Ôn tập tốt nghiệp môn Toán - GV: Dương Phước Sang

 TRNG THPT CHU V
N AN 
T TOÁN 
GV: Döông Phöôùc Sangùùù 
OÂn taäp Toát nghieäp 
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An 
Phn I. KH
O SÁT HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 
1 Tập xác định: D = ℝ 
2 Tính y ′ 
3 Cho 0y ′ = để tìm các nghiệm 
0
x (nếu có). 
4 Tính hai giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số. 
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số. 
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba). 
8 Lập bảng giá trị. 
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét. 
3 2 ( 0) y ax bx cx d a= + + + ≠ 
Số nghiệm của phương 
trình 0y ′ = 0a > 0a < 
0y ′ = có 2 nghiệm 
phân biệt 
0y ′ = có nghiệm kép 
0y ′ = vô nghiệm 
Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
4 2 ( 0) y ax bx c a= + + ≠ 
Số nghiệm của phương 
trình 0y ′ = 0a > 0a < 
0y ′ = có 3 nghiệm 
phân biệt 
0y ′ = có 1 nghiệm duy 
nhất 
Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung 
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0 ) 
1 Chỉ rõ 
0
x và 
0
y (hoành độ & tung độ của điểm M0) 
2 Tính 
0
( )f x′ 
3 Công thức: 
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − 
c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k) 
1 Lập luận để có được 
0
( )f x k′ = (*) 
2 Thay 
0
( )y x′ vào (*) để tìm 
0
x 
3 Có 
0
x , tìm 
0
y và dùng công thức 
0 0 0
( )( )y y f x x x′− = − 
 Lưu ý: 
 Tiếp tuyến song song với y ax b= + có hệ số góc k = a 
  Tiếp tuyến vuông góc với ( 0)y ax b a= + ≠ có hệ số 
góc 1
a
k = − 
d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x) 
1 Đưa phương trình về dạng: ( ) ( )f x BT m= 
2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao 
điểm của đồ thị ( ) : ( )C y f x= và đường thẳng : ( )d y BT m= . 
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả 
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An 
 Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương 
 trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm, ta không cần lập bảng kết 
 quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề. 
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b 
1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d: 
( )f x ax b= + (*) 
2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*) 
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d 
VÍ DỤ MINH HOẠ 
Bài 1 : Cho hàm số 3 26 9 1y x x x= − + + 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với 
 trục tung. 
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 
 nghiệm duy nhất: 3 26 9 0x x x m− + + = 
Bài giải 
Câu a: Hàm số 3 26 9 1y x x x= − + + 
 Tập xác định: D = R 

 Đạo hàm: 23 12 9y x x′ = − + 

 Cho 20 3 12 9 0 1y x x x′ = ⇔ − + = ⇔ = hoặc 3x = 

 Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞) 
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) 
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;5)D , điểm cực tiểu (3;1)T 

 Cho 6 12. 0 2 3y x y x y′′ ′′= − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn (2; 3)I 
 Bảng biến thiên: 
(chú ý: do a > 0) 
x −∞ 1 3 +∞ 
y ′ + 0 – 0 + 
y 
 5 +∞ 
–∞ 1 
m BT(m) Số giao điểm Số nghiệm pt 
  . . 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 

 Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4 
y 1 5 3 1 5 

 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng 
 qua điểm (2; 3)I như hình vẽ bên đây: 
Câu b:
 Cho 0 (0) 1x y= ⇒ = . 
 Giao điểm của ( )C với trục tung là: (0;1)A 

 (0) 9f ′ = 

 Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại A là: 
1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = + 
Câu c:
 Ta có, 3 2 3 26 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = − 
 3 26 9 1 1x x x m⇔ − + + = − (*) 

 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị ( )C và 
 đường thẳng : 1d y m= − cắt nhau tại 1 điểm duy nhất 
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 − >   
Bài 2 : Cho hàm số 2 33 2y x x= − 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C 
 với trục hoành. 
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 3 24 6 3 0x x a− − = 
Bài giải 
Câu a: Hàm số 2 33 2y x x= − 
 Tập xác định: D = ℝ 

 Đạo hàm: 26 6y x x′ = − 

 Cho 20 6 6 0 0y x x x′ = ⇔ − = ⇔ = hoặc 1x = 

 Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ =−∞ 

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1) 
 Bảng biến thiên: 
(chú ý: do a < 0) 
x −∞ 0 1 +∞ 
y ′ – 0 + 0 – 
y 
+∞ 1 
 0 –∞
www.VNMATH.com
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞ 
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O 

 Cho 1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y′′ ′′= − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn 1 1
2 2
( ; )I 

 Bảng giá trị:x 1
2
− 0 1
2
 1 1
2
y 1 0 1
2
 1 0 

 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng 
 qua điểm 1 1
2 2
( ; )I như hình vẽ bên đây: 
Câu b:
 Cho 2 30 3 2 0y x x= ⇔ − = 3
2
0x
x
 =⇔  =
 Giao điểm của ( )C với trục hoành là: (0; 0)O và 3
2
( ; 0)B 

 Tại (0; 0)O : (0) 0f ′ = , phương trình tiếp tuyến là: 0y = 

 Tại 3
2
( ; 0)B : 3 9
2 2
( )f ′ = − , phương trình tiếp tuyến là: 
279 3 9
2 2 2 4
0 ( )y x y x− = − − ⇔ =− + 
Câu c:
 Ta có, 
3 2 2 3 2 34 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ − 3
2
a= − (*) 

 Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C 
 và đường thẳng 3
2
:d y a= − , do đó ta có bảng kết quả sau đây: 
a 3
2
a− Số giao điểm 
của ( )C và d 
Số nghiệm của 
phương trình (*) 
2
3
a <− 3
2
1a− > 1 1 
2
3
a = − 3
2
1a− = 2 2 
2
3
0a− < < 3
2
0 1a<− < 3 3 
0a = 3
2
0a− = 2 2 
0a > 3
2
0a− < 1 1 
www.VNMATH.com
 - 5 - 

01688559752 dpsang@gmail.com 
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
3 23 3
2
x x x
y
+ +
= 
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song 
 song với đường thẳng 3
2
: y x∆ = 
c) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng 3
2
2y x= + 
Bài giải 
Câu a: 
3 23 3
2
x x x
y
+ +
= 
 Tập xác định: D = ℝ 

 Đạo hàm 
23 6 3
0,
2
x x
y x
+ +′ = ≥ ∀ ∈ ℝ do đó hàm số luôn đồng 
 biến trên ℝ và không đạt cực trị. 

 Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞ 

 Bảng biến thiên: 
 1
2
3 3 0 1y x x y′′ = + = ⇔ = − ⇒ = − 
 Điểm uốn 1
2
( 1; )I − − 

 Bảng giá trị:x 3− 2− 1− 0 1 
y 9
2
− 1− 1
2
− 0 7
2
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm 1
2
( 1; )I − − 
Câu b:
 Tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng 3
2
: y x∆ = có hệ 
số góc 30 2
( )k f x′= = 
2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ = 3
2
2 0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x
 =⇔ + = ⇔  = −
 Với 
0
0x = thì 
0
(0) 0y y= = , tiếp tuyến tương ứng là 
3 3
2 2
0 ( 0)y x y x− = − ⇔ = (trùng với ∆ ) 
x −∞ 1− +∞ 
y ′ + 0 + 
y 
 +∞ 
–∞ 
1
2
− 
www.VNMATH.com

 Với 
0
2x = − thì 0 ( 2) 1y y= − = − , tiếp tuyến tương ứng là 
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = + (song song với ∆ ) 

 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là 3
2
2y x= + 
Câu c:
 Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và 3
2
2y x= + là nghiệm 
phương trình 
3 23 3
2
x x x+ +
= 3 2
3
2 3 3 3 4
2
x x x x x+ ⇔ + + = + 
3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x
 =⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔  = −
 7
2
1x y= ⇒ = và 2 1x y= − ⇒ =− 

 Vậy, ( )C và 3
2
: 2d y x= + cắt nhau tại 2 điểm: 
( )721;A và ( 2; 1)B − − 
Bài 4 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 22 3y x x= − − 
 b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C 
có hoành độ x là nghiệm của phương trình ( ) 20f x′′ = 
 c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều 
hơn hai nghiệm: 4 22 0x x m− + = 
Bài giải 
Câu a:Hàm số 4 22 3y x x= − − 
 Tập xác định: D = ℝ 

 34 4y x x′ = − 
 Cho 30 4 4 0 0; 1y x x x x′ = ⇔ − = ⇔ = = ± 

 Giới hạn: lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞ 

 Bảng biến thiên: 
x –∞ –1 0 1 +∞ 
y ′ – 0 + 0 – 0 + 
y +∞ 3− +∞ 
 –4 –4 

 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch 
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1). 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D − 
và hai điểm cực tiểu 
1 2
( 1; 4), (1; 4)T T− − − 

 Bảng giá trị: 
x 2− –1 0 1 2 
y –3 –4 –3 –4 –3 

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng 
 qua trục tung như hình vẽ 
Câu b:
Ta có, 2 2 212 4 20 12 24 2 2y x x x x′′ = − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± 

 Đáp số: 4 2 11y x= − và 4 2 11y x= − − (học sinh tự giải) 
Câu c:
Ta có, 4 2 4 22 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − − (*) 

 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi ( )C và 
: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm) 
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
  − − ≤− ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ − <   
Bài 5 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: 4 24 3y x x= − + − 
b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: 4 24 0x x m− + = 
Hướng dẫn giải và đáp số 
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị: 
Câu b: Biến đổi phương trình ta được: 

 4 2 4 24 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = − 

 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho 
m m – 3 
Số giao 
điểm 
của ( )C 
và d 
Số nghiệm 
của 
phương 
trình (*) 
m > 4 m – 3 > 1 0 0 
m = 4 m – 3 = 1 2 2 
0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4 
m = 0 m – 3 = – 3 3 3 
m < 0 m – 3 < – 3 2 2 
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 9 - THPT Chu Văn An 
BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Bài 6 : Cho hàm số 3 – 3 1y x x= + có đồ thị là ( )C 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hoành độ bằng 2. 
c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9. 
d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
3 – 3 1 2 0x x m+ + = . 
Bài 7 : Cho hàm số 3 21 3
2 2
2y x x= − + − 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d: 9
2
2y x= − + 
c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy 
nhất: 3 23 4 0x x k− − − = 
Bài 8 : Cho hàm số 3 22 3 1y x x= + − 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành. 
c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến song song với : 12 1d y x= − 
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 3 22 3 2 0x x m+ + = 
Bài 9 : Cho hàm số 3 21 3 5
3 2 2
y x x= − + − có đồ thị là ( )C 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ x thoả 1y ′′ = 
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và : 2 0d y − = . 
d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 
3 22 9 6 0x xe e m− + = 
Bài 10 : Cho hàm số 3 21
3
y x x= − 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 0. 
c) Viết pttt của ( )C song song với  ... )S có tâm B và đi qua điểm A. 
c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt 
phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β). 
Bài 40 : Cho mặt cầu : 2 2 2( ) 9S x y z+ + = và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0 
a) Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính 
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (α). 
b) Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) 
và tiếp xúc với mặt cầu ( )S . Tìm toạ độ tiếp điểm của ( )S và (β) 
Bài 41 : Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. 
a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α). 
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α) 
Bài 42 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0) 
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó. 
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )ABC . 
c) Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng ( )ABC , từ 
đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD. 
Bài 43 : Cho A(–2;6;3), B(1;0;2), C(0;2;–1), D(1;4;0) 
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). 
b) Chứng minh rằng BCD là một tam giác vuông, từ đó tính diện 
tích tam giác BCD. 
c) Tính thể tích khối chóp ABCD. 
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 67 - THPT Chu Văn An 
Bài 44 : Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(6;2;–5), B(–4;0;7). 
a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB 
b) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại A 
Bài 45 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau: 
a) (α) đi qua A(1;2;3) và song song với mp(Oxy). 
b) (α) đi qua A(1;2;3) và song song với mặt phẳng x + y + z = 0. 
Bài 46 : Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng ∆:
2
1 2
x t
y t
z t
 = + = + =
a) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng ∆. 
b) Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆ 
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆ 
Bài 47 : Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0. 
a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α). 
b) Tìm tọa độ M ′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α). 
c) Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α). 
Bài 48 : Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1;–1;3), B(3;0;1), C(0;4;5) 
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC. 
b) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên 
đường thẳng BC. 
c) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC. 
Bài 49 : Cho A(1;0;0) và H là hình chiếu của A lên 12
1 2
: yx z−−∆ = = 
a) Tìm tọa độ điểm H. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến ∆. 
b) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆. 
Bài 50 : Cho : 11 2
16
x t
d y t
z t
 = = − + = −
 và :
5 2 3
2 1 6
x y z
d
− − −′ = = . Chứng minh 
rằng d và d ′ cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d ′ 
Bài 51 : Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆: 71 3
2 1 4
yx z−− −= = 
a) Chứng tỏ rằng ∆ và (α) song song với nhau. 
b) Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α). 
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của ∆ lên (α). 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 68 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Bài 52 : Cho điểm A(3;2;1) và đường thẳng d: 3
2 4 1
y zx += = 
a) Chứng minh rằng điểm A không thuộc đường thẳng d. 
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua A và chứa d. 
c) Viết phương trình đường thẳng d ′ qua A, vuông góc d và cắt d. 
Bài 53 : Cho ( ) : 3 2 5 0x y zα − − + = và 71 3
2 1 4
: yx zd −− −= = 
a) Chứng minh rằng €( )d α b) Tính khoảng cách giữa d và (α) 
Bài 54 : Cho hai đường thẳng : 1 2
6 3
x t
d y t
z t
 = = + = +
 và 
1
: 2
3
x t
d y t
z t
 ′= +′ ′= − + ′= −
a) Chứng minh rằng d và d ′ chéo nhau. 
b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua O song song với cả d và d ′ 
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với d ′ 
Bài 55 : Cho hai đường thẳng 
1
:d 21 5
2 3 4
yx z+− −
−
= = và 
2
7 3
: 2 2
1 2
x t
d y t
z t
 = + = + = −
a) Chứng minh rằng 
1
d và 
2
d cắt nhau. 
b) Viết phương trình của mặt phẳng chứa 
1
d và 
2
d . 
c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với cả hai đường 
thẳng 
1
d và 
2
d đồng thời cắt cả hai đường thẳng đó. 
Bài 56 : Cho hai đường thẳng 
1
:d
1
1
1
4
1 6
2 2
x t
y t
z t
 = = − = − +
 và 
2
2 2
2
: 2 2
1 4
x t
d y t
z t
 = = + = +
a) Chứng minh rằng 
1
d vuông góc với 
2
d nhưng không cắt 
2
d 
b) Viết phương trình mặt phẳng chứa 
1
d và vuông góc với 
2
d . 
c) Viết phương trình đường vuông góc chung của 
1
d và 
2
d . 
Bài 57 : Cho ( ) : 4 6 2 1 0x y zα − + + = và ( ) : 2 4 2 0x y zβ + + − = 
a) Chứng minh rằng ( ) ( )α β⊥ . 
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )γ vuông góc với ( )α lẫn ( )β 
c) Chứng minh rằng ( )α ,( )β và ( )γ chỉ có 1 điểm chung duy nhất 
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 69 - THPT Chu Văn An 
Phn VI. TH. TÍCH KHI ĐA DI/N - KHI TRÒN XOAY 
1. Một số hình không gian thường gặp 
a) Hình chóp tam giác (tứ diện): 
 Hình 1: dùng cho các loại hình chóp tam giác (tứ diện): 
  Có 1 cạnh bên vuông góc với mặt đáy. 
  Có 3 cạnh đôi một vuông góc với nhau cùng đi qua 1 đỉnh. 
 Hình 2: dùng cho các loại hình chóp tam giác (tứ diện): 
  Hình chóp tam giác đều. 
  Tứ diện đều (tất cả các cạnh đều bằng nhau). 
b) Hình chóp tứ giác: 
 Hình 3: Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là: 
  Hình bình hành. 
  Hình chữ nhật. 
  Hình thoi. 
  Hình vuông. 
 Hình 3 có thêm các tính chất sau: 
 
 ( )BC SAB⊥ và ( )CD SAD⊥ 
  4 mặt bên đều là các tam giác vuông. 
  Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm I của cạnh SC 
 Hình 4: Hình chóp S.ABCD có SO⊥(ABCD) và đáy ABCD là: 
  Hình bình hành. 
  Hình chữ nhật. 
  Hình thoi. 
  Hình vuông. 
 Nếu S.ABCD là hình chóp đều thì: 
 
 4 cạnh bên bằng nhau. 
  2 mặt chéo vuông góc nhau. 
  Tâm của mặt cầu ngoại tiếp nằm trên đường thẳng SO. 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 70 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
c) Hình lăng trụ - hình hộp: 
 Lăng trụ Lăng trụ đứng Hình hộp 
 tam giác tam giác chữ nhật 
d) Hình cầu – hình trụ - hình nón 
2. Các công thức tính diện tích – thể tích 
a) Thể tích (diện tích) khối chóp – khối nón 
  Công thức tính thể tích: 
 1
3
.V B h= 
  Diện tích xung quanh mặt nón: 
 noùn( )xqS rlπ= 
  Lưu ý: diện tích hình tròn bán kính r là: 2.S rπ= 
b) Thể tích (diện tích) khối lăng trụ – khối trụ 
  Công thức tính thể tích: 
 .V B h= 
  Diện tích xung quanh mặt trụ: 
 truï( ) 2xqS rlπ= 
  Diện tích toàn phần của hình trụ: 
 truï ñaùy( ) 2.tp xqS S S= + 
c) Thể tích (diện tích) khối cầu 
  Công thức tính thể tích: 
 34
3
V Rπ= 
  Diện tích mặt cầu: m.caàu
24S Rπ= 
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 71 - THPT Chu Văn An 
BÀI TẬP VỀ KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRÒN XOAY 
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh 
bên SA vuông góc với mặt đáy. Biết SA AB BC a= = = . Tính 
thể tích của khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh 
bên SA vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SB bằng 3a . 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại 
tiếp hình chóp S.ABCD. 
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, 
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc 
 0120BAC = , 
hãy tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA 
vuông góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600. 
a) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a. 
b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại 
tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu đó. 
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông 
góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng ( )SBD và mặt phẳng đáy 
bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên 
2SA a= và vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy 
bằng 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a. 
Bài 7 : Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể 
tích hình chóp S.ABCD theo a. 
Bài 8 : Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là một hình chữ nhật, AB = a, 
AD = 2a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt 
đáy, SAD là tam giác vuông cân. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD 
b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD 
Bài 9 : Cho hình chóp đều S.ABC có M là trung điểm cạnh AB, AM = a. 
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a biết 2SA a= 
Bài 10 :Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC 
b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC 
Bài 11 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SAC là tam 
giác đều cạnh a, 5SB SD a= = . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
www.VNMATH.com

01688559752 dpsang@gmail.com 
Tài liệu tham khảo - 72 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán 
Bài 12 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, Hai mặt bên 
(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm 
cạnh BC. Biết , 3BC a SA a= = và góc giữa 2 mặt phẳng (SBC), 
(ABC) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 13 :Cho lăng trụ tam giác đều .ABC A B C′ ′ ′ có cạnh đáy bằng a, A′B 
tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích lăng trụ theo a. 
Bài 14 :Cho lăng trụ tam giác đều .ABC A B C′ ′ ′ . Biết rằng mặt phẳng 
( )A BC′ tạo với mặt đáy một góc 030 và tam giác A BC′ có diện 
tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ 
Bài 15 :Cho lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình 
chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( )ABC trùng với trung 
điểm M của đoạn BC. Góc hợp bởi AA′ và mặt đáy bằng 030 . 
Tính thể tích lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ theo a. 
Bài 16 :Cho lăng trụ đứng .ABC A B C′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông 
cân tại C cho A C a′ = , góc hợp bởi ( )A BC′ và mặt phẳng đáy 
bằng α . Tìm α để lăng trụ .ABC A B C′ ′ ′ có thể tích lớn nhất. 
Bài 17 :Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa 
hai mặt đáy bằng 7 cm. 
a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ 
được giới hạn bởi hình trụ đó. 
b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ 
và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên. 
Bài 18 :Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao 3h r= 
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ 
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho. 
Bài 19 :Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng 
đôi một. Biết SA = a, 3AB BC a= = . Tính thể tích của khối 
chóp và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
Bài 20 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a > 0). 
Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 600 ,(SAC) ⊥ (ABC) . Tính 
thể tích của của khối chóp S.ABC theo a. 
Bài 21 :Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ 
dài cạnh bên bằng 2a và gấp đôi độ dài cạnh đáy. 
Bài 22 :Tính tỉ số thể tích giữa tứ diện đều và hình cầu ngoại tiếp nó. 
www.VNMATH.com