Ôn thi đại học cấp tốc môn Toán

Bài 1: Hệ phương trình đại số
 Một số loại hệ phương trình thường gặp:
 I)Hệ đối xứng loại I 
 1) Dạng: Hệ phương trình là hệ đối xứng loại I nếu 
 2)Cách giải : - Đặt . ĐK: .
 - Biểu thị hệ qua S và P .
 - Tìm S ; P thoả mãn điều kiện .
Khi đó x; y là 2 nghiệm của phương trình : . Từ đó có nghiệm của hệ đã cho.
Chú ý 1 : 
 +) Nếu hệ có nghiệm (a;b) thì do tính chất đối xứng của hệ nên hệ cũng có ghiệm (b; a). Vì vậy hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi có duy nhất x = y.
 +) Hệ có nghiệm khi và chỉ khi hệ S, P có nghiệm S, P thỏa mãn .
 +) Khi thì x = y = -S/2
 Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi chỉ khi có duy nhất S, P thỏa mãn .
Chú ý 2 : 
 Nhiều trường hợp ta có thể sử dụng ĐK cần để tìm giá trị của tham số sau đó thay vào hệ kiểm tra xem có thoả mãn hay không - (Đ/K đủ). 
 II) Hệ đối xứng loại II 
 1)Hệ : là hệ đối xứng loại II nếu : 
 2)Cách giải :
+)Đối với hầu hết các hệ dạng này khi trừ 2 vế ta đều thu được phương tình :
 (x-y).h(x;y) = 0
 Khi đó hệ đã cho 
 ( Chú ý : Có những hệ đối xứng loại II sau khi trừ 2 vế chưa xuất hiện ngay x - y = 0 mà phải suy luận tiếp mới có điều này).
+) Phương pháp điều kiện cần và đủ:
Phương pháp này được áp dụng tốt cho hệ đối xứng với yêu cầu: Tìm giá trị tham số để hệ có nghiệm duy nhất.
 Đ/k cần:
Nhận xét rằng: do tính đối xứng của hệ nên nếu hệ có nghiệm (x0;y0) thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi x0 = y0 (1) 
Thay (1) vào một phương trình của hệ, tìm đ/k của tham số để pt` có nghiệm x0 duy nhất ,ta được giá trị của tham số. Đó là đ/k cần.
 Đ/k đủ: thay giá trị của tham số vào hệ kiểm tra, rồi kết luận.
III) Hệ nửa đối xứng của x và y 
 1)Dạng hệ: (Tức là có 1 phương trình là đối xứng )
 2)Cách giải: 
 Chuyển vế biến đổi từ (1) ta có dạng phương trình tích: (x - y).h(x; y) = 0. Từ đó có: hệ đã cho tương đương với:
Chú ý:Nhiều khi đặt ẩn phụ mới có hệ đối xứng
 Ví dụ : 
IV) Hệ đẳng cấp đối với x và y 
 1) Hệ phương trình được gọi là hệ đẳng cấp bậc 2 của x; y nếu mỗi hạng tử (trừ số hạng tự do) đều có bậc là 2.
 2) Cách giải : 
 * Cách 1) Khử số hạng tự do. (Cách này thường dùng khi hệ không chứa tham số, hoặc tham số ở số hạng tự do cho đơn giản)
* Cách 2) Khử x2 ( với y ạ 0 ) hoặc y2 (với x ạ 0): (Cách này thường dùng khi hệ có chứa tham số).
VI. Một số hệ phương trình khác.
*) Cách giải: Để giải hệ phương trình không mẫu mực ta thường áp dụng một số pp :
+ Phân tích thành tích có vế phải bằng 0.
+ Đổi biến (đặt ẩn phụ)
+ Đánh giá : BĐT hoặc dùng hàm số.
Một số ví dụ:
1. Hệ đối xứng I:
Giaỷi caực heọ pt sau ủaõy : 
 ẹS : x = 2; 3; 1; 5 
2 -
Vaọy Hpt coự ngh ( 4;9) ; ( 9;4).
5- cho: 
a) Tỡm m ủeồ hpt coự nghieọm. 
HD: Giaỷi heọ S ;P ta ủửụùc S= 4m ;p = 5m-1
ẹK : S2-4p 0 Û .
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 
ĐS: m = 1/4, m = 1.
6) a-Cmr: Hpt coự ngh vụựi moùi m :
b) Tỡm m hpt coự nghieọn duy nhaỏt .
HDẹS :
 a- ẹS:heọS1,P1 Vn ; .
 Vaọy: HPt coự nghieọm vụựi moùi m.
b-HPT có ngh duy nhất Û Û .
=> x = y = 1 Vaọy : (1;1).
2. Hệ đối xứng loại II:
Giaỷi heọ pt :
HDẹS :
1-Hptú 
2- ẹK : x ạ 0 ; y ạ 0. Hpt :
ú (-2; -2)
3-
Laỏy (1)-(2) : 3(x-y)(x+y-1 ) = 0 ú y=x hoaởc y = 1-x.
Keỏt hụùp (1) Khi y = x : (1;1) ; (2;2)
 Khi y = 1 -x VN .
4-
Laỏy (1) - (2) : (x - y)(2 + 4/xy ) = 0 ú y = x ; y = -2/x
+ y = x : (1;1) ; (-1;-1) .
+ y = -2/x : 
3) . Hệ nửa đối xứng
VD. Giải hệ :
Giải: 
+ Ta có I): 
+ Ta có II) :
4. Hệ đẳng cấp :
VD. Cho hệ phương trình : 
 a) Giải hệ pt` với m = 1
 b) Tìm a để hệ có nghiệm
Giải:
Cách 1: 
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt.
Đặt x = ty, ta có :
Hệ Û 
 Û Û (I)
Do y ạ 0 nên từ y2(1 - 3t) = 4 ị 1 - 3t > 0 Û t < 
a) Với m = 1 ta có hệ :
Giải hệ ta được kq : (1 ; 4), (-1 ; -4).
b) Ta có :
(I) Û 
Û 
Đặt f(t) = 4t2 - (16 - 3m)t + 4 - m = thì
Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm thoả mãn t < .
Ta lại có " m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn t1 < < t2. Vậy hệ luôn có nghiệm với "m.
Cách 2 : Khử một ẩn.
Hệ Û 
Û 
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4).
Với m ạ 4 đặt : f(t) = 2t2 + (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm với "m.
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 
Cho hệ phương trình 
Giải hệ khi m=12
Tìm m để hệ có nghiệm
Cho hệ phương trình 
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
Cho hệ phương trình 
Tìm m để hệ có nghiệm 
Giải hệ khi m=6
Tìm m để hệ có nghiệm 
Bài 2: 
 (KB 2003)
 HD: 
 Th1 x=y suy ra x=y=1
 TH2 chú ‏‎y: ‏‎ x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm 
Bài 3: 
 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt 
	S=2x+y và P= 2x.y 
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4: 
 HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
 trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) 
Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất 
 HD: 
 xét lập BBT suy ra KQ
Bài 6: 
 HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
 HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8	
Bài 8: 
 HD : Rút ra 
 Cô si .
 theo (1) suy ra x,y
Bài 9: (KB 2002)
	HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm
	HD: từ (1) đặt được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu.
Bài tập áp dụng
 KD 2003
 HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
 Tìm m để hệ có nghiệm 
 dặt t=x/y có 2 nghiệm
 đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
 đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)
Đặt x=1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
 (KA 2003)
 HD: x=y V xy=-1
	CM 	vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
 xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
 HD bình phương 2 vế .
Bài 2: Phương trình và bất phương trình Đại số
Một số dạng phương trình và bất phương trình thường gặp
Bất phương trình bậc hai ;
Định l‏‎ý về dấu của tam thức bậc hai;
Phương pháp hàm số.
Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
*PT chứa căn thức:
* Bất phương trình chứa căn thức:
Một số ví dụ
BAỉI TAÄP :
Baứi 1: Bỡnh phửụng hai veỏ : 
x2 +
Hd: 
b)pt: ĐK x ³ 1.
Chuyeồn veỏ, bỡnh phửụng hai veỏ : x = 2 ;
 x = 2/11( loaùi ). Vaọy x=2 .
c) ĐK .
Bỡnh phửụng hai laà ta coự : ẹS x = 0 .
d) . ĐS: x = 0, x = -7.
e) 
Bình phương hai lần ta có :ẹS x = 4/3. 
