC x y mx my m+ + − + + = 
 2. ( ) 2 2 2: 2e 4e 1 e 0m m mmC x y x y− −+ − + − + = 
 3. ( ) ( ) ( )2 2: 2 cos 2 2sin 1 0C x y x yα α α+ − − − + = 
 4. ( ) ( ) ( )2 2: 2 1 cos 2 1 sin sin 2 0C x y x yα α α α+ − + + − + − = 
E. ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC ĐƯỜNG TRÒN CỐ ĐỊNH 
 1. ( ) ( ): 1 cos 1 sin 4 0D x yα α α− + − − = 
 2. : cos sin 2cos 1 0D x yα α α α+ + + = 
 3. : sin cos 3sin 2cos 6 0D x yα α α α α− + + − = 
 4. : cos sin 2 cos sin 9 0D x yα α α α α+ − − − = 
 5. 2: cos 2 sin 2 cos 3 0D x yα α α α− + − = 
F. TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN 
1. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2: 4 4 5 0C x y x y+ − − − = với Ox. 
2. VPT tiếp tuyến tại giao điểm ( ) 2 2: 7 0C x y x y+ − − = với 3 4 3 0x y+ − = 
3. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 2 8 1 0C x y x y+ − + + = // với 5 12 6 0x y+ − = 
4. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 5 0C x y x y+ − + + = // với 2 4 0x y+ + = 
5. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 5 0C x y x y+ − − + = ⊥ với 2 1 0x y− − = 
6. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 6 2 0C x y x y+ − + = ⊥ với 3 6 0x y− + = 
7. VPT tiếp tuyến của ( ) 2 2: 2 8 19 0C x y x y+ + − − = (45°) với 2 1 0x y− + = 
8. VPT tiếp tuyến a. Đi qua A(1, −1) đến: ( ) 2 2: 4 6 4 0C x y x y+ − + + = 
 b. Đi qua A(−3, 3) đến: ( ) 2 2: 7 0C x y x y+ − − = 
 c. Đi qua A(1, 3) đến: ( ) 2 2: 6 2 6 0C x y x y+ − + + =
 d. đi qua A(3, 4) đến: ( ) 2 2: 4 2 0C x y x y+ − − = 
 e. Đi qua A(5, 7) đến: ( ) 2 2: 4 4 5 0C x y x y+ − − − = 
 g. đi qua A(4, 7) đến: ( ) 2 2: 2 4 0C x y x y+ + − = 
 f. Đi qua A(−3, −1) đến: ( ) 2 2: 4 3 0C x y x y+ − − = 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
24 
9. Cho ( ) ( ) ( )2 2 2: 2 1 2 2 8 13 0mC x y m x m y m m+ + − − − + − + = 
a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn. b. VPT tiếp tuyến đi qua A(1, 5) 
đến đường tròn (C4) 
10. VPT tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: 
2 2
1
2 2
2
( ) : 4 8 11 0
( ) : 2 2 2 0
C x y x y
C x y x y
 + − − + =

 + − − − =
2 2
1
2 2
2
( ) : 2 2 2 0
( ) : 6 2 9 0
C x y x y
C x y x y
 + − + − =

 + − − + =
2 2
1
2 2
2
( ) : 10 24 56 0
( ) : 2 4 20 0
C x y x y
C x y x y
 + − + − =

 + − − − =
2 2
1
2 2
2
( ) : 6 5 0
( ) : 12 6 44 0
C x y x
C x y x y
 + − + =

 + − − + =
11. ( ) ( ) ( )2 2 2 2: 1 0; : 2 1 4 5 0mC x y C x y m x my+ − = + − + + − = 
a. Tìm quỹ tích tâm I của họ đường tròn ( )mC 
b. CMR: Có 2 đường tròn của họ ( )mC tiếp xúc với (C). Viết PTTT chung khi đó. 
G. ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ ĐƯỜNG TRÒN TRÒN CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ 
1. Cho 2 28 6 16a b a b+ = + + . Tìm Max, Min 4 3S a b= + 
2. Cho ( )2 2 1 2a b a b+ + = + và ( )2 2 36 12c d c d+ + = + . 
Chứng minh rằng: ( ) ( )2 25 2 7 ` 5 2 7a c b d− ≤ − + − ≤ + 
3. Cho 2 2 1a b+ = và 6c d+ = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 18 6 2c d ac bd+ − − ≥ − 
4. Tìm m để hệ sau có đúng 2 nghiệm 
( )
( )
2 2
2
2 1
4
x y m
x y
 + = +


