Ôn thi Toán 12: Các bài toán về nguyên lý đếm

Các bài toán về nguyên lý đếm 
251 
CÁC BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN LÝ ĐẾM 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Chỉnh hợp 
Cho một tập hợp gồm n phần tử (1 n≤ ∈
 ) . Mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử 
trong số n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phân tử đó. 
Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: ( ) ( ) ( )
!1 ... 1
!
k
n
nA n n n k
n k
= − − + =
−
2. Hoán vị: Một chỉnh hợp chập n của n phần tử được gọi là mọt hóan vị của n 
phần tử đó. Số các hoán vị của n phần tử là: ( )1 ....2.1 !n
n n
P A n n n= = − = 
3. Tổ hợp: Cho một tập hợp n phần tử phân biệt. Mỗi tập con gồm k phần tử 
phân biệt không sắp thứ tự ( 0 k n≤ ≤ ), lấy trong số n phân tử đã cho là một tổ 
hợp chập k của n phần tử. 
Số các tổ hợp chập k của n phần tử là: ( )
!1
! ! !
k k
n n
nC Ak k n k
= ⋅ =
−
4. Qui tắc cộng 
Cho 1 2, , ..., nX X X là các tập hợp hữu hạn không giao nhau: i jX X = ∅∩ thì 
1 2 1 1 2 1... ...n n n nX X X X X X X X− −= + + + +∪ ∪ với iX là số phần tử. 

 Ý nghĩa số học: 
Giả sử một phép chọn được thực hiện qua n bước độc lập với nhau trong đó: 
Bước 1 có 1p cách thực hiện; Bước 2 có 2p cách;  Bước n có np cách. 
Khi đó có 1 2 ... np p p+ + + cách khác nhau thực hiện phép chọn. 
5. Qui tắc nhân 
Cho Cho 1 2, , ..., nX X X là các tập hợp hữu hạn với số phần tử: i iX p= , khi đó: 
 1 2 1 1 2 1... ...n n n nX X X X p p p p− −× × × × = × × × × 

 Ý nghĩa số học: 
Giả sử một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp trong đó: 
Bước 1 có 1p cách thực hiện; Bước 2 có 2p cách ;  Bước n có np cách . 
Khi đó có 1 2 1... n np p p p−× × × × cách khác nhau thực hiện phép chọn. 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
252 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN TRONG NGUYÊN LÝ ĐẾM 
II.1. PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO SỐ 
Giả sử m, n là các số nguyên dương với m ≤ n thì: 
1) Số cách viết m trong n chữ số khác nhau vào m vị trí định trước là m
n
A 
2) Số cách viết m chữ số khác nhau trong n vị trí định trước là m
n
A 
(ở n m− vị trí còn lại không thay đổi chữ số) 
3) Số cách viết m chữ số giống nhau trong n vị trí định trước là n m m
n n
C C− = 
4) Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, số các số có m chữ số tạo 
thành từ chúng là ( ) 111 mnn A −−− 
Thực vậy, có ( )1n − cách chọn chữ số đứng đầu, sau đó áp dụng mệnh đề 2. 
Sau đây là các dạng toán thường gặp. 
A. Dạng 1. SỐ TẠO THÀNH CHỨA CÁC CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC. 
Cho tập hợp gồm n chữ số, trong đó có chữ số 0, từ chúng viết được bao nhiêu 
số có m chữ số khác nhau sao cho trong đó có k chữ số định trước (thuộc n 
chữ số trên) với k m n< ≤ . 
Cách giải: Số tạo thành gồm m vị trí 1 2 ... ma a a . Gọi tập hợp k chữ số đinh 
trước là X. Ta xét hai bài toán nhỏ theo các khả năng của giả thiết về tập hợp X 
và chữ số 0 như sau: 
1) Trong X chứa chữ số 0 
Ta có ( )1m − cách chọn vị trí cho số 0; 
Số cách chọn ( )1k − chữ số khác 0 thuộc X trong ( )1m − vị trí còn lại là 1m kmA −− 
theo mệnh đề (1) . 
Theo qui tắc nhân, ta được số các số đó là ( ) 111 k m km n kS m A A− −− −= − ⋅ 
2) Trong X không chứa chữ số 0 
Bước 1: Tính số các số tạo thành chứa chữ số 0. 
Lần lượt có ( )1m − cách chọn vị trí cho 0 ; 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
253 
Số cách viết k chữ số thuộc X vào ( )1m− vị trí còn lại là 1kmA − theo mệnh đề 2; 
Số cách chọn ( )1m k− − trong số ( )1n k− − chữ số khác 0 mà không thuộc X 
vào ( )1m k− − vị trí còn lại là 11m kn kA − −− − theo mệnh đề 1. Theo qui tắc nhân, ta 
được số các số đó là: ( ) 11 1 11 k m km n kS m A A − −− − −= − ⋅ 
Bước 2: Tính số các số tạo thành không chứa chữ số 0. 
Số cách viết k chữ số thuộc X trong m vị trí là k
m
A theo mệnh đề 2; 
Số cách chọn ( )m k− trong số ( )1n k− − chữ số khác 0 mà không thuộc X vào 
( )m k− vị trí còn lại là 1m kn kA −− − theo mệnh đề 1. Theo qui tắc nhân, ta được số 
các số đó là: 2 1
k m k
m n kS A A
−
− −
= ⋅ 
Bước 3: Theo qui tắc cộng, ta được số các số tạo thành thỏa mãn bài toán là: 
1 2S S S= + 
Bài mẫu. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 
6 chữ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 0 và 1? 
Giải: Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 0. 
Với mỗi cách chọn trên lại có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 1 và có 48A cách 
chọn vị trí cho 4 trong 8 chữ số còn lại. 
Vậy có tất cả 485.5. 42000A = số gồm 6 chữ số khác nhau và trong các chữ số 
đó có mặt chữ số 0 và 1. 
B. Dạng 2. SỐ TẠO THÀNH KHÔNG CHỨA HAI CHỮ SỐ ĐỊNH TRƯỚC CẠNH NHAU 
Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết được bao nhiêu số có m ( m n≤ ) chữ số 
khác nhau mà trong đó có hai chữ số định trước nào đó không đứng cạnh nhau. 
Cách giải: Số tạo thành có dạng 1 2 ... ma a a và 2 chữ số định trước là ,x y 
(thuộc n chữ số đã cho) . Ta xét ba bài toán nhỏ theo các khả năng của giả 
thiết về chữ số ,x y và chữ số 0 như sau: 
1) Nếu n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và hai chữ số định trước x, y khác 0. 
Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
254 
Có 1n − cách chọn vị trí cho chữ số 0 và áp dụng mệnh đề 2 được số các số đó 
là: ( ) 11 11 mnS n A −−= − 
Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số ,x y cạnh nhau theo thứ tự xy và yx . 
TH1: 1 2a a xy= . Khi đó mỗi số 3 ... ma a ứng với một chỉnh hợp chập ( )2m − 
của ( )2n − chữ số khác x, y. Số các số đó là: 22 2mnS A −−= theo mệnh đề 1. 
TH2: 1 2a a xy≠ . Lần lượt ta có ( )3n − cách chọn chữ số cho 1a ≠ 0, x, y ; 
( )2m − cách chọn vị trí cho xy ; Số cách chọn ( )3m − trong ( )3n − chữ số còn 
lại khác 1 , ,a x y cho ( )3m − vị trí còn lại là 33mnA −− theo mệnh đề 1. 
Theo qui tắc nhân, số các số đó là: ( ) ( ) 33 33 2 mnS n m A −−= − − . 
Từ 2 trường hợp trên, ta được số các số có chứa xy là 2 3S S+ . 
Tương tự có 2 3S S+ số chứa yx . 
