Ôn tập Phương pháp tọa độ trong không gian

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
§ 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I.TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ:
1. Hệ tọa độ :
 	Hệ ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và có chung điểm gốc O gọi là hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz ( hay hệ tọa độ Oxyz ).
@ là các vectơ đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz.
@ .
@ .
@ Ox: trục hoành, Oy: trục tung, Oz: trục cao.
@ O: gốc tọa độ.
 2. Tọa độ của điểm:
 	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz đã chọn, cho điểm M bất kỳ. Ttọa độ của điểm M 
 được ký hiệu là. Ta có : 
3. Tọa độ của vectơ:
 	Cho hệ tọa độ Oxyz và vectơ tùy ý, có duy nhất một bộ ba số (x,y,z):, bộ ba số (x,y,z) gọi là tọa độ của vectơ .
@ Ký hiệu: . Vậy: 
Nhận xét:
Vậy nếu thì tọa độ của điểm , 
II.BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VÉC TƠ:
Định lý:
 Đối với hệ tọa độ Oxyz, nếu , thì
a) .
b) .
c) .
Hệ quả:
 , Ta có 
 thì .
M là trung điểm của AB và 
* Ví dụ: Cho . Tìm tọa độ điểm C sao cho .
* Giải:
Gọi tọa độ điểm C là: , ta có:
 Do đó: 
 Vậy 
* Ví dụ 1: Xác định tọa độ của vectơ biết:
* Giải:
Ta có: .
* Ví dụ 2: Cho 
. Hãy xác định tọa độ của vectơ , biết .
* Giải:
Gọi tọa độ của vectơ . Ta có
Vậy: 
III.TÍCH VÔ HƯỚNG:
1.Biểu thức toạ đọ của tích vô hướng:
 Định lý:
 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , 
 Nếu , thì
 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng )
2.Ứng dụng:
@Nếu thì và 
@ .
@ Khoảng cách giữa hai điểm và là: 
@ Góc giữa hai vectơ:
Nếu là góc giữa hai vectơ , và thì 
* Ví dụ: Cho , .
Tính ? và góc giữa hai vectơ 
* Giải:
Ta có: 
và 
 Vậy với .
IV TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ, ỨNG DỤNG:
1) Định nghĩa:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ bất kỳ,. Vectơ có ba tọa độ là ba định thức (*) gọi là tích có hướng ( hay tích vectơ ) của hai vectơ . Ký hiệu: 
Vậy: 
2) Tính chất:
@ cùng phương .
@ .
@ .
3)Aùp dụng:
a) Diện tích tam giác:
Trong hệ tọa độ Oxyz, diện tích là:
b) Điều kiện 3 vectơ đồng phẳng:
* Định lý: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là: .
c) Thể tích của khối hộp:
 Thể tích của khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là:
d) Thể tích của tứ diện ABCD bằng : 
* Ví dụ: Trong kg với hệ tọa độ Oxyz,
 Cho 
a) CMR: A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b) Tính đường cao CK của tam giác .
c) Tính góc CBD và góc (AB,CD).
d) Tính thể tích tứ diện ABCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện ABCD qua đỉnh A.
* Giải:
a) Ta có: 
Suy ra ba vectơ k0 đồng phẳng.
Do đó A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có: 
Do đó: 
c) 
Vậy: CBD = với 
@ Gọi là góc giữa hai đường thẳng AB và CD , Do đó bằng hoặc bù với , ta có:
.
d) Thể tích của tứ diện ABCD bằng một phần sáu thể tích của hình hộp có ba cạnh xuất phát từ A: AB, AC, AD.
Nên 
Gọi AH là đường cao của tứ diện kẽ từ A
Ta có: 
 .
IV. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
1. Phương trình mặt cầu :
* Định lý 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu tâm :
* Nếu thì PT mặt cầu là :
Định lý 2: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz
Phương trình:
 với là phương trình mặt cầu tâm và bán kính 
* Ví dụ1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu có PT:
* Giải :
Ta có:
và bán kính ,Tâm I(2;1;-3).
