Ôn thi đại học môn Toán - Nguyên hàm và Tích phân

PhÇn I nguyªn hµm
A ) C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n : 
Cho hµm sè y=f(x) x¸c ®Þnh trªn vµ cã ®¹o hµm trªn ®o¹n ®ã ta cã 
df=dx
dy=dx
Vi ph©n cña hµm sè y=f(x) kÝ hiÖu lµ : dy hoÆc df ( Vi ph©n cña biÕn lµ dx)
C«ng thøc tÝnh : hoÆc ( 
Muèn tÝnh vi ph©n cña mét hµm sè ta lÊy ®¹o hµm cña hµm sè ®ã nh©n víi vi ph©n cña biÕn sè)
Vi ph©n cña c¸c hµm sè th­êng gÆp : 
d(ax+b) = a.dx d(ax3+bx2+cx+d) = (3ax2+2bx+c)dx
d(ax2+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx
d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx
d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(ex)=ex.dx 
(eax+b) = a.eax+b.dx d(tanx) = 
d(cotx) = d() = 
d() = d() = 
d() = d(xm+1) = (m+1)xm ( xdx = )
4) Nguyªn hµm cña hµm sè y=f(x) kÝ hiÖu lµ: F(x) hoÆc .§ã lµ mét hµm sè sao cho ®¹o hµm cña nã b»ng f(x).VËy th× ()’ = f(x). Ta gäi F(x) + C lµ mét hä nguªn hµm cña hµm sè y=f(x)(LÊy nguyªn hµm céng víi h»ng sè C)
5) C¸c c«ng thøc tÝnh nguyªn hµm:
 (víi k lµ h»ng sè)
b) C¸c d¹ng bµi tËp :
D¹ng1: TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè ®a thøc (¸p dông trùc tiÕp b¶ng nguyªn hµm)
 TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau (m lµ h»ng sè) 
 1. 2. 3.
 4. 5. 6. 
 D¹ng2:TÝnh nguyªn hµm cña hµm sè l­îng gi¸c, hµm mò, hµm logarit 
 TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau (m,n, p, q lµ c¸c h»ng sè) 
 7. y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x
 10.y= cospx.cosqx 11. y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx
 13.y=cos22x 14.y= sin2(3x/2) 15. y= sin3x.cos3x+cos3x.sin3x
 16.y=logax + lnx 17. 18. 
D¹ng3: TÝnh nguyªn hµm cña c¸c hµm sè b»ng c¸ch ®­a mét biÓu thøc vµo dÊu vi ph©n
 19.y=(mx+n)2007 20.y=3x 21. 
 22. 23. 24. 
 25.y=sinx.cospx 26. y=cosx.sinpx 27. 
 28. 29.y=cos5x 30.y=sin7x
 31.y=tan2x+ cot2x 32.y=tanx 33.y=cotx
 34.y= 35.y=cosx. 36.y=x. 
 37. 38.y=tan4x 39. y=tan5x
 40. y=(3x+5)10 41. 42. y=x2 
 43. y=sin2x.cos2007x 44. 45. 
 46. y=x2. 47.y=cot3x 48. 
 49. 50. 51. 
****************************************
PhÇn ii tÝch ph©n
A) C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n : 
 1-C«ng thøc newton – leipnitz ( Niut¬n – laipnit )
NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) th× ta cã c«ng thøc = F(b) - F(a) Gi¶i thÝch: Muèn tÝnh tÝch ph©n cña mét hµm sè ta ®i t×m nguyªn hµm cña hµm sè ®ã råi thÕ cËn 
 2-TÝnh chÊt: 
 2.1-PhÐp céng: 
 2.2-PhÐp nh©n víi mét h»ng sè kh¸c 0: 
 2.3-PhÐp ®¶o cËn tÝch ph©n: ; 
 2.4-C«ng thøc t¸ch cËn tÝch ph©n: (Dùng để tính các tiích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối)
b) C¸c d¹ng bµi tËp :
D¹ng1: ¸p dông trùc tiÕp c«ng thøc Newton-Laipnit vµ c¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n
 Bµi 1: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 1) 2) 3) 
 4) 5) 6) 
 7) 8) 9) 
 10) 11) 12) 
 Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 13) 14) 15) 
 16) 17) 18) 
 19) 20) 21) 
 22) 23) 24) 
 Bµi 3: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau b»ng c¸ch t¸ch cËn tÝch ph©n
 25) 26) 27) 
 28) 29) 30) 
 D¹ng2: TÝnh tÝch ph©n b»ng ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
 * C«ng thøc tÝnh : 
 * NhËn d¹ng : Hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n th­êng lµ tÝch cña 2 lo¹i hµm sè kh¸c nhau
 * ý nghÜa : Ph­¬ng ph¸p nµy nh»m ®­a tÝch ph©n phøc t¹p vÒ tÝch ph©n ®¬n gi¶n hoÆc ®Ó khö bít hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n (cuèi cïng chØ cßn l¹i 1 lo¹i hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n)
 * Chó ý: Ta cÇn chän u vµ dv sao cho : du ®¬n gi¶n , dÔ tÝnh ®­îc v , tÝch ph©n ®¬n gi¶n h¬n tÝch ph©n .
