Ôn tập Toán 12 - Học kỳ 1

ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011
PHần I. CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH
Bài 1 : Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau :
a) trên đoạn . 
b) , trên đoạn 
c) , trên đoạn 
d) , trên đoạn 
e) 
f) , trên đoạn [-1;2] 
Giải.
a. Xét hàm số trên đoạn . Đạo hàm : . 
Ta có : .Vậy: ; .
b. Xét h/s : , trên đoạn . Đạo hàm : . .
Lại có : ; f. 
Như vậy :,đạt được khi x = ;,đạt được khi .
c. Xét hàm số : , trên đoạn . TXĐ : D = (0;+∞) .
Đạo hàm : ; . Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e3) = 0 . 
Vậy : , đạt được khi x = e ; , đạt được khi x = e3 . 
d. Xét hàm số :, trên đoạn . Đạo hàm : ; . 
Ta lại có : . Vậy:, đạt được khi x = ;, khi x = ln2 .
e. Xét hàm số : . TXĐ : D = [-2;2] .
Đạo hàm : .
Lại có : f(-2) = -2 ; ; f(2) = 2 .
Vậy : , đạt được khi x = -2 ; , đạt được khi x = .
f. Xét hàm số : , trên đoạn [-1;2] . TXĐ : D = [-1;2] .
Đạo hàm : ; .
Lại có : f(-1) = 0 ; f(1) = .Như vậy : , đạt được khi x = -1 ; , khi x = 1 . 
Bài 2: H/số : . (1)
1) Với m = 1
a. Khảo sát và vẽ đồ thi (C) của hàm số.
b. Viết PT tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 6x - 6 
2) Tìm m để đồ thi hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt.
3) Tìm k để PT có nghiệm duy nhất
Giải
1) a.Với m = 1, h/số (1) trở thành : y = . TXĐ : D = R
Giới hạn ,tiệm cận : ; .Suy ra, ĐTHS kg có tiệm cận .
Đạo hàm : ; .
Bảng biến thiên :
x
-∞ 1 3 +∞
f'(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
 +∞
-∞ 0
 Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) .
 Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ; yCĐ = . H/số đạt cực tiểu tại x = 3 ; yCT = 0 .
Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số .
b. Xét hàm số : y = . Có đồ thị h/số (C) . TXĐ : D = R . Đạo hàm : f'(x) = 2x2 - 8x + 6 .
Hoành độ tiếp điểm của ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - 6 là nghiệm của phương trình : 2x2 - 8x +6 = 6 .Với x = 4, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) y = 6x - .
 Với x = 0, pttt của ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) y = 6x .
2. ycbt ,có 3 nghiệm p/biệt.
3. PT : .Như vậy : Với 0 < hay 0 < k < 4 thì pt có 3 nghiệm phân biệt . Với thì pt có 2 nghiệm phân biệt . Với thì pt có 1 nghiệm duy nhất .
Bài 3 :
Cho h/số : y = 
1) m = 1 khảo sát và vẽ đồ thi hàm số.
2) Tìm m để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y = x 
 1. Khi m = 1, h/s trở thành : (*). Bạn đọc tự khảo sát và vẽ ĐTHS (*) .
 2. Xét h/số : y = TXĐ : D = R . Đạo hàm : y' = 3x2 - 3mx.
Để hàm số có cực trị thì pt : y' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Do đó : .
Giả sử A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị của h/số . 
Suy ra : x1 , x2 là hai nghiệm của pt : 3x2 - 3mx = 0 . Suy ra A .
Suy ra : và M là trung điểm của AB . Và là vtcp cuả đ/thẳng : y = x .
Ycbt . 
Bài 4 : 
Cho h/s : 
1) Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số.
2) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoàng độ bằng 1.
3) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến vuông góc với đường thẳng y = x +2011
4) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến qua A(5; 3)
5) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến biết tiếp tuyến tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 1/8
6) Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số 
Giải
1.. Xét h/s : . TXD : D = R\{3} .
Giới hạn, tiệm cận : . Suy ra, h/số có tiệm cận ngang là đ/thẳng : y =1 .
 	 	. Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng : x= 3 .
Đạo hàm : . Suy ra, h/s nghịch biến trên toàn tập xác định .
x
-∞ 3 +∞
f'(x)
_
_
f(x)
1
 -∞
+∞
 1
Bảng b/thiên 
. 
Bạn đọc tự vẽ ĐTHS.
2.Pttt của (C) tại x0 = 1 có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + 1 = -1(x - 1) .
3.Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 là ng của pt : y' . 1 = -1.
 Từ đó tìm ra các giá trị của x ta sẽ viết được các pttt cần tìm. ĐS :có hai pttt thảo mãn là .
4. Pttt đi qua điểm A(5;3) có dạng (): y = k(x - 5) + 3 . Đ/thẳng () tiếp xúc với ĐTHS (C) khi hệ sau có nghiệm :
.Thay vào ta đc (): y = -x + 8.
5. Gọi M là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến. Pttt tại M của (C) có dạng (): .
 . Toạ độ giao điểm A của () và Ox là ng của hệ :
. Vậy A. Tương tự, ta có B.
Diện tích : (đ.v.d.t)
Do = 1/8 nên . Giải ra các giá trị của a thay vào () ta được các pttt. 
Đáp số : Có hai pttt thoả mãn là ; .
6. Bạn đọc tự vẽ ĐTHS : (C) . Lưu ý : Ta có . Do đó ĐTHS (C) gồm :
Phần từ trục Ox trở lên của ĐTHS , và phần đối xứng phần ĐTHS ở dưới trục Ox qua trục Ox .
Bài 5 :
Cho h/số : .
1) Biết đồ thi hàm số cắt oy tại A(0;-3) , hãy khảo sát hàm số.
2) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm tại điểm uốn.
3) Tìm m để hàm số có 3 điểm cục trị.
4) Tìm k để PT : 4x2 – x4 + log k = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
1. Do (Cm) cắt Oy tại điểm A(0;-3) nên toạ độ của A chính là nghiệm của pt: .
Thay vào ta có : .
Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C) .
2. y'' = 12x2 - 8 ; y'' = 0 (vì x0 > 0) . Suy ra pttt cần tìm là : y = .
3. Để h/số có 3 điểm cực trị thì pt: y' = 4x3 - 4(m+1)x = 4x3 - 4(m+1)x = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
 Suy ra pt : x2 - (m+1) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0. Để thoả mãn điều này thì m+1 > 0 hay m > -1 .
4) HS tự giải
Bài 6 : 
Giải các PT và BPT sau:
1) 
2) 3.4x + 8.6x + 4.9x > 0
3) 
4) 
5) lg2x - 3lgx = lgx2 – 4
Giải
1). .
2). Ta thấy : 4x > 0 ; 6x > 0 ; 9x > 0.Nên: 3.4x + 8.6x + 4.9x > 0,.Suy ra pt đã cho vô nghiệm .
Ta có thể giải bằng cách chia cả hai vế của pt đã cho cho 22x,sau đó giải tiếp.
3)..
4) 
Từ đó giải tiếp ta được nghiệm là x = 2.
5) lg2x - 3lgx = lgx2 - 4.
Bài 7 : Giải các BPT và hệ sau.
1) . 4x - 1 - 16x < 2log48
2) 
3) 
4) 
Giải
 1) . 4x - 1 - 16x < 
BPT trên nghiệm đúng với mọi x .
2) . 
3) . .
Giải tiếp hệ trên ta được kết quả. ĐS : .
4). Đặt . Khi đó : .
Thay vào, ta được : .
f. .
Bài 8 : Tính.
1) .
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Giải
1) Tự giải
2. .
3. .
4. .
5 . Đặt ex + 1 = t, . Suy ra : .
6. Đặt .Suy ra:.
7. .
8) Tự giải
Bài 9 :	 
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.. Góc tạo bởi mặt bên và đáy bằng 450. Tính thể tích hình chóp.
Giải 
Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC). Do S.ABC là hình chóp đều nên O
Cũng là trọng tâm, trực tâm của đều . 
Gọi H là trung điểm của AB. Dẽ dàng c/minh : SH. S
Tam giác SAH : cos. 
Do Tam giác ABC đều cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH = (đ.v.đ.d) . 
Và CO = . Suy ra = . A C
Diện tích tam giác đều ABC cạnh a là : (đ.v.d.t) . H O
Do đó : (đ.v.t.t) . 	B
	 A C
Bài 10 :
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A’B tạo với đáy góc 600. 
Tính thể tích khối lăng trụ .
Giải
Ta thấy hình chiếu của A' trên mp(ABC) là điểm A. 
Suy ra: hình chiếu của cạnh A'B trên mp(ABC) là AB . 
Xét vuông tại A và có , nên : A'A = AB.tan= a.tan 600 	 
hay A'A = (đ.v.đ.d). 
Mặt khác : là tam giác vuông cân tại B nên diện tích là : 
Do đó : Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là :	 A' C'
 (đ.v.t.t) .
D'
 B
D
 B’
S
 Bài 11:
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với MP(ABCD) 
và SA = . MP qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC, SD lần lượt tại B’, C’ D’.
1) Tính: Thể tích khối chóp S.ABCD
2) Thể tích khối chóp S. AB’C’D’
Giải
a. Bạn đọc tự làm . ĐS : (đ.v.t.t). S
b.Lấy O làm tâm của hình vuông ABCD hay O = .
C
SO cắt B'D' tại H. Kéo dài AH cắt SC tại C' . 
Ta có : BC và BC nên BC. ' 
Lại có AB' nên suy ra AB' .
Tương tự, ta có : . Suy ra : SC (đ.p.c.m) .
c. Có AC = = SA . Suy ra vuông cân tại A. 
AC' C' là trung điểm của SC => SC' = 0,5.SC = 0,5= a . 
Ta có : , .
Mặt khác : ₪ 
 Tương tự, ta có: . 	
A
Do .
C
 Suy ra : (đ.v.t.t) . 
Bài 12 : Tứ diện ABCD có các cạnh bằng 1. Xác định bán kính mặt câu ngoại tiếp tứ diện.
Giải
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpBCD, O' là tâm đường tròn 
ngoại tiếpACD và I =.Ta có: I AO cách đều 3 điểm B,C,D
và I BO' cách đều 3 điểm A,C,D. Suy ra I cách đều 4 điểm A,B,C,D.
Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . 
Độ dài BO là :	B D
BO = 
 . Bán kính R = AI = (đ.v.đ.d). 
PHẦN II. ĐỀ LUYỆN
PHẦN CHUNG.
CÂU I. Cho hàm số: y = 
Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
Tìm m để PT: x4 – 6x2 + 3 = m vó 4 nghiệm phân biệt.
Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 
CÂU II.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = trên đoạn [1; e2 ].
Cho hàm số: có đồ thị là (C ). S là điểm bất kì thuộc (C ), tiếp tuyến với (C ) tại S cắt 2 tiiệm cận tại P và Q. CMR: S là trung điểm của PQ.
CÂU III. 
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = . Các cạnh A’A, A’B, A’C tạo với đáy các góc bằng nhau. Góc tạo bởi mp’(A’AC) với đáy (ABC) góc 600.
1) Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’.
2) Gọi M là trung điểm A’C’, AM cắt A’B tại S. Tính thể tích hình chóp S.ABC.
B. PHẦN RIÊNG.
I. BAN CƠ BẢN
CÂU Iva. Với giả thiết ở câu III, gọi O là trung điểm của AM. Tính khoẳng cách từ O đến mp’(A’BC)
CÂU Va. Giải PT: 
CÂU Via. Tính 
II. BAN NĂNG CAO
CÂU Ivb. Với giả thiết ở câu III. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC.
CÂU Vb. Giải PT: 
CÂU VIb. Giải hệ PT: