Ôn tập Toán 12 - Hồ Văn Hoàng

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1; 2; ; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến. 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:
a) y = x3 – 3x2 + 2 ; b) y = − x4 + 4x2 – 3 c) ; d) e) y = x – ex 
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. 
‚ Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
ƒChứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +). 
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước 
Phương pháp:	Ÿ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. 
 	Ÿ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai. 
Ÿ f(x) đồng biến trên K Û f’(x) ≥ 0; "x Î K ( Û )	
Ÿ f(x) nghịch biến trên K Û f’(x) ≤ 0; "x Î K ( Û)
Hàm số bậc 3
Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0)
Ÿ Hàm số tăng trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ³ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. 
Ÿ Hàm số giảm trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. 
Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0
Hàm số nhất biến : 
Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/
Ÿ Hàm số tăng (giảm) trên (-∞; -d/c) và (-d/c; +∞) Û: y/ > 0 ( y/ 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0. 
Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x; m) đồng biến trên K”. (nâng cao)
B1. Tính đạo hàm f’(x; m). 
B2. Hàm số đồng biến trên K Û f’(x; m) ³ 0; "x Î K Û m ³ g(x); "xÎK (m £ g(x)) 
B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m. 
 Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R. 
‚ Cho hàm số 
a. Định m để hàm số luôn đồng biến; 	b. Định m để hàm số luôn nghịch biến. 
ƒ Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . 
„ Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R
… Định m để hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
† Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . 
Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số
Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)
Qui tắc I
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó 
f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. 
B3. Lập bảng biến thiên. 
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị
Qui tắc II
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. 
B3: Tính f ”(xi)
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị
Ÿ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; 
Ÿ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi
Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. 
Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10
Qui tắc I
Ÿ D = R; Ÿ 
Ÿ BBT
Qui tắc II
Ÿ D = R; Ÿ 
Ÿ y”= 12x + 6
y’’(2) = 30 > 0 nên 
 hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54
y’’(−3) = −30 < 0 nên 
 hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71
Vậy điểm cực đại M(-3; 71)
 điểm cực tiểu N(2; − 54)
Tìm cực trị của các hàm số sau:

‚
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a
B1: Tính y’ = f’(x). 
B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT)
Nhớ : Ÿ y’’(xo) ≠ 0 cực trị ; Ÿ y’’(xo) 0 cực tiểu. ; 
Ví dụ . Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2
Ta có . 
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 
Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : 
Dùng QT I hoặc II ta có tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
 Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2. 
‚ Tìm m để hàm số có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT
ƒ Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1. 
„ Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. 
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 Û ax2 + bx + c; đồ thị (C). 
Ÿ hàm số có 2 cực trị. 
Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ. yCT < 0. 
Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ. xCT < 0. 
Ÿ hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi. 
Ÿ hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi. 
Ÿ đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ. yCT = 0
1. Tìm m để các hàm số sau có cực trị : 
a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m; b) 
2. Tìm m để hàm số sau không có cực trị y = (m − 3)x3 − 2mx2 + 3. 
Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Cách 1 B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)
 B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên
Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định
Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]
B1: Tìm xi Î[a; b](i = 1; 2; . . . ; n) làm cho đạo hàm = 0 hoặc không xác định 
B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b). 
B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b)} 
 GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); ; f(xn); f(b)}
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng 
Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên 
. Lập BBT
KL: = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số trên đoạn [−4; 0]
Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0]. f’(x) = x2 + 4x +3; 
f’(x)=0 Û. 
Vậy: f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; f(x) = f(−4) = f(−1) =
Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):
 a) y = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên [−4; 4]; 	b) y = x3 + 5x – 4 trên [−3; 1]
 c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; 	d) y = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên [−4; 3]
‚ a) y = / (−2; 4]; b) y = x + 2 +trên (1; +∞); c) y=trên; 
d) y = x; e) y = x2. ex / [−1; 1]; f) y = / [e; e3]; g) y= ln(x2 +x−2) / [ 3; 6]
ƒ a. / ()
b. trên ( )
c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2; 0] ()
d. f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5; m = )
e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + 5 ( M = 9; m = −11)
Vấn đề 4. Khảo sát hàm số
Ÿ Tìm tập xác định của hàm số .
Ÿ Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0.
