Ôn thi đại học về tích phân

Tích phân 
I.Các phương pháp tính tích phân 
1. Tính tích phân bằng định nghĩa ,tính chất và bảng nguyên hàm cơ bản
2.Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:
 hay . 
áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại 
Bước 2: Tính và .
Bước 3: Tính và .
Bước 5: áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tớnh tớch phõn (ĐH-KB-2009)
	Đặt u = lnx 
	 Chọn 
	Vậy : 
 b) Tính 
Giải: Đặt 
 .
 Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
 a) b) c) d) 
Giải: a) Đặt . Do đó:
 .
 b) Đặt . Do đó:
.
c)Đặt . Do đó:
.
 d) Đặt 
.
 	Đặt 
.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
u
P(x)
lnx
P(x)
dv
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
 Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: thì ta thường đặt 
Nếu tính tích phân mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt 
Nếu tính tích phân hoặc thì
 ta đặt 
 hoặc đặt 
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
3. Phương pháp đổi biến số 
Bài toán: Tính ,
*Phương pháp đổi biến dạng I
Định lí . Nếu 1) Hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn ,
 2) Hàm hợp được xác định trên ,
 3) ,
 thì .
Ví dụ 1. Hãy tính các tích phân sau:
 a ) Tớnh tớch phõn (ĐH-KA-2009)
 b) c) 
Giải: a) I = 
Ta cú: I2 = = 
Mặt khỏc xột I1 = 
= 
Vậy I = I1 – I2 = 
b) Ta có 
 .
c) Ta có 
 Ví dụ 2. Hãy tính các tích sau: 
 a) b) 
Giải: a) Đặt . Khi x = 0 thì t = 0. Khi thì . 
 Từ 
 .
 b) Đặt . Khi thì , khi thì .
 	Ta có: . 
Chú ý: Trong thực tế chúng ta có thể gặp dạng tích phân trên dạng tổng quát hơn như:
 	Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng và (trong trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lượng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:
Với , đặt 
 hoặc .
Với , đặt 
 hoặc .
Với , đặt 
 hoặc .
*Phương pháp đổi biến dạng II
Định lí : Nếu hàm số đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho thì .
Ví dụ 3: Tính 
Giải: Đặt .Tacó . 
Từ đó được: 
 Ví dụ 4: Hãy tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến dạng II:
a) b) c)
d) e)
Giải: a) Đặt khi thì . Khi thì 
 Ta có . Do đó:
 = 60.
b)Đặt . Khi thì . Khi thì .
Ta có .
c)Đặt . Khi thì . Khi thì .
Ta có . Do đó:
.
d)Đặt . Khi thì . Khi thì .
Ta có . Do đó:
.
e)Đặt . Khi thì , khi thì .
Ta có . Do đó:
 .
3.Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí . Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì:
 hay . 
áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại 
Bước 2: Tính và .
Bước 3: Tính và .
Bước 5: áp dụng công thức trên.
Ví dụ 5: a)Tớnh tớch phõn (ĐH-KB-2009)
	Đặt u = lnx 
	 Chọn 
	Vậy : 
 b) Tính 
Giải: Đặt 
 .
 Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:
 a) b) c) d) 
Giải: a) Đặt . Do đó:
 .
 b) Đặt . Do đó:
.
c)Đặt . Do đó:
.
 d) Đặt 
.
 	Đặt 
.
*Cách đặt u và dv trong phương pháp tích phân từng phần.
u
P(x)
lnx
P(x)
dv
P(x)dx
cosxdx
cosxdx
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và thích hợp trong biểu thức dưới dấu tích phân f(x)dx. Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm.
 Có ba dạng tích phân thường được áp dụng tích phân từng phần:
Nếu tính tích phân mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: thì ta thường đặt 
Nếu tính tích phân mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì ta đặt 
Nếu tính tích phân hoặc thì
 ta đặt 
 hoặc đặt 
Trong trường hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban đầu. Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính.
II.Tích phân một số hàm số thường gặp
1. Tích phân hàm số phân thức
a)Tính tích phân dạng tổng quát sau:
 .
 (trong đó với mọi )
Xét .
 +)Nếu thì tính được.
 +)Nếu thì ,
 (trong đó )
 .
 +) Nếu thì 
Đặt , ta tính được I.
b) Tính tích phân: .
(trong đó liên tục trên đoạn )
 +) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho: 
 +)Ta có I= 
 . Tích phân = 
 Tích phân tính được.
 c) Tính tích phân với P(x) và Q(x) là đa thức của x.
Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.
Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trường hợp:
+ Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn thì đặt
 .
+ Khi thì đặt
+ Khi với a ạ b thì đặt
.
Ví dụ 7. Tính tích phân: .
 Giải: 
 Cách 1.Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho:
Vậy .
Do đó 
 .
Cách 2. Vì nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách:
 	Tìm A, B sao cho: 
Vậy .
Do đó 
 .
Ví dụ 8:Tính tích phân: .
Giải:
Do 
 Đặt 
Vậy .
Ví dụ 9. Tính tích phân: . 
Giải:
 .
2. Tích phân các hàm lượng giác
2.1.Dạng 1: Biến đổi về tích phân cơ bản
Ví dụ 10: Hãy tính các tích phân sau: 
 a) ;
 b);
 c) .
Giải
 a) 
 . 
b) Ta có 
.
 . 
c) 
.
2.2.Dạng 2: Đổi biến số để hữu tỉ hóa tích phân hàm lượng giác 
2.2.1.Tính 
 Phương pháp:
 Đặt 
 Ta có: và 
 đã biết cách tính.
Ví dụ 11. Tính 
Giải: Đặt 
 .
2.2.2. Tính 
Phương pháp: 
Đặt đã tính được.
Ví dụ 12. Tính: .
Giải:Ta có 
 Đặt 
 2.2.3. Tính .
Phương pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
+) Vậy =
=
 Tích phân tính được
 Tích phân
 Tích phân tính được.
Ví dụ 13. Tính: . 
Giải:
 Bằng cách cân bằng hệ số bất định, tìm A và B sao cho:
 .
2.3.Dạng 3: Đổi biến số để đưa về tích phân hàm lượng giác đơn giản hơn 
 (Xem ví dụ 17, 20, 21)
2.4.Chú ý: Nguyên hàm dạng , với là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết cách tính tích phân.
Trường hợp chung: Đặt 
 Ta có 
Những trường hợp đặc biệt:
+) Nếu là một hàm số chẵn với sinx và cosx nghĩa là 
 thì đặt hoặc , sau đó đưa tích phân về dạng hữu tỉ theo biến t.
 +) Nếu là hàm số lẻ đối với sinx nghĩa là: 
 thì đặt .
 +) Nếu là hàm số lẻ đối với cosx nghĩa là: 
 thì đặt .
3.Tích phân hàm vô tỉ 
3.1 .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản
Ví dụ 14. Tính tích phân: .
Giải
Ví dụ 15:Tính tích phân .
Giải: . 
 3.2.Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lượng giác
 (xem ví dụ 2)
3.3Dạng 3: Biến đổi làm mất căn
 Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức
 Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng
Ví dụ 15:Tính 
Giải: 
Đặt t= 
 Ta có: xdx=-tdt, Khi x= 0 thì t =1,khi x = 1 thì t =0 
Vậy 
4.Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp:Chúng ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối 
 Ví dụ 16: Tính 
Giải: Lập bảng xét dấu của trên đoạn 
x
-2 -1 1 2
 + 0 - 0 +
Do đó 
 . 
III.Tích phân một số hàm đặc biệt
1.Cho hàm số liên tục và lẻ trên đoạn . Khi đó
 .
Ví dụ 17: Chứng minh .
Giải: Đặt . Khi x= thì t = - , khi thì 
Do đó : I= 
Suy ra : 2I = 0. Ta được .
2.Cho hàm số liên tục và chẵn trên đoạn . Khi đó .
 Chứng minh : Ta có (1)
 Ta tính bằng cách đặt 
 (2)
 Thay (2) vào (1) ta được 
Ví dụ 18: Tính tích phân: 
Giải: Ta có 
Do là hàm số lẻ trên nên 
và là hàm số chẵn trên nên ta có: 
Vậy .
3.Cho hàm số liên tục và chẵn trên đoạn. Khi đó
Chứng minh: Đặt t= -x dt= - dx
Ta có f(x) = f(-t)= f(t); ax+1= a-t+1= 
Khi x= - thì t = ; x = thì t =- 
Vậy 
Suy ra 
Ví dụ 19 : Tính tích phân: . 
Giải:Đặt t= -x dt= - dx
Khi x= - 1 thì t = 1 ; x =1 thì t =-1 
Vậy 
Suy ra 
4.Cho f(x) liên tục trên đoạn .Khi đó 
 .
 Chứng minh: 
 Đặt 
 Khi x = 0 thì , khi thì t = 0
Do đó .
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
 *Nếu f(x) liên tục trên thì 
 *Nếu f(x) liên tục trên thì 
 Ví dụ 20:Chứng minh: I=.
.
 Giải :
 Tương tự như trên ta có:
 I= =J
 +) Vậy I+J= 
Vậy I= .
Ví dụ 21: Tính tích phân: .
Giải: Đặt .
Khi đó 
Vậy .
Bài tập đề nghị
Bài 1.Tính các tích phân sau
 ( ĐH-KA-2006)
(ĐH-KA-2005)
(ĐH-KB-2005)
Bài 2.Tính các tích phân sau
Bài 3. Tính các tích phân sau