 + =
5. Tìm m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt 
2 2
0
0
x my m
x y x
+ − =

+ − =
Chứng minh rằng: ( ) ( )2 22 1 2 1 1x x y y− + − ≤ 
6. Tìm m để hệ sau có nghiệm 
2 2
1x y
x y m
 + =

 + <
7. Tìm m để hệ có nhiều nghiệm nhất 
2 2
1 1 1x y
x y m
 − + + =

 + =
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
25 
VI. MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 
Bài 1. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3; 1) và chắn trên đường 
thẳng (∆): 2 4 0x y− + = một dây cung có độ dài bằng 4. 
Giải 
Giả sử (C) chắn trên ∆ một dây cung có độ dài bằng 4. 
Từ I kẻ IH ⊥ AB tại H thì H là trung điểm của AB. 
Khi đó: 1 22HA AB= = và ( ), 5IH d I= ∆ = 
Gọi R là bán kính của (C) ta có: 2 2 5 4 3R IH HA= + = + = 
Phương trình của (C) là: ( ) ( ) 223 1 9x y− + − = 
Bài 2. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(2; 3), B(–1, 1) và 
có tâm nằm trên đường thẳng : 3 11 0x y∆ − − = . 
Giải 
Cách 1: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). Ta có: 
Điểm ( )( ) 3 11;I I t t∈ ∆ ⇒ + . Điểm ( ) 2 2,A B C IA IB R IA IB∈ ⇒ = = ⇔ = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 5 7 5 653 9 3 3 12 1 ; ,2 2 2 2t t t t t I R⇔ + + − = + + − ⇔ = − ⇒ − = 
Phương trình của (C) là: ( ) ( )2 27 5 652 2 2x y− + + = ⇔ 2 2 7 5 14 0x y x y+ − + − = 
Cách 2: Giả sử (C) : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = . Tâm của (C) là I(a; b) ∈ (∆) 
suy ra: 3 11 0a b− − = (1). Ta có: ( ) ( )( )
4 6 13 2
,
2 2 2 3
a b c
A B C
a b c
− − + = −
∈ ⇒ 
− + = −
Từ (1), (2), (3) ta có: 7 5, , 142 2a b c= = − = − . Vậy (C): 
2 2 7 5 14 0x y x y+ − + − = 
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3). Viết phương trình 
đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và có bán kính 10R = . 
Giải 
Gọi ( );I a b là tâm của (C). Từ giả thiết, ta có: 10IA IB R= = = 
( ) ( ) ( )
( )
2 2 22 2 2
22 22
35 2 3
2 3 010 5 10
b aIA IB a b a b
a aIA a b
 = += + − = − + −  
⇒ ⇔ ⇔  
− − ==  + − =  
I 
A B 
(∆) H 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
26 
1 3
2 6
a a
b b
= − = 
⇔ ∨ 
= = 
. Vậy có hai đường tròn cần tìm là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 1 2 10; : 3 6 10C x y C x y+ + − = − + − = 
Bài 4. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) : 5 0x y∆ + − = ; 
bán kính 10R = và tiếp xúc với đường thẳng ( ) :3 3 0d x y+ − = 
Giải 
Tâm ( ) ( );5I I t t∈ ∆ ⇒ − . Đường tròn (C) tiếp xúc với ( ) ( )( ),d d I d R⇔ = 
( )
( )
4 4;12 2 10 1 5
6 6;1110
t It t
t I
 = ⇒+⇔ = ⇔ + = ⇔ 
= − ⇒ −
Vậy có hai đường tròn cần tìm là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 4 1 10 ; : 6 11 10C x y C x y− + − = + + − = 
Bài 5. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :2 0x y∆ + = 
và tiếp xúc với đường thẳng ( ) : 7 10 0d x y− + = tại điểm A(4; 2). 
Giải 
Cách 1: Ta có tâm ( ) ( ); 2I I t t∈ ∆ ⇒ − 25 20IA t⇒ = + . 
Đường tròn (C) tiếp xúc với (d) tại A ( )( ) 23 2, 5 20
2
td I d IA t+⇔ = ⇔ = + 
( ) ( )2 23 2 2 5 20t t⇔ + = + ( )2 12 36 0 6 6; 12 , 10 2t t t I R⇔ − + = ⇔ = ⇒ − = 
Vậy phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( )226 12 200x y− + + = 
Cách 2: Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C). 
Gọi (d′) là đường thẳng vuông góc với (d) tại A ( ) :7 0d x y c′⇒ + + = 
( ) ( )30 :7 30 0A d c d x y′ ′∈ ⇒ = − ⇒ + − = 
Do (C) tiếp xúc với (d) tại A nên ( )I d ′∈ 
Mặt khác ( )I ∈ ∆ nên tọa độ I thỏa mãn hệ 
( )7 30 0 6; 12 10 2
2 0
x y
I IA
x y
+ − =
⇒ − ⇒ =
+ =
Vậy phương trình của (C) là: ( ) ( )226 12 200x y− + + = . 
I 
A 
(∆ ) 
(d) 
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
27 
Bài 6. Viết phương trình đường tròn (C) có bán kính R = 5 và tiếp xúc với 
đường thẳng ( ) :3 4 31 0x y∆ − − = tại điểm A(1; –7). 
Giải 
Đường thẳng (d) ⊥ (∆) tại A(1; –7) có phương trình tham số (d): 1 3
7 4
x t
y t
= +