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: ( )1 2 32S S S S= − + . 
2) Nếu n chữ số đã cho chứa chữ số 0 và một trong hai chữ số định trước bằng 0. 
Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì: ( ) 11 11 mnS n A −−= − 
Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số x và 0 cạnh nhau: ( ) 22 22 3 mnS m A −−= − 
 (có m – 1 cách viết 0x và m – 2 cách viết 0x vào m vị trí) 
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: 1 2S S S= − . 
3) Nếu n chữ số đã cho không chứa chữ số 0: ( ) 222 1m mn nS A m A −−= − − 
Bài 1. Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lậo được bao nhiêu số có 6 chữ số 
khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số mà chữ số 1 và chữ số 6 không đứng 
cạnh nhau? 
Giải: Bước 1: Tính số các số tạo thành một cách bất kì 
Có 6 cách chọn chữ số đầu tiên khác 0 và có 56A cách chọn 5 trong 6 số vào 5 
vị trí còn lại. Vậy có 566A số có 6 chữ số tạo thành từ các chữ số trên. 
Bước 2: Tính số các số có 2 chữ số 1, 6 cạnh nhau theo thứ tự 16 và 61. 
TH1: Nếu 2 chữ số đầu tiên là 1, 6, khi đó có 2! cách đảo vị trí 2 số này. 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
255 
Có 45A cách chọn 4 trong 5 số vào 4 vị trí còn lại. Vậy có 
4
52A số có 6 chữ số 
tạo thành từ các chữ số trên và có 2 số đầu tiên là 1 và 6. 
TH2: Nếu số đầu tiên khác 1 và 6, khi đó có 4 cách chọn để số này khác 0. 
Có 4 cách chọn vị trí cho 2 số 1 và 6 cạnh nhau. 
Có 34A cách chọn 3 trong 4 số vào 3 vị trí còn lại. 
Mặt khác ta có 2! cách đảo vị trí 2 số 1 và 6 cạnh nhau. Vậy có 344.4. .2!A số có 
6 chữ số có hai số 1, 6 đứng cạnh nhau và không đứng đầu tiên. 
Bước 3: Vậy số các số thỏa mãn bài toán là: ( )5 4 36 5 46 2 4.4. 3312S A A A= − + = . 
C. Dạng 3. SỐ TẠO THÀNH CHỨA CHỮ SỐ LẶP LẠI 
Ví dụ: Có bao nhiêu số tự nhiên só 6 chữ số sao cho trong đó có 1 chữ số xuất 
hiện 3 lần, 1 chữ số khác xuất hiện 2 lần và 1 chữ số khác 2 chữ số trên. 
Lời giải: Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, lần lượt: 
Có 10 cách chọn chữ số xuất hiện 3 lần và có 36C cách chọn 3 trong 6 vị trí cho 
chữ số đó. Sau đó có 9 cách chọn chữ số xuất hiện 2 lần và có 23C cách chọn 2 
trong 3 vị trí còn lại cho chữ số đó. Tiếp theo có 8 cách chọn chữ số cho vị trí 
còn lại cuối cùng. Ta được số các số đó là: 3 2 3 26 3 6 310. .9. .8 720. .S C C C C= = . 
Do vai trò của 10 chữ số 0, 1,  9 là như nhau nên số các số có chữ số đứng 
đầu khác 0 thỏa mãn bài toán là: 3 26 3
9 648. .10 S C C= 
Bài toán tổng quát: Cho tập hợp gồm n chữ số, từ chúng viết được bao nhiêu 
số có m chữ số sao cho trong đó có một chữ số xuất hiện k lần, một chữ số 
khác xuất hiện q lần với k q m+ = . 
Cách giải: Ta xét hai bài toán nhỏ dưới đây: 
1) Nếu n chữ số đã cho có chứa chữ số 0. 
