Ôn thi Đại học - Phương trình lượng giác

DƢƠNG CHIẾN - GVLS Phƣơng trình lƣợng giác 
CHƢƠNG I: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 
Dạng 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Công thức lƣợng giác: 
1. Công thức cộng 
cos(a b) cosa cosb sinasin b
cos(a b) cosa cosb sinasin b
sin(a b) sina cosb cosasin b
sin(a b) sina cosb cosasin b
tana tan b
tan(a b)
1 tana tan b
  
  
  
  

 
2. Công thức góc nhân đôi 
2 2
2 2
2
sin 2a 2sin a cosa
cos2a cos a sin a
2cos a 1 1 2sin a
2tana
tan 2a
1 tan a

 
   


3. Công thức góc nhân ba 
3
3
2
2
2
3
cos3x 4cos x 3cos x
sin3x 3sin x 4sin x
tan x(3 tan x)
tan3x
1 3tan x
3cot x 1
cot3x
cot x 3cot x
 
 






4. Công thức hạ bậc 
2
2
2
1 cos2a
cos a
2
1 cos2a
sin a
2
1 cos2a
tan a
1 cos2a







5. Công thức biến đổi tổng thành tích 
u v u v
cosu cos v 2cos cos
2 2
u v u v
cosu cos v 2sin sin
2 2
u v u v
sin u sin v 2sin cos
2 2
u v u v
sin u sin v 2cos sin
2 2
sin(a b)
tan a tan b
cosa.cosb
sin(b a)
co t a co t b
sin a.sin b
 
 
 
  
 
 
 
 

 

 
6. Công thức biến đổi tích thành tổng 
 
 
 
1
cosa cosb cos(a b) cos(a b)
2
1
sinasin b cos(a b) cos(a b)
2
1
sina cosb sin(a b) sin(a b)
2
   
   
   
7. Công thức biểu diễn os sin , c và 
tan qua 
2

tan t . 
2
2 2 2
2t 1 t 2t
sin ;cos ;tan
1 t 1 t 1 t
  

  
  
Chú ý: 
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
 
   
 
   
   
       
   
   
       
   
DƢƠNG CHIẾN - GVLS Phƣơng trình lƣợng giác 
II. Công thức nghiệm của các PTLG cơ bản. 
1.    
x k2
sin x m m 1 k Z,sin m
x k2
 

  
 
       
2.    
x k2
cosx m m 1 k Z,cos m
x k2
 

 
 
       
3.  tanx m tan x k k Z        
4.  cot x m cot x k k Z        
5. Các trƣờng hợp đặc biệt 
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
sin x 0 x k cos x 1





   
     
     
cosx 0 x k sin x 1
2
cosx 1 x k2
cosx 1 x k2



 
      
  
    
B. BÀI TẬP 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 2sin 3x 3
6
 
  
 
b) 
2
cos 2x cos 4x
3 5
    
     
   
c) 
5
7 tan 2 21 0
6
x
 
   
 
d) 
2
cot 5x cot 3x
3 6
    
     
   
e)    0 0sin 2x 45 c x 60 0   os 
f) sin 2 cos3 0
4
x x
 
   
 
g) tan3x cot 2x 
h) 
2
tan x cot 2x
4 3
    
     
   
i) sin x cosx 2sin4x  
j) sin 2x 3cosx 0  
k) 
1
cosx.cos2x.cos4x.cos8x=
16
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau với điều kiện đã chỉ ra: 
a)  2sin2x 1 0 với  0 x 2 
b)  2cos3 3 0x với    x 
c) 


2cos2x 1
0
sinx
d)  3cot x 3 0 với điều kiện cosx 0
3. (Khối D – 2002) Tìm x [0;14] nghiệm đúng PT:    cos3x 4cos2x 3cosx 4 0 
ĐS: 
   

3 5 7
x { , , , }
2 2 2 2
DƢƠNG CHIẾN - GVLS Phƣơng trình lƣợng giác 
4. (Khối D – 2004) Giải PT:    (2cosx 1)(2sinx cosx) sin2x sinx 
ĐS: 
 
       x k2 x k
3 4
5. (Khối B – 2005) Giải PT:     sinx cosx 1 sin2x cos2x 0 
ĐS: 
 
