Ôn tập Toán Lớp 12 - Vận dụng của Tích phân trong đề thi THPT

 1
TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA 2018 
Vấn đề 1. Tính tích phân theo định nghĩa 
Câu 1. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa     22 3 1 1 .f x f x x    Giá trị của tích phân  
1
0
' df x x 
bằng 
 A. 0. B. 
1
.
2
 C. 1. D. 
3
.
2
Lời giải. Ta có        
1 1
0
0
d 1 0 .f x x f x f f    
Từ    
   
   
 
 
2
2
02 0 3 1 1 5
2 3 1 1 .
32 1 3 0 0
1
5
ff f
f x f x x
f f
f
           
    
Vậy      
1
0
3 2
' d 1 0 1.
5 5
I f x x f f      Chọn C. 
Câu 2. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa mãn    0 1 1.f f  Biết rằng    
1
0
d .xe f x f x x ae b     
Tính 2018 2018.Q a b  
 A. 20172 1Q   . B. 2Q  . C. 0Q  . D. 20172 1Q   . 
Lời giải. Ta có            
   1 1 0 1 11
/
0
0 0
d d 1 0 1.
f f
x x xe f x f x x e f x x e f x ef f e
 
                    
Suy ra  
20182018 2018 20181 1 1 2.
1
a
Q a b
b
        
 
 Chọn B. 
Câu 3. Cho các hàm số  ,y f x  y g x có đạo hàm liên tục trên  0;2 và thỏa mãn    
2
0
' d 2,f x g x x  
   
2
0
' d 3.f x g x x  Tính tích phân    
2
/
0
d .I f x g x x    
 A. 1.I  B. 1.I  C. 5.I  D. 6.I  
Lời giải. Ta có            
2 2
/
0 0
d ' ' dI f x g x x f x g x f x g x x          
       
2 2
0 0
' d ' d 2 3 5.f x g x x f x g x x      Chọn C. 
Câu 4. Cho hàm số  y f x liên tục trên  0; và thỏa    
2
0
d .sin
x
f t t x x . Tính 
1
4
f
    
. 
 A. 
1
.
4 2
f
    
 B. 
1 1
.
4 2
f
    
 C. 
1
1.
4
f
    
 D. 
1
1 .
4 2
f
     
Lời giải. Từ    
2
0
d .sin
x
f t t x x , đạo hàm hai vế ta được      
22 sin cos .xf x x x x    
Cho 
1
2
x  ta được 
1 1 1
2. . sin cos 1 1.
2 4 2 2 2 4
f f
                  
 Chọn C. 
Câu 5. Cho hàm số  f x liên tục trên  ;a  với 0a và thỏa 
 
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
  với mọi .x a Tính  4 .f 
 A.  4 2.f  B.  4 4.f  C.  4 8.f  D.  4 16.f  
Lời giải. Từ 
 
2
d 6 2
x
a
f t
t x
t
  , đạo hàm hai vế ta được 
 
2
1
.
f x
x x
 
Suy ra    4 4 4 8.f x x x f    Chọn C. 
 2
Vấn đề 2. Kỹ thuật đổi biến 
Câu 6. Cho  
2017
0
d 2f x x  . Tính tích phân  
2017 1
2
2
0
. ln 1 d .
1
e
x
I f x x
x

    
 A. 1.I  B. 2.I  C. 4.I  D. 5.I  
Lời giải. Đặt  2ln 1 ,t x  suy ra 2 2
2 d d d
d .
21 1
x x x x t
t
x x
  
 
Đổi cận: 
2017
0 0
.
1 2017
x t
x e t
   

    
Khi đó    
2017 2017
0 0
1 1 1
d d .2 1.
2 2 2
I f t t f x x     Chọn A. 
Câu 7. Cho hàm số  f x liên tục trên  và 
 
 
9 2
1 0
d 4, sin cos d 2.
f x
x f x x x
x

   Tính tích phân  
3
0
d .I f x x  
 A. 2.I  B. 6.I  C. 4.I  D. 10.I  
Lời giải.  Xét 
 9
1
d 4.
f x
x
x
 Đặt 
2 ,t x t x   suy ra 2 d d .t t x 
Đổi cận 
1 1
.
9 3
x t
x t
   
   
 Suy ra 
 
   
9 3 3
1 1 1
4 d 2 2d d 2.
f x
x f t t f t t
x
      
 Xét  
2
0
sin cos d 2.f x x x

 Đặt sin ,u x suy ra d cos d .u x x 
Đổi cận 
0 0
.
1
2
x u
x u

   

   
 Suy ra    
12
0 0
2 sin cos d d .f x x x f t t

   
Vậy      
3 1 3
0 0 1
d d d 4.I f x x f x x f x x      Chọn C. 
Câu 8. Cho hàm số  f x liên tục trên  và  
 1 24
2
0 0
tan d 4, d 2.
1
x f x
f x x x
x

 
 
 Tính tích phân  
1
0
d .I f x x  
 A. 6.I  B. 2.I  C. 3.I  D. 1.I  
Lời giải. Xét  
4
0
tan d 4.f x x

 
Đặt tan ,t x suy ra  22 2
1 d
d d tan 1 d d .
cos 1
t
t x x x x
x t
    

Đổi cận: 
0 0
.
1
4
x t
x t

   

   
 Khi đó  
   1 14
2 2
0 0 0
4 tan d d d .
1 1
f t f x
f x x t x
t x

  
   
Từ đó suy ra  
   1 1 1 2
2 2
0 0 0
d d d 4 2 6.
1 1
f x x f x
I f x x x x
x x
     
   
 Chọn A.
Câu 9. Cho hàm số  f x liên tục trên  và thỏa mãn  
4
2
0
tan . cos d 1,x f x x

 
 
2 2ln
d 1.
ln
e
e
f x
x
x x
 Tính tích phân 
 2
1
4
2
d .
f x
I x
x
  
 A. 1.I  B. 2.I  C. 3.I  D. 4.I  
Lời giải. ● Xét  
4
2
0
tan . cos d 1A x f x x

  . Đặt 
2cos .t x 
 3 
Suy ra 2
d
d 2 sin cos d 2 cos tan d 2 .tan d tan d .
2
t
t x x x x x x t x x x x
t
     
Đổi cận: 
0 1
.1
4 2
x t
x t

   

   
Khi đó 
       
1
1 1 12
1 1 11
2 2 2
1 1 1
1 d d d d 2.
2 2 2
f t f t f x f x
A t t x x
t t x x
         
● Xét 
 
2 2ln
d 1.
ln
e
e
f x
B x
x x
  Đặt 
2ln .u x 
Suy ra 
22 ln 2 ln 2 d du
d d d d .
ln ln ln 2
x x u x
u x x x
x x x x x x x u
     
Đổi cận: 
2
1
.
4
x e u
x e u
   
   
Khi đó 
     4 4 4
1 1 1
1 1
1 d d d 2.
2 2
f u f x f x
B u x x
u x x
       
● Xét tích phân cần tính 
 2
1
2
2
d .
f x
I x
x
  
Đặt 2 ,v x suy ra 
1
d d
2 .
2
x v
v
x
 
 
 Đổi cận: 
1 1
.4 2
2 4
x v
x v
   

   
Khi đó 
       4 4 1 4
1 1 1 1
2 2 2
d d d d 2 2 4.
f v f x f x f x
I v x x x
v x x x
          Chọn D. 
Câu 10. Cho hàm số  y f x xác định và liên tục trên 
1
;2 ,
2
 
 
  
 thỏa   2
2
1 1
2.f x f x
x x
      
 Tính tích phân 
 2
2
1
2
d .
1
f x
I x
x


 A. 
3
.
2
I  B. 2.I  C. 
5
.
2
I  D. 3.I  
Lời giải. Đặt 
1
,x
t
 suy ra 
2
1
d d .x t
t
 Đổi cận: 
1
2
2 .
1
2
2
x t
x t
   
