Ôn tập tốt nghiệp Giải tích 12

TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 Ñònh nghóa
Suy ra ( Ñieàu kieän caàn)
B.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN
Dạng 1: Xét tính biến thiên của hàm số 
Cách giải: 
+ Tìm tập xác định 
	+ Tính y’=f ‘(x) , cho y’=0 giải tìm x , lập bảng xét dấu y’
	+ Nếu y’>0 , thì hàm số tăng trên (a,b)
	+ Nếu y’< 0 ; thì hàm số giảm trên (a,b)
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y= f(x) tăng , giảm trên (a,b)
Cách giải:
	+ Lập bảng biến thiên, tìm khoảng tăng (giảm ) theo m Gọi khoảng đó là D
	+ Cho (a,b) là tập con của D , tìm dược m.
 Chú ý : Nếu y’ là một tam thức bậc hai : ax2+ bx+ c thì 
	 y’>0 và 
Cách khác: Dùng định lý 3
C. Baøi taäp
CÖÏC TRÒ CUÛA HAØM SOÁ 
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
B.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số y=f(x)
Cách giải: 
	+ Tìm TXĐ
	+ Tính đạo hàm y’, cho y’=0, tìm x và y
	+ Lập bảng xét dấu y’ .Dựa vào bảng xét dấu để kết luận
Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số y=f(x)có cực trị 
 Cách gải:
 + Tìm TXĐ
 + Tính y’ 
 + Tìm điều kiện để y’ đổi dấu . Từ đó tìm ra giá trị của tham số m
Chú ý: Nếu y’là một tam thức bậc hai : ax2+bx+c thì y’đổi dấu 
 Nếu y= có điểm cực trị là M(x0,y0) thì y0=
Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có đạt cực đại (cực tiểu) tại x0
Cách giải: 
+ Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 
+ Thay m vừa tìm vào y’, lập bảng xét dấu y’ để xác nhận m Hay thay m vào y’’
- Nếu < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
 - Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 
C. BAØITAÄP 
GIAÙ TRÒ LÔÙN NHAÁT, NHOÛ NHAÁT CUÛA HAØM SOÁ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 B.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN
C. Baøi taäp
Đáp số: 
TIEÄM CAÄN CUÛA HAØM SOÁ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 B.PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI TOAÙN
C. Baøi taäp
KHAÛO SAÙT VEÕ ÑOÀ THÒ HAØM SOÁ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 a>0, b0 a>0, b>0 a0
Baøi 2: Khaûo saùt veõ ñoà thò caùc haøm soá sau
1) y= 2) y= 3) y= 4) y=
5) y= 6) y= 7) y= 8) y= 
BAØI TAÄP OÂN CHÖÔNG
Bài 1:Cho hàm số 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = (m2 + 2)x + m song song với t/t của (C) tại gđ của (C) với Oy
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = x(ln x - 2) trên đoạn [l; e2].
Bài 2: Chohàm số có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực tiểu.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0;2].
Bài 3: Cho hàm số 
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Lập phương trình đường thẳng đi qua điềm cực đại của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị (C) tại gốc tọa độ.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn 
Bài 4: Cho hàm số y = x4 - 2x2 - 3
 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 2. Dùng đồ thị, tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 - 2x2 - 3 = m . 
Bài 5: Cho hàm số 
1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm 2 đường tiệm cận của đồ thị (C) và vuông góc với tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox.
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = 4 sin3x - 9cos2 x + 6sin x + 9 .
Bài 6: Cho hàm số y = x4 - 2x2 + 3, gọi đồ thị hàm số là (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy.
3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 3x2 - 9x - 1 trên [- 4 ; 3].
Bài 7: Cho hàm số ; gọi đồ thị hàm số là (C).
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 - 3x + m = 0.
Bài 8: Cho hàm số , gọi đồ thị là (C)
1. Khảo sát vẽ đồ thị của hàm số
2. Chứng minh rằng đồ thị (C) nhận giao điểm I của hai tiệm cận làm tâm đối xứng
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: trên .