Bước 1: Nếu kể cả trường hợp chữ số 0 đứng đầu, ta thấy: 
Có n cách chọn chữ số xuất hiện k lần và có k
m
C cách chọn k trong m vị trí 
cho chữ số đó. Sau đó có ( )1n − cách chọn chữ số xuất hiện q lần cho q vị trí 
còn lại. Theo qui tắc nhân ta tính được số các số đó là: ( )1 k
m
S n n C= − 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
256 
Bước 2: Vai trò của n chữ số như nhau nên số các số có chữ số đứng đầu khác 0 
thỏa mãn bài toán là: 1n S
n
−
2) Nếu n chữ số đã cho không chứa chữ số 0: ( )1 k
m
S n n C= − 
Bài 1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số 
trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần còn mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần. 
Giải 
Xét 8 chữ số hình thức 0, 1a, 1b, 1c, 2, 3, 4, 5. Ta sẽ lập số gồm 8 chữ số trên. 
Chữ số đầu tiên (hàng chục triệu) không thể là 0 nên có 7 cách chọn. Mỗi chữ 
số tiếp sau có thể là số bất kỳ trong 7 chữ số còn lại nên có 7! cách chọn. Như 
vậy tất cả có 7.7! số có 8 chữ số. Do1a = 1b = 1c = 1 nên các chữ số trên đã lặp 
lại 3! = 6 lần. Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là 7.7! 58803! = số. 
Bài 2. Cho tập hợp { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7A = 
a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 12 chữ số sao cho chữ số 5 có mặt 
3 lần, chữ số 6 có mặt 4 lần còn lại chữ số khác có mặt 1 lần? 
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho có 1 chữ số lặp 
lại 4 lần; một chữ số khác lặp lại 2 lần và một chữ số khác với hai chữ số trên? 
Giải 
a. + Có 312C cách chọn vị trí cho 3 chữ số 5 
+ Có 49C cách chọn vị trí cho 4 chữ số 6. 
+ Có 5! cách xếp 5 chữ số còn lại vào 5 vị trí. 
Vậy có tất cả: 3 412 9. .5! 3326400C C = số cần tìm. 
b. Bước 1: Có 7 cách chọn chữ số lặp lại 4 lần từ 7 chữ số đã cho. 
 Có 47C cách chọn vị trí cho 4 chữ số này. 
Bước 2: Có 6 cách chọn chữ số lặp lại 2 lần từ 6 chữ số đã cho còn lại 
 Có 23C cách chọn vị trí cho 2 chữ số này. 
Bước 3: Có 5 cách chọn chữ số xuất hiện 1 lần từ 5 chữ số đã cho còn lại. 
Vậy số các số cần tìm là: 4 27 37. .6. .5 22050C C = số. 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
257 
II.2. CÁC DẠNG BÀI TOÁN SỐ HỌC TÍCH HỢP SỰ VẬT, HIỆN TƯỢNG 
A. Dạng 1: BÀI TOÁN CHỌN VẬT 
1) Đặc trưng của bài toán: 
Chọn một tập hợp gồm có k phần tử từ n phần tử khác nhau, k phần tử không 
có tính chất gì thay đổi nếu như hoán vị k vị trí của nó. Đây chính là đặc điểm 
để nhận dạng sử dụng công thức tổ hợp. 
2. Phương pháp: 
Bước 1: Liệt kê các tính chất có thể có của tập con cần chọn 
Bước 2: Phân chia trường hợp (nếu có) 
Bước 3: Tính số cách chọn bằng cách dựa vào công thức k
n
C . 
Bước 4: Dùng quy tắc nhân và quy tắc cộng ⇒ kết quả của bài toán 
Bài 1. ...  khoa? 
b) Có bao nhiêu cách lấy 7 cuốn trong đó có ít nhất 4 cuốn sách giáo khoa? 