   
Khi đó 
1
2 22
2 2 2
1 12
2
2 2
1 1 1
1
. d d d .
1 1 11
f f f
t t x
I t t x
t t x
t
                              
   
Suy ra 
 
  22 2 2 2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1
2
2 d d d d
1 1 1 1
f f x f xf x x x xI x x x x
x x x x
              
   
      
2 22 2
12 2
21 1
2 2
1 1 1 3
d 1 d 3 .
2
x
x x x I
xx x
                      Chọn A. 
 4
Câu 11. Cho hàm số  f x liên tục trên  và thỏa     2 2cos 2f x f x x    với mọi x  . 
Tính  
3
2
3
2
dI f x x



  . 
 A. 6I  . B. 0I  . C. 2I  . D. 6I  . 
Lời giải. Đặt d d .t x x t   Đổi cận: 
3 3
2 2 .
3 3
2 2
x t
x t
 
 
   
   
Khi đó      
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
d d d .I f t t f t t f x x
  
  

 
        
Suy ra    
3 3 3
2 2 2 CASIO
3 3 3
2 2 2
2 d 2 2 cos2 d 2 cos d 12 6.I f t f t t t t t t I
  
  
  
             Chọn D. 
Câu 12. Cho hàm số  y f x xác định và liên tục trên , thỏa  5 4 3 2 1f x x x    với mọi .x  Tích phân  
8
2
df x x

 
bằng 
 A. 2. B. 10. C. 
32
.
3
 D. 72. 
Lời giải. Đặt 5 4 3,x t t   suy ra  4d 5 4 d .x t t  Đổi cận 
2 1
.
8 1
x t
x t
   
   
Khi đó        
8 1 1
5 4 4
2 1 1
d 4 3 5 4 d 2 1 5 4 d 10.f x x f t t t t t t t
  
          Chọn B. 
Câu 13. Cho các hàm số  ,f x  g x liên tục trên  0;1 , thỏa      . . 1m f x n f x g x   với ,m n là số thực khác 0 và 
   
1 1
0 0
d d 1.f x x g x x   Tính .m n 
 A. 0.m n  B. 
1
.
2
m n  C. 1.m n  D. 2.m n  
Lời giải. Từ giả thiết      . . 1m f x n f x g x   , lấy tích phân hai vế ta được 
   
1 1
0 0
. . 1 d ( )dm f x n f x x g x x      
Suy ra  
1
0
1 d 1m n f x x   (do    
1 1
0 0
d d 1f x x g x x   ).  1 
Xét tích phân  
1
0
1 d .f x x Đặt 1t x  , suy ra d d .t x Đổi cận: 
0 1
.
1 0
x t
x t
   
   
Khi đó        
1 0 1 1
0 1 0 0
1 d d d d 1.f x x f t t f t t f x x         2 
Từ  1 và  2 , suy ra 1m n  . Chọn C. 
Câu 14. Cho hàm số  f x xác định và liên tục trên  0;1 , thỏa mãn    ' ' 1f x f x  với mọi  0;1 .x  Biết rằng 
   0 1, 1 41.f f  Tính tích phân  
1
0
d .I f x x  
 A. 41.I  B. 21.I  C. 41.I  D. 42.I  
Lời giải. Ta có        ' ' 1 1 .f x f x f x f x C      
Suy ra        0 1, 1 41.0 1 42.f ff f C C     
Suy ra        1 42 1 42f x f x f x f x       
   
1 1
0 0
1 d 42d 42.f x f x x x         1 
 5
Vì        
1 1
0 0
' ' 1 d 1 d .f x f x f x x f x x       2 
Từ  1 và  2 , suy ra    
1 1
0 0
d 1 d 21.f x x f x x    Chọn B. 
Câu 15. Cho hàm số  y f x liên tục trên  và thỏa mãn    3f x f x x  với mọi .x  Tính  
2
0
d .I f x x  
 A. 
4
.
5
I  B. 
4
.
5
I  C. 
5
.
4
I  D. 
5
.
4
I  
Lời giải. Đặt  u f x , ta thu được 3 .u u x  Suy ra  23 1 d d .u u x  
Từ 3u u x  , ta đổi cận 
0 0
.
2 1
x u
x u
   