CAÙC DAÏNG TOAÙN VEÀ KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ
DAÏNG 1: SÖÏ TÖÔNG GIAO CUÛA HAI ÑOÀ THÒ
	 Caùch giaûi: 
 Cho haøm soá y = f(x) coù ñoà thò (C) vaø haøm soá y = g(x) coù ñoà thò (C’) 
 Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) laø f(x)=g(x) (*) . Ta coù 
+ Soá nghieäm cuûa (*) laø soá ñieåm chung cuûa hai ñoà thò 
+ (C) vaø (C’) tieáp xuùc nhau 
+Neáu (C) vaø (C’) tieáp xuùc nhau taïi ñieåm M(x0, y0) thì x0 laø nghieäm cuûa heä 
DAÏNG 2: TIEÁP TUYEÁN CUÛA ÑOÀ THÒ
+ Daïng 1: Phöông trình tieáp tuyeán taïi ñieåm M0(x0,y0): y = f’(x0)(x-x0) + y0 
+ Daïng 2: Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k bieát tröôùc .
	Caùch giaûi: Goïi M0(x0,y0) laø tieáp ñieåm . Suy ra tieáp tuyeán coù daïng: y = f’(x0)(x-x0) + y0 (1)
 Do tieáp tuyeán coù heä soá goùc laø k suy ra : f ’(x0) = k. 
 Giaûi tìm x0 vaø y0 .Thay vaøo (1). 
 + Daïng 3: Tieáp tuyeán ñi qua moät ñieåm M1(x1,y1) 
 Caùch giaûi: Goïi M0(x0,y0) laø tieáp ñieåm . Suy ra tieáp tuyeán coù daïng: y = f’(x0)(x-x0) + y0 (1)
 Do tieáp tuyeán ñi qua M1(x1,y1) neân thay vaøo (1) ta coù : y1= f’(x0)(x1-x0)+f(x0)
 Giaûi phöông trình naøy tìm ñöôïc x0 vaø suy ra y0 . Thay vaøo (1). 
 Caùch giaûi 2: Goïi k laø heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán d ñi qua M1(x1,y1) suy ra d: y=g(x) =k(x-x1)+y1
 Do d laø tieáp tuyeán cuûa (C). Giaûi heä tìm ñöôc x0 vaø k, suy ra d. 
DAÏNG 3: BIEÄN LUAÄN SOÁ NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH f(x,m)=0 BAÈNG ÑOÀ THÒ
Caùch giaûi:
 Bieán ñoåi phöông trình ñaõ cho veà daïng : f(x) = h(m) (*) 
 (*) laø phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C): y=f(x) vaø (D): y=h(m)
 Suy ra soá nghieäm cuûa pt laø soá giao ñieåm cuûa hai ñöôøng (C) vaø (D)
 Veõ (C) vaø (D) treân cuøng heä truïc . Döïa treân ñoà thò ñeå keát luaän soá nghieäm 
DAÏNG 4: TÖØ (c):y=f(x) SUY RA ÑOÀ THÒ CAÙC HAØM SOÁ y=
Cách giải:
1.y = có đồ thị là phần (C) nằm phía trên Ox và phần đối xứng qua Ox của phần (C) 
 nằm phía dưới Ox 
2. y =f( có đồ thị là phần của (C) với x và phần đối xứng của phần đồ thị đó qua trục Oy 
 3. có đồ thị gồm phần (C) nằm phía trên Ox và phần đối xứng qua Ox phần đồ thị đó
BÀI TẬP
Bài 1: Tìm m để đường thẳng (d): y= x–1 cắt đồ thị (C):
y= tại hai điểm phân biệt.
Bài 2: Tìm m để đồ thị của hàm số y= x3–mx2+4x+4m–16 cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt.
Bài 3: Tìm m để đồ thị hàm số y= x4–2(m+1)x2+2m+1 cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt.
Bài 4: Cho hàm số y= x3+ 2mx2–x+1 có đồ thị (Cm) và đường thẳng (d): y= –2x+1
 Định m để đường thẳng (d) cắt đồ thị (Cm) tại ba điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số y= x3–3x+ 1 có đồ thị (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0là nghiệm của phương trình 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
 y= –x+1
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đi qua M(;–1)
Bài 6: Cho hàm số y= x3–2x2+3x+1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 3x 
Bài 7: Cho hàm số y= x3–2x2+3x có đồ thị (C). Xác định điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại điểm đó có hệ số góc nhỏ nhất. Viết phương trình tiếp tuyến ấy.
Bài 8: Cho hàm số y= x4 –2x2 + có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến song song với trục Ox.
