Ôn thi Toán 12: Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng

Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 
257 
BÀI 4. BIẾN ĐỔI TỔNG, HIỆU THÀNH TÍCH 
I. Sử dụng công thức biến đổi tổng, hiệu thành tích 
sin sin 2sin cos ; sin sin 2 cos sin2 2 2 2
a b a b a b a ba b a b+ − + −+ = − = 
cos cos 2cos cos ; cos cos 2sin sin2 2 2 2
a b a b a b a ba b a b+ − + −+ = − = − 
 Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. Giải phương trình: ( )sin sin 2 sin 3 1 cos cos 2 1x x x x x+ + = + + 
Giải 
( ) ( ) ( )1 sin 2 sin sin 2 1 cos 2 cosx x x x x⇔ + + = + + 
( ) ( )22sin 2 cos sin 2 2cos cos sin 2 2 cos 1 cos 2cos 1x x x x x x x x x⇔ + = + ⇔ + = + 
( ) ( ) { }2 5cos 2 cos 1 2sin 1 0 ; 2 ; 2 ; 22 3 6 6x x x x k k k kpi pi pi pi⇔ + − = ⇔ ∈ + pi ± + pi + pi + pi
Bài 2. Giải phương trình: ( )1 cos cos 2 cos 3 0 1x x x+ + + = 
Giải 
( ) ( ) ( ) 23 31 cos 2 cos 1 cos3 0 2cos cos 2cos 0
2 2 2
x x xx x x⇔ + + + = ⇔ + = 
( )3 3 32cos cos cos 0 4 cos cos .cos 02 2 2 2 2x x x x xx⇔ + = ⇔ = { }2;2 3 3kx kpi pi pi⇔ ∈ + pi + 
Bài 3. Giải phương trình: ( )cos10 cos8 cos 6 1 0 1x x x− − + = 
Giải 
( ) ( ) ( )1 cos10 cos 6 1 cos8 0x x x⇔ − + − = 
22sin 8 sin 2 2sin 4 4sin 4 cos 4 sin 2 4sin 4 sin 2 cos 2 0x x x x x x x x x⇔ − + = − + = 
( )4sin 4 sin 2 cos 4 cos 2 0 8sin 4 sin 2 sin 3 sin 0x x x x x x x x⇔ − − = ⇔ = 
{ }sin 3 0 sin 4 0 ;3 4k kx x x pi pi⇔ = ∨ = ⇔ ∈ 
Bài 4. Giải phương trình: ( )9sin 6cos 3sin 2 cos 2 8 1x x x x+ − + = 
Giải 
( ) 21 9sin 6 cos 6sin cos 1 2sin 8x x x x x⇔ + − + − = 
( ) ( ) ( ) ( )29sin 6cos 1 sin 2sin 7 0 6cos 1 sin 1 sin 2sin 7 0x x x x x x x x⇔ + − − − = ⇔ − + − − =
( ) ( )1 sin 6cos 2sin 7 0x x x⇔ − + − = 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
258 
a) Xét 1 sin 0 sin 1 2
2
x x x kpi− = ⇔ = ⇔ = + pi 
b) Xét: ( )6cos 2sin 7 0 2 2sin 6 cos 7x x x x+ − = ⇔ + = 
Do ( )2 2 2 2 2 22 6 40 49 7 2a b c+ = + = < = = ⇒ vô nghiệm 
Vậy nghiệm của (1) là ( )2
2
x k kpi= + pi ∈
 
Bài 5. Giải phương trình: ( )1 sin cos3 cos sin 2 cos 2 1x x x x x+ + = + + 
Giải 
( ) ( ) ( )1 1 cos 2 cos 3 cos sin sin 2 0x x x x x⇔ − + − + − = 
( )22sin 2sin2 sin sin 2sin cos 0 sin 2sin 2sin2 1 2cos 0x x x x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + − =
( ) ( )[ ] ( ) ( )sin 2sin 1 2 cos 1 2cos 0 sin 1 2cos 2sin 1 0x x x x x x x⇔ − + − = ⇔ − + = 
{ }71 1sin 0 cos sin ; 2 ; 2 ; 22 2 3 6 6x x x x k k k kpi pi pi⇔ = ∨ = ∨ = − ⇔ ∈ pi ± + pi − + pi + pi 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) 1sin 4 sin 3 sin =6 2x x xpi − + + (1) 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )1 sin 3 sin sin 4 sin 0 2sin 2 cos 2cos 2 sin 2 06 6 6x x x x x x xpi pi pi⇔ + + − − = ⇔ − − = 
( ) { }22sin 2 cos cos 2 0 ; 26 18 3 6kx x x x kpi pi pi pi ⇔ − − = ⇔ ∈ + + pi   
Bài 7. Giải phương trình: ( ) 1cos 2 2cos3 2x xpi − + = − (1) 
Giải 
( ) ( )1 cos 2 cos cos cos 03 3x x xpi pi⇔ − + + + = 
( ) ( ) ( ) { }3 22cos cos cos 0 2 ;6 2 6 2 6 2 3 2x x x x k kpi pi pi pi pi ⇔ − − + + = ⇔ ∈ − + pi + pi   
Bài 8. Giải phương trình: 2sin cos 3 sin 2 1 sin 4x x x x+ + = + (1) 
Giải 
( )1 2sin cos 3 1 sin 4 sin 2 2sin cos3 1 2cos3 sinx x x x x x x x⇔ + = + − ⇔ + = + 
( ) ( ) { }5 212sin 1 cos3 1 0 sin cos3 1 2 ; 2 ;2 6 6 3kx x x x x k kpi pi pi⇔ − − = ⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + pi + pi 
Bài 9. Giải phương trình: 1 sin cos 2 tan
cos
x x x
x
+ + = + (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )11 sin cos 1 1 0 2cosx x x kx⇔ + − − = ⇔ = pi 
www.VNMATH.com
Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 
259 
II. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 
1. Công thức sử dụng 
( ) ( )sin sin cos cosa b a b a b= − − + ; ( ) ( )cos .cos cos cosa b a b a b= − + + 
( ) ( )sin cos sin sina b a b a b= + + − ; ( ) ( )cos sin sin sina b a b a b= + − − 
2. Các bài tập mẫu minh họa 
Bài 1. Giải phương trình: ( ) ( )sin 3 cos sin 3 2 1x x x+ = 
Giải 
( ) ( ) ( )311 sin sin 3 3 cos sin 3 2 cos 2 cos 4 sin 4 sin 2 2
2 2
x x x x x x x x⇔ + = ⇔ − + + =
3 31 1cos 2 sin 2 cos 4 sin 4 2
2 2 2 2
x x x x
   
⇔ + − − =   
   
( ) ( ) ( ) ( )cos 2 cos 4 3 cos 2 cos 4 13 3 3 3x x x xpi pi pi pi⇔ − − + = ⇔ − = − + = 6x kpi⇔ = + pi 
Bài 2. Giải phương trình: ( ) ( ) ( )4 cos .sin sin cos 2 16 6x x x xpi pi+ − = 
Giải 
( ) ( ) ( ) ( )1 2 cos 2sin sin cos 2 2 cos cos 2 cos cos 26 6 3x x x x x x xpi pi pi ⇔ + − = ⇔ − =   
12cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 3 cos cos cos 2
2
x x x x x x x x⇔ − ⋅ = ⇔ + − = 
( )2cos3 cos 2 5
kx x x kpi⇔ = ⇔ = ∈
 
Bài 3. Giải phương trình: 3 18sin
cos sinx x x= + (1) 
Giải 
Điều kiện: ( )sin cos 0 sin 2 0 2
2
kx x x x pi≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ 
Với điều kiện (2) thì (1) ( )8sin sin cos 3 sin cosx x x x x= + 
( )sin sin 2 3 sin cos 2 cos cos3 3 sin cosx x x x x x x x⇔ = + ⇔ − = + 
31cos 3 sin 2 cos3 cos sin cos 3
2 2
x x x x x x⇔ − = ⇔ − = 
( )cos cos sin sin cos 3 cos cos 33 3 3x x x x xpi pi pi⇔ − = ⇔ + = { };12 2 6nx npi pi pi⇔ ∈ − + + pi 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
260 
Bài 4. Giải phương trình: ( )cos3 . tg 5 sin 7 1x x x= 
Giải 
Điều kiện: ( )cos5 0 5 2
2 10 5
kx x k xpi pi pi≠ ⇔ ≠ + pi ⇔ ≠ + 
Với điều kiện (2) thì ( ) sin 51 cos3 sin 7
cos5
xx x
x
⇔ ⋅ = 
2sin 5 cos 3 2sin 7 cos5 sin 8 sin 2 sin12 sin 2x x x x x x x x⇔ = ⇔ + = + 
{ }12 8 2sin 8 sin12 ;2 20 1012 8 2x x k n nx x xx k= + pi pi pi pi⇔ = ⇔ ⇔ ∈ + = pi − + pi 
Thử các nghiệm vừa tìm vào điều kiện (2): 
10 5
kx pi pi≠ + 
Với 
2
nx pi= , xét phương trình 5 1 2
2 10 5
n k n kpi pi pi= + ⇔ = + 
( ) ( )5 2 1 5 2 5 1 2 2 5 1 2 2n k n k n k− = ⇔ − = × − × ⇔ − = − ( )2 1
5 2
n m
m
k m
= +
⇔ ∈
= +

 
Từ đó suy ra để thỏa mãn (2) thì ( )x m m= pi ∈
 
Với 
20 10
nx pi pi= + , xét phương trình 
10 5 10 20
k npi pi pi pi+ = + 
( )4 2 1 2 2 2 1k n n k⇔ + = + ⇔ − = vô nghiệm ,n k ∈
 
Suy ra nghiệm 
20 10
nx pi pi= + thỏa mãn điều kiện (2) 
Bài 5. GPT: ( ) ( ) ( ) ( )2 4sin sin sin 4 3cos cos cos 23 3 3 3x x x x x xpi pi pi pi+ − + + + = (1) 
Giải 
( ) ( )21 2sin cos 2 cos 2 3 cos cos 2 cos 2
3 3
x x x xpi pi   ⇔ − − + pi + =
      
( )12sin cos 2 sin 2 3 cos cos 2 22x x x x⇔ + − − + = 
( ) ( )sin 3 sin sin 3 sin 3 cos 3 cos 2x x x x x x⇔ − + + + − = 
31sin 3 3 cos 3 2 sin 3 cos 3 1
2 2
x x x x⇔ + = ⇔ + = 
( )cos cos 3 sin sin 3 1 cos 3 16 6 6x x xpi pi pi⇔ + = ⇔ − = 
23 2 3 26 6 18 3
kx k x k xpi pi pi pi⇔ − = pi ⇔ = + pi ⇔ = + 
www.VNMATH.com
Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 
261 
Bài 6. Giải phương trình: ( ) ( )22sin 3 1 4sin 1 1x x− = 
Giải 
Nếu cos 0x = là nghiệm của (1) thì sin 1x = ± khi đó 
( ) ( ) ( )3 21 2 3sin 4sin 1 4sin 6VT x x x= − − = ± ⇒ Vô lý 
Nhân 2 vế của (1) với cos 0x ≠ ta có 
( ) ( ) ( )2 21 2sin 3 1 4sin cos cos 2sin 3 1 4 1 cos cos cosx x x x x x x x ⇔ − = ⇔ − − =  
( ) ( )32sin3 4cos 3cos cos 2sin3 .cos3 cos sin 6 cos sin 2x x x x x x x x x xpi⇔ − = ⇔ = ⇔ = = −
( )
26 2
14 72
6 2
2 10 5
kxx x k
k
kx x k x
pi pipi 
= += − + pi

⇔ ⇔ ∈ pi pi pi
= + + pi = +
 

 
Bài 7. Giải phương trình: cos 2 cos 4 cos 6 cos .cos 2 .cos 3 2x x x x x x+ + = + (1) 
Giải 
( ) ( )11 cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2
x x x x x x⇔ + + = + + 
21 1cos 2 cos 4 cos 6 cos 3 cos cos 3 2
2 2
x x x x x x⇔ + + = + + 
( ) ( )1 1cos 3 cos 4 cos 6 1 cos 6 cos 4 cos 2 2
4 4
x x x x x x⇔ + + = + + + + 
( )3 9cos 2 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4 cos 6 3
4 4
x x x x x x⇔ + + = ⇔ + + = 
cos 2 cos 4 cos 6 1 cos 2 1x x x x x k⇔ = = = ⇔ = ⇔ = pi 
Bài 8. Giải phương trình: 3 3 1cos .cos .cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x xx x− = (1) 
Giải 
( ) ( ) ( )1 1 11 cos cos 2 cos sin cos cos 2
2 2 2
x x x x x x⇔ + − − = 
( ) ( )cos cos 2 cos sin cos cos 2 1x x x x x x⇔ + − − = 
( ) ( )2cos 2 cos sin 1 sin sin cos 1x x x x x x⇔ + + − − = 
( ) ( )cos 2 cos sin sin sin cos 0x x x x x x⇔ + − + = 
( ) ( ) ( ) ( )2cos sin cos 2 sin 0 cos sin 1 2sin sin 0x x x x x x x x⇔ + − = ⇔ + − − = 
( ) ( ){ }1tan 1 sin 1 sin ; ; 1 12 4 2 6kx x x x k k k−pi −pi pi−⇔ = − ∨ = − ∨ = ⇔ ∈ + pi + pi − + + pi 
www.VNMATH.com
Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương 
262 
Bài 9. Giải phương trình: ( )35sin 5cos .sin 1
2 2
x xx= 
Giải 
Nếu cos 0
2
x
= là nghiệm thì sin 12
x
= ±
 và cos 1x = − nên từ (1)⇒ 5sin 1
2
x
= ± : Vô lý. 
Nhân 2 vế của (1) với ( )2 cos 02x ≠ ta có: 
( ) ( )3 351 2sin cos 5cos 2sin cos sin 3 sin 2 5cos .sin2 2 2 2x x x xx x x x x⇔ = ⇔ + = 
( )3 33sin 4sin 2sin cos 5cos sinx x x x x x⇔ − + = 
[ ]3 20 sin 5cos 4cos 2 cos 1x x x x⇔ = − − + ( ) ( )2sin cos 1 5cos cos 1x x x x= − + − 
Xét: 
sin 0
cos 1
x
x
=

=
 với chú ý cos 0
2
x ≠ nên 
sin 02
cos 1
x
x

=


=
 ta có nghiệm 2x k= pi 
Xét 2 1 21 1 215cos cos 1 0 cos cos cos cos10 10x x x x
− − − ++ − = ⇔ = = α ∨ = = β 
( )2 ; 2x k x k k⇔ = ±α + pi = ±β + pi ∈
 
Bài 10. Giải phương trình: tan 3cot 4 sin 3 cosx x x x − = +  (1) 
Giải 
( ) ( )sin 3cos1 4 sin 3 cos
cos sin
x x x x
x x
⇔ − = + 
2 2 3sin 3cos 18 sin cos
cos sin 2 2
x x x x
x x
 
−⇔ = +  
. Điều kiện: sin 2 0 3
kx x pi≠ ⇔ ≠ 
( ) ( )3 1 cos 21 cos 2 4sin 2 cos sin sin cos2 2 3 3xx x x x+− pi pi− = + 
( ) ( ) ( )1 2cos 2 4sin 2 sin 2 cos cos 33 3 3x x x x xpi pi pi ⇔ − − = + = − − +  
( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos2 cos cos 3 cos2 cos cos 3 cos 03 3 3 3 3 3x x x x x xpi pi pi pi pi pi ⇔ − = − − + ⇔ + − − + + =  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 32 cos cos cos 4 cos sin sin 02 6 2 6 2 2 2 6 3 2 6x x x x xxpi pi pi pi pi pi − + − + = − + + =  
( ) ( ) ( ) { }3 4 2sin 0 sin 0 cos 0 ;2 6 3 2 6 3 9 3x x kx x kpi pi pi −pi pi pi⇔ + = ∨ + = ∨ − = ⇔ ∈ + pi + . 
www.VNMATH.com
Bài 10. Biến đổi tổng, hiệu thành tích, tich thành tổng 
263 
www.VNMATH.com