Ôn thi đại học phần Hàm số cấp tốc

Phần 1 khảo sát hàm số. Bài toán liên quan
A. Khảo sát hàm số
 I. Các bước khảo sát hàm số
Các bước khảo sát hàm đa thức
Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định
 2. Sự biến thiên
 - Chiều biến thiên, cực
 - Tính lồi lõm, điểm uốn,
 - Giới hạn
 - Bảng biến thiên
3. Đồ thị 
 - Giá trị đặt biệt, nx tính đối xứng 
 - Đồ thị
1. Tập xác định
 2. Sự biến thiên
 - Chiều biến thiên, cực
 - Giới hạn, tiệm cận
 - Bảng biến thiên
3. Đồ thị
 - Giá trị đặt biệ, nx tính đối xứng 
 - Đồ thị
Sự khác biệt : 
Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 II. Các dạng đồ thị hàm số: 
x
y
O
ã
I
x
y
O
ã
I
a < 0
a > 0
Dạng 2. Hàm số không có CT ?
x
y
O
ã
I
x
y
O
ã
I
a < 0
a > 0
Dạng 1. Hàm số có 1 CT ?
Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0)
F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ạ 0)
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số cú 1 cực trị Û ?
Û ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số cú 3 cực trị Û ?
F
 	F Hàm số : 
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
D#ng 1: hsè ##ng biõn
x
O
I
B. Bài toán liên quan
 1. Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) 	(1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát 
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
 Các bước giải
 Bước 1. Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) 
 Bước 2. Lập luận
 Bước 3. Dựa vào đồ thị để kết luận
 2. Dựa vào pt hoành độ giao điểm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
 Bài toán: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Bước 1. Số giao diểm của hai đường cong (C1) y= f(x) và (C2) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoànhđộ giao điểm f(x) = g(x) (1)
Bước 2. Dựa vào việc xét pt (1) suy ra số nghiệm để chỉ ra số giao điểm của 2 đồ thi hàm số
 3. Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
	Học sinh cần nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
+ (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
	đ Ta sử dụng công thức 	(I)
	+ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
 	đ Ta sử dụng công thức 	(II)
	+ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi 
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
	đ Ta dùng công thức (III)
 4. Cực trị của hàm số
 - Yêu cầu đối với học sinh: 
 F Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:
? Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ạ 0) đ không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
	+ Hs có 2 ct	 y’ có 2 nghiệm phân biệt
	+ Hs không có ct y’ có nghiệm kép hc vô nghiệm
? Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ạ 0) đ có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
	+ Hs có 3 ct y’ có 3 nghiệm phân biệt(a.b<0)
	+ Hs có 1 ct y’ có 1 nghiệm(a.b0)
? Hàm số nhất biến dạng: đ chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
 ? Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: đ không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.
	+ Hs có 2 ct y’ có 2 nghiệm phân biệt
	+ Hs không có ct y’ vô nghiệm
 F Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x0 ẻ (a;b)
- Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0 thì hàm số có cực trị tại x = x0
- Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ + đ – khi x qua x0 thì hàm số có cực đại tại x = x0.
 - Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu từ – đ + khi x qua x0 thì hàm số có cực tiểu tại 
x = x0.
(Điều này vẫn đúng khi hsố không có đạo hàm tại x0 nhưng hàm số có xác định tại đó).
F Hoặc:
- Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) ạ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0. 
- Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0. 
- Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0. 
5. Viết PTTT của đồ thị hàm số
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ( C ) : y = f(x)
- Phương trỡnh tiếp tuyến của ( C ) tại M(x0 ; y0) : y – y0 = f’(x0)(x – x0)
- ( C ) : y = f(x) và ( D ) : y = g(x) tiếp xỳc với nhau
 cú nghiệm 
( nghiệm của hệ phương trỡnh là hoành độ tiếp điểm )
Dạng 1 : Lập phương trỡnh tiếp tuyến của ( C ) tại M()
Phương phỏp : Áp dụng cụng thức y – y0 = f’(x0)( x – x0 )
- Nếu chưa cho y0 thỡ tớnh y0 = f(x0)
- Nếu chưa cho x0 thỡ x0 là nghiệm của phương trỡnh f(x) = y0
Dạng 2: Lập phương trỡnh tiếp tuyến cú hệ số gúc k cho trước
Phương phỏp 
Cỏch 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tiếp tuyến cú hệ số gúc k
 . Giải phương trỡnh tỡm x0 
Phương trỡnh tiếp tuyến y – y0 = k( x – x0 )
Cỏch 2 : Gọi (d) : y = kx + b là tiếp tuyến của ( C )
 cú nghiệm . Giải (1) tỡm x thế vào (2) tỡm b
Lưu ý Cho (d) : y = a.x + b nếu :
	- (d1) song song với (d) thỡ (d1) cú hệ số gúc k = a
	- (d2) vuụng gúc với (d) thỡ (d1) cú hệ số gúc k = hay a.k = – 1 
Dạng 3 : Lập phương trỡnh tiếp tuyến đi qua một điểm A()
Phương phỏp 
Cỏch 1 : Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm.Tớnh y0 = f(x0) và f’(x0) theo x0 . Phương trỡnh tiếp tuyến của (C) tại M là : y – y0 = f’(x0)( x – x0 ) (1) Vỡ tiếp tuyến đi qua A nờn y1 – y0 = f’(x0)( x 1 – x0) giải phương trỡnh tỡm x0 thay vào (1).