Ÿ Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Ÿ Lập bảng biến thiên.
Ÿ Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị.
Ÿ Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)
− Xét y’ = 0 : D ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên R
 D > 0 có 2 điểm cực trị.
− Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm của phương trình 
Ÿ Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)
− Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0)
− Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ÿ Hàm nhất biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0)
− Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −) và (−; +∞).
− Tiệm cận đứng: x = −; tiệm cận ngang y = .
− Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị:
a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và : 
Ÿ Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : .
Ÿ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường.
b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình
Ÿ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại)
Ÿ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d).
Ÿ Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) 
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
 Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) )
a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo).
b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng tìm x0 ; tìm y0.
Ÿ Tiếp tuyến D // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a Û f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . 
Ÿ Tiếp tuyến D ^ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = Û f’(x0 ) = ; 
giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . 
Dạng 3: Điểm cố định của họ đường (Cm): y=f(x, m)
A(x0, y0) là điểm cố định của (Cm) Û A(x0, y0) Î (Cm), "m
Û y0 = f(x0, m), "m Û Am2 + Bm + C = 0, "m hoặc Am + B = 0, "m
Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định. (dồn m, rút m, khử m)
Dạng 4: Tập hợp điểm M(x; y)
Ÿ Tính x và y theo tham số . Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y. 
Ÿ Giới hạn quỹ tích (nếu có). 
Dạng 5: CMR điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C):y=f(x)
Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo . 
Công thức đổi trục: . Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X)
Cminh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C). 
Dạng 6: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). 
Dời trục bằng phép tịnh tiến . Công thức đổi trục 
Thế vào y = f(x) ta được Y= f(X). C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. 
Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). 
CÁC BÀI TOÁN THI VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)2 có đồ thị (C) , 
Khảo sát hàm số . 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành . 
Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt O; A; B . 
Bài 2 Cho hàm số y = 1 – có đồ thị (C) . 
Khảo sát hàm số . 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 6 –x. 
Bài 3 Cho hàm số y = f(x) = 3 – 2x2 – x4. 
Khảo sát hàm số . 
Gọi (C) là đồ thị ở câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox 
Bài 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C) , 
1. Khảo sát hàm số . 	
2. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm A(3; –2) . 
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (D) ; Oy . 
Bài 5 Cho hàm số , có đồ thị (C) 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3. 
 Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = –2 . 
3. Chứng minh rằng với mọi k 0 đường thẳng y = kx cắ (C) tại 2 điểm phân biệt . 
Bài 7 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C) . 
Khảo sát hàm số . 
Gọi A là điểm uốn của (C), B là điểm thuộc (C) có hoành độ x = 3 . Viết các phương trinh tiếp tuyến của (C) tại A và B . Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến . 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB và các đoạn thẳng AD ; BD . 
Bài 8 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) . 
Khảo sát hàm số . 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng x – y + 2 = 0 . 
Bài 9 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 
Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . 
Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 –6x2 +9x –m =0 
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , các đường thẳng x =1  ... theo a. 	
ĐS: a. ; b. 
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. 
Biết AB=a; ; SA=3a. 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Gọi I là trung điểm của SC. Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B; SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. Tính thể tích khối chóp S.ABC. 	ĐS: 
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA=AC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.ĐS: 
ĐS: a)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh . 
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b. Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.	
ĐS: 
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a; bán kính đáy r=1;5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a.
Cho hình chữ nhật ABCD; có AB=a; AC=. Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích khối trụ được sinh ra bởi hình chữ nhật nói trên khi nó quay quanh cạnh BC.
ĐS: ; ; .
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’=a; AB=b; AD=c. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp. Tính thể tích khối cầu. ĐS: 
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC=a; góc . Đường chéo BC’ của mặt bên tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300.
a. Tính độ dài đoạn AC’. b. Tính thể tích khối lăng trụ. ĐS: a. AC’=3a; b. .
KHỐI TRÒN XOAY
Bài 1 : Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a và đường sinh bằng 2a. ĐS : Sxq = ; V = 
Bài 2 : Cho hình lập phương cạnh a . Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ ngọai tiếp hình lập phương .	ĐS : Sxq = ; V = 
Bài 3 : Cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 6cm ; một mặt phẳng qua trục của hình trụ cắt hình trụ theo thiết diện (S) có diện tích bằng 48cm2 . 
