Ôn thi Toán 12: Các bài toán về khai triển Newton

Bài 2. Các bài toán về khai triển Newton 
243 
BÀI 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHAI TRIỂN NEWTON 
Bài 1. Cho n nguyên, 2n ≥ . Chứng minh: 
( ) ( )1 1) 1 2 ) 1 3n na bn n+ > + < 
Giải 
a. Khai triển nhị thức: 
( ) ( ) ( ) ( )0 10 1
0
1 1 1 11 . ... 1 1 ... 2
nn k
k
n n n
k
C C C
n n b n
=
+ = = + + = + + >∑ (Vì ( )1. 0iinC n > ) 
b. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 ! !1 1 1 11 . 1 1 ...2! 2 ! 3! 3 !
nn k
k
n
k
n nC
n n n nn n
=
+ = = + + ⋅ + ⋅ +
− −
∑ 
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1 12 ... 2 ...
2! 3 2! 3! !1 1 2 nn n n n n
= + ⋅ + ⋅ + < + + + +
− − −
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 ... 2 ... 3 31.2 2.3 1 2 2 3 11 n n nn n< + + + + = + − + − + + − = − <−− 
Bài 2. Cho số a, b thỏa mãn: 1a b+ = . Chứng minh: 1
1
2
n n
n
a b
−
+ ≥ , n∀ ∈
 
Giải 
Đặt 1 1,2 2a x b x= + = − thì ( ) ( )1 12 2n nn na b x x+ = + + − 
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1
... ...
2 2 2 2 2 2n n n nn n n n n n
x x x xC C C C
− − − −
   
= + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ −   
   
2 4
2 4
2 4 1
1 1 12 ... 2
2 2 2 2 2n nn n n n n
x xC C
− − −
 
= + ⋅ + + ≥ ⋅ = 
 
. Vậy 1
1
2
n n
n
a b
−
+ ≥ 
Bài 3. Tìm n∈
 thỏa mãn: 0 1 2 2 3 32 2 2 ... 2 243n n
n n n n n
C C C C C+ + + + + = 
Giải 
( ) 0 1 2 21 2 .2 .2 ... .2 243 3 243 5n n n n
n n n n
C C C C n+ = + + + + = ⇔ = ⇔ = 
Bài 4. Cho khai triển nhị thức 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )111 1 1 10 1 13 3 3 32 2 2 22 2 2 2 2 ... 2 2 2n n nn nx x x xx x x xn n
n n n n
C C C C
−−
− − − −
− − − −
−+ = + + + + 
Biết rằng trong khai triển đó 3 15
n n
C C= và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x. 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
244 
Giải 
Ta có 3 15
n n
C C= (với 3,n n≥ ∈ ) ( )
! 5
3 !3!
n n
n
⇔ =
−
( ) ( )1 2 56
n n n
n
− −⇔ = 
( ) ( )1 2 30n n⇔ − − = ( ) ( )2 3 28 0 7 4 0n n n n⇔ − − = ⇔ − + = ⇒ 7n = 
Khi đó số hạng thứ tư là ( ) ( )3413 327 2 2 xxC − − = 20 ⇔ ( )2 135 2 140 4x x x− −⋅ = ⇔ = 
Bài 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 
( ) ( ) ( ) 1715 42 33 21 1) , 0 ; ) , 0a P x x x b Q x x xx x = + ≠ = + ≠   
Giải 
a. Số hạng tổng quát: ( ) ( ) ( )152 2 15 30 315 15 151. . . .kkk k k k k kka C x C x x C xx− − − −= = = 
Số hạng không chứa x tương ứng với 30 3 0 10k k− = ⇒ = là 1015 3003C = . 
b. Số hạng tổng quát: ( )17 4 317 3 21 .
k k
k
ka C x
x
−
 
=
 
 
( )2 3 17 13617
3 4 12
17 17.
kk kk kC x x C x
− −
− −
= = 
Số hạng không chứa x tương ứng với 17 136 0 8k k− = ⇒ = là 817 24310C = 
Bài 6. Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển nhị thức Newton của 
7
4
1 nx
x
 + 
 