Giải 
a) Có 210C cách lấy bất kỳ 2 cuốn trong 10 cuốn sách giáo khoa; Có 47C cách 
chọn 4 cuốn còn lại trong 7 cuốn sách tham khảo. Vậy có 2 410 7 1575C C = cách. 
b) Có 4 310 7C C cách chọn trong đó có 4 cuốn SGK và 3 cuốn sách tham khảo 
Có 5 210 7C C cách chọn trong đó có 5 cuốn SGK và 2 cuốn sách tham khảo. 
Có 6 110 7C C cách chọn trong đó có 6 cuốn SGK và 1 cuốn sách tham khảo. 
Có 7 010 7C C cách chọn trong đó có 7 cuốn SGK và 0 cuốn sách tham khảo. 
Vậy có 4 3 5 2 6 1 7 010 7 10 7 10 7 10 7 14232C C C C C C C C+ + + = cách. 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
259 
B. Dạng 2: BÀI TOÁN CHỌN NGƯỜI 
Bài 1. Lớp 11A của Tuấn có 11 học sinh nam và 18 học sinh nữ. 
a. Có bao nhiêu cách chọn ra một đội văn nghệ gồm 10 người đủ nam và nữ. 
b. Chọn ra một tổ trực nhật gồm 13 người, trong đó có 1 tổ trưởng. Hỏi có bao 
nhiêu cách chọn nếu Tuấn luôn có mặt trong tổ và chỉ là thành viên? 
Giải 
a. Bước 1: Chọn 10 người bất kì trong 29 người cả nam và nữ có 1029C cách 
Bước 2: Chọn 10 người đều là nam có 1011C cách 
Bước 3: Chọn 10 người đều là nữ có 1018C cách 
Vậy có 10 10 1029 11 18 19986241C C C− − = cách chọn. 
b. Do Tuấn luôn có mặt trong tổ nên chỉ chọn thêm 12 người trong 28 người 
còn lại. Có 128C cách chọn 1 tổ trưởng và 
11
27C cách chọn 11 thành viên còn lại. 
Vậy có 1 1128 26. 216332480C C = cách chọn. 
Bài 2. Một trường trung học có 7 thầy dạy Toán, 6 thầy dạy Lý và 4 thầy dạy 
Hóa. Chọn từ đó ra một đội có 5 thầy dự đại hội. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 
để có đủ 3 bộ môn? 
Giải 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 3 thầy dạy Hóa có 1 1 23 5 8C C C cách 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 2 thầy dạy Lý, 2 thầy dạy Hóa có 1 2 27 6 4C C C cách 
Chọn 1 thầy dạy Toán, 3 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 1 3 17 6 4C C C cách 
Chọn 2 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 2 thầy dạy Hóa có 2 1 27 6 4C C C cách 
Chọn 2 thầy dạy Toán, 2 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 2 2 17 6 4C C C cách 
Chọn 3 thầy dạy Toán, 1 thầy dạy Lý, 1 thầy dạy Hóa có 3 1 17 6 4C C C cách 
Vậy có tất cả: 1 1 3 1 2 2 1 3 1 2 1 2 2 2 1 3 1 17 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4 7 6 4C C C C C C C C C C C C C C C C C C+ + + + + 
168 630 560 756 1260 840 4214= + + + + + = cách chọn. 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
260 
Số cách chọn 5 thầy bất kì trong 17 thầy là: 517C 
Số cách chọn 5 trong 13 thầy dạy Toán và Lý là: 513C 
Số cách chọn 5 trong 11 thầy dạy Toán và Hóa là: 511C 
Số cách chọn 5 trong 10 thầy dạy Lý và Hóa là: 510C 
Vậy số cách chọn có đủ cả 3 bộ môn là: 5 5 5 517 13 11 10 4187C C C C− − − = cách 
6188 1287 462 252− − − 
Bài 3. Lớp 12A của Tiến có 30 học sinh. 
a. Hãy chọn trong lớp Tiến một tổ trực nhật có 11 người, trong đó có 1 tổ 
trưởng và còn lại các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn có 
mặt trong tổ? 
b. Hãy chọn trong lớp Tiến một đội văn nghệ có 8 người, trong đó có 1 đội 
trưởng, 1 thư ký và các thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Tiến luôn 
có mặt trong đội? 