Cỏch 2 : Gọi (d) là đường thẳng đi qua A cú hệ số gúc k . Ta cú 
(d) : y – y1 = k( x – x1 ) (1) là tiếp tuyến của (C)
 cú nghiệm
Thế k từ (1) vào (2) giải tỡm x thế vào (1) tỡm k và thay vào phương trỡnh (1) 
 Dạng 4 :Sự tiếp xỳc giữa hai đường
Phương phỏp : Áp dụng (C) và (D) tiếp xỳc với nhau
 cú nghiệm. Từ đú suy ra giỏ trị tham số
6. Max - min
	 a. Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
	Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu M=maxf(x) )
	Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu:
	(ký hiệu m=minf(x) )
b. Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
	+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
	+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
	+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
	+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
	+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
7. Bài toán khác
bài tập trong các đề thi đại học
Bài 1: Cho hàm số y = – x3 + 3mx2 + 3( 1 – m2 )x + m3 – m2 (1) (A – 2002)
1). KSSBT và VĐT của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm k để pt : – x3 + 3x2 + k3 – 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
3). Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số (1)
Bài 2: Cho hàm số (1) ( m là tham số) (B – 2002)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị
Bài 3: Cho hàm số : y = ( m là tham số) (D – 2002)
1).Khảo sát sự biến thiên và VĐT (C) của hàm số (1) ứng với m = –1
2). Tính d.t hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục tọa độ
3). Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
Bài 4: Cho hàm số (1) ( m là tham số ) (A – 2003)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = – 1
2).Tìm m để đthị hsố (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương.
Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m (1) ( m là tham số) (B – 2003)
1). Tìm m để đồ thị h.số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ
2). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
Bài 6: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hs (1) (D – 2003)
2). Tìm m để đường thẳng dm : y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại 2 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số (1). (A – 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.
Bài 8: Cho hàm số y = (1) có đồ thị (C) (B – 2004)
1). Khảo sát hàm số (1).
2). Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài 9: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 (1) với m là tham số (D – 2004)
1). Khảo sát hàm số (1) khi m = 2.
2). Tìm m để điểm uốn của hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1
Bài 10: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số (*) ( m là tham số ) (A – 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1/4.
2). Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 
Bài 11: Gọi (Cm) là đồ thị của hs y = (m là tham số) (B – 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 1.
2). CMR với m bất kỳ , đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 
Bài 12: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = (*) (m là tham số) (D – 2005)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2.
2). Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng –1 . Tìm m để tiếp tuỵến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0.
Bài 13: 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 
2). Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt 2 : ẵxẵ3 – 9x2 + 12ẵxẵ = m(A – 2006)
Bài 14: Cho hàm số (B – 2006)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C) 
Bài 15: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2(D – 2006)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 16: Cho hàm số , m là tham số. (A – 2007)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = –1
2). Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
Bài 17: Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1 (1), m là tham số. 
(B – 2007)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2). Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O.
Bài 18: Cho hàm số (D – 2007)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1/ 4 .
Bài 19: Cho hàm số (1) với m là tham số thực. (A – 2008)
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2).Tìm các giá trị của m để góc giữa 2 đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 45o.
Bài 20: Cho hàm số y= 4x3 – 6x2 + 1 (1). (B – 2008)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; -9).
Bài 21: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1). (D – 2008)
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
bài tập ôn thi
Hàm bậc 3
Bài 1. Cho hàm số (C) 
Khảo sát hàm số
Tìm m để pt có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn 
Tìm m để đường thẳng qua A(1;0) với hệ số góc m cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dương
Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M qua điểm D(0;-2)
tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , x=-1và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 2. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=2
Tìm m để hàm số đồng biến trên (-1;0)
Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm là điểm cực đại
Tìm m để điểm A(0;2) thuộc đường thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số 
Tìm m để tâm đối xứng của (Cm) nằm trên đường thẳng 
Bài 3. a. Qua A(0;-2) kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số với các tiếp điểm là M, N. Viết phương trình đường thẳng MN
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm A cố định. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến của (C) tại B, C vuông góc.
c. Tìm m để đường thẳng qua cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng
Hàm bậc 4
Bài 1. Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m=1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại tại điểm cực tiẻu
Tìm m để đồ thị hàm số có 3 cực trị và 3 điểm cực trị của nó là 3 đỉnh của tam giác vuông cân
Tìm m để đồ thị hàm số (Cm=) cắt đường thẳng tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng
Bài 2.	a. Tìm m để hàm số chỉ có 1 cực trị
	b. Tìm m để đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng 
c. Tìm a để đths tiếp xúc với đths , viết pt tiếp tuyến chung tại các tiếp điểm
d. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đths luôn đI qua 2 điểm cố định A, B. Tìm m để tiếp tuyến của đths tại A và B vuông góc
e. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm cố định có hoành độ dương của đths song song với đường thẳng .
Mai Duy Duân
Hàm bậc nhất / bậc nhất
Bài 1. Cho hàm số 
Khảo sát hàm số 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng 
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;8). Tìm toạ độ tiếp điểm.
Tìm k để đường thẳng tiếp xúc với đồ thị (C).
Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 
Chứng minh rằng đường thẳng luôn cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt M, N. Tìm m để MN ngắn nhất.
Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là nhỏ nhất.
Tìm k để pt: có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn: 
Bài 2. 
Gọi I là giao của 2 tiệm cận của đồ thị hs . Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với IM.
Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hs tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song.
------------------------------------------------