 Ta ®­a ra c¸ch chän nh­ sau:
 A, GÆp d¹ng: ( P(x) lµ ®a thøc cßn f(x) lµ mét trong c¸c hµm sè sin(ax+b) , cos(ax+b) 
 ea x+b , ax) . Th× ta ®Æt : u=P(x) vµ dv = cos(ax+b).dx ...
* Chó ý: NÕu P(x) cã bËc n th× ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn n lÇn (mçi lÇn P(x) sÏ gi¶m 1 bËc) 
 B, GÆp d¹ng: ( Trong ®ã f(x) lµ mét trong c¸c hµm sè sin(lnx) , cos(lnx) ) . Th× ta ®Æt
 u = cos(lnx) ... vµ dv = xkdx
 C, GÆp d¹ng: (Trong ®ã P(x) lµ ea x+b, ax cßn f(x) lµ sin(ax+b) , cos(ax+b) ) .Th× ta ®Æt 
 u=P(x) vµ dv = f(x).dx
 Chó ý: Trong d¹ng B vµ d¹ng C ta sÏ gÆp tÝch ph©n lu©n håi (sau khi tÝnh hai lÇn l¹i trë vÒ tÝch 
 ph©n ban ®Çu) 
 D, GÆp d¹ng: .Th× ta ®Æt u= lnnx vµ dv = P(x).dx ( TÝnh n lÇn)
 E, GÆp d¹ng: . Th× ta ®Æt u = vµ dv = dx 
TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 31) ( ) 32) ()
 33) () 34) ()
 35) () 36) ()
 37) () 38)() 
 39) () 40) ()
 41) () 42) ()
 43)1.44) 45) 1.46) 
 47) 1.48)) 49) 1.50) 
D¹ng3: TÝnh tÝch ph©n b»ng ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
A - §æi biÕn sè c¸ch 1: §Ó tÝnh ta ®Æt t= g(x) ( g(x) chøa trong f(x).TiÕp theo biÓu diÔn f(x)dx theo t vµ dt.Ta thu ®­îc tÝch ph©n theo t ( Nhí r»ng ®æi biÕn th× ph¶i ®æi c¶ cËn )
 Dùa vµo b¶ng sau ®Ó lùa chän biÕn sè
D¹ng tÝch ph©n
Cã thÓ chän
Hµm cã mÉu sè
t lµ mÉu sè
Hµm chøa 
t = 
Hµm cã d¹ng
t =
 b - §æi biÕn sè c¸ch 2: §Ó tÝnh ta ®Æt x= g(t) råi còng lµm nh­ c¸ch 1(c¸ch nµy kÕt hîp víi ph­¬ng ph¸p l­îng gi¸c ho¸ tÝch ph©n hµm v« tØ). 