Baứi 2 : Đặt ẩn phụ:
a) . ĐS: x = 1, x = 2.
b) 
- ẹaởt : 
pt Û t2-3t +2 =0 t =1 ; t =2 Vn.
t =1 ú x = 0 ; x =1.
c) 
HDẹS:
Bài 3: 
a) Giaỷi pt khi m=2 
b) Tỡm m pt coự nghieọm.
HDẹS:
 ẹK: 
2) f(t) = -t2/2 + t +2 = m (1) . Laọp baỷng bieỏn thieõn : Tacoự : 
Bài 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
Bỡnh phửụng : ẹaởt t= 
KSHSd)
Bài 5. Tìm m để phương trình có nghiệm: 
HDẹS: ẹaởt 
Laọp BBT : m>19VN; m=19: 1 ngh ;m<19pt2ngh.
Baứi 6. Giải các phương trình sau: 
1) 
-ẹaởt : 
2) 
.ẹK : x
Một số bài tập luyện tập:
Bài 1: Tìm m để 
 Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x.
 HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m≤-2
Bài 2: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 : x = 0
3) 
4). Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải.
5) (KD 2002)
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm 
 ĐS m ³ 4.
Bài 4: Giải bất phương trình:
HD :
nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT 
Biến đổi về BPT tích chú ‏‎y ĐK
Bài 5: Giải bất phương trình:
HD Đặt AD BĐT cô si suy ra ĐK.
Bài 6: Giải bất phương trình 
HD
Xét 2 trường hợp chú ý DK x ³ -1. 
Trong trường hợp x ³ 4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT.
Bài 7: Cho phương trình: 
Tìm m để phương trình có nghiệm.
HD
Bình phương 2 vế chú ‏‎y ĐK 
Đặt t= tích 2 căn thớc Tìm ĐK t 
Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất phương trình (KA 2004) 
Bài tập áp dụng
Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm
HD: đặt coi là phương trình bậc hai ẩn t. 
.
Bài 3: Phương trình và 
hệ phương trình lượng giác
Một số kiến thức cần nhớ
1. Các công thức biến đổi lượng giác
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb
cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb
sin(a - b) = sinacosb - cosasinb
b) Công thức nhân đôi, nhân ba
cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1- 2sin2a;
sin2a = 2sinacosa;
c) Công thức hạ bậc
d) Công thức chia đôi
Đặt . Ta có:
;
e) Công thức biến đổi
* Đổi tích thành tổng:
* Đổi tổng thành tích:
f) Một số công thức hay dùng:
2. Một số phương trình lượng giác thường gặp
a) phương trình lượng giác cơ bản:
+ sinx = a 
+ cosx = a
+ tgx = a ĐK: , x = (tga = a).
+ cotgx = a, ĐK: , x = (cotga = a).
b) Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
* Phương trình bậc nhất:
* Phương trình bậc 2:
đặt t = sinx ().
đặt t = cosx ().
c) Phương bậc nhất đối với sinx và cosx.
asinx + bcosx = c.
Cách giải:
+ Cách 1: chia cả hai vế cho ; đặt:
ta được PT: ;
*) Chú ý: Phương trình có nghiệm Û .
+ Cách 2: Đặt ta được phương trình:
.
d) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
Cách giải:
* Cách 1: Thử với cos2x = 0 Û sinx = ± 1 nếu nghiệm đúng phương trình thì đặt cosx làm thừa số chung. 
Với cos2x ạ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được:
atg2x + btgx + c = d(1 + tg2x).
* Cách 2: Hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x.
e) Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
*) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c 
Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 
* Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c 
Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 
.
3. Một số phương pháp thường dùng khi giải các phương trình lượng giác:
+ áp dụng các hằng đẳng thức;
+ áp dụng các công thức biến đổi;
+ Đổi biến số, đặt ẩn phụ;
+ Biến đổi về tích bằng 0;
+ Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm;
+ Biến đổi về tổng bình phương bằng 0.
4. Các ví dụ: 
Giải các phương trình sau: 
Bài 1: .
ĐS: .
Bài 2: 
ĐS: .
Bài 3: 
.
ĐS: .
Bài 4: 
HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1
AD công thức nhân 3
ĐS: .
Bài 5:
HD: Biến đổi theo sin và cos.
ĐS: .
Bài 6: 
HD: nhân (1) với (2) rút gọn .
 đặt ị t = 0, t =± .
Bài 7: 
HD : BĐ tích thành tổng rút gọn.
Bài 8: 
 HD: nhân 2 vế với 2.sin(x/2) chú ý xét trường hợp bằng 0.
Nhận xét: Trong bài toán chứa tổng 
thực hiện rút gọn bằng cách trên.
Bài 9: 
HD: BĐ về dạng: 
Bài 10 
HD:
5. Một số phương trình có tham số:
Bài 1. Tìm m để phương trình: 
 sin2x + m = sinx + 2mcosx
có đúng 1 nghiệm .
HD: PT Û (sinx - m)(2cosx - 1) = 0.
Bài 2. Tìm m để phương trình:
 (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos2x
có đúng 2 nghiệm x ẻ [0; p].
HD: PT Û (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0.
Bài 3. Tìm m để phương trình:
 mcos22x - 4sinxcosx + m - 2 = 0
có nghiệm x ẻ [0 ; p/3].
HD: Đặt t = sin2x.
Bài 4: Cho phương trình 
Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiện thuộc đoạn .
	HD: [-10/3;-2] 
Bài 5: Cho phương trình 
Giải phương trình khi a=1/3.
Tìm a để phương trình có nghiệm.
	HD: Đưa về dạng 
	(2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1
	ĐS [-1/2,2]
Bài 6: Tìm nghiệm trong khoảng (0, p)
6. Các bài tập luyện tập:
.
.
.
.
.
.
.
.
Một số đề thi từ năm 2002
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình . KA 2002 
Giải phương trình (DB 2002)
Tìm nghiệm thuộc khoảng của phương trình KB 2003
Tìm x nghiệm đúng thuộc khoảng của phương trình KB 2003
 Giải phương trình 
DB 2002
Giải ph ... aõn giaực trong cuỷa goực AIB.
c) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua I vaứ taùo vụựi Ox moọt goực 600.
HD: a) 
b) A(-25/3; 0), B(41/15; 0). So sánh vị trí của A, B với hai đường phân giác.
c) 
Baứi 6: Tam giaực ABC coự A(-1 ; - 3), caực ủửụứng cao coự phửụng trỡnh BH: 5x + 3y –25 = 0; CH: 3x + 8y – 12 = 0. Vieỏt phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC vaứ ủửụứng cao coứn laùi.
HD: AB: 8x - 3y - 1 = 0, AC: 3x - 5y - 12 = 0; BC: 5x + 2y - 20 = 0. AH: 2x - 5y - 13 = 0. 
Baứi 7: Trong heọ toùa ủoọ Oxy cho hai ủeồm A(1 ; 6), B(-3; -4), C(4 ; 1) vaứ ủửụứng thaỳng d: 2x – y – 1 = 0.
a) Chửựng minh raống A, B naốm veà cuứng moọt phớa; A, C khaực phớa ủoỏi vụựi ủửụứng thaỳng d.
b) Tỡm ủieồm A’ ủoỏi xửựng vụựi A qua d.
c) Tỡm M thuoọc d sao cho MA + MB nhoỷ nhaỏt, 
|MA - MB| lụựn nhaỏt.
HD: b) M là giao điểm của A'B với d. ĐS: M(0; -1)
c) dấu "=" xảy ra Û M, A, B thẳng hàng ị M là giao điểm của AB với d. M(-9; -19)
Baứi 8: Cho A(1 ; 1), B(-1 ; 3) vaứ ủửụứng thaỳng d: x + y + 4 = 0.
a) Tỡm ủieồm C treõn d caựch ủeàu hai ủieồm A, B.
b) Vụựi C vửứa tỡm ủửụùc, tỡm D sao cho ABCD laứ hỡnh bỡnh haứnh. Tớnh dieọn tớch hỡnh bỡnh haứnh ủoự.
HD:a) chuyển d về PT tham số.
b) 
Baứi 9: 
a) Tỡm phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng qua A(8 ; 6) vaứ taùo vụựi hai truùc toaù ủoọ tam giaực coự dieọn tớch baống 12.
b) Laọp phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng qua A(2 ; 1) vaứ taùo vụựi ủửụứng thaỳng 2x + 3y + 4 = 0 goực 450.