Giải 
a. Khi Tiến luôn có mặt trong tổ thì Tiến có thể là tổ trưởng hoặc thành viên. 
Xét 2 trường hợp sau: 
TH1: Nếu Tiến là tổ trưởng thì có 1029C cách chọn 10 thành viên còn lại 
TH2: Nếu Tiến là thành viên thì có 129C cách chọn tổ trưởng và có 
9
28C cách 
chọn 9 thành viên còn lại suy ra có 1 929 28.C C cách chọn 
Vậy có tất cả: 10 1 929 29 28. 20030010+200300100=220330110C C C+ = cách chọn. 
Chú ý: Có 1029C cách chọn 10 thành viên còn lại để có tổ trực nhật 11 người 
trong đó có Tiến. Có 11 cách chọn 1 trong số đó làm tổ trưởng do đó số cách 
chọn là: 102911. 220330110C = cách. 
b. Có 729C cách chọn 7 thành viên còn lại để được đội văn nghệ 8 người trong 
đó có Tiến. Có 8 cách chọn đội trưởng và ứng với mỗi cách lại có 7 cách chọn 
thư kí. Vậy tổng số cách chọn là: 72956. 87403680C = 
Các bài toán về nguyên lý đếm 
261 
C. Dạng 3. BÀI TOÁN SẮP XẾP VẬT 
Bài 1. Có bao nhiêu cách xếp 15 viên bi vào 3 hộp đựng bi? 
Giải 
Với mỗi viên bi ta có 3 cách chọn hộp nên có 153 cách xếp 15 viên bi vào hộp. 
Bài 2. Tại cuộc thi "Theo dòng lịch sử", BTC sử dụng 7 thẻ vàng và 7 thẻ đỏ, 
đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có bao cách xếp tất cả các 
thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau? 
Giải 
Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí lẻ thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí chẵn, ta có 7!.7! 
cách xếp khác nhau. 
+ Nếu các thẻ vàng nằm ở vị trí chẵn thì các thẻ đỏ nằm ở vị trí lẻ, ta có 7!.7! 
cách xếp khác nhau. 
Vậy có tất cả: 7!.7! + 7!.7! = 50803200 cách. 
D. Dạng 4: BÀI TOÁN SẮP XẾP NGƯỜI 
Bài 1. Một tổ có 8 học sinh 5 nữ và 3 nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các 
học sinh trong tổ đứng thành một hàng dọc để vào lớp sao cho: 
a. Các bạn nữ đứng chung với nhau b. Nam nữ không đứng chung nhau 
Giải 
a. Các bạn nữ đứng chung với nhau ta xem như một nhóm đoàn kết nên có 4! 
cách. Có 5! hoán vị 5 bạn nữ với nhau. Vậy có 5!.4! = 2880 cách. 
b. Các bạn nam đứng riêng ta có: 3! cách. Các bạn nữ đứng riêng ta có: 5! cách 
Có 2! cách đổi chỗ 2 nhóm nam và nữ nên có tất cả: 2!.5!.3! = 1440 cách. 
Bài 2. Đội văn nghệ của trường gồm 10 học trong đó có 3 bạn Lan, Hằng, Nga 
học cùng một lớp. Hỏi có bao nhiêu cách xếp đội văn nghệ thành một hàng dọc 
sao cho 3 bạn Lan, Hằng, Nga luôn ở bên cạnh nhau? 
Giải 
Ba bạn Lan, Hằng, Nga đứng cạnh nhau ta gọi là một nhóm đoàn kết. 
+ Nhóm đoàn kết này cùng với 7 học sinh còn lại ta sẽ có 8! cách sắp xếp 
+ Mỗi lần đổi chỗ 3 học sinh trong nhóm đoàn kết ta được 3! cách sắp xếp. 