= − −
Do (C) tiếp xúc với (∆) tại A nên có tâm ( ) ( )1 3 , 7 4I d I t t∈ ⇒ + − − 
Mặt khác: ( )( ) ( )( )
1 2, 325
, 5 15 1 4, 11
t Itd I R t
t I
 = − ⇒ = − −
∆ = ⇔ = ⇔ = ⇔ 
= ⇒ −
Vậy có hai đường tròn cần tìm là: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 21 2: 2 3 25 ; : 4 11 25C x y C x y+ + + = − + + = 
Bài 7. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua điểm A(6; 4) và tiếp xúc với 
đường thẳng ( ) : 2 5 0x y∆ + − = tại điểm B(3; 1). 
Giải 
Gọi I, R lần lượt là tâm và bán kính của (C); đường thẳng (d)⊥(∆) tại B(3;1) 
( ) :2( 3) ( 1) 0d x y⇒ − − − = ⇔ ( ) : 2 5 0d x y− − = 
Do (C) tiếp xúc với (∆) tại B nên tâm ( ) ( )I I ; 2 5d t t∈ ⇒ − 
Mặt khác: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 6 9 2 3 6 2 4IA IB IA IB t t t t t= ⇔ = ⇔ − + − = − + − ⇔ = 
( )I 4;3 ; 5R IA⇒ = = . Phương trình đường tròn (C) là: ( ) ( )224 3 5x y− + − = . 
Bài 8. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I∈ ( ) :4 3 2 0x y∆ + − = ; 
tiếp xúc với hai đường thẳn ... là: ( ) ( ) 221 2 5x y+ + − = . 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
30 
Bài 13. Lập phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua gốc tọa độ O và cắt đường 
tròn (C): ( ) ( )221 3 25x y− + + = theo một dây cung có độ dài bằng 8. 
Giải 
Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5. 
Phương trình đường thẳng qua O là: ( )2 20 0ax by a b+ = + > 
Giả sử ( )∆ cắt (C) theo dây cung AB có độ dài bằng 8. 
Kẻ IH ⊥ ( )∆ tại H thì H là trung điểm của đoạn AB 4
2
ABHA⇒ = = 
Tam giác IHA vuông tại H, ta có: 2 2 25 16 3IH IA HA= − = − = . Mặt khác: 
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2
2 2
3
, 3 3 9 4 3 0a bd I IH a b a b a ab
a b
−∆ = ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + =
+
0 : 1
4 : 3, 43
A chon B
B A chon A B
= =
⇔
= − = = −

. Suy ra: ( ) ( )1 2: 0; : 3 4 0y x y∆ = ∆ − = . 
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho đường tròn 
(C) có phương trình: 2 2 2 4 20 0x y x y+ + − − = và điểm A(3; 0). Viết phương 
trình đường thẳng ( )∆ đi qua điểm A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung 
MN sao cho a. MN có độ dài lớn nhất. b. MN có độ dài nhỏ nhất. 
Giải 
a. Đường tròn (C) có tâm I(–1,2), bán kính R = 5 
Dây MN lớn nhất khi MN là đường kính của (C). 
Do đó ( )∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, I. 
Phương trình của ( )∆ là: 3 2 3 0
1 3 2
yx x y− = ⇔ + − =
− −
b. Ta có: ( )4; 2 2 5IA IA= − ⇒ =

 
Kẻ IH ⊥ MN tại H. Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất. 
Ta có: 
max
2 5 2 5IH IA IH≤ = ⇒ = khi ( )H A IA≡ ⇒ ∆ ⊥ tại A 
( )∆ qua A và nhận IA



 làm vectơ pháp tuyến có phương trình: 
( ) ( )4 3 2 0 0 2 6 0x y x y− − − = ⇔ − − = 
I 
M N 
(∆) H A 
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
31 
Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 
2 2 2 4 4 0x y x y+ − + + = . Viết PT đường thẳng ( )∆ // ( ) : 3 4 7 0d x y+ − = 
 và chia đường tròn (C) thành hai cung mà tỉ số độ dài bằng 2. 
Giải 
Đường tròn (C) có tâm ( )1; 2I − và bán kính R = 1 
( ) ( ) ( ) ( )// :3 4 0 7d x y c c∆ ⇒ ∆ + + = ≠ − 
Giả sử ( )∆ chia hai đường tròn (C) 
thành hai cung 
AmB và 
AnB sao cho: 
sđ
AmB = 2 sđ 
AnB ⇒ sđ 
AnB =120° ⇒  o120AIB = 
Kẻ IH ⊥ AB tại H, ta có:   o o1 160 .cos 60
2 2
AIH AIB IH IA= = ⇒ = = 
Mặt khác: ( ) 5 15 51, 5 2 2 2
cd I IH c c−∆ = ⇔ = ⇔ = ∨ = 
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: ( ) ( )1 215 5:3 4 0; :3 4 02 2x y x y∆ + + = ∆ + + = 
Bài 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình: 
2 2 2 4 4 0x y x y+ − + + = có tâm I và điểm M(–1; –3). Viết phương trình đường 
thẳng (d) đi qua điểm M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và b sao cho tam 
giác IAB có diện tích lớn nhất. 
Giải 
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. 
Phương trình đường thẳng (d) qua M có dạng: 
( ) ( ) ( )2 21 3 0 0 2 0a x b y a b ax by a b+ + + = + ≠ ⇔ + + + = 
Diện tích tam giác IAB là: 91 . sin ,
2 2
S IA IB= ϕ = với AIBϕ = và ( )0;ϕ∈ pi 
9max
2
S⇒ = đạt được khi sin 1
2
piϕ = ⇒ ϕ = . 
Kẻ IH ⊥ AB tại H, ta có:   31 .cos
2 4 4 2
AIH AIB IH IApi pi= = ⇒ = = . Mặt khác: 
( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2, 2 2 9 7 8 0d I d IH a b a b b ab a= ⇔ + = + ⇔ − + = 7b a a b⇔ = ∨ = . 
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là: ( ) ( )1 2: 4 0; :7 10 0d x y d x y+ + = + + = . 
A B 
(d) 
H 
I 
m 
n 
A B 
(d) 
H 
I 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
32 
VII. TIẾP TUYẾN CHUNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 
Cho ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 1:C x a y b R− + − = và ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2:C x a y b R− + − = . 
Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). 
1. PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT: 
(C1) có tâm ( )1 1 1;I a b bán kính R1 và (C2) có tâm ( )2 2 2;I a b bán kính R2. 
Xét (∆): 0Ax By C+ + = ( )2 2 0A B+ ≠ là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
⇒ 
( )
( )
1 1
2 2
,
,
d I R
d I R
 ∆ =


∆ =
 ⇔ 1 1 2 21 12 2 2 2
;
Aa Bb C Aa Bb C
R R
A B A B
+ + + +
= =
+ +
Từ đó suy ra hệ 2 phương trình ba ẩn A, B, C. Giải 2 ẩn theo 1 ẩn rồi rút gọn 
(ví dụ: giải A, C theo B) suy ra phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
Ví dụ: Cho ( ) 2 21 : 9C x y+ = và ( ) 2 22 : 6 8 0C x y x+ − + = . 
 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
Giải: ( ) 2 21 : 9C x y+ = có tâm ( )1 0;0I O≡ bán kính R1 = 3 ; 
 ( ) ( )2 22 : 3 1C x y− + = có tâm ( )2 3;0I bán kính R2 = 1. 
Xét (∆): 0Ax By C+ + = ( )2 2 0A B+ ≠ là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
⇒ 
( )
( )
( )
( )
2 21 2 2
2 2
2 2 2
.0 .0
, 3 3 1
3 0.
, 1 3 2
A B Cd I C A BA B
A B Cd I A C A B
A B
 + +∆ = =  = + + ⇔ + + ∆ = = + = + +
3 3C A C⇒ = + ⇒
9
9 3 2
9 3 9
4
ACC A C
C A C AC
−
=
= + 
⇔ 
 = − − − =

Xét 92
AC = − : Từ hệ thức (1) ta suy ra: 
2 2 2 2 2 2 2 53 9 5
2 4 4 2
A A B A A B A B B A− = + ⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 
(∆): 5 59 90 0 2 5 9 02 2 2 2Ax Ay A x y x y± − = ⇔ ± − = ⇔ ± − = 
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
33 
Xét 94C A= − : Từ hệ thức (1) ta suy ra: 
2 2 2 2 2 2 23 9 7 0 0
4 16 16
A A B A A B A B A B− = + ⇔ = + ⇔ + = ⇔ = = ⇒ vô lý 
Vậy (C1) và (C2) có 2 đường tiếp tuyến chung là: 
( )1 : 2 5 9 0d x y− − = và ( )2 : 2 5 9 0d x y+ − = 
2. PHƯƠNG PHÁP TIẾP ĐIỂM: 
Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( ) ( )0 0 1,M x y C∈ , khi đó 
( ) ( )2 2 20 1 0 1 1x a y b R− + − = (1) 
và phương trình tiếp tuyến có dạng (∆): ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0x a x x y b y y− − + − − = 
(∆) tiếp xúc (C2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 1 2 0 0 1 2 0
2 2 22 2
0 1 0 1
,
x a a x y b b y
d I R R
x a y b
− − + − −
∆ = ⇔ =
− + −
 (2) 
Từ (1), (2) ⇒ 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0 1 0 1 1
0 1 2 0 0 1 2 0 1 2
x a y b R
x a a x y b b y R R