Bài 9: Cho hàm số: f(x)= x3– 3x+ m (Cm)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m= 2
b) Dùng đồ thị đã vẽ ở câu a) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x)= 0
Bài 10: Cho hàm số: y= x3– 6x 
Khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3– 2(3x+1)+ m= 0
Bài 11: Cho hàm số: f(x)= 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m=5
Dùng đồ thị (C), hãy xác định m để phương trình f(x)= 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 12: Cho hàm số y= –x3 +3x2 –1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
Bài 13:Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H ) của hàm số .
Tìm các điểm trên (H) có toạ độ là những số nguyên .
Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại điểm có tung độ bằng -2.
Dựa vào đồ thị ở câu 1), hãy suy ra đồ thị hàm số.
MÔÛ ROÄNG KHAÙI NIEÄM LUÕY THÖØA
A. TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
II. Các công thức về đẳng thức
III./ Caùc coâng thöùc veà baát ñaúng thöùc
B. BAØI TOAÙN
Baøi 1: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc ( hoaëc ñôn giaûn bieåu thöùc).
A=(a+1)-1 + (b+1)-1, khi 
B=
D=
E=
F=
Baøi 2: Vieát döôùi daïng luõy thöøa vôùi soá muõ höõu tyû caùc bieåu thöùc sau
 C=
Baøi 3: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc
Baøi 4: Ruùt goïn bieåu thöùc 
A=	B=
Baøi 5 Ruùt goïn caùc bieåu thöùc sau
A=	B=	 C= 	 D=
Baøi 6: So saùnh caùc caëp soá sau 
a./ 	b./ 
Baøi 7: Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc
Baøi 8: Thu goïn bieåu thöùc
LOGARIT
A. CAÙC COÂNG THÖÙC 
Cho ta coù 
1./ 	2./ 
3./ 	 4./ 
5./ 6./ 
7./ 	
8./ 
9./ 
10./ 	
11./ 
12./ 
 B. BÀI TẬP
Bài 1:
1/ Tính 
2/ Cho a=log32 ; b=log35 .Tính log3200;log337,5.
Bài 2:Cho a=log23 , b=log25 . Tính 
Bài 3:
1/Tính (0<a
2/Cho a=log96 .Tính log1832.
Bài 4:
Cho log32=a .Tính:log26 ; log618.
Bài 5: Tìm x biết 
3/.
Bài 6:
1/Tính
2/Cho log23=a Tính : log62 ; log318 theo a.
Bài 7 :Tìm x biết 
1). 2). 3). 
 Bài 8.Tìm x biết 
1/ 2/ 3/ 
 Bài 9: 
 1/Cho a=log103 ; b=log52 Tính :log 53. kq:a(b+1) 	
 	 2/Cho a=log102 ;b=log27 Tính :log1056. KQ: :a(b+3)
 3/Cho log32=a Tính a/log26 KQ: 
 Bài 10:Chứng minh rằng:
 1/	 2/ (0<a,b,c)
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1./ Cho 
2./ Cho tối giản) , ta có 
3./ Cho 
	+ 	+ 	 + 
	+ 	+ 
B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa
( Chú ý : có nghĩa khi có nghĩa)
Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi phương trình về một trong các dạng sau đây
	 Dạng 1: 
	 Cách giải:
	+ Nếu g(x) 0 thì phương trình vô nghiệm 
	+ Nếu g(x)>0 thì 
	 Dạng 2: 
	 Cách giải: 
	Dạng 3: 
 Cách giải: Đặt . Ta có phương trình bậc hai theo t 
 giải tìm t thay vào cách đặt tìm x
	 Sau khi tìm được x kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của 
 phương trình.
CÁC BÀI TOÁN
Bài 1: Giải các phương trình sau:
	a./ 	b./ 
Bài 2: Giải các phương trình sau
	a./ 	b./ 
Bài 3: Giải các phương trình sau
a./ 	b./ c./ 
Bài 4: Giải các phương trình sau
a./ 	( ĐS: x=1 hay x=2)
b./ 	( ĐS: x=2)
 c./ e6x - 3e3x +2 = 0 	( ĐS: x = 0 hoaëc )
d./ 	( ĐS: x=1 hay x=2)
e./ 2 2x+1 - 2 x+3 - 64 = 0 	( ĐS: x=3)
Bài 5: Giải các phương trình sau ( nâng cao)
a./ ( ĐS: x=0 hay x=)
b./ 	 (ĐS: x=0)
c./ 	 (ĐS: x=1)
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1./ Định nghĩa:
 Suy ra : 
2./ Các công thức: Cho , b>0 ta có
	+ 	+ 	+ ; 
	+ 	 + 
 + ; 
 + ; 
B./ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Bước 1: Đặt điều kiện ( Chú ý: Điều kiện cho là )
Bước 2: Đưa về cùng cơ số và biến đổi về một trong các dạng sau
	Dạng 1: 
	Cách giải: 
	Dạng 2: 
	Cách giải: 
	Dạng 3: 
	Cách giải: Đặt 
Sau khi tìm được x , kết hợp với điều kiện ta được nghiệm .
Chú ý: Có thể đặt , trong đólà một biểu thức chứa logarit. 
C./ BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a./ b./ 
c./ 	 d./ 
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a./ 	 b./ 
c./ 	 d./ 
Bài 3: Giải các phương trình sau
	1./ 	 ( ĐS: x = )
 2./ 	 ( ĐS: x = 0)
 3./ 	 ( ĐS: x= 3)
 4./ 	 ( ĐS: x=27)
Bài 4: Giải ... (x) = 4x3 - 3x2 + 2 biết F(-1) = 3 . Đs : F(x) = x4 - x3 + 2x + 3
4/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = cos5x biết F(0) = 0
 Đáp số : F(x) = 
5/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = Đáp số : F(x) = - e-x + ex + 4
6/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = biết F( - 1 ) = 2 , F( 1 ) = 4 và f( 1 ) = 0
 Đáp số: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1/ Phương pháp đổi biến số :
 Tính 
+ Đặt u = = 
	Tính 
 + Đặt = 
Chú ý :1. . Đặt t=a.tgx 2. . Đặt x=a.sint.
 Khi tìm nguyên hàm của hàm số dạng với P(x) , Q(x) là các đa thức theo x 
1. Nếu Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) là hằng số thì ta dùng 
2. Nếu bậc P(x) lớn hơn hay bằng bậc Q(x) thì chia tử cho mẩu 
3. Nếu Q(x) bậc hai ax2+bx+c và (Px) là hằng số . Xét các trường hợp:
+ Nếu tìm 2 nghiệm x1 , x2 của tam thức thì + Nếu thì 
+ Nếu và đặt mx+n=k tgt
4. Biểu thức có chứa căn thì thường đặt t là căn .
5. Biểu thức có chứa hàm số lượng giác thì thường dùng công thức biến tích thành tổng
 công thức hạ bậc
6. Nếu hàm lẻ đối với sinx thì đặt t =cosx, lẻ đối với cosx thì đặt t = sinx.
2/ Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần :
 Phương pháp : 
Chú ý : Tính trong đó P(x) là một đa thức theo x
Nếu Q(x) là sinx hoặc cosx hoặc ex thì đặt u = P(x) ,dv = Q(x)dx
Nếu Q(x) là lnx thì đặt u = Q(x) , dv = P(x)dx
BÀI TẬP
Bài 1 : Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:
 1/ 2/ 
 3 / 4/ 
 5/ 	 Đáp số: 	
 6/ Đáp số: 	
 7/ 	 Đáp số: 	
 8/ 	 Đáp số: 	
 9/ Đáp số : 
Bài 2: Tính
1/ 	 
2/ 
3/ 	
4/ Đáp số: ( 3 - 2x )ex + C
5/ Đáp số: -(1 + x )e-x + C
6/ Đs : 
7/ Đs: 
8/ Đs: 
9/ Đs: 
TÍCH PHAÂN
I.Ñònh nghóa:
 Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân đñoaïn , F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân ñoaïn . Tích phaân töø a ñeán b cuûa haøm soá f(x) laø:
 ( coâng thöùc Newton-Leibniz) 
 Chuù yù: 
II. Tính chaát : 
	Cho f(x) , g(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc treân () vaø a,b,c laø 3 ñieåm thuoäc khoaûng ñoù . Ta coù 
	 1. 	 2. 
	 3. 	 4. 
	 5. 	
 III. Phöông phaùp giaûi toaùn 
	Vaán ñeà 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa .
	+ Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa f(x)
	+ Duøng coâng thöùc Newton-Leibniz ñeå tính.
	Vaán ñeà 2: Tính tích phaân haøm soá coù chöùa daáu trò tuyeät ñoái 
	+ Xeùt daáu haøm soá döôùi daáu tích phaân 
+ Döïa vaøo baûng xeùt daáu , chia thaønh nhieàu tích phaân treân töøng ñoaïn maø ôû ñoù f(x) khoâng ñoåi daáu. Boû trò tuyeät ñoái , tính caùc tích phaân vaø coäng caùc keát quaû laïi. 
BAØI TAÄP 
Tính caùc tích phaân sau:
 1/ 	2/ 
 3/ Đáp số : 
 4/ Đáp số: 
 5/ Đáp số: 
 6/ Đáp số: 	 
 7/ 	 Đáp số: 
 8/ Đáp số: 
 9/ Đáp số: 
 10/ Đáp số: 
ÑOÅI BIEÁN SOÁ
I.Dònh lyù:
	Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn . Neáu haøm soá x=u(t) thoaû ñieàu kieän 
	+ x=u(t) coù ñaïo haøm lieân tuïc treân sao cho
	 vaø . Thì (1) .Ñaây laø coâng thöùc ñoåi bieán soá.
II. Quy taéc ñoåi bieán soá daïng 1: 
	Giaû söû caàn tính I= Ta thöïc hieän nhö sau:
	+ Ñaët x= u(t) , tính dx=u’(t)dt
	+ Ñoåi caän : x=a vaø x=b
	+ Thay vaøo (1) ta ñöôïc I= = 
III. Quy taéc ñoåi bieán soá daïng 2: 
	Ñeå tính I= . Ta bieán ñoåi veà daïng vaø thöïc hieän nhö sau
	+ Ñaët t = u(x) => dt = u’(x)dx
	+ Ñoåi caän : x = a .
	+ Thay vaøo I ta ñöôïc I= (*) . Tính tích phaân (*) ta ñöôïc tích phaân caàn tìm 
Chuù yù : Trong moät soá tröôøng hôïp ta coù theå laøm nhö sau 
	 Ñaët t = u(x) , tìm x theo t => dx theo dt . Ñoåi caän vaø thay vaøo tích phaân.
+ Dạng . Đặt x = asint với 
+ Dạng . Đặt x = atant với 
 + Biểu thức có chứa căn thì thường đặt t là căn .
 + Biểu thức có chứa hàm số lượng giác thì thường dùng công thức
 biến tích thành tổng, công thức hạ bậc
 + Nếu hàm lẻ đối với sinx thì đặt t =cosx, lẻ đối với cosx thì đặt t = sinx.
TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
I.Ñònh lyù: 
 Neáu u(x) vaø v(x) laø hai haøm soá coù ñaïo haøm lieân tuïc treân thì : 
 hay daïng goïn hôn : (2) 
 Coâng thöùc (2) goïi laø coâng thöùc tích phaân töøng phaàn 
II. Caùch tính 
 + Ñaët . Thay vaøo coâng thöùc 
 Chuù yù:
+ Gaëp daïng I =thì ñaët 
 + Gaëp daïng I = thì ñaët 
BAØI TAÄP
Baøi 1 : Tính các tích phân sau :
1/ 	2/ 
3/ 	 4/ 
 5/ Đs : 
 6/ Đs : 
 7/ 	 Đs : 
 8/ Đs : 
Baøi 2 : Tính caùc tích phaân sau :
	1/ I = 	2/ I =
3/ I =	4/ I = 
5/ I = 	6/ I = 	7. I =	
8/ I = 	9/ I = 	10 / I = 	
 	11/ I = 	12/ 	 13 / 	 
 	 14/ I = 	 15/ I = 16/ 
	17/ I = 	18 / I = 	19/ I = 
 	20/ I = 	 	21/ 	22/ 
 	23/ 24/ 25/ 
 	26/ 27/ 	28/ 	29/ 
8. Đs : 	9. Đs : 2 	10. Đs : 	11. Đs : 	12. Đs : ln(e + 1 )	13. Đs : 2ln2 - 1
14. Đs : 	15. Đs : 	16. Đs : 	17. Đs : 2	18. Đáp số : 
19. Đáp số : 	20. Đáp số : 2e(e- 1)	21. Đáp số : 1	22. Đáp số : 
23. Đáp số : 	24. Đáp số : 	25. Đáp số : 
26. Đáp số : 	27. Đáp số : 	28. Đáp số : 	29. Đáp số : 
Baøi 3: Tính caùc tích phaân sau
	1/ 	2/ 
	3/ 	4/ 
	5/ 	6/ 	 7/ 	 
 	8/ 	 9/ 	 	 10/ 	
11/ 	12/ 13/ 	 
14/ 	
5. Đáp số: 	6. Đáp số: 	7. Đáp số: 	8. Đáp số: 
9. Đáp số: 	10. Đáp số: e – 2	11. Đáp số: 	12. Đáp số: 
13. Đáp số: 	14. Đáp số: 
DIEÄN TÍCH
I.Coâng thöùc :
 1. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân . Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y = f(x) , x = a , x = b (a<b) vaø truïc Ox ñöôïc tính boûi coâng thöùc S = (1)
 2. Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân ñoaïn . Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng : y=f(x) , y=g(x) , x=a , x=b (a<b) cho bôûi coâng thöùc : S = (2)
 II. Chuù yù: 1. Trong coâng thöùc (1) 
 Neáu treân ñoaïn , f(x)= 0 voâ nghieäm thì S = =
 Neáu treân ñoaïn , f(x)= 0 coù nghieäm x= c thì S =
 Töông töï trong coâng thöùc (2). 2/ Coù theå duøng baûng xeùt daáu f(x) ñeå khöû daáu tuyeät ñoái .
THEÅ TÍCH
I.Coâng thöùc 
 1. Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra khi cho hình phaúng giôí haïn bôûi caùc ñöôøng : y=f(x) , y=0, x=a x=b (a<b) quay xung quanh truïc Ox , ñöôïc tính baèng coâng thöùc : 
 2.Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra khi cho hình phaúng giôí haïn bôûi caùc ñöôøng : x=g(y) , x=0 ,y=a , y=b (a<b) quay xung quanh truïc Oy, ñöôïc tính bôûi coâng thöùc : 
 3.Theå tích cuûa khoái troøn xoay sinh ra khi cho hình phaúng giôí haïn 
 bôûi caùc ñöôøng: y=f(x) , y=g(x) vôùi 
 , x=a vaø x=b (a<b) quay quanh Ox, ñöôïc 
 tính baèng coâng thöùc: V= 
BAØI TAÄP
Baøi 1./ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau :
 1/ , y = 0 , x = 1 , x = e
 2/ , y = 0 , x = 0 , x = 1
3/ y = x2 - 4x + 3 , y = 0 , x = 2 , x = 4. Đáp số: 2
4/ y = - x2 + 3x , y = 0 , x = -1 , x = 1 Đáp số: 3
5/ y = sin2x.cos3x , y = 0 , , , Đáp số: 
6/ y = , y = 0 , x = 0 , x = Đáp số : 
7/ y = xln2x , y = 0 , x = 1 , x = e Đáp số : 
8/ y = sin4x + cos4x , y = 0 , x = và x = Đáp số : 
Baøi 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình sau :
1/ , y = x , x = 0 , x = 2 Đáp số: 
2/ y = 2 - x2 , y = x , x = 0 , x = 1 Đáp số: 
3/ y = 2 - x2 , y = x Đáp số: 
4/ y = , y = 6 - x và trục hoành Đáp số: 
5/ y = 7 - 2x2  , y = x2 + 4 Đáp số: 4 
6/ x - y2 = 0 và x + 2y2 = 3 Đáp số: 4
7/ x = y3 - y2 và x = 2y Đáp số: 
Baøi 3 : 
1./ Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng ( H ) giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox : y = , y = 0 , 
x = 0 , x = 3
2./ 1/ y = x2 - 4x + 4 , y = 0 , x = 0 , x = 3 Đáp số: V = 
3/ y = 2 - x2 , y = 1 Đáp số: 
4/ y = 2x - x2 , y = x Đáp số: 
5/ và đường thẳng x = 2: 	 Đáp số: 6/ và trục hoành: 	 Đáp số: 7/ 	 Đáp số: 
 SỐ PHỨC
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I. DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC: 
+ Một số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là số thực 
 và số i thỏa mãn i2 = -1. Kí hiệu số phức là z và viết z = a + bi
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu bằng C.
+ i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần
 ảo của số phức z = a + bi.
+ Số thực a được coi là một số phức có phần ảo bằng 0 : 
z = a + 0i = a . 
+ Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo : z = 0 + bi, b .
+ Ta có i = 0 + 1i = 1i
+ Số 0 là số phức duy nhất vừa là số thực, vừa là số ảo.
II. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC
	Mỗi số phức z = a + bi được biểu diễn bỡi một điểm M(a, b) 
trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox được gọi là trục thực, trục Oy được gọi là trục ảo.
 y
 b M(z)
 O a x
III. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : 
Cho hai số phức z = a + bi (a, b ); z’ = a’ + b’i (a’, b’ ).
	1. 	z = z’ a = a’ và b = b’
	2. 	z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
	3.	z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i
	4. 	z.z’ = (aa’ – bb’) + (ab’ + a’b)i 
	5. 	Số đối của z là – z = – a – bi
	6. 	Số phức liên hợp của z là 
7. 	Môđun của z là 
8.	 Số nghịch đảo của z là = 
	9. 	 ; 
10. 	Với z 0 thì 
IV. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC
Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z2 = w được gọi là một căn bậc hai của w.
Tính chất: Cho số phức w, căn bậc hai của w có các tính chất:
	1. 	w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0.
	2.	w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau khác không \
 t hỏa z2 = w
	3. 	Số thực a > 0 có hai căn bậc hai là 
	Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là 
Chú ý : Cách tìm căn bậc hai của một số phức 
	Cho số phức w = a + bi và z = x = iy là căn bậc hai của số phức 
 w. Ta có (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình :
V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  
Cho phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 ; a 0 , a,b,c là các số phức.
1. Gọi z1, z2 là nghiệm của phương trình thì 
 . Trong đó là một căn bậc hai của 
2. Khi = 0 thì 
3. Khi là số thực dương thì 
4. Khi là số thực âm thì : 
VI. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
1. Acgumen của số phức
	a. Định nghĩa : Cho số phức z 0. Gọi M là một điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số z. 
Số đo ( radian ) của mỗi góc lượng giác (Ox, OM) được gọi là một acgumen của z
y 
 M
 0 x
b. Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của z có dạng 
 , k 
c. Hai số phức z và lz ( z 0 và l là một số dương ) có cùng acgumen.
2. Dạng lượng giác của số phức
 2.1. Kí hiệu thì và là một acgumen của z thì số phức 
 z = a + bi 0 có thể viết dưới dạng z = r(cos + i.sin). 
 Được gọi là dạng lương giác của số phức z
 2.2. Để tìm dạng lượng giác của một số phức z = a + bi 0 ta tìm:
	+ 
	+ góc sao cho 
 2.3. Chú ý:
+ Ta xem 
+ Điều kiện r > 0 trong dạng lượng giác r(cos + i.sin) của số phức z 0 .
3. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác
	Nếu z = r(cos + i.sin) và z’ = r’(cos’ + i.sin’); r, r’ 0
 Thì 
	Và 
4. Công thức Moivre
	4.1. Công thức Moivre: 
 	 Khi r = 1, ta có: 
	4.2. Căn bậc hai của số phức dạng lượng giác
	Cho z = r(cos + i.sin), r 0 thì z có hai căn bậc hai là 
 và 
 – = 
BÀI TẬP
1. Thực hiện Các phép tính 
	a. 	b. 
 2. Giải các phương trình :
 a. (3 + 4i)z = (1 + 2i)(4 + i)	b. 2iz + 3 = 5z + 4i	 
 c. 3z(2 – i) + 1 = 2iz(1 + i) + 3i
3. Tính : 1 + (1 + i) + (1 + i)2 + (1 + i)3 +  + (1 + i)20
4. Tìm x và y để:
 a. (x + 2y)2 = yi	b. (x – 2i)2 = 3x + yi
5. Tính:
	a. (1 + i)2	b. (1 + i)3	c. (1 + i)4	d. (1 + i)5
6. Tính căn bậc hai của số phức sau:
a. 	b. 16 – 30i	c. 8 + 6i	d. 1 – i
7. Giải các phương trình:
 a. 2z2 + 3z + 5	= 0	 b. z2 – (2+ i)z	+ (-1 + 7i) = 0
 c. z2 + (3 – 2i )z + (5 – 5i) = 0	 d. z4 – 3z2 + 4 = 0
Taøi lieäu naøy coù söû duïng moät soá tö lieäu cuûa ñoàng nghieäp. Chæ löu haønh noäi boä