1/. Tính chu vi của thiết diện (S).	ĐS : 1/. 28cm
2/. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ (T). ĐS Sxq = (cm2) ; V = 96p 
Bài 4 : Cho hình trụ (T) có diện tích đáy S1 = 4pa2 và diện tích xung quanh bằng S . 
1/. Tính thể tích của (T) .	ĐS : aS
2/. Cho S = 25a2 ; Tính diện tích thiết diện qua trục của hình trụ (T). ĐS : 
Bài 5 : Cho hình trụ (T) có bán kính đáy R = 10cm; một thiết diện song song với trục hình trụ ; cách trục một khoảng 6cm có diện tích 80cm2 . Tính thể tích khối trụ (T). ĐS : 500p 
Bài 6: Cho hình nón có bán kính đáyR và góc giữa đường sinh và mp chứa đáylà a.
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón ĐS : V = ; Sxq = 
2/. Tính diện tích của thiết diện qua trục của hình nón . ĐS : R2 tan a 
Bài 7 : Cho hình nón đỉnh S có đường sinh bằng R và thiết diện qua trục của hình nón là tam giác SAB có góc ASB là 600 .
1/. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón 
2/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình nón .
3/. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp hình nón .	
ĐS : 1/. V = ; Sxq = 	2/. 	3/. 
Bài 8 : Một hình nón có diện tích xq là 20p (cm2) và diện tích toàn phần là 36p(cm2) . Tính thể tích khối nón .	ĐS : V =36p (cm3 )
Chủ đề 7 TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho
a) CMR : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng. Tính diện tích tam giác ADC.
b) CMR : 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.
a) Ta có Þ ≠ 
Do đó : 3 điểm A, C, D không thẳng hàng., ta có 
b) Ta có Þ 
Þ các vectơ đồng phẳng. Do đó 4 điểm A; B; C; D đồng phẳng.
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với 
a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC); (BCD).
b) Viết PT mp(a) chứa AB và song song CD.
c) Viết PT đt D qua A & vuông góc với (BCD).Tìm tọa độ giao điểm của chúng.
a) Ta có ; 
* Phương trình mặt phẳng (ABC)
mp(ABC) có VTPT : .Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) là:
* Tương tự mặt phẳng (BCD): 3x + 8y – 2z – 8 = 0.
b) Ta có . Vì (a) chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là ; do đó có một VTPT là: 
Do đó (a):
c) Vì D ^ (BCD) nên nhận làm VTCP; do đó PTTS của đường thẳng D : ; Thay x; y; z vào phương trình (BCD); ta được:
Vậy giao điểm của D với (BCD) là :
Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz; cho (S):
a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).
b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(a): x + y − z + k = 0 tuỳ theo k.
c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với D đi qua . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó.
a) Ta có .Vậy (S) có tâm I(1; 2; 3) ; bán kính R = .
b) Ta có 
m Þ (a) và (S) cắt nhau.
m Þ (a) và (S) tiếp xúc nhau.
m Þ (a) và (S) không có điểm chung.
c) Đường thẳng D qua M; N có VTCP 
Phương trình là:
Thay x; y; z vào phương trình (S); ta được: .
m t = 1: 	D cắt (S) tại A(2; −1; 5)
* Phương trình tiếp diện tại A: Ta có 
Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận làm VTPT nên có PTTQ:
(P):
m :	D cắt (S) tại .
* Phương trình tiếp diện tại B: Ta có 
Tương tự: (Q): 
BÀI 4: (Đề thi kỳ 2 của sở) 
Trong không gian Oxyz cho A(3;2;6);B(3; −1; 0); C(0;−7;0); D(−2; 1; −1).
a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).
b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A; D và mp(ABC)
a/ Ta có: 
Vậy Phưong trình mp(ABC): 5(x − 3) − 2(y − 2) +(z − 6) = 05x–2y+z –17 = 0
b/ Ta có là vtcp của đường thẳng AD 
Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) ; 
Khi đó: sin Þ j » arcsin.
BÀI 5(TN 05+06)
Trong không gian Oxyz; cho mặt cầu (S): và hai đthẳng 
1.Chứng minh: (D1) và (D2) chéo nhau.
2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S); biết tiếp diện đó song song với (D1) và (D2)
1/ Xét qua điểm A(0;1;0) và có vtcp ;
 qua điểm B(1;0;0) và có vtcp ;
 Þ (D1) và (D2) chéo nhau.
2/ Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với (D1) và (D2) nên có 
vtpt .Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng y + z +m = 0
Mặt cầu (S) có tâm I(1;−1;−2)và có bán kính R = 3.
(P) tiếp xúc (S) Û d[I;(P)] = R 
+Với 
+ Với 
Bài 6: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z−1=0
Đáp số :	d cắt tại A(2;1/2;−7/2)
Bài 7: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 5x−y+4z+3=0. (d Ì a)
6
Tự luyện
A. Tọa độ điểm, vectơ
 Cho = ( −2 ;1; 0 ); = ( 1; 3;−2 ); = (2;4;3 )
1/ Tìm toạ độ = .	Đáp số : 
2/ Cm ; không cùng phương 	HD: −2: 1: 0 ≠ 1: 3: −2 
3/ Tìm toạ độ/ = ( 2; yo; zo ); biết / cùng phương 	Đáp số :	
‚ Cho A( 0 −2; 4 ) ; B( 5;−1;2 ); . 1/ Cm: A; B; C không thẳng hàng.
2/ Tìm toạ độ M là giao điểm của đường thẳng BC với (0xy); M chia đoạn BC theo 
tỉ số nào? 	Đáp số : M( −11;9;0 )	 Þ k = 2
3/ Tìm toạ độ D ; biết = ( 1;−2; −4 )	Đáp số : D ( −2;2;−3 )
4/ Tìm toạ độ A/ đối xứng với A qua B	Đáp số : A/ ( 10;0; 0 )
5/ Tìm toạ độ E để ABED là hình bình hành	Đáp số : E( 2;5;−1 )
ƒ Cho M( x; y; z ); tìm toạ độ các điểm: 
1/ M1 ; M2 ; M3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên mp ( 0xy ) ;( 0yz) ;( 0xz )
Đáp số : M1 ( x; y; 0) ; M2 ( 0; y; z ) ; M3 ( x; 0; z )
2/ M/1 ; M/2 ; M/3 lần lượt là hình chiếu của M trên Ox; Oy; Oz
Đáp số : M/1 ( x;0;0 ); M/2 ( 0;y;0 );M/3( 0;0;z )
3/ A; B; C lần lượt đối xứng với M qua Ox; Oy; Oz
Đáp số : A( x;−y; –z ); B( −x; y;−z ); C( −x;−y;z )
4/ D; E; F. lần lượt đối xứng với M qua mp ( Oxy ); ( Oyz ); ( Oxz )
Đáp số : D( x; y; −z ); E (−x ; y; z ); F ( x; −y; z )
„ Cho hình hộp chữ nhật OABC. O’A’B’C’ biết A( 2; 0; 0); C( 0; 3; 0); 0’( 0; 0; 4) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật. Hướng dẫn: ( vẽ hình ) ; tương tự B/( 2;3;4 ) ; C/ ( 0;3;4 )
B. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 Cho A(3;−2;−2) ; B(3;2;0) ; C(0;2;1) ; D( −1;1;2)	Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z −7 = 0
1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
2/. Viết ptmp(a) qua A và (a) // (BCD).	Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BC	Đáp số : −3x + z + 11= 0
‚ Cho A(5;1;3) ; B(1;6;2) ;C(5;0;4) ; D(4;0;6)
1/. Viết pt mp (a) qua A ; B và (a) // CD.	Đáp số :10x+9y+5z−74=0
2/. Viết ptmp trung trực (b) của CD ; tìm toạ độ giao điểm E của (b) với Ox.
Đáp số :−2x+4z−11=0 ; E(−11/2 ; 0 ;0)
3/. Viết ptmp (P) qua A và (P) // (Oxy)	 Đáp số :	z – 3= 0
ƒ Cho A(4;−1;1) ; B(3;1;−1)
1/. Viết phương trình mp (a) qua A và (a) chứa trục Oy. Đáp số : 	x−4z=0
2/. Viết ptmp (b) qua A và (b) vuông góc với trục Oy. Đáp số :	y+1=0
3/. Viết ptmp (Q) qua A ; (Q) // Oy ; (Q) (a)	 Đáp số :	4x+z−17=0
4/. Viết pt mp (P) qua B ; (P) (a) ; (P) (Oxz) 	 Đáp số :	4x+z−11=0
„ Cho A(−1;6;0) ; B(3;0;−8) ; C(2;−3;0). 1/. Viết ptmp qua A ; B ;C.	
2/. (a) cắt Ox ; Oy ; Oz lần lượt tại M ; N; P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP).	Đáp số :	(a):12x+4y+3z−12=0. V= 2 ;	 (MNP) : 12x+4y+3z−12=0
… Lập phương trình mp qua G( 2 ; −1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ;C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
† Xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau :
1/. Cho 	: 2x + ny + 3z −5 =0;	 : mx −6y −6z +2 =0	Đáp số :	m =4 ; n =3
2/. Cho 	: 3x − y + nz −9 =0;	 : 2x +my +2z −3 =0	Đáp số :	m = −2/3 ; n = 3
‡ Cho 2 mp : (a1): 2x – y + 3z + 1 = 0; (`a2): x + y – z + 5 = 0 có giao tuyến (d)
1/. Viết pt mp (P) qua (d) và (P) ^ (a3): 3x – y + 1 = 0. ĐS :	−3x−9y+13z−33=0
2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của (a1), (a2) và (Q) song song với đường thẳng 
AB với A(−1;2;0) và B(0;−2;−4).	Đáp số :	8x+5y−3z+31=0
C. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
 Ghi nhớ : d ^ (a) Þ vtcp của d là vtpt của (a) ; vtpt của (a) là vtcp của d.
 Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của d biết :
1/. d qua M (2;3;−1) và d vuông góc với mp: −x−y+5z+7=0
2/. d qua N(−2;5;0) và d// d / : 3/. d qua A(1;2;−7) và B(1;2;4)
‚ Viết phương trình tham số ; pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :
ƒ 1/. Viết pt mp() qua A(0;1;−1) và ()
2/. Tìm toạ độ giao điểm M của (a) với trục Ox.
3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của (a) với (Oxy).
„ Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2; −3; 1 )trên mp(a) : −x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ()	Đáp số : H (1; −1 ; 2 ) ; M/( 0; 1; 3)
… Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2; −1; 3) qua đt d : Đáp số :M/ (4;−3;5)
LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC D’ CỦA D TRÊN MP (P) 
Phương pháp :
Cách 1 : 	Ÿ Tìm 2 điểm A và B thuộc D
	Ÿ Tìm A/ và B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P) 
	Ÿ Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng D/
Cách 2 :	Ÿ Lập pt mp (Q) chứa D và vuông góc với mp(P)
	Ÿ Vì d/ = (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của D/ 
† Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên mp : x+y+2z−5=0
‡ Viết pt hình chiếu vuông góc d/ của d : trên mp:x−y+z+10=0
D. KHOẢNG CÁCH − GÓC
1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp (a): 
2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt D: qua M0 và có vtcp : 
3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
Ÿ D1 qua M1 và có vtcp ; D2 qua M2 và có vtcp :
*Chú ý: 
Ÿ mp(P) // mp (Q) có d[(P), (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î (P)
Ÿ đt d // d’ có d[d, d’] = d[A, d’] với điểm A Î d
Ÿ đt d // mp (Q) có d[d, (Q)] = d[A, (Q)] với điểm A Î d.
4/. Góc giữa 2 vectơ : 
 Tìm góc giữa 2 đt: Tìm 2 vtcp và của và có 
Tìm góc giữa 2 mp:
Ÿ Tìm 2 vtpt : và của a và b có . Chú ý : a ^ b Û ^ 
Góc giữa d và mp (a): Ÿ Tìm vtcp của d.; vtpt của (a) có 
Cách viết PT đường vuông góc chung của hai đường thẳng CHÉO NHAU d1 ; d2
Ÿ d1 có vtcp ;d2 có vtcp 
Ÿ Lấy điếm A Î d1 Þ tọa độ điểm A theo t1
Ÿ Lấy điếm B Î d2 Þ tọa độ điểm B theo t2
¯ AB là đường vuông góc chung Û 
Ÿ Giải hệ trên ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.