− + − =


− − + − − = ⋅
Giải hệ ⇒ tọa độ ( )0 0,M x y ⇒ Phương trình tiếp tuyến. 
Ví dụ: Cho ( ) 2 21 : 4C x y+ = và ( ) 2 22 : 2 2 1 0C x y x y+ − − + = . 
 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
Giải: (C1) có tâm ( )1 0;0I O≡ bán kính R1 = 2; 
( ) ( ) ( )222 : 1 1 1C x y− + − = có tâm ( )2 1;1I bán kính R2 = 1 
Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( )0 0,M x y , khi đó 2 20 0 4x y+ = (1) 
và phương trình tiếp tuyến có dạng: (∆): 0 0 4 0x x y y+ − = . 
Đường thẳng (∆) tiếp xúc với (C2) ⇔ ( ) 0 02 2 2 2
0 0
4
, 1
x y
d I R
x y
+ −
∆ = ⇔ =
+
2 2
0 0 0 04 2x y x y⇒ + − = + =
0 0 0 0
0 0 0 0
6 6
2 2
x y y x
x y y x
+ = = − 
⇒  ⇔ 
 + = = − 
. 
Kết hợp với 2 20 0 4x y+ = ⇒
0 0
0 0
2; 0
0; 2
x y
x y
= =

 = =
⇒ 2 tiếp tuyến chung là: 2x = và 2y = 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
34 
3. PHƯƠNG PHÁP XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG TRÒN: 
TH1: 1 2 1 2I I R R> + ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung. 
Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung ngoài // 1 2I I , 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau 
tại K là trung điểm của 1 2I I 
Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J và 2 tiếp tuyến chung 
trong cắt nhau tại K. 
TH2: 1 2 1 2I I R R= + ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài ⇒ có 3 tiếp tuyến chung. 
Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung ngoài song song với 1 2I I , tiếp tuyến chung 
trong đi qua tiếp điểm K là trung điểm của 1 2I I và vuông góc với 1 2I I . 
Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, tiếp tuyến chung trong 
đi qua tiếp điểm K của (C1), (C2). 
TH3: 1 2 1 2 1 2R R I I R R− < < + ⇒ (C1) và (C2) cắt nhau ⇒ có 2 tiếp tuyến chung. 
Nếu 1 2R R= thì 2 tiếp tuyến chung song song với 1 2I I . Nếu 1 2R R≠ thì 2 tiếp 
tuyến chung cắt nhau tại J. 
I1 I2 I2 
I1 J 
K I1 I2 K I2 I1 J 
K I1 I2 K I2 I1 J 
www.VNMATH.com
Bài 3. Đường tròn 
35 
TH4: 1 2 1 2I I R R= − ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc trong ⇒ có 1 tiếp tuyến chung. 
Nếu 1 2R R≠ thì (C1) và (C2) có 1 tiếp tuyến 
chung tại tiếp điểm K của 2 đường tròn. 
Nếu 1 2R R= thì 2 đường tròn trung nhau 
⇒ vô số tiếp tuyến chung 
TH5: 1 2 1 2I I R R< − ⇒ (C1) và (C2) nằm trong nhau ⇒ không có tiếp tuyến chung 

 Cách xác định tọa độ điểm J, K: 
Ta có: 1 1 1
2 2 2
KI R JI
KI R JI
= = ⇒ 1 11 2 1 2
2 2
;
R R
KI KI JI JI
R R
= − =



 


 

 



 ⇒ Tọa độ 2 điểm J, K 
Phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) là phương trình tiếp tuyến đi 
qua J, K của (C1), (C2). 

 Sau khi tìm được tọa độ của J và K, ta viết phương trình tiếp tuyến chung 
theo phương pháp sau: 
Cách 1: Đường thẳng đi qua J là (∆): ( ) ( ) 0J JA x x B y y− + − = ( )2 2 0A B+ > 
tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( ) ( )1 11 1 12 2,
J JA a x B b yd I R R
A B
− + −
∆ = ⇔ =
+
⇒ Tính B theo A hoặc tính A theo B, rút gọn ⇒ (∆) 
Cách 2: Giả sử tiếp tuyến chung tiếp xúc với (C1) tại ( )0 0,M x y , khi đó 
( ) ( )2 2 20 1 0 1 1x a y b R− + − = (1) và phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng: 
( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0x a x x y b y y− − + − − = (2) 
Điểm J ∈ (∆) ⇔ ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 0 1 0 0J Jx a x x y b y y− − + − − = (3). 
Từ (1) và (3) suy ra ( )0 0,M x y , thay vào (2) ⇒ Phương trình tiếp tuyến (∆) 
Ví dụ 1: Cho ( ) 2 21 : 4 3 0C x y x+ + + = và ( ) 2 22 : 8 12 0C x y x+ − + = . 
 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
Giải: (C1) tâm ( )1 2;0I − , R1 = 1; (C2) tâm ( )2 4;0I , R2 = 2. 
Ta có: 1 2 1 26I I R R= > + ⇒ (C1) và (C2) ngoài nhau ⇒ có 4 tiếp tuyến chung. 
Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J, 2 tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K 
Ta có 1 1 1
2 2 2
KI R JI
KI R JI
= = ⇒ 1 2 1 2
1 1;
2 2
KI KI JI JI= − =



 


 

 



 ⇒ ( ) ( )0;0 , 8;0K O J≡ − 
I2 
I1 K 
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 
36 
Đường thẳng đi qua J có phương trình (∆): ( )8 0A x By+ + = ( )2 2 0A B+ > 
tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( )1 2 22 8 .0, 1 1A Bd I A B
− + +∆ = ⇔ =
+
2 2 2 26 35 35A A B A B B A⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 
(∆): ( )8 0A x By+ + = ⇔ ( )8 35 0 35 8 0A x Ay x y+ ± = ⇔ ± + = 
Đường thẳng đi qua K có phương trình (∆): 0Ax By+ = ( )2 2 0A B+ > 
tiếp xúc với (C1) ⇔ ( ) ( )1 2 22 0 .0, 1 1A Bd I A B
− + +∆ = ⇔ =
+
2 2 2 22 3 3A A B A B B A⇔ = + ⇔ = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 
(∆): 0Ax By+ = ⇔ 3 0 3 0Ax Ay x y± = ⇔ ± = 
Vậy (C1) và (C2) có 4 tiếp tuyến chung là: 35 8 0x y± + = và 3 0x y± = 
Ví dụ 2: Cho ( ) ( ) ( )221 : 1 1 1C x y− + − = và ( ) ( ) ( )222 : 2 3 16C x y+ + + = . 
 Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 
Giải: (C1) tâm ( )1 1;1I , bán kính R1 = 1; (C2) tâm ( )2 2; 3I − − , bán kính R2 = 4. 
Ta có: 1 2 1 25I I R R= = + ⇒ (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài tại K 
⇒ có 3 tiếp tuyến chung. Hai tiếp tuyến chung ngoài cắt nhau tại J. 
Ta có 1 1 1
2 2 2
KI R JI
KI R JI
= = ⇒ 1 2 1 2
1 1;
2 2
KI KI JI JI= − =



 


 

 



 ⇒ ( )2 1;5 5K , ( )72; 3J 
Đường thẳng đi qua J là (∆): ( ) ( )72 03A x B y− + − = ( )2 2 0A B+ > 
tiếp xúc với (C1) ⇔ ( )
( ) ( )
1 2 2
71 2 1 3
, 1 1
A B
d I
A B
− + −
∆ = ⇔ =
+
( )2 22 2 27 84 0 0 7 243 9 3A B A B B AB B B A⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ∨ = 
- Với 24
7
B A= ⇒ A ≠ 0 ⇒ (∆): ( ) ( )7242 0 7 24 30 07 3A x A y x y− + − = ⇔ + − = 
- Với B = 0 ⇒ A ≠ 0 ⇒ (∆): ( )2 0 2A x x− = ⇔ = 
Đường thẳng qua K ( )2 1;5 5 với véctơ pháp tuyến ( )2 1 3; 4I I


 có PT: 3 4 2x y+ = 
Vậy (C1), (C2) có 3 tiếp tuyến chung là: 7 24 30 0x y+ − = ; 2x = và 3 4 2x y+ = 
www.VNMATH.com