       
2
x k2 x k
3 4
6. (ĐH Huế – 2000) Giải PT:   sinxcosx 2sinx 2cosx 2 
ĐS: 

    x k2 x k2
2
7. (ĐH Biên Phòng – 1996) Cho PT:     cos2x (2m 1)cosx m 1 0 (*) 
a) Giải PT (*) với 
3
m
2
b) Tìm m để PT có nghiệm x thỏa mãn 
 
 
3
x
2 2
ĐS: ĐS: a) 

  x k2
3
; b)   1 m 0 
8. (ĐH Ngoại Thương – 2000) Giải PT:     1 sinx cos3x cosx sin2x cos2x 
HD: 3 2PT 1 sinx 4cos x 4cosx 2sinxcosx 2sin x 1 0        
2
sinx(2sinx 2cosx 1) 4cosx(1 cos x) 0 sinx(2sinx 2cosx 1 4sinx cosx) 0
7
sinx(2sinx 1)(1 2cosx) 0 x k x k2 x k2 x k2
6 6 3
  
   
          
                
9. (ĐH Ngoại Thương – 1996) Giải PT:    3 3 2cos x 4sin x 3cosxsin x sinx 0 
HD: 2 3 2PT cosx(1 sin x) 4sin x 3cosxsin x sinx 0      
2
3
(cosx sinx) 4sin x(sinx cosx) 0 x k x k
4 6
 
             
10. (ĐH Quốc Gia Tp.HCM khối A – 1999) 
Giải PT:     2 3cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x 3 0 
ĐS: 
 
         x k x k2 x k2
4 2
DƢƠNG CHIẾN - GVLS Phƣơng trình lƣợng giác 
Dạng 2: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC 3 ĐỐI VỚI MỘT HSLG 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 2 22sin x cos x 4sinx 2 0    
b) 2 29cos x 5sin x 5cosx 4 0    
c) 25sin x(sin x 1) cos x 3   
d) 34cos x 3 2 sin 2x 8cosx  
e) 22tan 3x 3 tan3x 3 0   
f)   23 cot x 4cot x 3 0 
g)  
2
3
3tanx 3
cos x
h) 
2 24sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0
cosx
  
 
i) 2 2cos (3x ) cos 3x 3cos( 3x) 2 0
2 2
 
      
j) 
1 1
2sin3x 2cos3x
sin x cosx
   
k) 
2cosx(2sin x 3 2) 2cos x 1
1
sin 2x 1
  


2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 3 24sin x 8sin x sin x 3 0    
b) 4(sin3x cos2x) 5(sin x 1)   
c) cos3x 3cos2x 2(1 cosx)   
d) tan3x tan x 2  
e) 3 2cot x 2cot x 3cot x 6 0    
f) 
1
2cos2x 8cosx 7
cosx
   
g) 2
6x 8x
2cos 1 3cos
5 5
  
h) 3tan x tan x 1
4
 
   
 
(Đặt t x
4

  ) 
i)  sin2x 2tanx 3 (Đặt t tanx )
3. (Khối A – 2003) Giải PT:    

2
cos2x 1
cot x 1 sin x sin2x
1 tanx 2
 (Đặt t tanx ) 
ĐS: 

 x k
4
4. Cho PT: 

   
2
2
2
m 1
2m tanx m 2 0
cos x
a) Giải PT với m 2 
b) Tìm m để PT có đúng 3 nghiệm thuộc 


 
 
 
;
2
ĐS: 

      
1
a) x k x arctan k b) m 1
4 3
5. Cho PT:    2(cosx 1)(cos2x mcosx) msin x 
a) Giải PT với  m 2 
b) Tìm m để PT có đúng 2 nghiệm thuộc 
 
 
 
2
0;
3
ĐS:      
1
a) x k2 b) 1 m
2
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
Dạng 3: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 
    2 2asinx bcosx c (1),a b 0 
A. Cách giải 
Cách 1: 1. Nếu 2 2 2a b c  thì PT vô nghiệm 
2. Nếu 2 2 2a b c  thì chia cả hai vế phương trình (1) cho 2 2a b và 
Đặt 
2 2 2 2
a b
cos ;sin
a b a b
  
 
 thì ta được: 
2 2 2 2
c c
(1) sinxcos sin cosx sin(x )
a b a b
       
 
Cách 2: 1. Nếu x k2   là nghiệm của PT thì b c  
2. Nếu x k2   thì đặt 
x
t tan
2
 ta được: 
2
2
2 2
2t 1 t
(1) a b c (b c)t 2at c b 0
1 t 1 t

        
 
Chú ý: 1. Cách 1 thường sử dụng trong các bài toán giải PT, tìm điều kiện của tham số để 
PT có nghiệm, vô nghiệm hoặc giải và biện luận PT theo tham số 
2. Cách 2 thường sử dụng trong các bài toán giải PT và tìm điều kiện của tham số để 
PT có nghiệm D [0;2 ]  
B. BÀI TẬP 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:: 
a) sin3x 3 cos3x 2  
b) 
3
3sin x 3 cos x
2
   
c)    1 3 sin x 1 3 cosx 2    
d) 3cos2x 2sinxcosx 2sin7x  
e) sin5x 3cos5x 2sin17x   
f) 2sin x(cosx 1) 3cos2x  
g) (CĐ Hải Quan – 98) 
34sin x 1 3sin x 3cos3x   
h) (ĐH Mỹ Thuật Công Nghiệp - 96) 
cos7xcos5x 3sin 2x 1 sin7xsin5x  
i) 2( 3sin x cosx) 3sin 2x 7 cos2x   
j) 2(sin x 3cosx) 3cos2x sin 2x   
k) (ĐH Mỏ - 95) 
33sin3x 3cos9x 1 4sin 3x   
ĐS:
k2 7 k2
x x
18 9 54 9
   
     
l) 
3 1
8sin x
cosx sin x
  
ĐS:
k
x k x
6 12 2
  
      
m) 3 3
1
1 sin 2x cos 2x sin 4x
2
   
n) sin 2x 3cos2x 3( 3cosx sin x)  
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 9sin x 6cosx 3sin 2x cos2x 8    
b) sin 2x 2cos2x 1 sin x 4cosx    
c) 2sin2x cos2x 7sin x 2cosx 4    
d) sin 2x cos2x 3sin x cosx 2    
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
3. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) (ĐH Giao Thông - 2000) 2 2(sin x cosx)cosx 3 cos2x   
b) (ĐH KTCN TP.HCM - 2000) 2 2cos x 3sin 2x sin x 1   ĐS:
2
x k x k
3

     
c) (ĐH Văn Lang - 98) 4 44(sin x cos x) 3sin 4x 2   ĐS:
k k
x ; x
12 2 4 2
   
     
e) 
1
tan x sin 2x cos2x 2 2cosx 0
cosx
 
     
 
 ĐS: x k
4 2
 
  
f) 3 34sin xcos3x 4cos xsin3x 3 3cos4x 3   ĐS: x k x k
24 2 8 2
   
      
4. (ĐH Kinh Tế - 97) Tìm các nghiệm x 
2 6
;
5 7
  
 
 
 của PT cos7x 3sin7x 2   
ĐS: 
35 53 59
x ; ;
84 84 84
   
 
 
5. Cho PT 3sin 2x mcos2x 1  
a) Giải PT với m 1 ; b) CMR PT có nghiệm với mọi m 
ĐS: a) x k x k
6 2
 
      
6. (ĐH Hùng Vương - 98) Cho PT: cosx msin x 2  
a) Giải PT với m 3 ; b) Tìm m để PT có nghiệm 
ĐS: a) x k2 ; b) m 3
3

   
7. Giải và biện luận PT: 24m(sinx cosx) 4m 2(cosx sinx) 3     
8. (ĐH Mỏ_Địa chất - 98) Cho PT sin x mcosx 1 (1)  
a) Giải PT với m 3  ; b) Tìm m để PT 2(1) msinx cosx m (2)   
ĐS: 
7
a) x k2 x k2 ; b) m 0 m 1
2 6
 
         
9. Cho PT sin x 2mcosx 2m 1   
a) Giải PT với m 1  ; b) Tìm m để PT có nghiệm ;
2 2
  
  
 
ĐS: 
1
a) x k x arctan3 k ; b) m 0
4 2

          
10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
2cosx sinx 1 cosx 2sinx 3
a) y ; b) y
sinx cosx 2 2cosx sinx 4
   
 
   
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
Dạng 4: PHƢƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI SIN VÀ COS 
A. Các PT cơ bản: 
2 2
3 2 2 3
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4 2 2
1) sin sin cos cos
2) sin sin cos sin cos cos 0
3) sin sin cos sin cos cos sin cos 0
4) sin sin cos sin cos sin cos cos sin cos 0
a x b x x c x d
a x b x x c x x d x
a x b x x c x x d x e x f x
a x b x x c x x d x x e x f x g x h
  
   
     
       
B. Cách giải 
1. Cách 1: Sử dụng công thức hạ bậc 
Cách 2: * TH1: Xét cos 0x  
* TH2: Xét cos 0x  . Chia cả 2 vế PT cho 2cos 0x  ta được 
2 2 2tan tan (1 tan ) ( ) tan tan 0a x b x c d x a d x b x c d          
2. Với PT thuần nhất bậc 3 và bậc 4 ta giải tương tự 
B. BÀI TẬP 
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau:: 
a) 2 26sin sin cos cos 2x x x x   
b) 2 2
1
sin sin 2x cos
2
x x   
c) 2 24sin 3 3sin 2 2 os 4x x c x   
d) 2 2sin sin 2 3cos 3x x x   ĐS: 
;
4
x k x k

    
e) 22 3cos 6sin cos 3 3x x x   
ĐS: ;
4 12
x k x k
 
     
f) 2 2sin 2 sin 4 3cos 2 3 0x x x    
ĐS: ;
2 8 2
k k
x x
  
   
g)  2 23sin 4sin 2 8 3 9 cos 0x x x    
h) 2 2cos 3sin 2 1 sinx x x   
ĐS:
3
x k x k

      
i) 2 2
5
4 3sin cos 4cos 2sin
2
x x x x   
j) (ĐH AN - 98) 
1
3sin cos
cos
x x
x
  
ĐS: ;
3
x k x k

    
k) (ĐH AN - 98)
1
4sin 6cos
cos
x x
x
  
ĐS: ; arctan5
4
x k x k

      
l) sin 2 2tan 3x x  ĐS:
4
x k

  
m) (ĐH QGHN - 96) 1 3sin 2 2 tanx x  
ĐS:
3 17
; arctan( )
4 4
x k x k

 

     
n) 2
7
4 3sin cos 4cos cos2
2
x x x x   
ĐS:
3
; arctan( )
3 9
x k x k

      
o) 2cos2 6sin cos 4sin 1x x x x   
ĐS: ;
4
x k x k

    
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) (ĐH Đà Nẵng - 99) 3 3cos sin sin cosx x x x   ĐS: 
4
x k
 ... 
2
(1 sin cos )(sin cos )
2
x x x x   
ĐS:
3 1
2 ; arccos( ) 2
4 4 2
k k
 
 

   
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
g) 6(sin cos ) sin cos 6 0x x x x    
ĐS:
3
2 ; 2
2
x k x k

    
h) (1 sin 2 )(1 cos2 ) 2x x   
ĐS: ;
4
x k x k

    
i) 1 tan 2 2 sinx x  
ĐS:
5 11
2 ; 2 ; 2
12 12 4
x k k k
  
       
j) 2cos( ) sin cos 1
4
x x x

   
ĐS:
2 2
arccos( ) 2
4 2
x k



   
k) sin 2 2 sin( ) 1
4
x x

   
ĐS: ; 2 ; 2
4 2
x k k k
 
       
l) 
1 1
2 2 sin( )
4 sin cos
x
x x

   
ĐS:
3
;
4 4
x k x k
 
     
m) cot tan sin cosx x x x   
n) 2(sin cos ) tan cotx x x x   
o) 
1 1 10
cos sin
cos sin 3
x x
x x
    
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) sin cos sin cos 1x x x x   ĐS:
2
x k

 
b) 3 sin cos 2sin2 0x x x   ĐS:PTVN 
c) sin cos 4sin2 1x x x   ĐS:
2
k
x

 
d) | sin cos | 1 4sin2x x x   
3. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 3 3sin cos 1 3sin cosx x x x   
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

       
b) 3 32(sin cos ) 2 cos2x x x  
ĐS:
4
x k

   
c) 3 3sin cos sin 2 sin cosx x x x x    
ĐS:
2
x k

 
d) 3 3 2sin cos 1 sin 2x x x   
ĐS: 2 ; 2
2
x k x k

    
e) 3 3 2cos 2 sin 2 1 sin 4x x x   
ĐS: ;
2
x k x k

    
p) 3 3sin cos cos2x x x  
ĐS: ; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
 
       
f) 3 3sin sin cos
4
x x x
 
   
 
g) 2 sin3 cos3 sin cosx x x x    
h) 2 3 2 3sin sin sin cos cos cosx x x x x x    
 ĐS:
4
x k