   
 Khi đó  
1
2
0
5
3 1 d .
4
I u u u   Chọn D. 
Cách khác. Nếu bài toán cho  f x có đạo hàm liên tục thì ta làm như sau: 
Từ giả thiết    
   
   
 
 
3
3
3
0 0 0 0 0
.
2 12 2 2
f f f
f x f x x
ff f
         
    
  * 
Cũng từ giả thiết    3f x f x x  , ta có          3' . ' . . ' .f x f x f x f x x f x  
Lấy tích phân hai vế          
2 2
3
0 0
' . ' . d . ' df x f x f x f x x x f x x      
   
       
4 2 2 22 2
*
0 0
0 0
5
d d .
4 2 4
f x f x
xf x f x x f x x
                   
  
Vấn đề 3. Kỹ thuật tích phân từng phần 
Câu 16. Cho hàm số  f x thỏa mãn    
3
0
. . d 8f xx f x e x  và  3 ln3f  . Tính 
 
3
0
d .f xI e x  
 A. 1.I  B. 11.I  C. 8 ln 3.I   D. 8 ln 3.I   
Lời giải. Đặt 
     
d d
.
d . d
f x f x
u x u x
v f x e x v e
     
   
 Khi đó        
3 33
0
0 0
. . d . d .
f x f x f x
x f x e x x e e x    
Suy ra      
3 3
3
0 0
8 3. d d 9 8 1.
f f x f x
e e x e x       Chọn A. 
Câu 17. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên 0; ,
2
 
 
  
 thỏa mãn  
2
2
0
' cos d 10f x x x

 và  0 3.f  Tích phân 
 
2
0
sin 2 df x x x

 bằng 
 A. 13.I  B. 7.I  C. 7.I  D. 13.I  
Lời giải. Xét  
2
2
0
' cos d 10f x x x

 , đặt    
2
2
d sin 2 dcos
.
d ' cos d
u x xu x
v f xv f x x x
     
   
Khi đó      
2 2
2 2 2
0
0 0
10 ' cos d cos sin 2 df x x x xf x f x x x
 

    
     ... 
9 22
g x g x
g x f x g x
g x
 
      
Suy ra 
 
 
         
0 0
0 0
' 3 3 3 3
d d , 0;1 0 1.
2 2 2 22
t t t tg x
x x t g x x g t g t g t t
g x
            
Do đó  
1 1
0 0
3 7
d 1 d .
2 4
g x x x x
       Chọn B. 
Câu 111. Cho hàm số  f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 , thỏa mãn    
0
2018 2 d
x
f x f t t   với mọi 
 0;1 .x  Biết giá trị lớn nhất của tích phân  
1
0
df x x có dạng 
2ae b với , .a b  Tính .a b 
 A. 0. B. 1009. C. 2018. D. 2020. 
Lời giải. Đặt    
0
2018 2 d ,
x
g x f t t   ta có 
 
   
0 2018
' 2
g
g x f x
 

 
 và    0, 0;1 .g x x   
Theo giả thiết      
   
 
' '
2.
2
g x g x
g x f x g x
g x
     
Suy ra 
 
 
   
0 0
0 0
'
d 2d , 0;1 ln 2
t t t tg x
x x t g x x
g x
      
        2ln ln 0 2 ln 2 ln 2018 2018. tg t g t g t t g t e        
Do đó    
1 1 1 1
2 2 2
0
0 0 0
d d 2018 d 1009 1009 1009.x xf x x g x x e x e e       Chọn A. 
Câu 112. Cho hàm số  f x nhận giá trị không âm và liên tục trên đoạn  0;1 . Đặt    
2
0
1 d .
x
g x f t t  Biết    
22g x xf x 
với mọi  0;1x  , tích phân  
1
0
dg x x có giá trị lớn nhất bằng 
 A. 1. B. 1.e C. 2. D. 1.e 
Lời giải. Từ giả thiết    
2
0
1 d ,
x
g x f t t  ta có 
 