Vậy có tất cả: 8!.3!= 241920 cách. 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
262 
E. Dạng 5: BÀI TOÁN ĐẾM TRONG HÌNH HỌC 
Bài 1. Xét các tam giác có 3 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều H có 10 cạnh. 
a, Có tất cả bao nhiêu tam giác? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh của H? 
b. Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là của H? Có bao nhiêu tam giác 
không có cạnh nào của H? 
Giải 
a. Đa giác có 10 cạnh nên có 10 đỉnh và có 310 120C = tam giác có 3 đỉnh là 
đỉnh của H. Tam giác có đúng hai cạnh của đa giác là tam giác tạo bởi 3 đỉnh 
liên tiếp của đa giác. Đó là các tam giác: 
1 2 3 2 3 4 3 4 5 9 10 1 10 1 2, , , ..., ,A A A A A A A A A A A A A A A nên có đúng 10 tam giác. 
b. Chọn một cạnh của H và ở hai bên cạnh này ta bỏ đi 2 cạnh tức là bỏ đi 4 đỉnh, 
còn lại 6 đỉnh. Ứng với một trong 6 đỉnh và cạnh đã chọn ta có một tam giác 
có đúng một cạnh của H, nên có 6 tam giác ứng với một cạnh đã chọn ban đầu 
của H. Vậy có 6.10 = 60 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H. Từ đó suy ra 
số các tam giác không chứa cạnh nào của H là: 120 – 10 – 60 = 50 tam giác. 
Bài 2. Cho 15 điểm trên mặt phẳng , trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. 
Xét tập hợp các đường thẳng đi qua 2 điểm của 15 điểm đã cho. Số giao điểm 
khác 15 điểm đã cho do các đường thẳng này tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu? 
Giải 
Cứ 2 điểm có 1 đường thẳng nên số đường thẳng từ 15 điểm là: 215 105C = 
Nếu cứ 2 đường thẳng cho 1 giao điểm thì sẽ có 2105C giao điểm. Nhưng mỗi 
điểm đã cho có 14 đường thẳng đi qua nên điểm này phải là giao của 214C cặp 
đường thẳng. Như vậy với 15 điểm đã cho sẽ có 15. 214C giao điểm trong 
2
105C 
giao điểm nói trên. Suy ra số giao điểm cần tìm là: 2 2105 1415. 4095C C− = 
Bài 3. Cho 2 họ đường thẳng cắt nhau: Họ (L1) gồm 10 đường thẳng song song 
với nhau; Họ (L2) gồm 15 đường thẳng song song với nhau. Hỏi có bao nhiêu 
hình bình hành được tạo bởi (L1) và (L2) 
Giải 
Một hình bình hành được tạo bởi 2 đường thẳng của họ (L1) và 2 đường thẳng 
của họ (L2) nên số hình bình hành được tạo bởi là 2 210 15 45 105 4725C C = × =
Các bài toán về nguyên lý đếm 
263 
F. Dạng 6. BÀI TOÁN PHÂN CHIA TẬP HỢP 
Cho tập A có n phần tử khác nhau. Chia tập A thành các tập con 1 2, , ..., kA A A ; 
trong đó mỗi tập con ( )1,iA i k= có ( )1,in i k= phần từ. Khi đó việc chọn in 
phần tử trong n phần tử là phép chọn và loại trừ dần các phần tử đã được chọn. 
Bài 1. Cần phải phát 6 đề thi khác nhau cho 4 em học sinh. Hỏi có bao nhiêu 
cách phát đề thi nếu mỗi em học sinh đều làm ít nhất 1 bài thi? 
Giải 
TH1: Mỗi em đều làm một bài thi: 
+ Có 46C = 15 cách chọn đề thi. 
+ Với 1 cách chọn 4 đề thi phát cho 4 học sinh sẽ có 4! cách phát 
Vậy có 4 46 64! 360C A= = cách phát đề thi mà mỗi em làm 1 bài. 