, biết rằng 1 2 202 1 2 1 2 1... 2 1
n
n n n
C C C+ + ++ + + = − 
Giải 
( ) 2 10 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1... 1 1 2
nn n n
n n n n n
C C C C C ++ ++ + + + ++ + + + + = + = . Do 
0 2 1
2 1 2 1 1
n
n n
C C ++ += = 
nên ( )1 2 1 2 2 1 202 1 2 1 2 1 2 1 2 1... ... 2 2 2 20 1n n n nn n n n nC C C C C+ ++ + + + ++ + + + + + = − = − 
2 1 212 2 2 1 21 10n n n+⇔ = ⇔ + = ⇔ = . Xét biểu thức 
( ) ( ) ( )1010 10 107 4 7 4 7
104
0
1 k kk
k
x x x C x x
x
−
− −
=
 + = + = 
 
∑
10 10
4 40 7 11 40
10 10
0 0
k k k k k
k k
C x x C x− −
= =
= =∑ ∑ 
Xét 11 40 26 11 66 6k k k− = ⇔ = ⇔ = . Vậy hệ số của 26x là 610 210C = . 
Bài 7. Trong khai triển nhị thức ( )1 nx x+ , hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ 
số của số hạng thứ hai là 35. 
 a. Tìm n. b. Tìm số hạng không chứa x 
www.VNMATH.com
Bài 2. Các bài toán về khai triển Newton 
245 
Giải 
a. Ta có ( ) ( ) 2
0 0
1 1n nn kk n k k n k
n n
k k
x C x C x
x x
− −
= =
+ = =∑ ∑ 
Hệ số của số hạng thứ i ứng với 1k i= − là: 11
i
i na C
−
−
= . 
Theo giả thiết: ( ) ( )2 1 235; 3 70 0 7 10 0 10n nC C n n n n n− = − − = ⇔ + − = ⇒ = ∈
 
b. Số hạng không chứa x ứng với 2 0n k− = ; 10 2 0 5k k− = ⇔ = là 510 252C = 
Bài 8. Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển 
7
3
4
1x
x
 + 
 
 với 0x > 
Giải 
( ) ( ) ( )7 71 1 71 1 28 77 7 773 3 3 34 4 4 12
7 7 74
0 0 0
1
k k k k k
k k k
k k k
x x x C x x C x x C x
x
−
−− − − −
= = =
 + = + = = = 
 
∑ ∑ ∑ 
Xét 28 7 0 412
k k− = ⇔ = . Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là 47 35C = . 
Bài 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( )283 15. nx x x −+ , biết rằng: 
1 2 79n n n
n n n
C C C− −+ + = . 
Giải 
Ta có: 1 2 79n n n
n n n
C C C− −+ + = (n nguyên, 2n ≥ ) 
( ) ( ) ( )211 79 156 0 13 12 02
n n
n n n n n
−+ + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇒ 12n = ∈
 
Với 12n = thì ( ) ( )28123 1512
k
kk
ka C x x x
−−
=
( ) ( )124 28 240 483 15 15
12 12. .
k k k
k kC x x C x
−
−
−
= = 
Số hạng không chứa x tương ứng với 240 48 0 5k k− = ⇔ = là 512 792C = . 
Bài 10. Tìm các hạng tử hữu tỉ trong khai triển: a. ( )532 3+ ; b. ( )933 2+ 
Giải 
a. Khi khai triển ( )532 3+ , số hạng TQ: ( ) ( )
55 3 32
1 5 5. 2 . 3 .2 .3
kkk kk k
kT C C
−
−
+ = = 
Để 1kT + hữu tỉ thì 
5
2
k−
 và 3
k
 nguyên với 0,5k = ⇒ 3k = ⇒ 34 5 .2.3 60T C= = 
b. Khi khai triển ( )933 2+ , số hạng TQ: ( ) ( )
99 3 32
1 9 93 2 .3 .2
kkkkk k
kT C C
−
−
+ = = 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
246 
Để 1kT + hữu tỉ thì 
9
,
2 3
k k−
 nguyên với 0,9k = ⇒ 3 ; 9k k= = 
Vậy có 2 hạng tử hữu tỉ là: 3 2 9 0 34 9 10 9.3 .2 4536 ; .3 .2 8T C T C= = = = 
Bài 11. Tìm hệ số của 31x trong khai triển nhị thức Newton 
40
2
1x
x
 + 
 
Giải 
40 3140
40 40 3
40 402 2
0 0
1 1
. .
k
k k k k
k k
x C x C x
x x
− −
= =
   + = =   
   