BÀI TẬP:
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
1)
2)
ĐS: 1)T©m I(2 ;-3 ;0) vµ R=3
2) T©m I (4;0;-1) vµ R=4
Ví dụ2: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu:
1) T©m I(2;2;-3) vµ R=3
2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) vµ t©m I thuéc Ox
3) Qua 4 ®iĨm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6)
4) §­êng kÝnh AB víi A(1;-3;5); B(-3; 4; -3)
Gi¶i:	
1) Ta cã ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu lµ 
2) Ta cã t©m I(a ;0 ;0) Do Mc (S)
Di qua A vµ b nªn ta cã IA=IB=R =>IA2=IB2
3) G/s Pt mỈt cÇu (S) lµ x2+y2+z2+ ax+by+cz+d=0(a2+b2+c2)
Do (S) ®i qua A(1;4;0);B(-4;0;0);
C(-2;-2;0) vµ D(1;1;6) nªn ta cã 
4)Ta cã t©m I(-1;;1) vµ R=
=> Pt mỈt cÇu lµ:
BÀI TẬP –SGK: Bµi 1 : (68)
a) 
b) 
Bµi 2 : (68)
¸p dơng c«ng thøc träng t©m :
VËy G()
Bµi 3 :(68)
Ta cã : 
Ta cã : 
VËy : 
§2.PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
 VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG:
a) Định nghĩa: 
Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .
( nói tắt là vectơ vuông góc với ).Kí hiệu: .
* Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm thuộc nó và một VTPT của nó.
b) Chú ý: 
@ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu là hai vectơ không cùng phương và các đường thẳng chứa chúng cùng song song với (hoặc nằm trên) mp thì vectơ là một VTPT của mp .
@ Hai vectơ nói trên gọi là cặp vectơ chỉ phương (VTCP) của mp .
@ Nếu là ba điểm không thẳng hàng của mp thì:
+)là một cặp VTCP của mp
+)là một VTPT của mp
II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG: 
1) Định nghĩa:
Phương trình dạng: , (1)
gọi là phương trình tổng quát của mp.
2) Chú ý:
@ PTTQ của mp qua và có một VTPT là:
@ Nếu mp có PT: thì có một VTPT là: .
3) Các trường hợp riêng của PTTQ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng có PT:.
@ Nếu D = 0 thì mp: luôn đi qua gốc tọa độ.
@ Nếu A = 0,thì mp có PT:
chứa hoặc song song với Ox.
@ Trường hợp B = 0, C = 0,xét tương tự.
 Vậy: Nếu trong PTTQ không có mặt x (y, z) thì mp tương ứng song song hoặc chứa Ox (song song hoặc chứa Oy, Oz ).
@Nếu PTTQ của mp có dạng: thì mp song song với mp(Oxy).
@ Nếu A, B, C, D khác 0 thì đặt , , ta có PTTQ (1) trở thành:
 gọi là PT theo đoạn chắn.
4) Ví dụ: Viết PTTQ của mp đi qua điểm và song song với mặt phẳng:
* Giải:
Vì mp song song với mp nên mp có VTPT là: .
Vậy PTTQ của mp là: 
BÀI TẬP
* Bài 1: Cho hai điểm . Viết PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB.
* Giải:
Gọi I là t.điểm của đoạn AB, ta có 
Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ làm VTPT. 
Vậy PTTQ của mặt phẳng cần tìm là: 
* Bài 2: Cho .Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C.
* Giải:
Ta có 
Do đó mp đi qua nhận vectơ làm VTPT nên có phương trình:
* Bài 3: Viết PTTQ của mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ.
 Giải:
Gọi lần lượt là hình chiếu của điểm trên các trục Ox, Oy, Oz thì:
Do đó: 
Vậy: phương trình của mặt phẳng qua các điểm là hình chiếu của điểm trên các trục tọa độ là :
III.ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC:
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:
*Chú ý:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng 
@ @ 
@ 
* Ví dụ1 Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng:
* Giải:
Vì 
*Ví dụ 2 :Xác định các giá trị m, l để hai mặt phẳng song song với nhau
a) 
b) 
* Giải:
a) Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi 
b) Hai mặt phẳng song song với nhau khi và chỉ khi 
2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc:
Cho hai mặt phẳng (a) và (b) có PT:
	Ta có: (a) ^ (b) Û AA’ + BB’ + CC’ = 0.
IV KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MP:
* Định lý: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (a) :Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức : 
* Ví dụ : 
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (a) :.
* Giải :
Ta có .
§3.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
* Véctơ được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng D nếu nằm trên đường thẳng song song với ( hoặc trùng ) D.
*Định lý: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, PTTS của đường thẳng D đi qua điểm làm VTCP có dạng:
 	*Phương trình chính tắc của đường thẳng.
 	Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, PTTS của đường thẳng D đi qua điểm làm VTCP có dạng:
* Nếu một hoặc hai trong các số bằng 0 thì ta viết PTCT với quy ước nếu mẫu số bằng 0 thì tử số bằng 0.
Ví dụ1:
Viết PTTS, PTCT của đường thẳng D qua .
