Ôn tập Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa Giả sử K là một khoảng. Hàm số f xác định trên K được gọi là :
· Đồng biến trên K nếu " ,Î K ,< Þ < .
Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
· Nghịch biến trên K nếu " ,Î K , .
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải
Đồ thị:
Định lí : GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . 
a)Nếu f’(x) > 0 với mọi x Î K thì hàm số f đồng biến trên khoàng K .
b)Nếu f’(x) < 0 với mọi x ÎK thì hàm số f nghịch biến trên khoàng K.
c)Nếu f’(x) = 0 với mọi x Î K thì hàm số f không đổi trên khoàng K.
Nhận xét : Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc nửa khoảng . Khi đó phải bổ sung thêm giả thiết :
Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó .
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm f’(x) trên khoảng (a; b)
a)Nếu f’(x) ≥ 0 với mọi x Î (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b]. 
b)Nếu f’(x) ≤ 0 với mọi x Î(a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn [a; b]. 
Trên đoạn [a; b] , ta có :
Vấn đề 1: Xét tính đơn điệu : giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Ì D 
Bước 1: Tìm miền xác định D, tính & xét dấu y’ = f’(x).
Bước 2: Áp dụng định lý .
 Ghi chú về việc xét dấu :
ž f’(x) là đa thức hay phân thức : xét dấu nhị thức, tam thức.
ž f’(x) vô tỉ, lượng giác: giải các bất phương trình f’(x) ³ 0; f’(x) £ 0.
ž f’(x) là biểu thức phức tạp có thể áp dụng các bước sau :
– tìm xo sao cho f’(xo) = 0 hay f’(x) không xác định.
– các số xo chia miền xác định của f(x) thành nhiều khoảng.
– trên mỗi khoảng f’(x) có 1 dấu nhất định. Ta xác dịnh dấu trên mỗi khoảng bằng cách xét một giá trị đặc biệt.
ž Đôi khi ta cần tính thêm f”(x) để xét dấu f’(x).
Ví du 1 : Xét chiều biến thiên của hàm số : 
· D = ¡ \ {0} .	· Chiều biến thiên 
· . 
Ta có y’ = 0 Û x = ± 2
Vậy hàm số đồng biến / (-¥;- 2) và (2;+¥), nghịch biến / ( -2 ; 0 ) và ( 0 ; 2 ) .
Ví du 2 : Xét chiều biến thiên của hàm số : 
· D = ¡ .	· y’ = 4x2 − 4x + 1. 
Ta có: y’ = 0 với x =và y’ > 0 " x ¹.
· Bảng biến thiên :
Vì hàm số đồng biến / và Þ hàm số đồng biến trên ¡ .
Qua ví dụ 2 ta thấy có thể mở rộng định lí như sau :
Mở rộng định lí GIả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K . 
a)Nếu f’(x) ≥ 0, "x Î K thì hàm số f đồng biến trên K .
b)Nếu f’(x) £ 0, " x Î K thì hàm số f nghịch biến trên K .
( f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm )
H1 Xét chiều biến thiên của a); b)
Ví dụ 3 : Xét chiều biến thiên của hàm số . 
· D = (– ¥;3]. Hàm số f liên tục trên (–¥;3] 
 . Vậy f nghịch biến trên (–¥;3]
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số y = x3 - 3x2 + 3x + 2 là đồng biến trên ¡ . 
· D = ¡ .	· y’= 3 x2 – 6x + 3 = 3(x–1)2 . y’= 0 Û x = 1 
Lập BBT ta có :hàm số đồng biến trên (–¥; 1] và [ 1;+¥) Þ f đồng biến trên ¡ 
Ví dụ 5*: Chứng minh: sinx + tanx > 2x với mọi x 
Giải: Xét f(x) = sinx + tanx – 2x liên tục trên ta có .Với x(0;) ta có 0 cos2x nên
 f’(x) >cos2x +− 2 = >0. Vậy f đồng biến trên .
Suy ra: f(x) > f(0) với mọi x hay sinx + tanx > 2x " x.
Ví dụ 6*: Cm nghịch biến trên ¡ . 
Ta có f liên tục trên ¡ và 
f’(x) = 0 Û.Vậy f nghịch biến trên mỗi đọan 
Þ f nghịch biến trên ¡ .
Bài tập SGK (Cơ bản)
Bài 1: Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số 
a) y = 4 + 3x – x2.	 KQ: đồng biến /, nghịch biến / ;
b) y = 1/3x3 +3x2 – 7x – 2. KQ: đồng biến / (-¥ ; -7) và (1 ; +¥), nghịch biến / (-7 ; 1) ; 
c) y = x4 −2x2 + 3 KQ: đồng biến /(-1;0) và (1;+¥), nghịch biến / (-¥;-1) và(0;1) ;
d) y= − x3 +x2 − 5.	KQ: đồng biến / , nghịch biến / (-¥ ; 0) và .
Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:
a/ y = .	KQ : đồng biến trên các khoảng (-¥ ; 1) và (1 ; +¥) 
b/ y =	KQ : nghịch biến trên các khoảng (-¥ ; 1) và (1 ; +¥) 
c/ y = 	KQ : nghịch biến trên (-¥ ; -4) và đồng biến trên (5 ; +¥) ;
d/ y=	KQ : nghịch biến trên (-¥ ; -3) và (−3; 3) và (3 ; +¥) ;
Bài 3: CMR y = đồng biến / (-1;1); nghịch biến / (;-1) và (1; )
Bài 4: CMR y =đồng biến trên khoảng (0;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2)
Vậy 
hàm số đồng biến / (0;1) và nghịch biến / (1;2)
Ÿ TXĐ:D = [0;2] Ÿ BBT
Ÿ y’=
Bài 5: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a/ tanx > x (0 x +(0<x<).
Xét hàm số g(x) = tanx - x liên tục / và có: g’(x) = tan2x ,"xÎ. 
g'(x) = 0 Þ x = 0 nên g đồng biến trên. Do đó g(x) > g(0) = 0 "xÎ.
b) g’(x) = tan2x − x2 = (tanx − x)(tanx + x) ³ 0
Bài tập tự luyện
1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau :
a/ y = 3x2 – 2x + 5. 	 b/ y = 5 + 4x - x2. 	c/ y = ⅓ x3 + 6x2+11x + 1 
d/ y = x4 - 4x2 + 3. e/ y = x4 + 4x2 + 3.	f/ y = ¼ x4 - x2 .
2. Xác định khoảng đơn điệu của hàm số sau:
a) y = x3– 3x2 + 2 b) y = −x3 + x2 – 5x + 9 c) y = x4 – 8x2 + 7 i/* e) y = f)* y = . g/* h/* 
KQ: a) Hs đồng biến / (;0) và (2;); nghịch biến trên khoảng (0; 2)
b) Hs nghịch biến trên R vì y’ = - x3 + 2x – 5 < 0, x R 
c) Hs đồng biến /(-2; 0) và (2;); nghịch biến / (;-2) và (0; 2)
d) Hs đồng biến trên khoảng (;0); nghịch biến trên khoảng (0;)
e) Hs đồng biến / (;0) và (2;); nghịch biến / (0; 1) và (1; 2)
3. Chứng minh các hàm số sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định.
a)* y = x3 + x − cosx −4 	b) y = x3 − 6x2 + 17x + 4 
c) y = x3 - 3x2 + 3x + 2.	d) . 	e) . 
4. Chứng minh rằng: a/ nghịch biến /[-1; 0) và (0; 1]. b/ giảm / mỗi khoảng xác định c/ nghịch biến / [2 ; 4].
d/ đồng biến / [2 ; +¥). e/ nghịch biến / ¡.
5.* Chứng minh rằng hàm số f(x) = x + cos2x đồng biến trên ¡. 
Vấn đề 2: Tìm m để hàm số tăng (giảm)
1. Hàm số bậc 3 ( hàm số hữu tỷ )
 Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0)
 Ÿ Hàm số tăng (giảm) trên ¡ ( trong từng khoảng xác định): 
 y/ ³ 0 "x Î ¡ Û (hay) . Giải tìm m.
 Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
 2. Hàm số nhất biến : 
 Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/
 Ÿ Hàm số tăng (giảm) trong từng khoảng xác định : 
 y/ > 0 ( y/ 0 ( < 0 ). Giải tìm m
 Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0
1) Với giá trị nào của m thì y = 2x3-3(m+2)x2 + 6(m+1)x -3m +5 luôn đồng biến/ ¡ 
Ÿ TXĐ: D = ¡.
Ÿ y’ = 6x2 – 6(m+2)x + 6(m+1). Hs luôn luôn đồng biến y’ 0, x¡ 
 x2 – (m+2)x + (m+1) 0..m2 0 m = 0
2) Tìm m để hàm số: y = nghịch biến trên từng khoảng xác định 
Ÿ TXĐ: D = ¡ \ {- m}	Ÿ y’ = . 
Hs nghịch biến trên từng khoảng xác định y’0,xDm2 +m -2 < 0 -2< m<1
Bài tập tự luyện
1) Với các giá trị nào của a thì hàm số y = ax – x3 nghịch biến trên ¡ . (a ≤ 0)
2) Định m để y = f(x) = x3 - 3(m+1)x2 + 3(m +1)x+1 luôn đồng biến ¡. (1 £ m £ 0)
3) Tìm mÎ ¢ để f(x) = đồng biến / từng khoảng xác định của nó (m = 0)
4) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 	(ĐS : m ≤ - 1 V m ³ 2 )
5) Tìm m để luôn đồng biến (suy biến). (ĐS : m = - 1)
7)* Tìm m để hàm số y = x2.(m - x) - m đồng biến trên (1;2). (ĐS : m ³ 3)
8) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến / từng khoảng xác định 
a) ;	b) y = x + 2 +