  
5. Cho PT: sin 2 4(cos sin )x x x m   . Tìm m để PT có nghiệm 
6. Cho PT: 3 3sin cosx x m  . Tìm m để PT có 3 nghiệm pb (0; )x 
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
DẠNG 6. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC 
I. Công thức hạ bậc 
 Chú ý: 
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2
6 6 2 2
6 6 3
8 8 4 2
1 1 1 3 1
1.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos4
2 2 2 4 4
2.sin cos (sin cos )(sin cos ) cos2
3 1 3 5 3
3.sin cos 1 sin 2 cos 2 cos4
4 4 4 8 8
1 3
4.sin cos cos 2 cos2
4 4
1
5.sin cos sin 2 sin 2
8
      
     
      
   
  
x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x
3 3
1
3
6.sin cos3 cos sin3 sin 4
4

 
x
x x x x x
1. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 2 2 2
3
cos cos 2 cos 3
2
x x x   
b) 2 2 2
3
sin sin 2 sin 3
2
x x x   
c) 2 2 2sin 3 sin 2 sin 0x x x   
d) 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x  
ĐS: ; ;
4 2 2 6
k
x k k
   
      
e) 2 2 2 2cos cos 2 cos 3 cos 4 2x x x x    
f) 2 2 2 2sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x   
ĐS: ; ;
2 4 2 10 5
k k
x k
    
    
g) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x   
h) 2
4
cos cos 0
3
x
x   
ĐS:
3
3 ;
4 2
k
x k x
 
    
i) 2 2
21
sin 4 cos 6 sin 10
2
x x x
 
   
 
ĐS: ;
2 20 10
k
x k x
  
    
j) 2 2
17
sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x
 
   
 
k) (Khối B - 2002) 
2 2 2 2sin 3 cos 6 sin 5 cos 4x x x x   
ĐS: ;
18 4
k k
x x
 
  
l) 2 2
2 1
cos cos (sin 1)
3 3 2
x x x
    
       
   
ĐS:
5
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k k
  
      
m) 3 3
3
sin 2 cos6 sin6 cos 2
8
x x x x  
ĐS:
5
;
48 4 48 4
k k
x x
   
    
n) 3 3
2
cos cos3 sin sin3
4
x x x x  
o) 3 3 3cos cos3 sin sin3 cos 4x x x x x  
p) 3 3 3cos sin3 sin cos3 sin 4x x x x x  
q) 3 34sin cos3 4cos sin 3 3 3 cos 4 3x x x x x   
ĐS: ;
24 2 8 2
k k
x x
   
     
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
2. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) 4 4
1
sin cos sin 2
2
  x x x 
ĐS:
4
 x k

 
b) 4 4sin cos 1 2sin
2 2
x x
x   ĐS: x k 
c) 4 4
1
sin cos
4 4
x x
 
   
 
ĐS: ;
4
x k x k

    
d) 4 4 4
1
sin sin ( ) sin ( )
4 4 2
x x x
 
     
ĐS: x k 
e) 632cos 1 cos6x x  
ĐS:
1 1
; arccos( )
2 2 4
x k k

      
f) 6 6
7
sin cos
16
 x x ĐS:
6 2
k
x
 
   
g) 4 4 6 6 24(sin cos ) 4(sin cos ) sin 4 1x x x x x     
ĐS: 
4 2
k
x
 
  
h) 4 6cos cos2 2sin 0x x x   
ĐS: x k 
i) 6 6 2
13
cos sin (1 sin 2 )
8
  x x x 
ĐS: ;
4 2 6
    x k x k
  
 
j) 6 6sin cos cos4x x x  ĐS:
2
k
x

 
k) 6 616(sin cos 1) 3sin6 0x x x    
ĐS:
5
; ;
2 12 12
k
x x k x k
  
      
l) 8 8
17
sin cos
32
x x  ĐS:
8 4
k
x
 
  
m) 8 8
1
sin cos
8
x x  ĐS:
4 2
k
x
 
  
n) 8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x  
ĐS:
8 4
k
x
 
 
3. Cho PT: 
6 6 1sin cos sin 2
2
x x m x   
 a) Giải phương trình với m = 1; b) CMR 1m  thì PT có nghiệm 
II. Sử dụng công thức góc nhân đôi 
4. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) (ĐH Y - 1997) 4 6cos sin cos2x x x  
b) (ĐH Ngoại Ngữ - 1999) 
32sin cos2 cos 0x x x   
c) 32cos cos2 sin 0x x x   
d) 4 6cos cos2 2sin 0x x x   
e) cos2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x    
f) (ĐH Quốc Gia HN - 1998) 
3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x   
g) (ĐH Quốc Gia HN - 1995) 
4sin2 3cos2 3(4sin 1)x x x   
h) (ĐH Huế - 98) 32sin cos2 sinx x x  
i) (ĐH Y - 2000) 3 3sin cos cos2x x x  
j) (ĐH Ngoại Thương - 2000) 
8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x    
k) (ĐH Ngoại Thương - 1995) 
4cos 2cos2 cos4 1x x x  
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
III. Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng 
5. Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 
a) sin sin2 sin3 1 cos cos2x x x x x     
ĐS:
2 5
; 2 ; 2 ; 2
2 3 6 6
x k k k k
   
         
b) sin sin 2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x     
c) cos10 cos8 cos6 1 0x x x    
ĐS: ;
3 4
k k
x x
 
  
d) (ĐH Nông Lâm HCM - 2001) 
1 cos cos2 cos3 0x x x    
e) (Học Viện QHQT - 1999) 
cos cos2 cos3 cos4 0x x x x    
f) sin3 cos2 sin 0x x x   
ĐS:
5
; 2 ; 2
4 2 6 6
k
x k k
   
     
g) sin3 sin 2 sin 0x x x   
h) cos7 sin8 cos3 sin 2x x x x   
ĐS:
2
; ; 2
5 10 5 2
k k
x x x k
   
      
i) sin 4 sin7 cos3 cos6x x x x 
ĐS: ;
2 20 10
k
x k x
  
    
j) cos11 cos3 cos17 cos9x x x x 
k) sin18 cos13 sin9 cos4x x x x 
l) sin cos2 cos5 sin2 0x x x x  
ĐS: ;
8 4 3
k k
x x
  
   
m) cos cos2 cos3 1 0x x x   ĐS: x k 
n) 4sin sin sin sin 5 0
3 3
x x x x
    
      
   
ĐS:
4
k
x

 
o) 
3 3 1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x x  
ĐS:
2
; ; 2
4 6 3 2
k
x k k
   
      
PTLG TRONG MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC 
Bài 1.(K.A.2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2 ) của PT: 
cos3 sin3
5 sin cos2 3
1 2sin 2
 
   
 
x x
x x
x
 (Đ/s: 
5
;
3 3
 
 x x ) 
Bài 2.(K.B.2002). Giải PT: 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6  x x x x (Đ/s: ;
9 2
 
 
k k
x x ) 
Bài 3.(K.D.2002). Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng của PT: 
cos3 4cos2 3cos 4 0   x x x (Đ/s: 
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x
    
  
 
) 
Bài 4.(K.A.2003). Giải PT: 2
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
   

x
x x x
x
 (Đ/s: 
4

 x k ) 
Bài 5.(K.B.2003). Giải PT: 
2
cot tan 4sin 2
sin 2
  x x x
x
 (Đ/s: 
3

  x k ) 
Bài 6.(K.D.2003). Giải PT: 2 2 2sin tan cos 0
2 4 2
 
   
 
x x
x (Đ/s: 2 ;
4

      x k x k ) 
Bài 7.(K.B.2004). Giải PT: 25sin 2 3(1 sin ) tan  x x x (Đ/s: 
5
2 ; 2
6 6
 
    x k x k ) 
Bài 8.(K.D.2004). Giải PT: (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sinx x x x x    (Đ/s: 2 ; 2
3 4
k k
 
     ) 
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
Bài 9.(K.A.2005). Giải PT: 2 2cos 3 cos2 cos 0 x x x (Đ/s: 
2


k
x ) 
Bài 10.(K.B.2005). Giải PT: 1 sin cos sin2 cos2 0    x x x x (Đ/s:
2
; 2
4 3
k k
 
     ) 
Bài 11.(K.D.2005). Giải PT: 4 4
3
cos sin cos sin 3 0
4 4 2
    
        
   
x x x x (Đ/s:
4
k

 ) 
Bài 12.(K.A.2006). Giải PT: 
 6 62 cos sin sin cos
0
2 2sin
x x x
x
 


 (Đ/s: 
5
2
4
x k

  ) 
Bài 13.(K.B.2006). Giải PT: cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
 
   
 
 (Đ/s: 
5
;
12 12
x k x k
 
     ) 
Bài 14.(K.D.2006). Giải PT: cos3 cos2 cos 1 0   x x x (Đ/s: 
2
; 2
3

    x k x k ) 
Bài 15.(K.A.2007). Giải PT: 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin2    x x x x x 
(Đ/s: ; 2 ; 2
4 2
 
       x k x k x k ) 
Bài 16.(K.B.2007). Giải PT: 22sin 2 sin 7 1 sin  x x x (Đ/s: 
2 5 2
;
18 3 18 3
   
   x k x k ) 
Bài 17.(K.D.2007). Giải PT: 
2
sin cos 3 cos 2
2 2
 
   
 
x x
x (Đ/s: 2 ; 2
2 6
x k k
 
     ) 
Bài 18.(K.A.2008). Giải PT: 
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x


 
   
    
 
 (
5
; ;
4 8 8
k k k
  
       ) 
Bài 19.(K.B.2008). Giải PT: 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3cos sinx x x x x x   (
2
2 ;
3 4
k k
 
    ) 
Bài 20.(K.D.2008). Giải PT: 2sin (1 cos2 ) sin 2 1 2cos   x x x x ( ;
4 2 3
x k k
  
    ) 
Bài 21.(K.A.2009). Giải PT: 
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
x x
x x


 
 (Đ/s: 
2
18 3
x k
 
   ) 
Bài 22.(K.B.2009). Giải PT: 3sin cos sin 2 3cos3 2(cos4 sin )x x x x x x    
(Đ/s: 
2
2 ;
6 42 7
x k x k
  
     ) 
Bài 23.(K.D.2009). Giải PT: 3cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x   ( ;
18 3 6 2
x k k
   
    ) 
DƢƠNG CHIẾN Phƣơng trình lƣợng giác 
PTLG TRONG MỘT SỐ ĐỀ DỰ TRỮ 
Bài 1.(K.A.2006.I). Giải PT: 3 3
2 3 2
cos3 cos sin3 sin
8
x x x x

  (Đ/s: 
16 2
x k
 
   ) 
Bài 2.(K.A.2006.II). Giải PT: 2sin 2 4sin 1 0
6
x x
 
    
 
 (Đ/s: 
7
; 2
6
x k x k

    ) 
Bài 3.(K.B.2006.I). Giải PT: 2 2 2(2sin 1) tan 2 3(2cos 1) 0x x x    (Đ/s: 
6 2
x k
 
   ) 
Bài 4.(K.B.2006.II). Giải PT: cos2 (1 2cos )(sin cos ) 0x x x x    
(Đ/s: ; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
 
         ) 
Bài 5.(K.D.2006.I). Giải PT: 3 3 2cos sin 2sin 1x x x   
(Đ/s: ; 2 ; 2
4 2
x k x k x k
 
         ) 
Bài 6.(K.D.2006.II). Giải PT: 3 24sin 4sin 3sin 2 6cos 0x x x x    
(Đ/s:
2
2 ; 2
2 3
x k x k
 
       ) 
Bài 7.(K.A.2007.I). Giải PT: 
1 1
sin 2 sin 2cot 2
2sin sin 2
x x x
x x
    (Đ/s: 
4 2
x k
 
  ) 
Bài 8.(K.A.2007.II). Giải PT: 22co 2 3sin cos 1 3(sin 3cos )s x x x x x    (
2
3
x k

  ) 
Bài 9.(K.B.2007.I). Giải PT: 
5 3
sin cos 2 cos
2 4 2 4 2
x x x    
      
   
(Đ/s: 
2
; 2 ; 2
3 3 2
x k x k x k
  
        ) 
Bài 10.(K.B.2007.II). Giải PT: 
sin 2 cos2
tan cot
cos sin
x x
x x
x x
   (Đ/s: 2
3
x k

   ) 
Bài 11.(K.D.2007.I). Giải PT: 2 2 sin cos 1
12
x x
 
  
 
 (Đ/s: ;
4 3
x k x k
 
     ) 
Bài 12.(K.D.2007.II). Giải PT: (1 tan )(1 sin 2 ) 1 tanx x x    (Đ/s: ;
4
x k x k

     )