* Giải:
PTTS của đường thẳng cần tìm là:
Ví dụ 2: Tìm PTCT của đường thẳng D biết D qua điểm và song song với
 đường thẳng d : 
* Giải:
 Vectơ chỉ phương của d là .Vì D // d nên D cũng có một VTCP là 
Vậy PTCT của D là 
III.ĐIÈU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU:
1.Điều kiên để hai đường thẳng song song:
2. Điều kiên để hai đường thẳng cắt nhau:
3. Điều kiên để hai đường thẳng chéo nhau:
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG
* Bài 1: Trong không gian cho 4 điểm
a) Tính diện tích tam giác ADC.
b) CMR : 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.
* Giải :
a) Ta có 
 Þ 
Do đó : 
b) Ta có 
Þ 
Þ các vectơ đồng phẳng
Do đó 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng.
* Bài 2 : Cho tứ diện ABCD với các đỉnh
a) Viết PT của các mặt phẳng (ABC), (BCD).
b) Viết PT mp(a) chữa AB và song song CD.
c) Viết PT đt D qua A và vuông góc với (BCD) và tìm tọa độ giao điểm của chúng.
* Giải :
a) Ta có 
* Phương trình mặt phẳng (ABC)
mp(ABC) có VTPT : .Do đó phương trình tổng quát mp(ABC) là:
* Phương trình mặt phẳng (BCD)
mp(BCD) có VTPT :.Do đó phương trình tổng quát mp(BCD) là:
b) Ta có 
Vì (a) chứa AB và song song CD nên có cặp VTCP là , do đó có một VTPT là:
Do đó PTTQ của mặt phẳng (a) là:
c) Vì D ^ (BCD) nên nhận làm VTCP, do đó PTTS của đường thẳng D là:
Thay x, y, z vào phương trình (BCD), ta được:
Þ 
Vậy giao điểm của D với (BCD) là :
* Bài 3: Trong KG hệ tọa độ Oxyz, cho (S):
a) Xác định tọa độ tâm và tính bán kính (S).
b) Xét vị trí tương đối của (S) và mp(a) :
c) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với D đi qua . Viết PT mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại các giao điểm đó.
* Giải :
a) Ta có .Vậy (S) có tâm 
b) Ta có 
@ Þ (a) và (S) cắt nhau.
@ Þ (a) và (S) tiếp xúc nhau.
@ Þ (a) và (S) không có điểm chung.
c) Ta có 
Phương trình đường thẳng D qua M, N là:
Thay x, y, z vào phương trình (S), ta được:
@ 
@ 
* Phương trình tiếp diện tại A:
Ta có 
Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A nhận làm VTPT nên có PTTQ:
* Phương trình tiếp diện tại B:
Ta có 
Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại B nhận làm VTPT nên có PTTQ:
BÀI 4: (Đề thi kỳ 2 của sở)
 Trong không gian với hệ toạ độ O xyz cho 4 điểm A(3;2;6),B(3; -1, 0), C(0,-7,0), D(-2, 1; -1).
 a/ Viết phưong trình măt phẳng (ABC).
 b/ Tính góc giữa đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, D và mp(ABC)
GIẢI
a/ Viết Phưong trình mp (ABC)
Ta có: 
Vậy Phưong trình mp(ABC) là:5(x-3)-2(y-2) +(z-6) = 0	5x –2y +z –17 = 0
b/ Ta có là vtcp của đường thẳng AD 
Gọi là góc giữa đường thẳng AD và mp(ABC) , 
Khi đó: sin 
BÀI 5(TN 05+06)
 Trong KG với hệ tọa độ O xyz, 
cho mặt cầu (S): và hai 
đthẳng 
 1.Chứng minh: chéo nhau.
 2.Viết pt tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đthẳng 
GIẢI
1/ + Phưong trình tham số 
+ qua điểm A(0;1;0) và có vtcp 
 ,
 qua điểm B(0;1;0) và có vtcp 
 ,
+ 
+ chéo nhau.
2/ + Gọi (P) là tiếp diện cần tìm. Vì (P) // với nên có vtpt 
Phưong trình mặt phẳng (P) có dạng
 y + z +m = 0
+Mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;-2)và có bán kính R = 3.
+Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu nên d(I,(P)) = R 
+Với 
+ Với 
PHỤ LỤC THÊM:
Trong KG,hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
D1: 
D2: 
D1, D2 đồng phẳng .
