Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 4)

 hoặc  
Ví dụ 1: 
Tìm tham số thực m để phương trình 23 1x x m   có nghiệm 
thực . 
Giải : 
Xét hàm số   23 1f x x x   và y m 
Hàm số   23 1f x x x   liên tục trên  . 
Ta có :  
2
2 2
3 3 1 3
' 1
3 1 3 1
x x x
f x
x x
 
  
 
  2 2 2
0
' 0 3 1 3
3 1 9
x
f x x x
x x
 
        
0
6 6 6
,1 6
6 6 3
66
x
x f
x
 
  
           

Bảng biến thiên : suy ra   6
3
f x  mà  f x m do đó 6
3
m  thì 
phương trình cho có nghiệm thực . 
Ví dụ 3 : Tìm tham số thực m để phương trình : 
 4 2 1 1x x m   có nghiệm thực . 
Giải : 
Xét hàm số   4 2 1f x x x   liên tục trên nửa khoảng 0;  . 
Ta có :  
 324
1 1
' 0
2
1
x
f x
xx
 
 
   
  
 
Vì 
   
43 6 3
2 24 4
1 1
0
1 1
x x x
x xxx x
    
 
 nên 
   ' 0, 0f x x f x    nghịch biến trên nửa khoảng 0;  và 
lim ( ) 0
x
f x

 , nên 0 ( ) 1, 0;f x x      . 
 hoặc  
Vậy, phương trình  1 có nghiệm thực trên nửa khoảng 
0; 0 1m     . 
Ví dụ 3: Tìm tham số thực m để phương trình : 
     4 3 3 3 4 1 1 0, 2m x m x m        có nghiệm thực. 
Giải : 
Điều kiện: 3 1x   . 
Phương trình 3 3 4 1 1(2)
4 3 3 1 1
x x
m
x x
   
 
   
Nhận thấy rằng: 
   
2 2
2 2 3 1
3 1 4 1
2 2
x x
x x
    
         
   
   
Nên tồn tại góc 0; , t n ; 0;1
2 2
t a t
 

 
      
 
 sao cho: 
2
2
3 2 sin 2
1
t
x
t
  

 và 
2
2
1
1 2cos 2
1
t
x
t


  

   
2
2
3 3 4 1 1 7 12 9
, 3
5 16 74 3 3 1 1
x x t t
m m f t
t tx x
      
   
     
Xét hàm số: 
2
2
7 12 9
( )
5 16 7
t t
f t
t t
  

  
 liên tục trên đoạn 0;1t     . Ta 
có 
 
 
2
2
2
52 8 60
'( ) 0, 0;1
5 16 7
t t
f t t f t
t t
         
  
nghịch biến trên 
đoạn  0;1 và 9 7(0) ; (1)
7 9
f f  
Suy ra phương trình  2 có nghiệm khi phương trình  3 có nghiệm 
trên đoạn 0;1t     khi và chỉ khi: 
7 9
9 7
m  . 
Ví dụ 4: 
 hoặc  
Tìm tham số thực m để bất phương trình 
2 22 24 2x x x x m     có nghiệm thực trong đoạn 4;6   . 
Giải : 
Đặt 2 2 24t x x   , 4;6 0;5x t           
Bài toán trở thành tìm tham số thực m để bất phương trình 
2 24t t m   có nghiệm thực 0;5t     
Xét hàm số   2 24f t t t   liên tục trên đoạn 0;5   . 
Ta có :  '( ) 2 1 0, 0;5f t t t f t        liên tục và đồng biến 
trên đoạn 0;5   
Vậy bất phương trình choc ó nghiệm thực trên đoạn 0;5   khi 
0;5
max ( ) (5) 6 6
t
f t m f m m m
  
      