Ôn tập Toán 12 (Tích phân)

NGUYÊN HÀM
Định nghĩa nguyên hàm :
Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác định trên tập D.
F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) Û F’(x) = f(x), "xỴD
Định nghĩa tích phân không xác định :
Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác định của hàm f(x).
Ký hiệu : 
Bảng các nguyên hàm :
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân xác định :
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K
F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác định của f(x) trên [a;b]
Ký hiệu : 
Ta có : 
Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x)
a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân
Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b Ỵ K
1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;
8) ;
9) .
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Diện tích hình phẳng :
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó y1, y2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau :
Thể tích vật thể tròn xoay :
Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : 
Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thị là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : 
CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC
Tính tích phân : 	(Đại học khối A – 2004)
Tính tích phân : 	 	 (Đại học khối A – 2003)
Tính tích phân : 	(Dự bị 2 – Đại học khối A – 2003)
Tính tích phân : 	(Đại học khối A – 2005)
Tính tích phân : 	(Đại học khối A – 2006)
Tính tích phân : 	(Đại học khối B – 2004))
Giải: 
Tính tích phân : 	(Đại học khối B – 2006))
7) Tính tích phân : 	 (Đại học khối B – 2005)
Tính tích phân : 	(Đại học khối B – 2003)
Tính tích phân : 	(Dự bị 1 – Đại học khối B – 2004)
Tính tích phân : 	(Đại học khối D – 2005)
Giải: 
Tính tích phân : 
Giải 
Tính tích phân : 
Giải: 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 	(Đại học khối D – 2004)
Tính tích phân : 	(Đại học khối D – 2006)
Tính tích phân : 	(Dự bị 1 – Đại học khối A – 2003)
Tính tích phân : 	(Dự bị 1 – Đại học khối D – 2003)
Tính tích phân : 	(Dự bị 1 – Đại học khối D – 2004)
Tính tích phân : 	(Đại học khối D – 2003)
Giải phương trình x2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1
x
-∞	0	1	2	+∞
x2 – x
	+	0	–	0	+	+
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + ex)x	(Đại học khối A – 2007)
Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường 	(Dự bị 1 – Đại học khối A – 2004)
Tính tích phân : 	(Dự bị 2 – Đại học khối A – 2004)
Chứng minh rằng : 
Chứng minh rằng : 
Chứng minh rằng : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Xác định các hằng số A, B sao cho : 
 Dựa vào kết quả trên, hãy tìm : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 	(CĐ KT Đối ngoại khối A, D – 2005)
Tính tích phân : 	(HK2 – Sở GĐ TPHCM – 2004 – 2005)
Tính tích phân : 
Cho . Tính I bằng cách đặt 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x + y = 0 và x2 – 2x + y = 0
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường : . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy.
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Giải phương trình : 
Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k.
Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất.
d
P
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : bằng cách đổi biến t = –x
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3.
Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox	(Đại học khối B – 2007)
Tính tích phân : 	(Dự bị – Đại học khối B – 2006)
Cho miền D được giới hạn bởi hai đường : x2 + y – 5 = 0 ; x+ y – 3 = 0. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên khi quay miền D quanh trục hoành.
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
x
	 -2	0	2	3
H
	0
	+	0	– 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Gọi H = x – 1. H = 0 Û x = 1. 
x
	 0	1	 2
H
	–	0	+
Gọi G = x2 – x. G = 0 Û x = 0 V x = 1
x
	 0	1	 2
G
	0
	–	0	+
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên và tuần hoàn với chu kỳ T thì : 
Áp dụng, tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Giải phương trình theo ẩn x : 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 5
Cho hình giới hạn elip : quay quanh trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên.
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi đường tròn tâm I (3;0), bán kính R = 2.
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : 	(Đại học khối B – 2002)
Tính tích phân : 
Tính tích phân : 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : 
(Đại học khối A – 2002)
x
	0	 5 	5
	0
	–
	0
x
	0	 1	 3	5
	+	 0 	–	0	+