 Dùa vµo b¶ng sau ®Ó lùa chän biÕn sè
D¹ng tÝch ph©n
BiÕn cÇn chän
®iÒu kiÖn cña biÕn
Chøa 
x=asint
t
Chøa 
x=a/cost
Chøa 
x = atant
Chøa 
x = acos2t
Chøa 
x = a+(b - a)sin2t
Bµi 4: Dïng ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn c¸ch 1 h·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 51) 52) 53) 
 54) 55) 56) 
 57) 58) 59)
 60) 61) 62) 
 63) 64) 65) 
 66) 67) 68) 
 69) 70) 71) 
Bµi 5: Dïng ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn c¸ch 2 h·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 72) 73) 74) 
 75) 76) 77) 
 78) 79) 80) 
 81) 82) 83) 
C - §æi biÕn sè ë hµm l­îng gi¸c: Gi¶ sö cÇn tÝnh tÝch ph©n , víi R lµ hµm v«tØ ta cã thÓ chän c¸c h­íng sau:
H­íng1: NÕu R lÎ ®èi víi sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) th× ®Æt t = cosx 
H­íng2: NÕu R lÎ ®èi víi cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) th× ®Æt t = sinx
H­íng3: NÕu R ch½n ®èi víi sinx vµ cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) th× ®Æt t = tanx (t = cotx)
H­íng4: Cã thÓ ®Æt biÕn sè t=tg(x/2) ®Ó ®­a vÒ tÝch ph©n cña hµm ph©n thøc h÷u tØ
Bµi 6: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
85)(t=sinx) 86) 87) (t= tanx)
88) (t=cosx) 89) 90) 
91) 92) 93) 
 D¹ng4: TÝnh tÝch ph©n cña hµm sè ph©n thøc h÷u tØ 
ªTa dùa vµo ®Æc thï cña hµm,dïng ph­¬ng ph¸p ph©n tÝch hoÆc ®ång nhÊt thøc ®Ó ®­a nguyªn hµm ®· cho vÒ c¸c nguyªn hµm c¬ b¶n sau:
 1) 
 2) hoÆc th× ta chia tö cho mÉu 
 3) th× ta xÐt 3 tr­êng hîp
 TH1: MÉu cã 2 nghiÖm x1 vµ x2 th× ®­a vÒ d¹ng TH2: MÉu cã nghiÖm kÐp th× ®­a vÒ d¹ng 
 TH3: MÉu v« nghiÖm th× ®­a vÒ d¹ng råi ®Æt x+q = a tant 
 4) 
 5) nÕu bËc cña tö lín h¬n bËc cña mÉu th× ta chia tö cho mÉu råi lµm nh­ trªn.NÕu ng­îc l¹i th× ta sö dông ®ång nhÊt thøc.
ªNgoµi ra ta cßn cã thÓ sö dông ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn hay tÝnh nguyªn hµm tõng phÇn 
Bµi 7: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 94) 95) 96) 97)
98) 99) 100) 101)
 102) 103) 104) 
 105) 106) 107) 
 108) 109) 110) 
 D¹ng5: TÝnh tÝch ph©n nhê tÝch ph©n phô 
 Bµi 8: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 111) 112) 113) 
 114) 115) 116)
D¹ng6:Mét sè lo¹i tÝch ph©n ®Æc biÖt 
 Khi gÆp c¸c lo¹i sau cÇn chó ý tíi cËn vµ hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n 
 Lo¹i 1: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a; a] .Th× (§Æt x = - t)
 Lo¹i 2: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a; a] .Th× 
 Lo¹i 3: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn R .Th× (víi vµ a>0)
 Lo¹i 4: NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn .Th× 
 Bµi 9: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
 117) 118) 119) 
 120) 121) 122) 
 123) 124) 125)
 ********************************
 PhÇn iII øng dông cña tÝch ph©n
 A-tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng : 
 Lo¹i 1 :TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ: y=f(x) ; y=g(x) vµ 2 ®­êng th¼ng 
x=a ; x=b(BiÕt 2 cËn tÝch ph©n).Ta ¸p dông c«ng thøc:(I) (trôc hoµnh vµ trôc tung cã ph­¬ng tr×nh lÇn l­ît lµ : y = 0 ; x = 0 
 126) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ,trôc Ox vµ x=-2 ; x=4(vÏ h×nh) 
127) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ y=x-1vµ trôc tung x=0(vÏ h×nh) 
 128)TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ ; ; ; 	
129) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox,Oy vµ 
 130) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox; x=1; x=2
 131) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ ; trôc Ox; x=-2 ; x=2 	 
 132) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ ; trôc Ox;trôc Oy vµ x=1
 133) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ : xy=4 trôc Ox; x=a; x = 3a(a>0)
 134) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox;
 135) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ ; trôc Ox ; Lo¹i 2: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ: y =f(x) ; y =g(x) vµ ®­êng th¼ng x = a (BiÕt 1 cËn tÝch ph©n).Ta t×m cËn cßn l¹i råi ¸p dông c«ng thøc (I)	
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau :
 136) y = ex ; y= e-x ; x=1 137) ; y=0 ; x=1 138) ; y= 0 ; x=1 
 139) ;y = - x; x = 5 140) y = ex ; y= (x+1)5 ; x = 1
Lo¹i 3: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ: y =f(x) ; y =g(x);y =h(x)(Ch­a biÕt cËn).Ta gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh f(x)=g(x);g(x)=h(x);f(x)=h(x) ®Ó t×m cËn lÊy tÝch ph©n(Ta nªn vÏ cô thÓ ®å thÞ 3 hµm sè).C¨n cø ®å thÞ ®Ó tÝnh diÖn tÝch tõng phÇn råi céng l¹i.
 141) ; x+y-2=0, y = 0 142) ;;y = 4 143) ;y = 2- x; y= 0
 144) ;;y=1 145) x-2y+2=0 ; y=0 ; y2=2x
 146)y=x+3; 147) ; 148) ; 
 149) 150) ;;; 151); 
Lo¹i 4: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ: y =f(x) ; y =g(x)(2 ®­êng cong tù c¾t,ch­a biÕt cËn).Ta gi¶i ph­¬ng tr×nh f(x)=g(x) t×m cËn råi ¸p dông c«ng thøc(I). 
152) ; 153) ) ; 154) ; 
155); 156) ;y=4 157) 
158) ;y=x-1 159) ; 160) y=x; 
 B-tÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ sinh ra khi quay mét h×nh ph¼ng quanh trôc ox hay oy : 
*NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : y=f(x) ; y=0 ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta ¸p dông c«ng thøc: 
*NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : y=f(x) ; y=g(x)() ; x=a ; x=b quay xung quanh Ox ta ¸p dông c«ng thøc :
*NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : x=g(y) ; x=0 ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta ¸p dông c«ng thøc: 
*NÕu h×nh D giíi h¹n bëi : x=f(y) ; x=g(y)() ; y=a ; y=b quay xung quanh Oy ta ¸p dông c«ng thøc :
 T×m thÓ tÝch cña vËt thÓ sinh ra khi quay miÒn D xung quanh trôc Ox,Oy
 161) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y=sinx; y=0 ; x=0 ; .TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 162) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: y=lnx ; x=1;x=2;y=0.TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 163) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ; x=1;x=2;y=0.TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 164) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;y=2;y=4.TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 165) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ; TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 166) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;y=0;x=1 TÝnh SD . VD,Ox ; VD,Oy 
 167) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;x=1;Ox;Oy.TÝnh VD,Ox 
 168) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;y=0; TÝnh SD . VD,Ox 
 169) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;y=- x;x=5.TÝnh SD vµ VD,Oy 
 170) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;y=0;x=0; TÝnh SD . VD,Ox 
 171) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ;Ox;x=1.TÝnh SD vµ VD,Oy 
 172) Cho miÒn D giíi h¹n bëi y=lnx ; y=0;x=2 . TÝnh SD vµ VD khi D quay quanh Ox 
 173) Cho miÒn D giíi h¹n bëi:; ; y = 0.TÝnh VD,Ox ; VD,Oy 
 174) Cho miÒn D giíi h¹n bëi: ; y = 4. TÝnh VD,Ox ; VD,Oy 
 C – chøng minh ®¼ng thøc b»ng tÝch ph©n:
* M« t¶ ph­¬ng ph¸p : Dùa vµo ®Æc thï cña ®¼ng thøc ta xÐt khai triÓn nhÞ thøc Newton cña mét tæng nµo ®ã.TiÕp theo ta lÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña ®¼ng thøc ®· khai triÓn ,råi “khÐo lÐo” lµm xuÊt hiÖn ®¼ng thøc cÇn chøng minh..
* H·y chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau b»ng tÝch ph©n: 
 175) 1+++++... + = (Khai triÓn (1+x)n )
 176) -+- +... + = (Khai triÓn (1- x)n )
 177) ++++... + = (Khai triÓn x2(1+x3)n) 
 178) 1- +- ++... + = (Khai triÓn (1+x)n )
 179) - +- +... + = 
 180) - +- ... + = 
 181) ++- ... + = 
 182) -+ - +...+ (-1)n-1 = 1+ + +...+ 
TÝch ph©n:
1. TÝnh c¸c tÝch ph©n c¬ b¶n:
1/ I = 2/ I= 3/ I = 
4/ I = 5/ I = 6/ I= 
7/ I = 8/
2. §æi biÕn sè d¹ng 1.
1/ I = 	 2/ I = 	3/ I = 4/ I = 
5/ 6/ I = 7/ I= 8/ I = 
9/ I= 	10/I = 11/ I = 
3. §æi biÕn sè d¹ng II.
1/ I = 	 2/ I= 	3/ 	4/ 	 5/ 6/ I = 7/ I= 8/ I = 
9/ I = 10/ I = 11/ 	 12/ I= 13/ I = 14/ I = (2/3)
15/ I = 16/ I = 17/ I = 
18/ I = 19/ I = 20/ I=
21/ I= 22/ I= 23/
24/ I=(231/10) 25/ 26/
IV. TÝch ph©n tõng phÇn.
1/ I = 2/ I =	 3/ I=	 4/ I = 5/ I = 6/ I =	 7/ I = 8/ I =	 9/ I = 10/ I = 11/ I= 12/ I = 13/ I= (2) 14/ I =
15/ I= 16/ I= 17/ I=
18/ I= 19/ I= 20/ I=
21/ I= 22/ I= 23/ I=
24/ I= 25/ 26/ I=
27/ 28/ I = 29/ I= 
30/ I= 
V/ TÝch ph©n c¸c hµm chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi:
1/ I = 	4/ I = 7/ I=
2/ I = 	5/ I = 8/ I=
3/ I = 	6/ I = 
TÝch ph©n hµm sè höu tû
1/ I = 	 5/ I= 11/ I = 
2/ I = 	 6/ I = 12/ I=
3/ I = 	 7/ I = 13/ I = 
4/ I = 	 8/ I = 14/ I = 
9/ I = 	 10/I = 15/ I = 
16/ I = 17/ I = 	16/ I = 
II. TÝch ph©n c¸c hµm sè v« tû.
1/ I =	 6/ I = 11/ I =
2/ I =	 7/ I = 12/ I =
3/ 	 8/ I = 13/ I=
4/ 	 9/ I =	 14/	 I = 
5/ I= 10/ I=	 15/ I=
TÝch ph©n c¸c hµm sè l­¬ng gi¸c
1/ I = 6/ I= 11/ I = 
2/ I = 	 7/ I = 12/ 
3/ I = 	 8/ I = (2ln2-1) 13/ I = 
4/ I = 	 9/ I = 14/ I = 
5/ I=	 10/ I = 15/ I= 
16/ I = 17/ I= 18/ I = 
19/ I = 20/ I = 21/ I=
22/ I= 23/ I= 24/ I=
25/ I= 26/ I= 27/ I= 
28/ I= 29/ I= 30/ I= 31/ I= 
32/ I= (34/27) 33/ I= () 
34/ I=(ln2- 3/8) 35/ I= 36/ I=
37/ I= 38/ I=( Đặt )
39/ I= 40/ I= 41/ I=
42/ I=	 43/ I=b 44/ I= 
45/ I= 46/ I= 47/ I= 
TÝch ph©n hµm sè mò vµ logarit
1/ I= 	 9/ 17/ I= 
2/ I = 	 10/ I = 18/ I= 
3/ I = 11/ I= 	 19/ I= 
4/ I = 	 12/ I= 20/ I= 
5/ I= 	13/ I = 21/ I= 	 
6/ I = 	14/ I = 	 22/ I= 	
7/ I = 15/ I= 23/ I= 
8/ I = 16/ I= 24/ I= 
 25/ I= (116/135) 26/ 27/ I=
 28/ I= 	 	 
TÝch ph©n c¸c hµm sè ®Æc biÖt
1/ I= 2/ I= 3/ I= 4/ I= 
5/ I= 6/ I= 7/ I= 
8/. I= 9/ I= 10/ I= 
11/ 12/ 13/
14/ I= 15/ I=