   2
0 1
' 2
g
g x xf x
 
 
 và    0, 0;1 .g x x   
Theo giả thiết        
 
 
2
'
2 ' 1.
g x
g x xf x g x g x
g x
     
Suy ra 
 
 
   
0 0
0 0
'
d 1d , 0;1 ln
t t t tg x
x x t g x x
g x
      
        ln ln 0 ln .tg t g t g t t g t e       
Do đó  
1 1
0 0
d d 1.xg x x e x e    Chọn B. 
Nhận xét. Gọi  F t là một nguyên hàm của hàm số  f t trên đoạn 20; .x    
Khi đó                  
2
/ /2 2 2 / 2 2
0
1 1 0 ' 2 .
x
g x F t F x F g x F x x F x xf x           
Câu 113. Cho hàm số  f x có đạo hàm liên tục trên  0;1 , thỏa      ' 0, 0;1 .f x f x x    Giá trị lớn nhất của biểu thức 
 
 
1
0
1
0 . df x
f x
 bằng 
 A. 1. B. 
1
.
e
e

 C. 
1
.
e
e

 D. 1.e 
Lời giải. Từ giả thiết      ' 0, 0;1f x f x x    ta có 
 
 
 
'
1, 0;1 .
f x
x
f x
   
Suy ra 
 
 
           
0 0
0 0
'
d 1d , 0;1 ln ln ln 0 0 .
t t t t
t
f x
x x t f x x f t f t f t f e
f x
           
 40
Do đó  
 
1 1
0 0
1 1 1
0 . d d .
x
e
f x x
f x ee

   Chọn B. 
Câu 114. Cho hàm số  f x liên tục trên  0; , thỏa mãn    
0 0
d cos d 1.f x x xf x x
 
   Giá trị nhỏ nhất của tích phân 
 2
0
df x x

 bằng 
 A. 
2
.

 B. 
3
.

 C. 
4
.

 D. 
3
.
2
Lời giải. Theo Holder 
       
2
2 2 2 2
0 0 0 0
1 cos d cos d . d . d .
2
xf x x x x f x x f x x
   
     
  
    
Suy ra  2
0
2
d .f x x


 (Đến đây bạn đọc có thể chọn A) 
Dấu '' '' xảy ra khi   cosf x k x thay vào  
0
d 1f x x

 ta được 
 
0
0 0
1 d cos d .sin 0.f x x k x x k x
  
     
Điều này hoàn toàn vô lý. 
Lời giải đúng. Ta có    
 
 
0
0 0
0
cos d
d cos d 1
d
a a xf x x
f x x xf x x
b bf x x

 

   
 

 

 với 
2 2
, 
.
0
a b
a b
 
  

Theo Holder 
         
2
2 2 2
0 0 0
cos d cos d d .a b a x b f x x a x b x f x x
   
      
  
   
Lại có 
   2 2 2
0
1
cos d 2 .
2
a x b x a b

   
Từ đó suy ra  
 
 
2
2
2 2
0
2
d
2
a b
f x x
a b





 với mọi , a b  và 
2 2 0.a b  
Do đó  
 
2
2
2 2
0
2 3
d .max .
2
a b
f x x
a b

 
   
  
    
 Chọn B. 
Nhận xét:  Ta nhân thêm , a b vào giả thiết được gọi là phương pháp biến thiên hằng số. 
 Cách tìm giá trị lớn nhất của 
 
2
2 22
a b
P
a b



 ta làm như sau: 
Nếu 0 1.b P   (chính là đáp án sai mà mình đã làm ở trên) 
Nếu 
 
2
2 2
2 2 2 2
2 1
2 1
0 .
2 2
2
a
t
b
a a
a b t tb b
b P
a b ta
b

        
    
     
 Tới đây ta khảo sát hàm số hoặc dùng MODE 7 dò tìm. Kết quả 
thu được GTLN của P bằng 
3
2
 khi 2 2 2 .
a
t a b
b
     
Vậy dấu '' '' để bài toán xảy ra khi 
   
2
2cos 1
a b
f x b x
 
  
 thay ngược lại điều kiện, ta được 
   
0
1 2 cos 1
2 cos 1 d 1 .
x
b x x b f x

 

      
Lúc này  2
0 0
2cos 1 3
d d .
x
f x x x
 
 
      
 41
Cách khác. Đưa về bình phương 
Hàm dưới dấu tích phân là      2 , , cosf x f x xf x nên ta liến kết với  
2
cos .f x x     
Với mỗi số thực ,   ta có 
          
2 22
0 0 0 0
cos d 2 cos d cos df x x f x x x f x x x x
   
                 
    2 2 2
0
d 2 .
2
f x x


        
Ta cần tìm ,   sao cho   2 22
2

      đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có 
 
2 2
2 2 2 1 3 32 .
2 2
 
      
   
                    
Vậy với 
2 1
;  
 
  thì ta có 
   
2
2
0 0
2 1 3
cos d .f x x f x x
 
  
 
    
  
  
Suy ra    
2
2
0 0
2 1 3 3
d cos .f x x f x x
 
   
 
     
  
  Dấu '' '' xảy ra khi  
2 cos 1
.
x
f x


 
Câu 115. Cho hàm số  f x liên tục trên  0; , thỏa mãn    
0 0
sin d cos d 1.xf x x xf x x
 
   Giá trị nhỏ nhất của tích phân 
 2
0
df x x

 bằng 
 A. 
2
.

 B. 
3
.

 C. 
4
.

 D. 
3
.
2
Lời giải. Liên kết với bình phương  
2
sin cos .f x x x     
Ta có  
2
0
sin cos df x x x x

     
       
   
2 2
0 0 0
2 2
2
0
d 2 sin cos d sin cos d
d 2 .
2 2
f x x x x f x x x x x
f x x
  

   
 
 
      
      
  

Phân tích  
2 22 2 2 2 4
2 .
2 2 2 2
   
   
  
                   
 Chọn C. 
Câu 116. Cho hàm số  f x liên tục trên  0;1 , thỏa mãn    
1 1
0 0
d d 1.xf x x e f x x   Gọi m là giá trị nhỏ nhất của tích phân 
 
1
2
0
d .f x x   Mệnh đề nào sau đây đúng? 
 A. 0 1.m  B. 1 2.m  C. 2 3.m  D. 3 4.m  
Lời giải. Từ giả thiết, ta có 
 
 
1
0
1
0
d
.
d
xa ae f x x
b bf x x
 

 


Theo Holder 
         
21 1 1
22 2
0 0 0
d d d .x xa b ae b f x x ae b x f x x
 
      
  
   
Lại có 
 42
       
1 1
2 2 2 2 2 2 2
0 0
1
d 2 d 1 2 1 .
2
x x xae b x a e abe b x e a e ab b          
Suy ra  
 
   
21
2
2 2 2
0
d
1
1 2 1
2
a b
f x x
e a e ab b


   
 với mọi , a b  và 
2 2 0.a b  
Do đó  
 
   
21
2
2 2 2
0
1 1
d max 1 3,1316.
1 3 11 2 1
2
a b
f x x
e ee a e ab b
          
           
 Chọn D. 
Câu 117. Cho hàm số  f x liên tục trên  0;1 thỏa mãn    
1 1
0 0
d d 1.f x x x f x x   Giá trị nhỏ nhất của tích phân 
 
1
2
0
df x x bằng 
 A. 
2
.
3
 B. 1. C. 
8
.
3
 D. 3. 
Lời giải. Từ giả thiết, ta có 
 
 
1
0
1
0
d
.
d
a a x f x x
b bf x x
 

 


Theo Holder 
         
21 1 1
22 2
0 0 0
d d . d .a b a x b f x x a x b x f x x
         
   
Lại có 
 
1 22
2
0
4
d .
2 3
a ab
a x b x b    
Suy ra  
 
21
2
2
20
d
4
2 3
a b
f x x
a ab
b


 
 với mọi , a b  và 
2 2 0.a b  
Do đó  
 
21
2
2
20
d max 3.
4
2 3
a b
f x x
a ab
b
        
       
 Chọn D. 
Cách 2. Liên kết với bình phương  
2
.f x x     
Ta có  
2
0
df x x x

      
       
   
22
0 0 0
2
2 2
0
d 2 d d
4
d 2 .
2 3
f x x x f x x x x
f x x
  

   

   
      
       
  

Phân tích    
22
224 2 12 1 6 3.
2 3 3 18

      
            
Câu 118. Cho hàm số  y f x có đạo hàm liên tục trên  1;2 , thỏa  
2
3
1
d 31.x f x x  Giá trị nhỏ nhất của tích phân 
 
2
4
1
df x x bằng 
 A. 961. B. 3875. C. 148955. D. 923521. 
Lời giải. Ta có áp dụng hai lần liên tiếp bất đẳng thức Holder ta được 
 43
       
24 2 2 2 32 2 2 2 2 2
4 3 2 4 2 2 4 4
1 1 1 1 1 1
31 d . d d d d d .x f x x x xf x x x x x f x x x x f x x
                                                     
      
Suy ra  
2 4
4
32
1 4
1
31
d 3875.
d
f x x
x x
 
      


Dấu '' '' xảy ra khi  f x kx nên  
2
4 2
1
d 31 5 5 .k x x k f x x     Chọn B. 
Câu 119. Cho hàm số  f x liên tục và có đạo hàm đến cấp 2 trên  0;2 thỏa      0 2 1 2 1.f f f   Giá trị nhỏ nhất của tích 
phân  
2
2
0
'' df x x   bằng 
 A. 
2
.
3
 B. 
3
.
2
 C. 
4
.
5
 D. 
5
.
4
Lời giải. Ta có      
21 1 1 1
Holder2 22
0 0 0 0
'' d 3 d . '' d 3 . '' df x x x x f x x x f x x
              
    
 
     
d '' d
2
 3 ' 1 0 1 ;
u x
v f x x
f f f


     
          
2 2 2 2
Holder2 22
1 1 1 1
'' d 3 2 d . '' d 3 2 . '' d 2f x x x x f x x x f x x
                
    
 
     
2
d '' d
2
 3 ' 1 2 1 .
u x
v f x x
f f f
 

      
Suy ra              
2
2 2 2
0
'' d 3 ' 1 0 1 3 ' 1 2 1f x x f f f f f f                 
     
2
0 2 1 2 3
3. .
2 2
f f f     Chọn B. 
Nhận xét: Lời giải trên sử dụng bất đẳng thức ở bước cuối là 
 
2
2 2 .
2
a b
a b

  
Câu 120. Cho hàm số  f x có đạo hàm trên  1;3 và  1 0,f  
 
 
1;3
max 10.f x  Giá trị nhỏ nhất của tích phân  
3
2
1
' df x x   
bằng 
 A. 1. B. 5. C. 10. D. 20. 
Lời giải. Vì 
 
    0
1;3
max 10 1;3f x x   sao cho  0 10f x  
    1 0 0 1;3
f
x

  sao cho  0 10.f x  
Theo Holder 
       
0 0 0 0
2
2 22
0
1 1 1 1
' d 1 d . ' d 1 . ' d .
x x x x
f x x x f x x x f x x
               
    
Mà         
0
0
2 2
2
0
1
1
' d 1 10.
x x
f x x f x f x f
               
 
Từ đó suy ra  
0
2
01
10
' d
1
x
f x x
x
    
   
03
2 2
01 1
10 10
' d ' d
1 3 1
x
f x x f x x
x
            
. Chọn B.