∑ ∑ ; 40 3 31 3k k− = ⇔ = ; 340 9880C = 
Bài 12. Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển 53
1 nx
x
 + 
 
, 
biết rằng ( )14 3 7 3n nn nC C n++ +− = + . 
Giải 
( )14 3 7 3n nn nC C n++ +− = + ( )13 7 3nnC n++⇔ = +
( ) ( ) ( )2 3 7 3
2
n n
n
+ +⇔ = + 12n⇔ = . 
( ) ( ) ( )125 51212 125 3 32 2
123
0
1
k
k
k
k
x x x C x x
x
−
− −
=
 + = + = 
 
∑
5 11 7212 12
3 36 2 2
12 12
0 0
k k
k k k
k k
C x x C x
−
−
= =
= =∑ ∑ 
Xét 11 72 8 8
2
k k− = ⇔ = . Vậy số hạng chứa 8x trong khai triển là 812 495C = . 
Bài 13. Tìm hệ số của 9x khi khai triển: ( ) ( ) ( ) ( )9 10 141 1 ... 1P x x x x= + + + + + + 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )9 10 141 1 ... 1P x x x x= + + + + + + 
9 10 14
9 10 14
0 0 0
... .
k k k k k k
k k k
C x C x C x
= = =
= + + +∑ ∑ ∑ 
Hệ số theo 9x ứng tất cả 9k = là: 
9 9 9 9
9 10 11 14... 1 10 55 220 715 2002 3003C C C C+ + + = + + + + + = 
Bài 14. a. Tìm hệ số của 15x trong ( ) ( ) ( ) ( )2 3 201 2 1 3 1 ... 20 1x x x x+ + + + + + + + 
b. Tìm hệ số của 5x khi khai triển: ( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 72 1 2 1 2 1 2 1x x x x+ + + + + + + 
Giải 
a. Với biểu thức: ( )1 kk x+ chứa số hạng 15ax khi 15k ≥ , lúc đó: 
( )
0
1 .
k
k i i
k
i
k x k C x
=
+ = ∑ thì hệ số theo 15x ứng với 15i = là 15. kk C . 
www.VNMATH.com
Bài 2. Các bài toán về khai triển Newton 
247 
Suy ra hệ số theo 15x của khai triển: ( ) ( ) ( )2 201 2 1 ... 20 1x x x+ + + + + + là: 
15a =
15 15 15 15 15
16 17 18 19 2015 16 17 18 19 20C C C C C+ + + + + 400995= 
b. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 5 6 72 1 2 1 2 1 2 1P x x x x x= + + + + + + + 
( ) ( ) ( ) ( )
5 6 7
4
5 6 7
0 0 0
1 2 2 . 2 2i j ki j k
i j k
x C x C x C x
= = =
= + + + +∑ ∑ ∑ 
Hệ số theo 5x ứng với 5i j k= = = là: 5 5 5 5 5 55 6 7.2 .2 .2 896C C C+ + = . 
Bài 15. Tìm hệ số theo 3x khi khai triển ( ) ( ) ( )2 101 . 3P x x x= + − 
Giải 
Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 10 10 10 1021 . 3 3 2 3 3P x x x x x x x x= + − = − + − + − 
( ) ( )
10 10 10
2 10 10 10
10 10 10
0 0 0
.3 2 .3 .3 .i ji i j j k k k
i j k
x C x x C x C x− − −
= = =
= − + − +∑ ∑ ∑ 
Hệ số theo 3x ứng với 1, 2, 3i j k= = = là: 1 9 2 8 3 710 10 10.3 2. .3 .3 131220C C C− + − = 
Bài 16. Tìm hệ số của 5x trong khai triển biểu thức ( ) ( )5 1021 2 1 3P x x x x= − + + 
Giải 
Theo công thức khai triển nhị thức Newton, ta có: 
( ) ( )
5 10
5 102
5 10
0 0
2 3k kk k
k k
P x C x x C x− −
= =
= − +∑ ∑ (1) 
Vậy từ (1) suy ra số hạng chứa 5x là: ( ) ( )4 31 2 75 10. 2 . 3x C x x C x− + . 
Do đó, hệ số của 5x là ( ) ( )4 31 75 102 3 16.5 27.120 80 3240 3320C C− + = + = + = 
Vậy hệ số của 5x trong biểu thức P đã cho là 3320. 
Bài 17. Tìm hệ số theo kx của khai triển ( ) ( )1 . 1 , ,n mx x m n k+ + ≥ 
Giải 
( ) ( )
0 0
1 1
n m
n m i i j j
n m
i i
x x C x C x
= =
+ + =∑ ∑ . Vì ,m n k≥ nên 0 1 0. . ... .k k k kx x x x x x x−= = = = . 
