PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
I) CÁC ĐỊNH NGHĨA :
1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
an = a.a a ( tích của n số a) với n>1.
2) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm :
PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ : I) CÁC ĐỊNH NGHĨA : 1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.aa ( tích của n số a) với n>1. 2) Luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm : a0 = 1 và a-n = ( với a 0 và n nguyên dương ) 3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : ( Với a > 0 và ) 4) Lôga rit cơ số a của b: II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC : 1) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , tuỳ ý ta có: ; ; ; 2) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ; ; ; ; ( với tuỳ ý ) ; ; , tức là ( Công thức đổi cơ số) B/ PHẦN BÀI TẬP : I/. PHƯƠNG TRÌNH MŨ Một số phương pháp giải phương trình mũ @Phương trình mũ cơ bản : @ Phương pháp đưa về cùng cơ số *Biến đổi 2 vế về cùng cơ số rồi sử dụng phép biến đổi sau để giải Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a./ b./ Giải: a./ b./ Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a. b. c. d. @ Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng 1 : A.a2f(x) + B.af(x) + C = 0 (1) Đặt t = af(x) > 0 Ta có phương trình : At2 + Bt + C = 0 (2) * Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0 Ví dụ 1 : Giải các phương trình sau a). b) Ví dụ 2 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm Dạng 2 : A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 (1) trong đó a.b=1 Đặt t = af(x) > 0 Þ bf(x)= Ta có phương trình : At + + C = 0 (2) * Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0 Ví dụ1 : Giải các phương trình sau a/ b) c) Ví dụ 2 : Giải và biện luận phương trình . Dạng 3 : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = 0 (1) Chia cả hai vế cho b2f(x) > 0 ta có : A Đăt t = = t > 0 ta được At2 + Bt + C = 0 (2) Phương trình ( 1) có nghiệm khi phương trình ( 2 ) có nghiệm t > 0 Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a./ b./ c./ d) 64 .9x – 84 .12x + 27 .16x = 0 Giải: a./ Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= 0 b./ c./ Đặt , ta có d/64 .9x – 84 .12x + 27 .16x = 0 Û Bài tập áp dụng: 1 : Giải các phương trình sau a) b) c) d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x e) g) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình: có nghiệm thuộc đoạn [0;1]. Cho phương trình : . Tìm m để phương trình có nghiệm. @ Phương pháp lôgarit hóa Nếu cả hai vế của phươnh trình đều dương ta có thể giải phương trình bằng cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hóa) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a./ b./ Giải: a./ b./ Ví dụ 2: Giải các phương trình : a) b) c) @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số Ví dụ 1 : Giải các phương trình a) 3x + 4x = 5x b) 2x = 1+ c) d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - 5 = 0 Giải: a) 3x + 4x = 5x (*) Dễ thấy phương trình có một nghiệm x=2. .Với x>2 do Þ ph tr (*) không có nghiệm .Với x<2 do Þ ph tr (*) không có nghiệm Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x=2 Bài tập Bµi 1: Giải các phương trình : a. b. c. d. e. f. g. Bµi 2:Giải các phương trình : a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. Bµi 3:Giải các phương trình : a. b. c. d. II. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT * Phương trình lôgarit cơ bản (x > 0, 0< a 1) * Một số phương pháp giải phương trình lôgarit @ Phương pháp đưa về cùng cơ số Biến 2 vế đưa về dạng: Tổng quát: Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a./ b./ Giải: a./ (1) ĐK: b./ (1) ĐK: x>0 x=3>0 thỏa điều kiện . Vậy phương trình có nghiệm là x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải. đk: x > 0 Ta biến đổi về cùng cơ số 2: ; ; (1) x = 1. Ví dụ 3 : (Đề 81) Giải phương trình (1) Giải. Ta có: Đk: (1) nghiệm: Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình: + = , a > 0 (1) Giải. Đk: – 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0 x > 2 Ta có: = 1 = = + = = = = = (1) = x – 2 = – 4 = = 4 + a > 0 nghiệm: x = . x > 2 x = . Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: a) . = b) + = + + c) . = 1 d) + = 0. (Đề 3) 2) Xác định m để phương trình: + = 0 có nghiệm , thoả mãn: + > 1. Hướng dẫn: pt = phương trình có 2 nghiệm , nên , điều kiện (2) – 1 < 0 m < + > 1 3) Tìm a để phương trình = 2 có nghiệm duy nhất. Hướng dẫn: pt phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn: 4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29) @ Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1. Giải phương trình = 8 Giải. Đk: Lấy logarit cơ số 2 cả 2 vế, ta được: = . = 3 + 3 . = 3 + 3 (1) Đặt t = (1) – t – 3 = 0. phương trình có nghiệm: ; . . Ví dụ 2. Giải phương trình 2. = Giải. Đk: Đặt = y; x = + 1 Ta được hệ phương trình: y. = x.(1) Xét hàm số: f(z) = z.; f'(z) = + 2 > 0 f(z) đồng biến trên [2; ). Từ (1) x = y . Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = tại 2 điểm: = 1; = 2. từ x = 2 là nghiệm. Ví dụ 3. Giải phương trình = . – (1) Giải. Đk: x>0 áp dụng công thức: = (1) = . – = – 1. Đặt t = + 1 = + = 1 (2) Xét f(t) = + là hàm nghịch biến (2) có nghiệm duy nhất t = 1 x = 2 là nghiệm của (1) Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a./ b./ c./ d./ Giải: Thỏa điều kiện x>0 . Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4 b./ (1) ĐK: Đặt: , ta có : thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là : x = 3 và x = 5/4. c./ (1) ĐK: x>0 (*) Đặt: t= lgx , ta có: thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = 107 d./ ĐK: (*) Đặt: , ta có: . Thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là x=2. Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình a) = b) = 6 c) + = 2 d) + = + + 2) Giải và biện luận theo a a) . = – b) ( + 2). = 3) Cho phương trình: (m – 3) – (2m + 1) + m + 2 = 0 tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 4 < < < 6 4) Giải phương trình a. b. c. d. e. f. @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số Ví dụ 1. Giải phương trình: + x = + 4 (1) Giải. Đk: , x + 2 > 0 x > 3. (1) – = 4 – x = 4 – x lg(x – 3) = 4 – x (2) Nhận xét: x = 4 là nghiệm của (2). y = lg(x – 3); y' = > 0 là hàm đồng biến y = 4 – x là nghịch biến x = 4 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 2. Giải phương trình = (1) Giải. Đk: (1) = (2) Đặt: a = 7 + 4; t = (2) = (3) Đặt: y = . (3) = + = 1 (4) y = 1 là nghiệm của (4) y > 1 VT < VP y VP y = 1 là nghiệm duy nhất. Ví dụ 3. Giải phương trình: = x. Giải. Đk: x > – 3 – 3 < x 0: phương trình vô nghiệm. x > 0: Đặt = t 3+=1 (*) t = 1 là nghiệm. VT của (*) là hàm nghịch biến t = 1 là nghiệm duy nhất x = 2 là nghiệm duy nhất. Bái tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình: + lgx = m a) có nghiệm. b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10. 2) Giải phương trình: =. Bài tập Bài tập 1: Giải các phương trình sau a. b. c. d. e. Bài tập 2: Giải các phương trình sau a. b. c. d. e. f. Bài tập 3: Giải các phương trình sau a. b. c. d. e. f. g. h. i. Bài tập 4: Giải các phương trình sau a. b. c. d. III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Các phương pháp giải thường sử dụng 1. Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép thế Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau : 1) 6) 2) 7) 3) 8) 4) 9) 5) 10) 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ 2 : Giải các hệ phương trình sau : 1) 2) 3) 4) 5) Bài tập Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau : a/ b/ c/ d/ d/ Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau : a. b. c. d.
Tài liệu đính kèm: