Ôn tập Toán 12 - Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 A.TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
I.Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C ) là đồ thị hàm số . M( là một điểm thuộc đồ thị (C) ta có: Đạo hàm của hàm số tại điểm là hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm M(.
 Chú ý: Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường cong (C ) tại điểm M(người ta còn gọi là độ dốc của đồ thị (C ) tại M ( hay tại x0).
II. BA BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN.
 Cho hàm số có đồ thị (C) các câu hỏi về phương trình tiêp tuyến của (C ) thường đươc đặt ra dưới ba dạng cơ bản sau:
a.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(thuộc (C) khi đó M là tiếp điểm.
b.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) khi biết hệ số góc của tiếp tuyến ( hệ số góc của tiếp tuyến có thể cho trực tiếp hoặc gián tiếp).
c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(.(M( có thể thuộc hoặc không thuộc (C)
Bài toán 1: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm .
 Cách giải 
* Tính 
* Tính 
* Thay vào công thức pt tiếp tuyến ta có .
Ví dụ 1: Cho hàm số .
1Chứng minh U(1; -1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.
2.Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại U(1; -1).
3. Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến khác của đồ thị hàm số đều không đi qua U.
4. Chứng minh rằng trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến tại U có hệ số góc nhỏ nhất
Bài giải:
* Câu1.
Dùng phép đổi hệ trục tọa độ . 
Đối với hệ trục mới IXY với I(1; -1) hàm số đã cho trở thành
là một hàm số lẻ suy ra đồ thị hàm số nhận U(1;-1) 
làm tâm đối xứng
* Câu 2.
Cách1 sử dụng trưc tiếp công thức y = 
Suy ra tiếp tuyến của đồ thị tại U(1; -1) có phương trình là y = -3(x-1)-1
Hay y = -3x + 2 .
Cách 2 ( Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị của hai hàm số: hai đồ thị của hai hàm số tiếp xúc nhau thì tại tiếp điểm hoành độ x phải có
).
 Cụ thể
Gọi tiếp tuyến cần tìm là y = ax + b, vì tiếp tuyến đi qua điểm U(1; -1) nên b = -a-1
Suy ra y = ax –a -1. Đường thẳng đó tiếp xúc với đồ thị hàm số thì tại tiếp điểm x phải có 
Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình là y = -3x + 2
Cách 3 Gọi tiếp tuyến tại điểm U(1;-1) là y = ax + b. Do tiếp điểm là U có hoành độ bằng 1 nên 
a = .
Mặt khác U1; -1) nằm trên đường thẳng là y = ax + b nên -1 = a + b suy ra b = 2
Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = -3x + 2.
Câu 3 Giả sử có một tiếp tyến khác của đồ thị tại điểm A(x1;y1) đi qua điểm U(1,-1)
Tiếp tuyến đó có phương trình là với .
Vì 
Mặt khác tiếp tuyến này đi qua điểm U(1;-1) nên
-1 = . Điều này mâu thuẫn với giả thiết x khác 1. Vậy mọi tiếp tuyến khác của đồ thị đều không đi qua U(1; -1).
Câu 4 Tiếp tuyến của đồ thị tại U(1;-1) có hệ số góc k = -3
 Tiếp tuyến của đồ thị tại A(x; y) bất kì có hệ số góc k = 3x2-6x = 3(x-1)2 -3 -3
Vậy tiếp tuyến của đồ thị tại U có hệ số góc nhỏ nhất.
Bài toán 2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến có hệ số góc k
 Cách giải
* Gọi x1 là hoành độ của tiếp điểm khi đó (1)
* Giải phương trình (1) với x1 là ẩn số. Tìm x1 .Giải tiếp như bài toán 1 với chú ý không phải tính vì đã có hệ số góc của tiếp tuyến bằng k
Thay x1 tìm được vào hàm số tính y1= 
Phương trình của tiếp tuyến là 
Chú ý Việc cho hệ số góc của tiếp tuyến có thể cho theo hai cách
+ Cách cho trực tiếp
*Hệ số góc bằng k
*Độ dốc của đồ thị tại tiếp điểm bằng rad ( hoặc a độ )
*Tan trong đó là góc tạo bởi tiếp tuyến với chiều dương trục Ox trong trường hợp này tan chính là hệ số góc k
+ Cách cho gián tiếp
*Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b. Trường hợp này k = a.
*Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b. Trường hợp này k = .
Ví dụ 1 Cho hàm số 
1.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 2.
2.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
y = x – 1.
3.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng .
Ví dụ 2 :Cho hàm số có đồ thị (C)
1.Chứng minh rằng trên đồ thị (C) không tồn tại điểm mà tại đó tiếp tuyến với đồ thị song song với trục hoành.
2.Tìm trên đồ thị (C) những điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
3.Chứng minh trên đồ thị (C) không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
4. Với giá trị nào của k trên (C) tồn tại điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó vuông góc với đường thẳng y = kx ( K)
Hướng dẫn 
*Câu 1: Giải phương trình ( vô nghiệm) không tồn tại điểm trên (C ) thỏa mãn.
*Câu 2: Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình y = x. Gọi x1 là hoành độ điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x thì 
 Kết luận: có hai điểm thỏa mãn A(0; 1). B(
*Câu 3: Nếu có hai điểm trên (C ) có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn thì
 suy ra không tồn tại hai điểm thỏa mãn bài toán.
*Câu 4: Muốn thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phải tồn tại giá trị x0 sao cho :
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
Do .
Ví dụ 3 : Cho hàm số . Chứng minh rằng trên đồ thị của hàm số tồn tại vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại các cặp điểm đó song song với nhau.Đồng thời chứng minh rằng các đoạn thẳng nối các cặp điểm ấy luôn đồng qui tại một điểm.
Bài giải: Xét phương trình 
Ta có phương trình (*)
Vì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*)
Phương trình (*) có với mọi k < 0 suy ra (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với mọi k < 0. Vì có vô số k < 0 nên trên đồ thị hàm số có vô số cặp điểm thỏa mãn điều kiện bài toán.
Xét phương trình (*) với k < 0 . Gọi hai nghiệm phương trình là x1 , x2
Theo Vi ét ta có 
Điều đó chứng tỏ điểm I(1;1) là trung điểm của mọi cặp điểm trên đồ thị hàm số có cặp tiếp tuyến tại đó song song với nhau suy ra các đoạn thẳng nối các căp điểm đó đồng qui tại I(1;1).
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
A(x0; y0) .
 Cách giải
-Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0;y0) và có hệ số góc k ,(d):
- Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tại tiếp điểm có hoành độ x phải có
- Giải hệ phương trình (*) tìm được x thay vào tìm k . Thay k vào phương trình của (d) ta có phương trình các tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số .Biết tiếp tuến đi qua điểm .
Bài giải : Đường thẳng (d) có hệ số góc k và đi qua thì (d) : 
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì tại tiếp điểm x ta có:
Từ hệ trên suy ra 
Với x = 0 Thì k = 3 phương trình tiếp tuyến là 
Với x = 3 thì k = 0 phương trình tiếp tuyến là y = -
Vậy có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm là.
Ví dụ 2: Từ gốc tọa độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàn số y.
Bài giải: Đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ với hệ số góc k thì (d): 
Đường thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) thì tại tiếp điểm có hoành độ x phải có 
Thay k từ (2) vào (1) ta có 
Với 
Với 
Vậy từ gốc tọa độ kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số là 
Chú ý : Phương pháp giải như trên gọi là phương pháp giải tích . Hiện nay một số sách bài tập cũ và sách tham khảo theo sách giáo khoa cũ sử dụng phương pháp nghiệm kép để giải (PP Đại số) phương pháp này chỉ đúng khi hàm số f(x) là hàm số bậc 2 vì vậy khi làm bài thi không sử dụng PP này cho hàm số có bậc lớn hơn 2. Phương pháp giải tích cũng có thể trình bầy lời giải như sau 
Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1).
Bài giải: Gọi Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại M0 là 
Do (d) đi qua điểm 
Thay vào phương trình của (d) ta có
Vậy qua điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho là 
Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ.
2.Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C).
3. Tìm những điểm N trên đường thẳng (d): y = 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến (C).
Bài giải.
1. Gọi .Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại T là:
(d) đi qua O(0;0) nên
Thay các giá trị của vào phương trình của (d) ta được 3 tiếp tuyến của (C) kẻ từ O(0; 0) là
.
2. 
Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại T là:
d) đi qua M(0;a) nên a (*)
Do hệ số góc của tiếp tuyến là k = nên hai giá trị khác nhau của cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau
Vậy từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
Đặt ta có phương trình 
Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (**) có 2 nghiệm phân biệt
Vậy từ những điểm M(0;a) với kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số đã cho.
3. 
Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại T là:
d) đi qua M(a;3) nên 
(Do không phải là nghiệm của (*))
Đặt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi X 
Ta có phương trình 
Do hệ số góc của tiếp tuyến là k = nên hai giá trị khác nhau của cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau
Vậy từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C) khi và chỉ khi phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt
 khi và chỉ khi (**) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Phương trình (***) có 2 nghiệm phân biệt 
Vậy từ những điểm M(a;3) trên đường thẳng y = 3 với kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số đã cho.
Ví dụ 5:Cho hàm số có đồ thị (C).
1 Viết phương trình tiếp tuyến củ đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm .
2.Tìm trên đường thẳng (): các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài giải:
1.Gọi Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại M0 là 
Do (d) đi qua điểm 
Thay vào phương trình của (d) ta có
Vậy qua điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho là .
2.
Phương trình tiếp tuyến(d) của (C) tại T là:
(d) đi qua M(a;-2) nên 
+ tiếp tuyến (d1): trùng với đường thẳng (), không có tiếp tuyến nào của đồ thị vuông góc với tiếp tuyến (d1)
+ Từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì hoành độ hai tiếp điểm phải là hai nghiệm phân biệt của phương trình 
Phương trình (*) có hai nghiệm khi và chỉ khi
Với điều kiện (**) thì từ M kẻ được 3 tiếp tuến đến (C) trong đó có tiếp tuyến là đường thẳng (d1) y = -2 tiếp điểm có hoành độ . Hai tiếp tuyến (d2) và (d3) có hoành đọ tiếp điểm là hai nghiệm của phương trình (*) Gọi hoành độ hai tiếp điểm là 
Hệ số góc của (d2) là 
Hệ số góc của (d3) là 
(d2) và (d3) vuông góc vơi nhau khi và chỉ khi 
Theo Vi ét ta có 
Suy ra 
Vậy từ điểm kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) của hàm số đã cho và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
III BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị mỗi hàm số sau 
1. tại điểm có hoành độ 
2. tại điểm có hoành độ 
3. tại điểm có hoành độ 
4. tại điểm có hoành độ 
Bài 2:
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng1 
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 
3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Bài 3:Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm mà từ đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với (C)
Bài 4:Cho hàm số có đồ thị (C)
1. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
2.Tìm k để trên (C) có ít nhất một điểmmà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng y = kx
Bài 5: Cho hàm số có đồ thị (C) viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2; 5).
Bài 6:Cho hàm số có đồ thị (C) .
1. M là điểm trên (C) có hoành độ a. Chứng minh phương trình hoành độ điểm chung của (C) và tiếp tuyến với (C) tại M là .Suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có nhiều nhất hai điểm chung với (C). 
2, Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm N khác M. Tìm quĩ tích trung diểm của MN.
Bài 7. Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với đồ thị hàm số hai lần tại hai điểm phân biệt M1, M2 có hoành độ x1, x2 . Tính x1, x2.