Do đó, hệ số theo kx là: 0 1 1 0. . ... .k k kk n m n m n ma C C C C C C
−
= + + + 
Bài 18. Trong khai triển nhị thức ( )2 1 nx + tìm hệ số theo 12x , biết rằng tổng 
các hệ số bằng 1024. 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
248 
Giải 
Đặt ( ) ( )2 1 nP x x= + thì tổng các hệ số là ( ) 0 11 ... 2 1024n nn n nP C C C= + + + = = 
⇒ 10n = . Với 10n = thì ( ) ( ) ( )10 1010 102 2 20 210 10
0 0
1 . .1 .
kk k k k
k k
P x x C x C x
−
−
= =
= + = =∑ ∑ . 
Hệ số theo 12x ứng 20 2 12 4k k− = ⇒ = là 410 210C = . 
Bài 19. Tìm hệ số của 1 2;n nx x− − của khai triển: ( ) ( ) ( )21 1 1...2 2 2nx x x+ + + 
Giải 
a. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 221 1 1... . . ...2 2 2 n n nnP x x x x x A x B x Rx S− −= + + + = + + + + + 
Hệ số của 1nx − là: ( ) ( )2 1 11 21 1 1 1 1 1 1 1_ ... 1 ... . 12 2 2 2 12 2 2 21
2
n
n n n
A
−
−
= + + = + + + = = −
−
b. Hệ số của 2nx − là: 2 3 1
1 1 1 1 1 1
...
2 22 2 2 2n n
B
−
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ . 
Mà ( ) 22 2 21 1 1 1 1 1... ... 22 42 2 4 4n nA B= + + + = + + + + 
( ) ( ) ( )1 11 41 1 1 1 1 11 ... 2 2 1 24 4 4 1 34 41
4
n
n n
B B B
−
−
= + + + + = ⋅ + = − +
−
Do đó ( )2 4 3.2 21 1 112 3 4 3.4n nn nB A − + = − − =   
Bài 20. Tìm hệ số của 50x trong khai triển của các đa thức sau đây: 
a. ( ) ( ) ( ) ( )1000 999 9982 10001 1 1 ...P x x x x x x x= + + + + + + + 
b. ( ) ( ) ( ) ( )1 2 10001 2 1 ... 1000 1Q x x x x= + + + + + + 
Giải 
a. Để ý: ( ) ( ) ( ) ( )1000 10011 1 .x x x x P x P x+ − = + − = 
Do đó hệ số của 50x trong khai triển ( )P x cũng là hệ số theo 50x trong khai 
triển của nhị thức ( ) ( )
1001
1001 1001
1001
0
1 1 .i i
i
x x C x
=
+ = + =∑ là 501001C . 
www.VNMATH.com
Bài 2. Các bài toán về khai triển Newton 
249 
b. ( ) ( ) ( )
1000
1
1
1 . 1 i
i
Q x x i x −
=
= + +∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
10001000
1
1 11 . 1 1 1
1 1
i
i
x
x x x x
x
=
′′   
− +
= + + = + +  
− +  
∑ 
( ) ( ) ( )1001 1001
2
1000 1 1 1x x x
x x
+ + − +
= − . Vậy hệ số theo 50x là: 51 521001 10011000.C C− 
Bài 21. Tìm hệ số theo 8x của khai triển: ( ) ( )92 31P x x x= + − 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )9 9 8 72 3 2 1 2 3 2 2 6 3 2 99 9 91 1 1 . 1 . . 1 . ...P x x x x C x x C x x C x x = + − = + − + + + − + +  
Vì 8x có mũ chẵn nên các số hạng theo 8x chỉ xuất hiện ở hai đa thức sau: 
( ) ( )992 2
9
0
1 .
ii
i
x C x
=
+ =∑ ứng với 4i = , tức là có hệ số 49C 
( ) ( )772 2 6 2 6 2
9 9 7
0
1 . . .
jj
i
C x x C x C x
=
+ = ∑ ứng với 1j = , tức là có hệ số 2 19 7.C C 
Vậy hệ số theo 8x của khai triển P(x) là: 4 2 19 9 7. 378C C C+ = 
Bài 22. a. Trong khai triển ( ) nx y z+ + tìm số hạng chứa ( )k mx y k m n+ ≤ 
b. Tìm hệ số theo 6 5 4x y z của khai triển ( )152 5x y z− + 
Giải 
a. Ta có ( ) ( )
0
. .
n
n n kk k
n
k
x y z C x y z −
=
+ + = +∑
0
. . .
n k
k k m m n k m
n n k
m
C x C y z
−
− −
−
=
 
=  
 
∑ ∑ 
Vậy số hạng cần tìm là ! . .! ! !
k m ln x y zk m l với l n k m= − − 
Tổng quát: 1 21 2
1 2 !1
!
...
! !...
m
n
m
nn n
i m
mi
na a a a
n n n
=
 
= 
 
∑ ∑ với tổng ∑ lấy theo 
1 2 ... mn n n n+ + + = 
b. Áp dụng ( ) ( ) ( )( )15152 5 2 5x y z x y z− + = + − + 
Hệ số theo 6 5 4x y z là: ( )56 615!2 5 126.126.106!5!4!− ⋅ = − 
Chú ý: ( )
( )
( ) ( )
!! !
.
! ! ! ! ! ! !
k m
n n k
n kn nC C
k n k m n k m k m n k m−
−
= ⋅ =
− − − − −
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
250 
Bài 23. Cho nhị thức ( ) ( )3 2 nP x x= − , n tự nhiên. Sau khi khai triển, tính: 
a. Tổng tất cả các hệ số theo lũy thừa lẻ. 
b. Tổng tất cả các hệ số theo lũy thừa chẵn. 
Giải 
Ta có: ( ) ( ) 2 30 1 2 33 2 ...n nnP x x a a x a x a x a x= − = + + + + + 
( ) ( ) 0 1 2 31 3 2 1 ...n nP a a a a a= − = = + + + + + 
( ) ( )
0 1 2 31 ... 1
n
n
P a a a a a− = − + − + + − 
a. Tổng các hệ số theo lũy thừa lẻ: ( ) ( )1 3 5 1 1 1 5... 2 2
nP P
a a a
− −
−+ + + = = 
b. Tổng các hệ số theo lũy thừa chẵn: ( ) ( )0 2 4 1 1 1 5... 2 2
nP P
a a a
+ − ++ + + = = 
Bài 24. Tìm hệ số lớn nhất của khai triển tổng quát: ( )na b+ 
Giải 
Ta có ( )
0
. .
n
n k n k k
n
k
a b C a b−
=
+ =∑ . Các hệ số là , 0knC k n≤ ≤ . 
Xét ( ) ( ) ( )
1 ! ! 11
21 ! 1 ! ! !
k k
n n
n n nC C k n k k
k n k k n k
− +< ⇔ < ⇔ < − + ⇔ <
− − + −
. 
Do đó: 
0,
Max kn
k n
C
=
 = 
2
n
n
C nếu n chẵn và 
0,
Max kn
k n
C
=
 = 
1
2
n
n
C
+
 nếu n lẻ. 
Bài 25. Tìm hạng tử lớn nhất trong khai triển của ( )na b+ với , 0;a b n> ∈
 
Giải 
Ta có: ( )
0
. .
n
n k n k k
n
k
a b C a b−
=
+ =∑ . Gọi 1 0,. Max .
k n k k k n k k
k n nk n
T C a b C a b− −+
=
= = 
Khi đó 
( )
( )
1 1 1
1
1 1 1
2 1
1
. . . .
1. . . . 1
k n k k k n k k
k k n n
k n k k k n k k
k k n m
n bkT T C a b C a b a b
T T n bC a b C a b k
a b
− − + − −
+
+ − − − −
+ +
 +≤≤ ≤   +⇔ ⇔  ≤ + ≤   ≥ −
+
Vậy, nếu ( )1n b
a b
+
+
 nguyên thì có 2 số hạng ứng với ( )1n bk
a b
+
=
+
 hay ( )1 1n b
a b
+
−
+
Còn nếu ( )1n b
a b
+
+
 không nguyên thì chỉ có 1 số hạng ứng với ( )1n bk
a b
 +
=  + 
. 
www.VNMATH.com