Ôn thi Đại học về Bất đẳng thức

 1
BẤT ĐẲNG THỨC 
A. Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 
I. Sử dụng định nghĩa, các phép biến đổi đương đương 
VD1. Chứng minh với a, b, c tùy ý, ta có: 
1. 2 2 2a b c ab bc ca     
2.    2 3a b c ab bc ca     
Giải 
1.      2 2 22 2 2 0a b c ab bc ca a b b c c a            
2.          2 2 2 23 0a b c ab bc ca a b b c c a            
VD2. Chứng minh rằng nếu 0 x y z   thì ta có    1 1 1 1 1y x z x z
x z y x z
           
   
Giải. Biến đổi tương đương đến:    0y x z x   luôn đúng. 
VD3. Ba số dương a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: 
     2 2 2 3a b c a b c a b c a b c abc         
Giải. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 0b c a   . Do đó: 
   2 0b c b c a    , hay 
3 3 2 2 2 2 2 0b c b c bc ab ac abc       (1) 
Tương tự ta có: 
3 3 2 2 2 2 2 0c a c a ca bc ba abc       (2) 
3 3 2 2 2 2 2 0a b a b ab ca cb abc       (3) 
Cộng từng vế (1), (2) và (3) rồi nhóm lại ta được: 
     2 2 22 2 2 6 0a b c a b c a b c a b c abc           
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. 
BÀI TẬP 
Bài 1. (1970) CMR với mọi a, b, c, d:    2 22 2 2 2a b c d a c b d       
HD. BĐT   2 2 2 2a b c d ac bd     
Nếu 0ac bd  , BĐT đúng 
Nếu 0ac bd  , bình phương hai vế biến đổi thành  2 0ad bc  . 
Bài 2. (TL, 95) Cho 0 a b c   . CMR:      3 2 2 3 2 2 3 2 2 0a b c b c a c a b      
HD. Biến đổi tương đương đến:      0b c a c a b ab bc ca      
Bài 3. (HH, 96). Cho 1xy  , CMR: 2 2
1 1 2
1 1 1x y xy
 
  
. 
HD. Ta có: 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1x y xy x xy y xy
   
                  
   
   
2
2 2
1
0
1 1 1
b a ab
a b ab
 
 
  
II. Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức đã biết 
Những bất đẳng thức thường sử dụng: 
1. Bất đẳng thức Cô-si: 
 2
 Với hai số không âm a và b ta có: 
2
a b ab  . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ 
khi a b . 
 Với ba số không âm a, b và c ta có: 3
3
a b c abc   . Đẳng thức xảy ra khi và 
chỉ khi a b c  . 
2. Bất đẳng thức Bunhia-Côpxki (Cauchy – Schwarz): 
 Với mọi số thực a, b, x, y, ta có:     2 2 2 2 2ax by a b x y    . Đẳng thức 
xảy ra khi: a b
x y
 . 
 Với mọi số thực a, b,c, x, y,z, ta có: 
    2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z       . Đẳng thức xảy ra khi: 
a b c
x y z
  . 
3. Bất đẳng thức tam giác: 
 , ,a b a b a b    (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0ab  . 
 , ,a b a b a b    (BĐT tam giác thứ nhất). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
0ab  . 
VD1. Với a, b là các số dương tùy ý, ta luôn có: 
1.   1 1 4a b
a b
    
 
2. 1 1 4
a b a b
 

HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
VD2. Với a, b, c là các số dương tùy ý, ta luôn có: 
1.   1 1 1 9a b c
a b c
      
 
2. 1 1 1 9
a b c a b c
  
 
HD. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
VD3. Với x, y không âm, chứng minh:     21 1 1x y xy    
Giải. Ta có:         2 21 1 1 1 2 1x y x y xy xy xy xy           
VD4. 
1. Nếu 2 2 1x y  thì 2 5x y  . 
2. Nếu 3 4 1x y  thì 2 2 1
25
x y  . 
HD. Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-côp-xki: 
1.       2 2 2 2 2 22 1. 2. 1 2 5x y x y x y       . Suy ra: 2 5x y  
2.       2 2 2 2 2 2 21 3 4 3 4 25x y x y x y       . Suy ra: 2 2 1
25
x y  
BÀI TẬP 
 3
Bài 1. (BK HN, 90) Cho , , 0x y z  , CMR: 2 2 2
1 1 1
2
x y z
x yz y zx z xy xyz
 
  
  
. 
HD. Theo BĐT Cô-si: 2 2
1 12
2
x yz x yz
x yz x yz
   

Tương tự: 2 2 2
1 1 1 1 1 1
22 2 2
yz zx xy
x yz y zx z xy xyzx yz y zx z xy
 
     
  
Tiếp tục sử dụng BĐT Cô-si ta có đpcm. 
Bài 2. (QGHN, B, 95) Cho hai số dương a, b, CM BĐT: 
3
3
3 3
1 1a ab b
a b a b
     
HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 33 3
1 1 31 1 3 .1.1
a a a
    , tương tự . ta có đpcm. 
Bài 3. (HH Tp.HCM, 99) Cho , , 0x y z  và 3x y z   , CMR: 
2 2 2
3 1 1 1
1 1 1 2 1 1 1
x y z
x y z x y z
     
     
HD. BĐT bên trái: 2 2
11 2
1 2
xx x
x
   

BĐT bên phải, dựa vào BĐT Cô-si cho 3 số. 
III. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số 
VD1. Chứng minh rằng , với mọi số thực x ta đều có: 
2
2
1 1 3
3 1
x x
x x
 
 
 
. 
HD. Đặt    
2
2
2
1 1 1 1 0
1
x xy y x y x y
x x
 
       
 
. Ta tìm y để PT này có nghiệm. 
VD2. Chứng minh rằng:    2 2 2 2 cos cos cos 6 0, , , 0;a b c a b c a b c          
Giải. Xét hàm số 2 2cosy x x  . Ta có ' 2 2siny x x  , " 2 2cos 0,y x x    , nên y’ đơn 
điệu tăng trên miền  0; , suy ra  ' ' 0 0y y  . Từ đó y đơn điệu tăng trên miền  0; . 
Do vậy, với  , , 0;a b c   , ta có: 
   
   
   
 
2
2 2 2 2
2
0 2 2cos 2
0 2 2cos 2 2 cos cos cos 6 0
2cos 20 2
y a y a a
y b y b b a b c a b c
c cy c y
    
 
             
     
VD3. Cho tam giác ABC có 0 90A B C     . Chứng minh: 2cos3 4cos 2 1 2
cos
C C
C
 
 . 
HD. Ta có: 2cos3 4cos 2 1 2
cos
C C
C
 
 
   3 22 4cos 3cos 4 2cos 1 1
2
cos
c C C
C
   
  
3 28cos 8cos 8cos 5 0C C C     
Từ giả thiết suy ra 160 90 0 cos
2
C C      . 
Đặt 1cos , 0;
2
t C t     
, xét hàm số: 
 4
3 2 18 8 8 5, 0;
2
y t t t t        
Lập bảng biến thiên, suy ra đpcm. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Cho , , 0x y z  và 1x y z   , CMR: 18
2
xyzxy yz zx
xyz
  

HD. Ta có:  233xy yz zx xyz   
Đặt 3
1,0
3
t xyz t   , ta chỉ cần CM: 
3
2 3
3
183 6 2 0
2
tt t t
t
    

. Đến đây xét hàm số: 
  3 16 2, 0;
3
f t t t t       
IV. Phương pháp hình học 
VD1. Chứng minh BĐT tam giác:    2 22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2a b a b a a b b       , với mọi bộ 
số 1 2 1 2, , ,a a b b . 
HD. Xét  1 1;M a b ,  2 2;N a b  , thế thì: 2 21 1OM a b  , 2 22 2ON a b  , 
   2 21 2 1 2MN a a b b    . 
Ta bất đẳng thức: OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. 
VD2. Chứng minh với mọi x ta có: 2 21 1 1 1x x x x        . 
HD. Ta có: 
2 2
2 2 1 3 1 31 1
2 4 2 4
x x x x x x                
   
Đặt 1 3 1 3; , ;
2 2 2 2
M x N x
   
       
   
Thế thì: 
21 3
2 4
OM x    
 
, 
21 3
2 4
ON x    
 
, 1NM  
Từ BĐT: OM ON NM  , suy ra điều phải chứng minh. 
BÀI TẬP 
Bài 1. Chứng minh với mọi giá trị của x, y ta có: 
   2 2 2 2 2 24cos cos sin 4sin sin sinx y x y x y x y     
HD. Đặt   2cos cos ;sinM x y x y ,   2sin sin ; sinN x y x y   và  0;0O . Từ BĐT 
OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. 
Bài 2. CMR với x, y, z là ba số tùy ý thì ta có: 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z        
HD. Xét 3 điểm:  0;0O , 1 3;
2 2
M x y y
 
  
 
, 1 3;
2 2
N x z z
 
   
 
. Từ BĐT 
OM ON MN  , suy ra điều phải chứng minh. 
Bài 3. CMR với mọi số a, b, c ta có:    2 22 2 2 22a c b a c b a b       . 
HD. Xét 3 điểm:  0;0O ,  ;M a c b ,  ;N a c b   . Từ BĐT OM ON MN  , suy ra 
điều phải chứng minh. 
 5
Bài 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2 1x y z   . Hãy tìm GTLN của P = xy + yz 
+2zx. 
Giải. Ta có 
2 2 2 2 2 2 2| | ( ) 2 | | 2( ) ( ) ( )P y x z zx y x z x z x z x z            
2 21 1| | 2 2 ( )
2 2
y y y     
xét ( 2;1)u và 2 2(| | 1 ;1/ 2 )v y y y  ta có 
2 2 2 21 1 1 1 3 1 3 1| || | (2 1) ( 1 ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
P uv u v y y y                . 
V. Phương pháp quy nạp toán học 
VD1. Chứng minh bát đẳng thức Becnuli:    1 1 , , 1nh nh n h       . 
VD2. Chứng minh với n là số nguyên lớn hơn 1 thì: 1 1 1...
1 2
n
n
    . 
BÀI TẬP 
Bài 1. CMR với mọi n nguyên và 2n  thì: 
1 1 1... 2
1 2
n
n
    
1 1 1 13...
1 2 2 24n n n
   
 
2 2 2
1 1 1... 2
1 2 n
    
Bài 2. Chứng minh rằng với n nguyên dương ta có: sin sinn n  
VI. Phương pháp phản chứng 
VD1. Cho  , , 0;1a b c . Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức sau có ít nhất một bất 
đẳng thức sai:   11
4
a b  ,   11
4
b c  và   11
4
c a  . 
VD2. Chứng minh rằng nếu 2a b cd  thì ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: 
2c a , 2d b . 
BÀI TẬP 
Bài 1. (NT Tp.HCM, A, D, 2000) Cho , 0x y  và 2 3 3 4x y x y   , 
CMR 3 3 2 2 2x y x y x y      . 
Bài 2. (NT Tp.HCM, A, 2001) Cho tam thức bậc hai   2f x x ax b   . CMR với mọi giá 
trị của a và b, trong ba số  0f ,  1f ,  1f  có ít nhất một số 1
2
 
VII. Phương pháp lượng giác hóa 
VD1. Biết 2 2 1x y  . Chứng minh: 2 2x y    . 
VD2. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:   
  2 2
11 1
2 21 1
a b ab
a b
 
  
 
. 
BÀI TẬP 
Bài 1. CMR 1 1 1 1 1 1 , , , 1a b c a b c a b c
b c a a b c
                      
       
 6
HD. Đặt 1
cos
a
x
 ; 1
cos
b
y
 ; 1
cos
c
z
 với x, , 0;
2
y z   
 
Khi đó đưa BĐT về     2 2 21 cos cos 1 cos cos 1 cos cos sin .sin .sinx y y z z x x y z    
Sau đó lưu ý: 1 cos cos sin sin     ta suy ra đpcm. 
Bài 2. CMR từ bốn số bất kì cho trước luôn tìm được hai số x, y thỏa mãn 0 1
1
x y
xy

 

. 
VIII. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai 
VD1. Cho 3 36a  và 1abc  . Chứng minh rằng: 
2
2 2
3
a b c ab bc ca     . 
VD2. Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki đối với bộ ba số tùy ý 
    2 2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,a a a b b b a b a b a b a a a b b b         
BÀI TẬP 
Bài 1. Chứng minh rằng với mọi x và y thì: 2 25 4 2 6 3 0x y xy x y      . 
Bài 2. Cho tam giác ABC, CMR:  211 cos cos cos ,
2
x A x B C x     
Bài 3. Cho 2 2 2 2 2 2 0.p q a b c d      CMR: 
    22 2 2 2 2 2p a b q c d pq ac bd       
Bài 4. Tìm a, b để sao cho với mọi x hàm số 2 1
ax by
x



 đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị 
nhỏ nhất bằng – 1. 
IX. Phương pháp đánh giá 
VD1. Chứng minh: *1 11 ,
2 1 2
n n n
n n
     

 . 
VD2. Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1... 1
2 3 n
    
Giải. Ta có: 
 2
1 1 1 1
1 1n n n n n
  
 
 với mọi số tự nhiên 1n  , nên: 
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... ... 1 1
2 3 1 2 2 3 1n n n n
            

, với mọi số tự nhiên 1n  (đpcm) 
BÀI TẬP 
Bài 1. CMR với n nguyên dương ta có: 1 1 1 1... 2 1
1 2 3
n
n
      
HD. Ta có:  1 2 2 2 1
1
n n
n n n n n
    
  
Bài 2. CMR với n nguyên dương ta có: 1 3 5 2 1 1. . ...
2 4 6 2 2 1
n
n n



HD. Ta có: 
   2 2
2 2
2 1 2 12 1 2 1
2 2 14 4 1
k kk k
k kk k
  
  

Bài 3. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 1 2a b c d
a b c b c d c d a d a b
    
       
X. Phương pháp quy về một bi ... a được: 
           
22 221 1 1 13 3
2 2 2 2
a b c a b c a c b b c a a b c c a b                 
2 2 2c a b ab    
Ta có:        
2
2 2 22 2 2 13 3 2
4 4
a b
c a b ab a b ab a b a b a b c

              (1) 
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 
  3 3 3 2 2 33 5 3 5a b abc c a b a b ab abc c         
  2 33 5a b c abc c    
(1) cho ta   22a b c c  và  2 233 3
4
ab a b c   , nên: 
  2 3 3 33 2 3 5a b c abc c c c     (đpcm) 
Bài 20. (ĐH-B-2009) Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn  3 4 2x y xy   . Tìm giá 
trị nhỏ nhất của biểu thức:    4 4 2 2 2 23 2 1A x y x y x y      
Giải. Ta có: 
          
22 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 23 2 1 3 3 2 1
4
x y
A x y x y x y x y x y

            
   22 2 2 29 2 14 x y x y     
Từ:      3 3 24x y xy x y x y      và giả thiết ta có: 
         3 2 22 1 2 2 0 1x y x y x y x y x y x y                    
Ta lại có: 
   2 2 2 2 2 12
2
x y x y x y      
Đặt 2 2t x y  , bài toán trở thành: Tìm GTNN của hàm số   29 2 1
4
f t t t   với 1
2
t  . 
 13
Ta có:   9 1' 2 0,
2 2
f t t t     
Nên:  
1;
2
1 9min
2 16t
f t f
   
   
 
Suy ra: 9
16
A  ; đẳng thức xảy ra khi 1
2
x y  . Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 9
16
. 
Bài 21. (ĐH-D-2009) Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn 1x y  . Tìm 
GTLN và GTNN của biểu thức   2 24 3 4 3 25S x y y x xy    . 
Giải. Ta có: 
     33 3 2 2 2 212 16 34 12 36 16 34S x y x y xy x y xy x y x y xy          
2 216 2 12x y xy   
Đặt t xy , thì  
2
0
4
x y
t xy

   , hay: 10
4
t  
Do đó: 216 2 12S t t   , 10
4
t  
Xét hàm số:   216 2 12f t t t   trên đoạn 10;
4
 
  
  1' 32 2 0
16
f t t t     ;   1 191 1 250 12, ,
16 16 4 2
f f f        
   
 
10;
4
1 25max
4 2t
f t f
   
   
 
,  
10;
4
1 191min
16 16t
f t f
   
   
 
Giá trị nhỏ nhất của S bằng 191
16
; khi  
1
2 3 2 3; ;1 4 4
16
x y
x y
xy
            
 hoặc 
  2 3 2 3; ;
4 4
x y
  
   
 
Giá trị lớn nhất của S bằng 25
2
; khi  
1
1 1; ;1 2 2
4
x y
x y
xy
 
       
. 
Bài 22.(ĐH-B-2008) Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức 2 2 1x y  . Tìm 
GTLN và GTNN của biểu thức 
 2
2
2 6
1 2 2
x xy
P
xy y


 
. 
Giải. 
Cách 1. 
     2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 6 2 6 2 6
1 2 2 2 2 2 3
x xy x xy x xy
P
xy y x y xy y x xy y
  
  
      
Khi  20 1x y   thì 0P  
Khi 0x  , đặt y tx ta có:  
 
 2
22 2
2 1 6 2 1 6
1 2 31 2 3
x t t
P
t tx t t
 
 
  
 23 2 6 2 0Pt P t P      (1) 
 14
Nếu P = 0 thì phương trình (1) có nghiệm 1
6
t   
Nếu 0P  thì phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi: 
   2' 6 3 2 0P P P      
2 3 18 0 6 3P P P        
Ta thấy 3 1,
10 10
x y  thì P = 3. 
Ta thấy 3 2,
13 13
x y   thì 6P   . 
Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6. 
Cách 2. Đặt sin , cosx a y a  ta có: 
 2
2
2 sin 6sin cos 1 cos 2 6sin 2
1 2sin cos 2cos 2 sin 2 cos 2
a a a a aP P
a a a a a
  
  
   
   6 sin 2 1 cos 2 1 2P a P a P      
Điều kiện tồn tại a:      2 2 2 26 1 1 2 2 6 36 0 6 3P P P P P P             
Vậy: Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6. 
Bài 23.(ĐH-D-2008) Cho hai số thực x, y không âm thay đổi. Tìm GTLN và GTNN của biểu 
thức   
   2 2
1
1 1
x y xy
P
x y
 

 
. 
Giải. Ta có:   
   
  
   2 2 2
1 1 1 1 1
4 4 41 1 1
x y xy x y xy
P P
x y x y xy
   
      
      
Khi 0, 1x y  thì 1
4
P   
Khi 1, 0x y  thì 1
4
P  
Vậy, GTLN của P bằng 1
4
, GTNN của P bằng 1
4
 . 
Bài 24. Cho a, b, c không âm thỏa a + b + c = 3 . Tìm GTNN của biểu thức: 
2 2 21 1 1
a b cR
b c a
  
  
Giải. Ta có 
2 2
2 21 1 2 2
a ab ab aba a a
b b b
     
 
. Tương tự: 
2 2;1 2 1 2
b bc c cab c
c a
   
 
Suy ra :    21 1 9 33
2 6 6 2
R a b c ab bc ca a b c a b c               . 
Đẳng thức xảy ra khi : a = 1 , b = 1 , c = 1. Vậy 3min
2
R  . 
Bài 25. Cho x, y, z dương thỏa 2 2 2 1x y z   . CMR 3 12
2
xy yz zx    . 
Giải. 
 15
* Ta có 
2 2 2
2 2 2
2 2
)
)
1 1 (.( . ).
2
1 1 (.( . ).
2
2
a x yxy a x y
a z yzy a z
a
y
a a
zx z x
a
 
 


 

  


, với a dương tùy ý. 
Do đó, 2 2 2
1(1 )( ) .
2
aVT x z y
a
    
Chọn a >0 sao cho 11
2
a
a
  ta được 3 1a   
Ta được 2 2 2
1 1 1 3 1( )
23 1
VT x y z
a a

     

. 
BÀI TẬP 
Bài 1. (QG HN,D,2000) Với a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức: 
ab bc ca abc   , CMR: 
2 2 2 2 2 22 2 2 3b a c b a b
ab bc ca
  
   . 
Bài 2. (BK HN,A,2000) Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện 0a b  , CMR: 
33 3
2 2
a b a b    
 
. 
Bài 3. (Nông nghiệp I, A, 2000) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1abc  . Hãy 
tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 2 2 2
bc ca abP
a b a c b c b a c a c b
  
  
. 
Bài 4. (SP Vinh-AB-2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác 
có chu vi bằng 3 thì: 2 2 23 3 3 4 13a b c abc    . 
Bài 5. (ĐH XD, 2001) Cho các số x,y,z thay đổi trên  0;1 và thỏa mãn điều kiện 
3x
2
y z   . Tìm GTNN của biểu thức:  2 2 2cosA x y z   . 
HD. Đặt 2 2 2 , z xt x y z P xy y z      , ta có  2 92 2
4
t x y z P P      
Giả sử   1max , ,
2
x x y z x   . Ta có   3 1z z
2 2
P x y z y x x y        
 
Do vậy 1 5 5min max min A cos
2 4 4
P t     . 
Bài 6. (Nông nghiệp I, A, 2001) Cho , , 0x y z  . CMR: 
3 2 3 2 3 2 2 2 2
22 2 1 1 1yx z
x y y z z x x y z
    
  
. 
Bài 7. (ĐH HH-A-2001) Cho x, ;
4 4
y     
 
. CM BĐT 
tan tan 1
1 tan tan
x y
x y



Bài 8. (ĐH Đà Nẵng-A-2001) Cho ba số dương a, b, c và 2 2 2 1a b c   . CMR: 
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
  
  
 16
Bài 9. (ĐH Thái Nguyên-D-2001) Cho 1, 1a b  , CMR: 1 1a b b a ab    . 
Bài 10. CMR: 2 21 1 1a b b a    , với mọi a, b thuộc đoạn  1;1 . 
Bài 11. Cho các số  , , 0;1x y z thỏa mãn    1 1 1xyz x y z    . CMR: 
2 2 2 3 
4
x y z   . 
HD. Ta có      1 z x z z x 2 1xyz x y z xy y z xy xy y z xyz x y z                
Từ đó    22 2 2 2 2 4x y z x y z x y z xyz          
Đặt t x y z   đưa về xét hàm số. 
Bài 12. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR: 
4 9 16 26a b cP
b c a c a b a b c
   
     
HD. Đặt  , , 0, 0, 0x b c a y c a b z a b c x y z            
Bài 13. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab bc ca abc   . CMR: 
a bc b ca c ab abc a b c         
HD. Từ giả thiết có 1 1 1 1
a b c
   . Đặt 1 1 1, ,x y z
a b c
   , BĐT trở thành: 
z z 1x y y y zx zx z xy xy         
Lưu ý rằng:      z z 1 1 1x y y y z y z x y x z           
Từ đó: 
  
z z
z
2 2
x xx y y x
x y x z y zx y x z y
    
            
   
Bài 14. Cho , , 0x y z  thỏa mãn x 1y z   . CMR: 1 4 9 36
x y z
   . 
HD. Đặt ax
a b c

 
, by
a b c

 
, cz
a b c

 
Bài 15. (Đề dự bị khối B-2008) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức z
3
yx y z
x
   . 
CMR  2 3 3
6
x y z  
Bài 16. Cho tam giác ABC. CMR: 
2 2 2a b c a b c
b c a c a b a b c
    
     
. 
Bài 17. CMR , , 0a b c  và 1abc  ta có 
     2 2 2
1 1 1 3
2a b c b c a c a b
  
  
. 
Bài 18. CMR , , 0a b c  và 1abc  tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
     3 3 3
1 1 1P
a b c b c a c a b
  
  
. 
Bài 19. Cho a, b, c >0. CMR:  
3 3 3
2 2 21
2 2 2 3
a b c a b c
a b b c c a
    
  
. 
Bài 20. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 3a b c   . CMR: 
     
3 3 3
1
2 2 2
a b c
b a c c b a a c b
  
  
 17
Bài 21. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca   . CMR: 
2 2 2
3
21 1 1
a b c
a b c
  
  
Bài 22. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2a b c   . CMR: 
1
2 2 2
ab bc ca
c ab a bc b ac
  
  
Bài 23. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 1x y z   . CM BĐT: 
z 3
z 2
xy y zx
xy z y x zx y
  
  
Bài 24. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2 2 2 1x y z     . CMR: 
4 4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 4
x y z x y z
x y z y z x z x y  
 
  
  
Bài 25. Cho x, y, z là các số dương. CMR: 
 2 2 2 2 2 2 3x xy y y yz z z zx x x y z           
HD. Ta có      2 2 22 2 3 1 3
4 4 4
x xy y x y x y x y        . 
Suy ra:  2 2 3
2
x xy y x y    . 
Bài 26. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 2
1 1 1a b c
  
  
. CMR: 
0,125abc  . 
Bài 27. (SP HN 2-1997) Chứng minh bất đẳng thức: 
6 6 ... 6 30 30 ... 30 9        
dÊu c¨n dÊu c¨nn n
Bài 28. Cho a, b, c >0. CMR:  
3 3 3 3 3 3
2 2 2
29 29 29 4
6 6 6
a b b c c a a b c
ab a bc b ca c
  
    
  
. 
HD. Tìm m, n để sao cho:  
3 3
2
29 , 4
6
a b ma nb m n
ab a

   

. 
Bài 29. Cho a, b, c >0 và 2 2 2 1a b c   . CM: 
2 2 2 3
1 2 1 2 1 2 5
a b c
bc ca ab
  
  
. 
HD. Ta có: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1
a b c a b c
bc ca ab b c c a a b
    
        
Thay giả thiết và cộng thêm 3, ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản. 
Bài 30. Cho a, b, c là các số thực dương và 1abc  . CMR: 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2a b b c c a
  
     
HD. Áp dụng BĐT Cô-si: 2 2 22 , 1 2a b ab b b    , dẫn đến 
 2 2
1 1
2 3 2 1a b ab b

   
. 
Bài 31. (ĐH Y HN-98) Cho a . CM BĐT: 6 3 2 1 0a a a a     . 
Bài 32. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c abc   . CMR: 3 3 3 1
a b c
b c a
   . 
 18
HD. Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương, ta có: 3 3 2
1 1 22 .a a
b ab b ab b
   , 3 2
1 2b
c bc c
  , 
3 2
1 2c
a ca a
  và 2 2 2
1 1 1 1 1 12 2
a b c ab bc ca
          
   
. Cộng lại và rút gọn ta có đpcm. 
Bài 33. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 1ab bc ca   . CMR: 
2 2 2
1 1 1 1 1 13 1 1 1
ab bc ca a b c
         
HD. BĐT 2 2 2
1 1 11 1 1 1 1 1ab bc ca ab bc ca ab bc ca
ab bc ca a b c
     
            
              
2 2 2
c a b a b c b c a a b a c b c b a c a c b
ab bc ca a b c
        
      
Đặt 
     ; ;c a b a b c b c ax y z
ab bc ca
  
   , ta được BĐT x y z xy yz zx     .