TH2: Có một em nào đó làm 2 bài thi: 
+ Có 26C cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 
2
64.C cách phát 2 bài thi cho 
1 trong 4 học sinh. 
+ Với 4 bài thi còn lại sẽ có 34A cách chia cho 3 thí sinh. 
Vậy có 2 36 44. . 1440C A = cách phát đề thi mà trong đó có 1 em làm 2 bài thi. 
TH3: Có hai em nào đó làm 2 bài thi: 
+ Có 26C cách chọn 2 bài thi trong 6 bài thi và có 
2
64.C cách phát 2 bài thi cho 
1 trong 4 học sinh. 
+ Có 24C cách chọn 2 bài thi trong 4 bài thi còn lại và có 
2
43.C cách phát 2 bài 
thi cho 1 trong 3 học sinh còn lại. 
+ Với 2 bài thi còn lại sẽ có 2! cách phát cho 2 thí sinh còn lại. 
Vậy có 2 26 44. .3. .2! 2160C C = cách phát đề thi mà trong đó có 2 em làm 2 bài thi. 
TH4: Có một em nào đó làm 3 bài thi: 
+ Có 36C cách chọn 3 bài thi trong 6 bài thi và có 
3
64.C cách phát 3 bài thi cho 
1 trong 4 học sinh. 
+ Với 3 bài thi còn lại sẽ có 3! cách phát cho 3 thí sinh còn lại. 
Vậy có 364. .3! 480C = cách phát đề thi mà trong đó có 1 em làm 3 bài thi. 
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
264 
Kết luận: Tổng hợp 4 trường hợp đã xét ta có số cách phát đề thi để mỗi em 
học sinh đều làm ít nhất 1 bài thi là: 
4 2 3 2 2 3
6 6 4 6 4 64! 4. . 4. .3. .2! 4. .3!C C A C C C+ + + 360 1440 2160 480 4440= + + + = cách 
Bài 2. Cho A là tập hợp có 15 phần tử khác nhau. 
a. Có bao nhiêu tập hợp con của A? 
b. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 
Giải 
a. + Số tập con của A có 0 phần tử (tập rỗng) là: 015C 
+ Số tập con của A có 1 phần tử là 115C 
+ Số tập con của A có 2 phần tử là 215C 
.. 
+ Số tập con của A có 15 phần tử là 1515C 
Vậy tổng số tập hợp con của A là: ( )150 1 2 15 1515 15 15 15... 1 1 2C C C C+ + + + = + = 
b. Do 0 1 2 3 14 15 0 14 2 12 14 015 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15... ...C C C C C C C C C C C C+ + + + + + = + + + + + + 
nên ( )15 0 2 4 1415 15 15 152 2 ...C C C C= + + + + suy ra 2 4 14 1415 15 15... 2 1C C C+ + + = − 
Vậy số tập hợp con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là: 142 1T = − . 
Bài 3. Cho tập hợp A gồm 20 phần tử khác nhau. 
Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn? 
Giải 
Số các tập con không rỗng chứa một số chẵn các phần tử rút ra từ tập hợp 20 
phần tử trên là 2 4 2020 20 20...S C C C= + + + . Ta tính tổng S theo cách sau đây: 
( ) 200 1 2 20 20
20 20 20 20... 1 1 2C C C C+ + + + = + = (1) 
( ) 200 1 2 20
20 20 20 20... 1 1 0C C C C− + − + = − = (2) 
Lấy (1) cộng với (2) vế theo vế ta được: 0 2 4 20 2020 20 20 202 2 2 ... 2 2C C C C+ + + + = 
⇔ 0 2 4 20 1920 20 20 20... 2C C C C+ + + + = ⇔ 
2 4 20 19
20 20 20... 2 1S C C C= + + + = − 
Vậy số các tập con không rỗng chứa một số chẵn các phần tử là 192 1S = − .