1.Điều kiên để hai đường thẳng song song:
a) D1, D2 song song Û 
b) D1, D2 trùng nhau Û 
2. Điều kiên để hai đường thẳng cắt nhau:
D1, D2 cắt nhau
3. Điều kiên để hai đường thẳng chéo nhau:
 D1, D2 chéo nhau .
Ví dụ: Xét vị trí tương đối của hai đ.thẳng
* Giải :
D1: 
D2: 
Ta có 
Vậy: D1 chéo D2.
Chùm mặt phẳng:
Cho 2 mp
1. Định lý:
 Mỗi mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng 
 Ngược lại mỗi phương trình dạng (*) đều là phương trình của một mặt phẳng qua giao tuyến của .
2. Định nghĩa:
 Tập hợp các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng gọi là một chùm mặt phẳng. Phương trình (*) gọi là phương trình của chùm mặt phẳng.
3. Ví dụ: Cho ba mặt phẳng lần lượt có PT:
a) Lập PTTQ của qua giao tuyến của hai mặt phẳng và qua .
b) Lập PTTQ của qua giao tuyến của hai mặt phẳng và song song Oy.
c) Lập PTTQ của qua giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc .
* Giải:
a) 
PTTQ của có dạng:
Điểm 
b) PTTQ của có dạng (*)
 Vì //Oy nên hệ số của y trong (*) bằng 0, tức là: 
c) PTTQ của có dạng (*)
VTPT của 
VTPT của 
Ta có: 
* 
. Vị trí tương đối giữa đt D và mp(a).
Trong KG,hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng:
 (a) : Ax + By + Cz + D = 0
a) D cắt (a) Û Aa + Bb + Cc ¹ 0.
b) D // (a) Û 
c) D Ì (a) Û 
d) D ^ (a) Û a : b : c = A : B : C.
* Ví dụ :
Xét vị trí tương đối của đường thẳng D và (a), tìm giao điểm của chúng nếu cắt nhau.
* Giải :
Đường thẳng D có VTCP 
Mặt phẳng (a) có VTPT 
Ta có 2 : 2 : 2 = 1 : 1 : 1 Þ D ^ (a)
Tham số t ứng với giao điểm M của D và (a) là nghiệm của phương trình:
Thay vào phương trình của D , ta được
Vậy : 
. Khoảng cách từ một điểm đến một đt:
Định lý: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng D đi qua và một điểm . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng D được tính bằng công thức :
* Ví dụ 2 :
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng D :.
* Giải :
Đường thẳng D qua và có VTCP 
 Þ 
Ta có: 
. Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau:
Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng D1, D2 chéo nhau. Đường thẳng D1 đi qua có VTCP , đường thẳng D2 đi qua và có VTCP . Khoảng cách giữa D1 và D2 là:
* Ví dụ 3 :
Tính khoảng cách giữa hai đt D1 và D2 : 
.
* Giải :
D1 qua 
D2 qua 
Ta có 
 và 
 Þ = 
Vậy : = 0
. Góc giữa hai đường thẳng :
Cho hai đường thẳng D1 và D2 lần lượt có PT:
Gọi j là góc giữa hai đt D1 và D2, ta có 
* D1 ^ D2 Û = 0.
* Ví dụ : Tính góc giữa hai đường thẳng:
* Giải: VTCP của D1 là 
 VTCP của D2 là .Do đó góc j giữa D1 và D2 được tính:
2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Cho đường thẳng D và mặt phẳng (a) có PT:
 Gọi j là góc giữa đt D và mp (a), ta có 
* D // (a) hoặc D Ì (a) Û Aa + Bb + Cc = 0.
* Ví dụ : Tính góc giữa đt D và mp(a):
* Giải: VTCP của D là VTPT của (a) là .Do đó góc j giữa D và(a) được tính:
 Þ j = 300
3. Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng (a) và (b) có PT:
 Gọi j là góc giữa (a) và (b), ta có 
* Ví dụ : Tính góc giữa hai mp(a) và mp(b) :
* Giải: VTPT của (a) là 
 VTPT của (b) là 
Do đó góc j giữa (a) và (b) được tính:
 Þ j = 600
. Giao của mặt phẳng và mặt cầu:
Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz cho mp(a) và mặt cầu lần lượt có phương trình:
Gọi H là hình chiếu của I lên (a), ta có:
a) 
Phương trình đường tròn là:
b) 
(a) :Tiếp diện của (S) tại H
c) 
Þ (a) không có điểm chung với (S)
* Ví dụ : Xét vị trí tương đối của (S) và (a):
* Giải :
Ta có: 
Do đó: Vì 
Phương trình đường tròn (C) là: