Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 1)

 hoặc  
SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa : 
Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm số 
f xác định trên K được gọi là 
 Đồng biến trên K nếu với mọi 
   1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x    ; 
 Nghịch biến trên K nếu với mọi 
   1 2 1 2 1 2, ,x x K x x f x f x    . 
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I 
 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì  ' 0f x  với mọi 
x I . 
 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì  ' 0f x  với mọi 
x I . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : 
Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân (Định lý 
Lagrange): 
Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm trên khoảng  ;a b thì 
tồn tại ít nhất một điểm  ;c a b sao cho 
       'f b f a f c b a   . 
Định lý 2 : 
Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm 
số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi điểm trong của I ( tức là 
điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) .Khi đó : 
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên 
khoảng I ; 
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên 
khoảng I ; 
 hoặc  
 Nếu  ' 0f x  với mọi x I thì hàm số f không đổi trên 
khoảng I . 
Chú ý : 
 Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm  ' 0f x  trên 
khoảng  ;a b thì hàm số f đồng biến trên ;a b   . 
 Nếu hàm số f liên tục trên ;a b   và có đạo hàm  ' 0f x  trên 
khoảng  ;a b thì hàm số f nghịch biến trên ;a b   . 
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. 
Dạng 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
Xét chiều biến thiên của hàm số  y f x ta thực hiện các bước sau: 
 Tìm tập xác định D của hàm số . 
 Tính đạo hàm  ' 'y f x . 
 Tìm các giá trị của x thuộc D để  ' 0f x  hoặc  'f x không 
xác định ( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số ). 
 Xét dấu  ' 'y f x trên từng khoảng x thuộc D . 
 Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy ra khoảng đơn điệu của 
hàm số. 
Ví dụ 1 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 3 24 26y x x x     
3 22. 3 3 2y x x x    
Giải: 
3 21. 3 24 26y x x x     . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có : 2' 3 6 24y x x    
 hoặc  
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
  
       

Bảng xét dấu của 'y 
x  4 2  
'y  0  0  
 ' 0, 4;2y x y    đồng biến trên khoảng  4;2 , 
   ' 0, ; 4 , 2;y x y      nghịch biến trên các khoảng 
   ; 4 , 2;   . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có : 2' 3 6 24y x x    
2
4
' 0 3 6 24 0
2
x
y x x
x
  
       

Bảng biến thiên 
x  4 2  
'y  0  0  
'y 
 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  4;2 , nghịch biến trên các 
khoảng  ; 4  và  2; . 
3 22. 3 3 2y x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có:    22' 3 6 3 3 1f x x x x     
 ' 0 1f x x    và  ' 0f x  với mọi 1x   
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên 
hàm số đồng biến trên  . 
Hoặc ta có thể trình bày : 
x  1  
 hoặc  
'y  0  
'y 
 
1 
  
Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng  ; 1   và 1;  nên 
hàm số đồng biến trên  . 
Ví dụ 2 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
4 211. 2 1
4
y x x    
4 22. 2 3y x x   
Giải: 
4 211. 2 1
4
y x x    . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có:  3 2' 4 4y x x x x      
0
' 0
2
x
y
x
 
  
 
Bảng biến thiên 
x  2 0 2  
'y  0  0  0  
'y 
 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  ,  0;2 và nghịch 
biến trên các khoảng  2;0 ,  2; . 
4 22. 2 3y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có:  3 2' 4 4 4 1y x x x x    
Vì 2 1 0,x x     nên ' 0 0y x   . 
 hoặc  
Bảng biến thiên 
x  0  
'y   
'y 
  
Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng  0; và nghịch biến trên 
khoảng  ; 0 . 
Ví dụ 3 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 1
1.
1
x
y
x
 

2
2.
1
x
y
x
 

Giải: 
2 1
1.
1
x
y
x
 

. 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 1 1;     . 
Ta có: 
 2
3
' 0, 1
1
y x
x
     

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1  và  1;  . 
2
2.
1
x
y
x
 

Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ;1 1;   . 
Ta có: 
 2
3
' 0, 1
1
y x
x
 -   

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  1; . 
Ví dụ 4 :Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
2 2 1
1.
2
x x
y
x
   

2 4 3
2.
2
x x
y
x
  

 hoặc  
Giải: 
2 2 1
1.
2
x x
y
x
   

. 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 2 2;     . 
Ta có: 
 
2
2
4 5
' , 2
2
x x
y x
x
      

5
' 0
1
x
y
x
  
  

Bảng biến thiên : 
x  5 2 1  
'y  0   0  
'y 
  
  
  
Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng  5; 2  và  2;1 , nghịch 
biến trên các khoảng  ; 5  và  1; . 
2 4 3
2.
2
x x
y
x
  

Hàm số đã cho xác định trên khoảng    ; 2 2;     . 
Ta có: 
 
2
2
4 5
' 0, 2
2
x x
y x
x
 
    

Bảng biến thiên : 
x  2  
'y   
'y 
 
 
  
  
Vậy , hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  2;  . 
Ví dụ 5 : 
Tìm khoảng đơn điệu của hàm số   sinf x x trên khoảng  0;2 . 
 hoặc  
Giải: 
Hàm số đã cho xác định trên khoảng  0;2 . 
Ta có :    ' cos , 0;2f x x x   . 
    3' 0, 0;2 ,
2 2
f x x x x
 
     
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x 0 
2
 3
2
 2 
 'f x  0  0  
 f x 1 0 
 0 1 
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 0;
2
 
 
 
và 3 ;2
2


 
 
 
, nghịch biến 
trên khoảng 3;
2 2
  
 
 
. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 211. 3 8 2
3
y x x x    
2 2
2.
1
x x
y
x



2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: 
3 21. 2 3 1y x x   
4 22. 2 5y x x   
3 24 23. 6 9
3 3
y x x x     
24. 2y x x  
3. Chứng minh rằng hàm số: 
1. 24y x  nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
2. 3 cos 4y x x x    đồng biến trên  . 
3. cos2 2 3y x x   nghịch biến trên  . 
4. Cho hàm số  2sin cosy x x . 
 hoặc  
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3
và nghịch 
biết trên đoạn  
 
 
 
;
3
. 
)b Chứng minh rằng với mọi   1;1m , phương trình 
 2sin cosx x m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; . 
Hướng dẫn 
1. 
3 211. 3 8 2
3
y x x x    
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 6 8f x x x   
 ' 0 2, 4f x x x    
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
x  2 4  
 'f x  0  0  
 f x  
  
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;2 và  4; , nghịch 
biến trên khoảng  2;4 
2 2
2.
1
x x
y
x



Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ 1 . 
Ta có  
 
 
 
2
2
2 2
1 12 2
' 0, 1
1 1
xx x
f x x
x x
  
   
 
Chiều biến thiên của hàm số được nêu trong bảng sau : 
 hoặc  
x  1  
 'f x   
   
 f x 
   
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
2. 
3 21. 2 3 1y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 6 6f x x x  
       ' 0, ; 1 , 0;f x x f x      đồng biến trên mỗi khoảng 
 ; 1  và  0; . 
     ' 0, 1;0f x x f x    nghịch biến trên khoảng  1;0 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 
1, 0x x   , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 
4 22. 2 5y x x   
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   3' 4 4f x x x  
       ' 0, 1;0 , 1;f x x f x     đồng biến trên mỗi khoảng 
 1;0 và  1; . 
       ' 0, ; 1 , 0;1f x x f x     nghịch biến trên mỗi khoảng 
 ; 1  và  0;1 . 
Ngoài ra : Học sinh có thể giải  ' 0f x  , tìm ra hai nghiệm 
1, 0, 1x x x    , kẻ bảng biến thiên rồi kết luận. 
 hoặc  
3 24 23. 6 9
3 3
y x x x     
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    22' 4 12 9 2 3f x x x x       
  3' 0
2
f x x   và  ' 0f x  với mọi 3
2
x  
Vì hàm số nghịch biến trên mỗi nửa khoảng 3;
2
 
 
 
và 3 ;
2
 

 
nên 
hàm số nghịch biến trên  . 
24. 2y x x  
Hàm số đã cho xác định trên 0;2   . 
Ta có    
2
1
' , 0;2
2
x
f x x
x x

 

     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên khoảng  0;1 ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên khoảng  1;2 . 
Hoặc có thể trình bày : 
     ' 0, 0;1f x x f x   đồng biến trên đoạn 0;1   ; 
     ' 0, 1;2f x x f x   nghịch biến trên đoạn 1;2   . 
3. 
21. 4y x  nghịch biến trên đoạn 0;2   . 
Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;2   và có đạo hàm 
 
2
' 0
4
x
f x
x

 

 với mọi  0;2x  . Do đó hàm số nghịch biến 
trên đoạn 0;2   . 
2. 3 cos 4y x x x    đồng biến trên  . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có   2' 3 1 sinf x x x   
Vì 23 0, 1 sin 0,x x x x       nên  ' 0,f x x   . 
Do đó hàm số đồng biến trên  . 
 hoặc  
3. cos2 2 3y x x   nghịch biến trên  . 
Hàm số đã cho xác định trên  . 
Ta có    ' 2 sin2 1 0,f x x x       và 
 ' 0 sin2 1 ,
4
f x x x k k

          
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn 
 ; 1 ,
4 4
k k k
 
 
 
      
 
 . 
Do đó hàm số nghịch biến trên  . 
4. 
)a Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3
và nghịch 
biết trên đoạn  
 
 
 
;
3
. 
Hàm số liên tục trên đoạn   0; và 
     ' sin 2 cos 1 , 0;y x x x 
Vì  0; sin 0x x   nên trong khoảng 
    10; : ' 0 cos
2 3
f x x x

      
 
     
 
 ' 0, 0;
3
y x nên hàm số đồng biến trên đoạn 
 
 
 
0;
3


 
     
 
 ' 0, ;
3
y x nên hàm số nghịch biến trên đoạn  
 
 
 
;
3
)b Chứng minh rằng với mọi   1;1m , phương trình 
 2sin cosx x m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; . 
 
   
 
 0;
3
x ta có         
 
5
0 1
3 4
y y y y nên phương trình 
cho không có nghiệm   1;1m 
 hoặc  


 
   
 
 ;
3
x ta có           
 
5
1
3 4
y y y y . Theo định lý 
về giá trị trung gian của hàm số liên tục với         
 
5
1;1 1;
4
m , 
tồn tại một số thực  
 
  
 
;
3
c sao cho    0y c . Số c là nghiệm của 
phương trình  2sin cosx x m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn 


 
 
 
;
3
nên trên đoạn này , phương trình có nghiệm duy nhất . 
Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn   0; .