HD:
Baứi 10: Cho tam giaực ABC caõn taùi A coự BC: 3x – y + 5 = 0, AB: x + 2y – 1 = 0. Laọp phửụng trỡnh AC bieỏt AC ủi qua ủieồm M(-1 ; 3).
HD:
PHAÀN 2: ẹệễỉNG TROỉN
Baứi 11: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho ủửụứng troứn (T) coự phửụng trỡnh: x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0.
a) Tỡm toùa ủoọ taõm vaứ tớnh baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn (T).
b) Vụựi giaự trũ naứo cuỷa b thỡ ủửụứng thaỳng y = x + b coự ủieồm chung vụựi ủửụứng troứn (T)
c) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi ủửụứng troứn song song vụựi ủửụứng phaõn giaực goực x’Oy.
d) Vieỏt phửụng trỡnh caực tieỏp tuyeỏn vụựi (T) ủi qua ủieồm M (5 ; -3).
HD:
Baứi 12: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho ba ủieồm A(1 ; 2), B(5 ; 3), C(-1 ; 0).
a) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng troứn taõm B vaứ tieỏp xuực vụựi ủửụứng thaỳng AC.
b) Tỡm ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực ABC. Tỡm taõm vaứ tớnh baựn kớnh cuỷa ủửụứng troứn ủoự.
c) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng troứn ủi qua A, C vaứ coự taõm treõn Ox.
d) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng troứn ủi qua A, B vaứ tieỏp xuực vụựi truùc Oy.
HD:
Baứi 13: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho tam giaực ABC vụựi A(5 ; 4), B(2 ; 7), C(-2 ;-1).
a) Tỡm toùa ủoọ trửùùc taõm H cuỷa ABC vaứ vieỏt phửụng trỡnh caực ủửụứng cao AE, BF cuỷa noự.
b) Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực ABEF.
HD:
Baứi 14: Cho ủửụứng troứn (T) coự phửụng trỡnh: x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0.
a) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (T) taùi caực ủieồm A(4 ; 2), B(-3 ; -5).
b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (T) ủi qua C( 6 ; 5).
c) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn chung cuỷa (T) vaứ (T’) coự pt: x2 +y2 -10x + 9 = 0.
d) Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ (T) tieỏp xuực vụựi ủửụứng troứn (T’’) coự pt: x2 + y2 – 2my = 0.
HD:
PHAÀN 3: CONIC
Baứi 16: Treõn maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho Elớp (E) coự phửụng trỡnh: 
a) Tỡm toùa ủoọ caực ủổnh, toùa ủoọ caực tieõu ủieồm, tớnh taõm sai,vieỏt phửụng trỡnh caực ủửụứng chuaồn cuỷa Elớp ủoự.
b) Tỡm tung ủoọ cuỷa ủieồm thuoọc (E) coự x = 2 vaứ tớnh khoaỷng caựch tửứ caực ủieồm ủoự tụựi hai tieõu ủieồm.
c) Tỡm caực giaự trũ cuỷa b ủeồ ủửụứng thaỳng y = x + b coự ủieồm chung vụựi Elớp.
d) Vieỏt phửụng trỡnh caực tieỏp tuyeỏn vụựi (E) song song vụựi ủửụứng thaỳng 2x – y + 1 = 0.
e) Vieỏt phửụng trỡnh caực tieỏp tuyeỏn vụựi (E) ủi qua M ().
HD:
Baứi 17: a) Treõn maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy vieỏt phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa elớp (E) coự moọt tieõu ủieồm F2(5 ; 0) vaứ ủoọ daứi truùc nhoỷ 2b = 4. 
b) Haừy tỡm toùa ủoọ caực ủổnh vaứ tieõu ủieồm F1 vaứ tớnh taõm sai cuỷa (E).
c) Tỡm ủieồm M treõn (E) sao cho MF1= MF2.
HD:
Baứi 18: Cho Elớp (E), vụựi theo thửự tửù laứ tieõu ủieồm traựi, phaỷi cuỷa (E).
a) Tỡm sao cho .
b) Tỡm sao cho .
HD:
Baứi 19: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho hai ủieồm F1(-7 ; 0), F2(7 ; 0) vaứ ủieồm A(- 2 ; 12).
a) Vieỏt phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa Elớp ủi qua A vaứ coự tieõu ủieồm F1, F2.
b) Vieỏt phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa Hypebol ủi qua A vaứ coự tieõu ủieồm F1, F2.
HD:
Baứi 20: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho ủửụứng hypebol (H) coự phửụng trỡnh: .
a) Tỡm toùa ủoọ caực ủổnh, caực tieõu ủieồm, tớnh taõm sai, vieỏt phửụng trỡnh caực ủửụứng chuaồn cuỷa (H).
b) Tỡm tung ủoọ ủieồm M thuoọc (H) coự hoaứnh ủoọ x = 10, tớnh caực baựn kớnh qua tieõu cuỷa ủieồm M.
c) Tỡm caực giaự trũ k ủeồ ủửụứng thaỳng y = kx – 1 tieỏp xuực vụựi (H). 
HD:
Baứi 21: Cho hypebol (H): 9x2 – 16y2 = 144. Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (H):
a) Taùi ủieồm M( 5 ;).
b) Bieỏt tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng 4x + 5y – 3 = 0. 
c) Qua ủieồm P(-4 ; 3).
HD:
Baứi 22: Cho Hypebol (H): trong maởt phaỳng Oxy.
a) Tỡm a, b ủeồ (H) tieỏp xuực vụựi hai ủửụứng thaỳng . .
b) Chửựng minh tớch caực khoaỷng caựch tửứ moọt ủieồm baỏt kỡ thuoọc (H) ủeỏn caực tieọm caọn laứ moọt haống soỏ.
HD:
Baứi 23: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho ủửụứng cho parabol (P) coự phửụng trỡnh chớnh taộc y2 = 12x.
a) Tỡm toùa ủoọ tieõu ủieồm vaứ phửụng trỡnh ủửụứng chuaồn cuỷa parabol ủoự.
b) Moọt ủieồm treõn parabol coự hoaứnh ủoọ x = 2. Haừy tớnh khoaỷng caựch tửứ ủieồm ủoự ủeỏn tieõu ủieồm.
c) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (P) taùi M(3 ; -6).
d) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (P) qua M(1; 4).
e) Qua I(2 ; 0) veừ moọt ủửụứng thaỳng thay ủoồi caột parabol taùi hai ủieồm A; B. Chửựng minh raống tớch soỏ caực khoaỷng caựch tửứ A vaứ B tụựi truùc Ox laứ moọt haống soỏ.
HD:
Baứi 24:
a) Tỡm quyừ tớch caực ủieồm M tửứ ủoự keỷ ủửụùc hai tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi nhau tụựi (E): .
b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn chung cuỷa hai Elớp: , .
c) Chửựng minh raống trong caực tieỏp tuyeỏn vụựi parabol y2 = 4x keỷ tửứ M1(0 ; 1), M2(2 ; - 3) coự hai tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi nhau.
HD:
Bài 14: Hình học không gian
Một số kiến thức cần nắm vững
Cho hai vectơ: 
+ Tích vô hướng: .
+ Góc giữa hai vectơ 
+ Tích có hướng của hai vectơ: 
+ K/c giữa 2 điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):
+ Diện tích DABC: 
+ Đường cao AH của DABC: 
+ Thể tích hình hộp: 
+ Thể tích tứ diện ABCD: 
+ mp(a) có cặp vtcp có vtpt:
+ Đường thẳng có pttq: 
có vtcp: 
+ K/c từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp(a):
Ax + By + Cz + D = 0
+ K/c từ điểm M1 đến đường thẳng D qua M0 cú vtcp : 
+ Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau D và D’:
+ Đường tròn (C)là giao của mặt cầu (S) và mp(a):
Có tâm H là hình chiếu của I trên mp(a), có bán kính r = với .
 Một số bài tập luyện tập:
Bài 1: Trong hệ trục Oxyz cho
CMR 2 đường thẳng trên chéo nhau và vuông góc với nhau.
Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với đường thẳng 
.
ĐS: 1) 
Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng 
Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên.
Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với mặt phẳng (P) x-y+z=0 và .
ĐS: 
Bài 3: Trong hệ trục Oxyz cho mặt cầu: 
(S) và mặt phẳng:
(P) 2x + 2y + z - m 2 - 3m = 0.
Tìm m để (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác định toạ độ tiếp điểm. 
HD: 
Bài 4: Trong hệ trục Oxyz cho A(0;1;1) B(1;0;0) C(1;2;-1). Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
HD: 
Bài 5: Oxyz cho 
	(S) 
Tìm m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) tại M,N sao cho MN = 9.
HD: 
Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(2;0;0) B(2;2;0) S(0;0;m) 
Khi m=2, tìm toạ độ điểm C đối xứng với gốc toạ độ O qua mặt phẳng SAB. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng SA. CMR với mọi m>0 diện tích tan giác OBH < 4.
Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1;1;1) B(1;2;0) và mặt cầu (S) có pt: 
Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và tiếp xúc với (S). 
Tìm mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S), song song với AB và khoảng cách giữa (P) và AB nhỏ nhất (lớn nhất).
HD: + sử dụng phương pháp chùm mặt phẳng qua AB.
 +Tìm M thuộc (S) sao cho k/c (M,AB) nhỏ nhất, (P) tiếp xúc với (S) tại M.
Bài 8: Trên hệ trục Oxyz cho A(2a;0;0) B(0;2b;0) C(0;0;2c) a,b,c>0. 
a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng (ABC). 
b) Tính thể tích khối tứ diện OABE với E là chân đường cao từ E trong tam giác ABC. 
HD: 
Bài 9: Oxyz cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Biết S(3;2;4) B(1;2;3) D(3;0;3).
a) Lập phương trình đường vuông góc chung của AC và SD.
b) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lập phương trình mặt phẳng qua BI và song song với AC.
c) Gọi H là trung điểm BD, G là trưc tâm tam giác SCD Tính độ dài HG.
Bài tập áp dụng: 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0) B(0;4;0) O1(0;0;4). 
Tìm toạ độ các điểm còn lại. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O,A,B,O1 .
Gọi M là trung điểm AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O1A và cắt OA , AA1 lần lượt tại N, K. Tính độ dài đoạn KN. 
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ Với A(0;0;0) B(2;0;0) D’(0;2;2).
Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương. Gọi M là trung điểm BC. CMR (AB’D’) và (AMB’) vuông góc với nhau.
CMR tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC’ với N khác A tới (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết , , S(0;0;3).
Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 đường thẳng AD và SC. 
Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đường thẳng : 
CMR 2 đường thẳng trên song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả 2 đường thẳng trên.
Mặt phẳng (Oxz) cắt d1, d2 tại A, B Tính diện tích tam giác OAB. 
Cho 2 đường thẳng:
CMR đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.
Viết phương trình đường thẳng (d) cắt cả 2 đường thẳng trên và song song với Oz. 
Cho 2 điểm A(2;-1;1) B(-2;3;7) và đường thẳng 
CMR đường thẳng d và đường thẳng AB cùng thuộc 1 mặt phẳng. 
Tìm điểm I thuộc d sao cho IA+IB nhỏ nhất.
 Cho 2 điểm A(2;4;1) B(3;5;2) và đường thẳng: 
Xét vị trí tương đối giữa AB và (∆).
Tìm điểm M thuộc thuộc (∆) sao cho đạt GTNN.
 Cho 3 điểm A(2; 0; 1) C(1 ; 0 ;1) B(2 ; -1; 0) và đường thẳng: 
Tìm điểm M thuộc thuộc (d) sao cho 
	 đạt GTNN
Trong hệ trục Oxyz cho A(2; 0 ; 0) C(0 ; 4; 0) S(0 ; 0 ; 4). 
Tìm toạ độ B thuộc Oxy sao cho OABC là hình chữ nhật. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S.
Tìm toạ độ điểm A1 xứng A qua SC.
 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABC) và SA = a, E là trung điểm CD. Tính theo a khoảng cách từ S tới BE.
Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:
a) Lập PT mp(P) chứa (D1) và song song với (D2).
b) Cho M(2; 1; 4). Tìm toạ độ Hẻ ((D2) sao cho độ dài đoạn thẳng MH là ngắn nhất.